A. (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता है/(f(a)=f(b)) gives (a=b)
Step 1
Concept
Assuming (f(a)=f(b)), we get (3a-7=3b-7).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives (3a=3b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
A linear function with a non-zero coefficient of (x) is one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानने पर (3a-7=3b-7) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर (3a=3b) इसलिए (a=b) है। चरण 3: रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो फलन एकैकी होता है।
A quadratic function on the whole real domain is generally not one-one. चरण 1: (x-2-4x+6=(x-2)2+2) है। चरण 2: (f(1)=3) और (f(3)=3) जबकि \(1\neq3\)। चरण 3: पूरे वास्तविक प्रांत पर द्विघात फलन सामान्यतः एकैकी नहीं होता।
In the given domain, \(x-2\geq0\), so ((x-2)2) increases.
Step 3
Exam Tip
A quadratic function can be one-one on one side of its axis. चरण 1: (x-2-4x+5=(x-2)2+1) है। चरण 2: दिए गए प्रांत में \(x-2\geq0\) है इसलिए ((x-2)2) बढ़ता है। चरण 3: द्विघात फलन अपनी धुरी के एक ओर एकैकी हो सकता है।
In a modulus function, inputs at equal distance from the center may give the same output. चरण 1: (f(4)=|4-5|=1) है। चरण 2: (f(6)=|6-5|=1) है जबकि \(4\neq6\)। चरण 3: मापांक फलन में केंद्र से समान दूरी वाले दो आगत समान मान दे सकते हैं।
Hence (|x-5|=x-5), which is an increasing linear function.
Step 3
Exam Tip
A modulus function can become one-one on a suitable domain. चरण 1: \(x\geq5\) होने पर \(x-5\geq0\) है। चरण 2: इसलिए (|x-5|=x-5), जो बढ़ता हुआ रैखिक फलन है। चरण 3: मापांक फलन उचित प्रांत पर एकैकी बन सकता है।
Assuming (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a+1}{a-2}=\frac{b+1}{b-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
Cross-multiplication gives ((a+1)(b-2)=(b+1)(a-2)), and simplification gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
For rational functions, remove denominator-zero values before testing one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानने पर \(\frac{a+1}{a-2}=\frac{b+1}{b-2}\) मिलता है। चरण 2: गुणा करने पर ((a+1)(b-2)=(b+1)(a-2)) और सरल करने पर (a=b) मिलता है। चरण 3: भिन्न वाले फलनों में हर को शून्य करने वाले मान को हटाकर एकैकीपन जाँचें।
From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{2a-1}{a+3}=\frac{2b-1}{b+3}\).
Step 2
Why this answer is correct
Cross-multiplication gives (2ab+6a-b-3=2ab+6b-a-3), so (7a=7b).
Step 3
Exam Tip
Hence (a=b), so the function is one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) से \(\frac{2a-1}{a+3}=\frac{2b-1}{b+3}\) मिलेगा। चरण 2: क्रॉस गुणा करने पर (2ab+6a-b-3=2ab+6b-a-3), इसलिए (7a=7b)। चरण 3: अतः (a=b) और फलन एकैकी है।
If (a>b), then (a-3-b-3+2(a-b)>0), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(x^3+2x\) बढ़ने वाला फलन है। चरण 2: यदि (a>b) हो तो (a-3-b-3+2(a-b)>0), इसलिए (f(a)>f(b))। चरण 3: लगातार बढ़ता फलन एकैकी होता है।
Do not assume every cubic-looking expression is one-one. चरण 1: (f(0)=0) है। चरण 2: (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0)। चरण 3: घन रूप दिखने मात्र से फलन एकैकी मान लेना ठीक नहीं है।
(f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
In functions involving (x) and \(\frac{1}{x}\), check reciprocal pairs carefully. चरण 1: (f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) है। चरण 2: (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}) है जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। चरण 3: (x) और \(\frac{1}{x}\) वाले फलनों में ऐसे युग्म ध्यान से देखें।
For \(x\geq1\), \(x+\frac{1}{x}\) increases as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
Although \(\frac{1}{x}\) decreases, the total value increases on this domain.
Step 3
Exam Tip
Restricting the domain can turn a non-one-one function into a one-one function. चरण 1: \(x\geq1\) पर (x) बढ़ने से \(x+\frac{1}{x}\) भी बढ़ता है। चरण 2: इस प्रांत में \(\frac{1}{x}\) घटता है लेकिन कुल मान क्रम से बढ़ता रहता है। चरण 3: प्रांत सीमित करने से पहले वाला गैर एकैकी फलन एकैकी बन सकता है।
A. यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/It is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
(f(1)=2+3=5).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=2+3=5), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
A positive coefficient with a square does not make it one-one on all real numbers. चरण 1: (f(1)=2+3=5) है। चरण 2: (f(-1)=2+3=5) है जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: वर्ग के साथ धनात्मक गुणांक होने पर भी पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकीपन नहीं आता।
\(2x^2+3\) also increases on that domain, so different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
A square function becomes one-one when restricted to the non-negative half-domain. चरण 1: \(x\geq0\) पर \(x^2\) बढ़ता है। चरण 2: \(2x^2+3\) भी उसी प्रांत पर बढ़ता है इसलिए अलग (x) अलग मान देंगे। चरण 3: वर्ग फलन को धनात्मक आधे प्रांत पर रखने से एकैकीपन मिलता है।
A. क्योंकि \(\sin 0=\sin \pi\)/Because \(\sin 0=\sin \pi\)
Step 1
Concept
\(\sin 0=0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).
Step 3
Exam Tip
Periodic functions can give the same value for different inputs. चरण 1: \(\sin 0=0\) है। चरण 2: \(\sin \pi=0\) है जबकि \(0\neq\pi\)। चरण 3: आवर्ती फलनों में दो अलग आगतों पर समान मान मिल सकता है।
A decreasing function gives different outputs for different inputs.
Step 3
Exam Tip
A function need not increase to be one-one; strictly decreasing also works. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) घटने वाला फलन है। चरण 2: घटता हुआ फलन अलग आगतों को अलग मान देता है। चरण 3: एकैकीपन के लिए फलन का बढ़ना ही जरूरी नहीं, लगातार घटना भी पर्याप्त है।
If different inputs give the same value, the function is not one-one. चरण 1: \(\cos 0=1\) है। चरण 2: \(\cos 2\pi=1\) है जबकि \(0\neq2\pi\)। चरण 3: समान मान देने वाले अलग आगत मिल जाएँ तो फलन एकैकी नहीं है।
\(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to (x).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2.1)=2) and (f(2.8)=2), while \(2.1\neq2.8\).
Step 3
Exam Tip
A step-like function may give the same value for many inputs. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) किसी संख्या से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। चरण 2: (f(2.1)=2) और (f(2.8)=2) जबकि \(2.1\neq2.8\)। चरण 3: सीढ़ीनुमा फलन में एक ही मान कई आगतों पर आ सकता है।
The basic odd-power cubic function is one-one on integers. चरण 1: अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। चरण 2: यदि \(a^3=b^3\) हो तो (a=b) होगा। चरण 3: विषम घात का मूल घन फलन पूर्णांकों पर एकैकी है।
A square-based function is not one-one on the full integer domain. चरण 1: (1) और (-1) अलग पूर्णांक हैं। चरण 2: (f(1)=0) और (f(-1)=0) मिलता है। चरण 3: वर्ग आधारित फलन पूर्ण पूर्णांक प्रांत पर एकैकी नहीं होता।
From (f\(n_1\)=f\(n_2\)), we get \(2n_1+5=2n_2+5\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(n_1=n_2\).
Step 3
Exam Tip
A linear rule with non-zero coefficient is one-one on natural numbers. चरण 1: (f\(n_1\)=f\(n_2\)) से \(2n_1+5=2n_2+5\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(n_1=n_2\) है। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं पर शून्य से अलग गुणांक वाला रैखिक नियम एकैकी होता है।
The first, second, and third elements have (6,5,4) choices respectively.
Step 3
Exam Tip
The total number is \(6\cdot5\cdot4=120\). चरण 1: एकैकी फलन में प्रतिबिंब दोहराए नहीं जाते। चरण 2: पहले, दूसरे और तीसरे तत्व के लिए क्रमशः (6,5,4) चुनाव हैं। चरण 3: कुल संख्या \(6\cdot5\cdot4=120\) होगी।
A one-one function needs four distinct images for the four elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(B) has only three elements, so this is impossible.
Step 3
Exam Tip
If the domain is larger than the codomain, no one-one function can exist. चरण 1: एकैकी फलन के लिए (A) के चार तत्वों को चार अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: (B) में केवल तीन तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। चरण 3: प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो तो एकैकी फलन नहीं बन सकता।
For finite sets, no repetition of images means the function is one-one. चरण 1: (A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। चरण 2: प्रतिबिंब (a,c,e,b) सभी अलग हैं। चरण 3: सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एकैकी होता है।
In a one-one function, two different domain elements cannot have the same image. चरण 1: (2) और (4) अलग प्रांत तत्व हैं। चरण 2: दोनों का प्रतिबिंब (q) है इसलिए प्रतिबिंब दोहराया गया। चरण 3: एकैकी फलन में दो अलग प्रांत तत्वों का प्रतिबिंब समान नहीं हो सकता।
In a one-one function, distinct domain elements have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
The (8) elements of (A) give (8) distinct images.
Step 3
Exam Tip
Therefore the range has as many elements as the domain. चरण 1: एकैकी फलन में अलग प्रांत तत्वों के प्रतिबिंब अलग होते हैं। चरण 2: (A) के (8) तत्वों से (8) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। चरण 3: इसलिए परास में प्रांत जितने तत्व होंगे।
Two intersections mean two different (x)-values give the same (y)-value.
Step 3
Exam Tip
By the horizontal line test, such a function is not one-one. चरण 1: रेखा (y=4) एक ही निर्गत मान को दर्शाती है। चरण 2: दो अलग बिंदुओं पर कटना मतलब दो अलग (x) के लिए समान (y) मान मिलना। चरण 3: क्षैतिज रेखा परीक्षण से ऐसा फलन एकैकी नहीं होता।
Each horizontal line represents a fixed output value.
Step 2
Why this answer is correct
At most one intersection means that output comes from only one input.
Step 3
Exam Tip
This is the graphical test for one-one property. चरण 1: हर क्षैतिज रेखा एक निश्चित निर्गत मान बताती है। चरण 2: अधिकतम एक कटान का अर्थ है वह निर्गत केवल एक आगत से आया है। चरण 3: यह एकैकीपन का आलेखीय परीक्षण है।
From (g(f(a))=g(f(b))), first get (f(a)=f(b)), and then (a=b).
Step 3
Exam Tip
The composition of two one-one functions is one-one. चरण 1: (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)) मानें। चरण 2: (g(f(a))=g(f(b))) से पहले (f(a)=f(b)), फिर (a=b) मिलेगा। चरण 3: दो एकैकी फलनों का समिश्र भी एकैकी होता है।
Adding (1) keeps different input values different.
Step 3
Exam Tip
Adding a constant to an increasing exponential function does not change one-one property. चरण 1: \(2^x\) बढ़ने वाला फलन है। चरण 2: उसमें (1) जोड़ने से अलग आगतों के मान अलग ही रहते हैं। चरण 3: बढ़ते घातीय फलन में स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता।
(\left\(\frac{1}{2}\right\)^x) is a decreasing exponential function.
Step 2
Why this answer is correct
A decreasing function does not give the same value for two different inputs.
Step 3
Exam Tip
An exponential function with base between (0) and (1) is also one-one. चरण 1: (\left\(\frac{1}{2}\right\)^x) घटने वाला घातीय फलन है। चरण 2: घटते हुए फलन में दो अलग आगत समान मान नहीं देते। चरण 3: (0) और (1) के बीच आधार वाला घातीय फलन भी एकैकी होता है।
\(\log_3 x\) is increasing on the positive domain.
Step 2
Why this answer is correct
If \(\log_3 a=\log_3 b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
A logarithmic function is one-one on its proper domain. चरण 1: \(\log_3 x\) धनात्मक प्रांत पर बढ़ता है। चरण 2: \(\log_3 a=\log_3 b\) होने पर (a=b) मिलता है। चरण 3: लघुगणक फलन अपने सही प्रांत पर एकैकी होता है।
Simple odd-power functions are one-one on real numbers. चरण 1: \(x^5\) विषम घात वाला बढ़ता फलन है। चरण 2: यदि \(a^5=b^5\) हो तो (a=b) होता है। चरण 3: सरल विषम घात वाले फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी होते हैं।
Even-power functions are not one-one on the whole real domain. चरण 1: (1) और (-1) अलग वास्तविक संख्याएँ हैं। चरण 2: (16=(-1)6=1) इसलिए समान मान मिलता है। चरण 3: सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं होते।
In this domain, different (x) values give different \(x^6\) values.
Step 3
Exam Tip
An even-power function can be one-one on the non-negative half-domain. चरण 1: \(x\geq0\) पर \(x^6\) बढ़ता है। चरण 2: इस प्रांत में अलग (x) अलग \(x^6\) मान देते हैं। चरण 3: सम घात वाला फलन धनात्मक आधे प्रांत पर एकैकी हो सकता है।
(x-2) also gives different values for different (x).
Step 3
Exam Tip
Such a translation of an increasing function preserves one-one property. चरण 1: घनमूल फलन वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता है। चरण 2: (x-2) भी अलग (x) पर अलग मान देता है। चरण 3: बढ़ते फलन का ऐसा स्थानांतरण एकैकीपन बनाए रखता है।
If \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\), then (a-4=b-4), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
A square-root function is one-one on its proper domain. चरण 1: \(\sqrt{x-4}\) अपने प्रांत पर बढ़ता है। चरण 2: यदि \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\) हो तो (a-4=b-4), इसलिए (a=b)। चरण 3: वर्गमूल फलन सही प्रांत पर एकैकी होता है।
In modulus functions, inner expressions with opposite signs can give the same output. चरण 1: (f(0)=|-1|=1) है। चरण 2: (f(1)=|1|=1) है जबकि \(0\neq1\)। चरण 3: मापांक में अंदर की मात्रा विपरीत चिन्ह वाली होकर भी समान मान दे सकती है।
Hence (f(x)=2x-1), which is linear and increasing.
Step 3
Exam Tip
Restricting a modulus function to one side of its center can make it one-one. चरण 1: \(x\geq\frac{1}{2}\) होने पर \(2x-1\geq0\) है। चरण 2: इसलिए (f(x)=2x-1), जो रैखिक और बढ़ता है। चरण 3: मापांक फलन को केंद्र के एक ओर सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है।
A quadratic function can give equal values on both sides of its axis. चरण 1: (f(0)=1) है। चरण 2: (f(-1)=1-1+1=1) है जबकि \(0\neq-1\)। चरण 3: द्विघात फलन के लिए धुरी के दोनों ओर समान मान मिल सकते हैं।
In the given domain, \(x+\frac{1}{2}\geq0\), so the squared part increases.
Step 3
Exam Tip
A quadratic becomes one-one on one side of its axis. चरण 1: (x-2+x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2+\frac{3}{4}) है। चरण 2: दिए गए प्रांत में \(x+\frac{1}{2}\geq0\), इसलिए वर्ग भाग बढ़ता है। चरण 3: धुरी के एक ओर द्विघात फलन एकैकी हो जाता है।
A linear function with a negative coefficient can also be one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) से (5-2a=5-2b) मिलता है। चरण 2: इससे (-2a=-2b) और (a=b) मिलता है। चरण 3: ऋणात्मक गुणांक वाला रैखिक फलन भी एकैकी हो सकता है।
To disprove one-one, show equal outputs for different inputs. चरण 1: स्थिर फलन हर आगत पर (7) देता है। चरण 2: (f(1)=7) और (f(2)=7) जबकि \(1\neq2\)। चरण 3: एकैकीपन नकारने के लिए अलग आगतों पर समान मान दिखाएँ।
A one-one function needs (5) distinct images for the (5) elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (B) must have at least (5) elements.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, the codomain cannot be smaller than the domain for a one-one function. चरण 1: एकैकी फलन में (A) के (5) तत्वों के लिए (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए। चरण 2: इसलिए (B) में कम से कम (5) तत्व होने जरूरी हैं। चरण 3: सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन के लिए सहप्रांत छोटा नहीं हो सकता।
From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a+2}{3}=\frac{b+2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (a+2=b+2), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
A linear rule with non-zero coefficient is one-one on rational numbers. चरण 1: (f(a)=f(b)) से \(\frac{a+2}{3}=\frac{b+2}{3}\) मिलता है। चरण 2: इससे (a+2=b+2) और (a=b) है। चरण 3: परिमेय संख्याओं पर शून्य से अलग गुणांक वाला रैखिक नियम एकैकी होता है।
The square function is not one-one on the whole rational domain. चरण 1: (1) और (-1) दोनों परिमेय हैं। चरण 2: (f(1)=1) और (f(-1)=1) जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: वर्ग फलन पूरे परिमेय प्रांत पर एकैकी नहीं होता।
On this domain, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
The square function is also one-one on the non-positive half-domain. चरण 1: दिए गए प्रांत में सभी \(x\leq0\) हैं। चरण 2: इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। चरण 3: वर्ग फलन ऋणात्मक आधे प्रांत पर भी एकैकी होता है।
A function with only even powers can give the same value for (x) and (-x). चरण 1: (f(1)=1+1=2) है। चरण 2: (f(-1)=1+1=2) है जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: केवल सम घातों वाले फलन में (x) और (-x) से समान मान मिल सकता है।
On this part, as (x) increases, ((x-1)2) decreases and different (x) values give different outputs.
Step 3
Exam Tip
A quadratic function can be one-one when restricted to one side of its axis. चरण 1: दिए गए प्रांत में \(x\leq1\) है इसलिए \(x-1\leq0\) रहता है। चरण 2: इस भाग पर (x) बढ़ने पर ((x-1)2) घटता है और अलग (x) अलग मान देते हैं। चरण 3: द्विघात फलन धुरी के केवल एक ओर सीमित हो तो एकैकी हो सकता है।
To show that a function is not one-one, find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
In fractional functions, reciprocal pairs can often give the same value. चरण 1: एकैकी नहीं दिखाने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान खोजें। चरण 2: (f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}), जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। चरण 3: भिन्न वाले फलनों में उल्टे युग्म अक्सर समान मान दे सकते हैं।
The value of \(x^3+x+2\) increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
If (a>b), then (a-3-b-3+(a-b)>0), so (f(a)>f(b)).
Step 3
Exam Tip
A strictly increasing function is one-one. चरण 1: \(x^3+x+2\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। चरण 2: यदि (a>b) हो तो (a-3-b-3+(a-b)>0), इसलिए (f(a)>f(b))। चरण 3: लगातार बढ़ता हुआ फलन एकैकी होता है।
