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यहाँ \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) है। अतः \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+3+2\sqrt{2}\sqrt{3}=5+2\sqrt{6}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में मध्य पद \(2ab\) का गुणांक 2 छूट गया है। परीक्षा टिप: दो करणी पदों के वर्ग में \(a^2+b^2+2ab\) का मध्य पद अवश्य लिखें। / Here, \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\). Therefore, \(x^2=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+3+2\sqrt{2}\sqrt{3}=5+2\sqrt{6}\). Hence, option A is correct. In option B, the coefficient 2 in the middle term \(2ab\) has been omitted. Exam tip: When squaring two surds, always include the middle term \(2ab\).
A. शासकों का जनता द्वारा चुनाव/Election of rulers by the people
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र की न्यूनतम परिभाषा शासकों के चुनाव पर आधारित है। परीक्षा में मुख्य कसौटी को जनता और चुनाव से जोड़ें। / The minimal definition of democracy is based on election of rulers. Exam tip: connect the main test with people and elections.
\(72=36\times2\) और \(36\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\)। अतः सही विकल्प \(6\sqrt{2}\) है। \(3\sqrt{2}\) लेने पर उसका वर्ग \(18\) होगा, \(72\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(72=36\times2\), and \(36\) is a perfect square, \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\). Therefore, \(6\sqrt{2}\) is correct. For example, \(3\sqrt{2}\) squares to \(18\), not \(72\). Exam tip: to simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
B. लोकतांत्रिक विकल्प वास्तविक नहीं है/Democratic choice is not real
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में चुनाव तभी सार्थक हैं जब मतदाता स्वतंत्र विकल्प चुन सकें। परीक्षा में चुनाव के साथ वास्तविक विकल्प भी लिखें। / Elections are meaningful in democracy only when voters can choose freely. Exam tip: write real choice along with elections.
दिया है कि \(a=\sqrt{5}-2\)। अतः \(a+2=\sqrt{5}\) होगा। इसलिए \((a+2)^2=(\sqrt{5})^2=5\)। विकल्प 10 तब मिलता यदि \(\sqrt{5}\) का वर्ग गलत तरीके से 10 माना जाए। परीक्षा टिप: वर्गमूल का वर्ग लेते समय \((\sqrt{x})^2=x\) का नियम लगाएँ। / Given \(a=\sqrt{5}-2\), adding 2 gives \(a+2=\sqrt{5}\). Therefore, \((a+2)^2=(\sqrt{5})^2=5\). Option 10 would result from incorrectly evaluating the square of \(\sqrt{5}\). Exam tip: use the identity \((\sqrt{x})^2=x\).
A. क्योंकि इससे गैर चुने हुए समूह शासन नहीं चलाते/Because unelected groups do not run the government
Explanation
Simple Explanation
यदि वास्तविक निर्णय गैर चुने हुए लोग लें तो जनता का चुनाव कमजोर हो जाता है। परीक्षा में चुनाव और निर्णय शक्ति को साथ समझें। / If real decisions are taken by unelected people public choice becomes weak. Exam tip: understand elections and decision power together.
\(\sqrt{14}\) अपरिमेय है, क्योंकि 14 पूर्ण वर्ग नहीं है। किसी पूर्णांक का वर्गमूल तभी परिमेय होता है जब वह पूर्णांक पूर्ण वर्ग हो। \(\frac{17}{19}\) परिमेय है, \(0.090909\ldots\) आवर्ती दशमलव है इसलिए परिमेय है, और \(-8\) पूर्णांक होने के कारण परिमेय है। परीक्षा टिप: अनंत आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं, जबकि अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल अपरिमेय होता है। / \(\sqrt{14}\) is irrational because 14 is not a perfect square. The square root of an integer is rational only when that integer is a perfect square. \(\frac{17}{19}\) is rational, \(0.090909\ldots\) is a recurring decimal and hence rational, and \(-8\) is an integer, so it is rational. Exam tip: Recurring decimals are always rational, whereas the square root of a non-perfect square is irrational.
समान वोट मूल्य नागरिकों की राजनीतिक समानता दिखाता है। परीक्षा में इसे केवल मतदान नहीं बल्कि समान अधिकार मानें। / Equal vote value shows political equality of citizens. Exam tip: treat it as equal right not only voting.
\(18=9\times2\) होने से \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) तथा \(50=25\times2\) होने से \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) होता है। अतः \(\sqrt{18}+\sqrt{50}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}\)। विकल्प \(7\sqrt{2}\) तब मिलता यदि गुणांकों का योग गलत किया जाता। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहचानकर उसे बाहर निकालें, फिर समान मूल वाले पदों को जोड़ें। / Since \(18=9\times2\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\); and since \(50=25\times2\), \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{18}+\sqrt{50}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}\). The option \(7\sqrt{2}\) would result from adding the coefficients incorrectly. Exam tip: first take out perfect-square factors from surds, then combine like surds.
B. क्योंकि जनता का अर्थ व्यापक नागरिक समुदाय है/Because people means the broad community of citizens
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में जनता का अर्थ व्यापक नागरिक भागीदारी से है। परीक्षा में जनता को छोटे विशेषाधिकार प्राप्त समूह तक सीमित न करें। / In democracy people means broad citizen participation. Exam tip: do not limit people to a small privileged group.
यहाँ \(x=\sqrt{7}\) है, इसलिए \(\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)। अतः \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{7}=\frac{8\sqrt{7}}{7}\)। शून्येतर परिमेय संख्या \(\frac{8}{7}\) और अपरिमेय संख्या \(\sqrt{7}\) का गुणनफल अपरिमेय होता है, इसलिए सही उत्तर अपरिमेय है। यह पूर्णांक या प्राकृतिक संख्या नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर यदि पूर्ण वर्ग न हो, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है। / Here \(x=\sqrt{7}\), so \(\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\). Hence, \(x+\frac{1}{x}=\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{7}=\frac{8\sqrt{7}}{7}\). The product of a non-zero rational number, \(\frac{8}{7}\), and the irrational number \(\sqrt{7}\) is irrational. Therefore, the expression is not an integer or a natural number. Exam tip: the square root of a non-perfect square is irrational.
A. सरकार को बदलने की जनता की क्षमता/People's ability to change the government
Explanation
Simple Explanation
नियमित चुनाव जनता को सरकार बदलने या फिर चुनने का अवसर देते हैं। परीक्षा में नियमितता को जवाबदेही से जोड़ें। / Regular elections give people the chance to change or re elect government. Exam tip: connect regularity with accountability.
विकल्प C में दशमलव के बाद 1 के बीच आने वाले शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित अंक-समूह बार-बार नहीं दोहराता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव प्रसार है, अतः यह अपरिमेय संख्या है। विकल्प A और B अनंत आवर्ती दशमलव हैं, इसलिए परिमेय हैं; विकल्प D सांत दशमलव है, इसलिए भी परिमेय है। परीक्षा टिप: सांत या आवर्ती दशमलव हमेशा परिमेय होते हैं। / In option C, the number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block of digits repeats. Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating; therefore, it is irrational. Options A and B are non-terminating recurring decimals, so they are rational, while option D is a terminating decimal and is also rational. Exam tip: Every terminating or recurring decimal represents a rational number.
B. क्योंकि वास्तविक चुनावी प्रतियोगिता समाप्त होती है/Because real electoral competition ends
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में जनता को विकल्पों की स्वतंत्र जानकारी मिलनी चाहिए। परीक्षा में विपक्ष की स्वतंत्रता को निष्पक्ष चुनाव से जोड़ें। / In democracy people must get free information about choices. Exam tip: link opposition freedom with fair elections.
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\)। अतः \(a+b=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\) होगा। \(2\sqrt{3}\) केवल \(b\) का सरल रूप है, योग नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को जोड़ने से पहले उन्हें समान सरल मूल रूप में लिखें। / \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\). Therefore, \(a+b=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\). \(2\sqrt{3}\) is only the simplified value of \(b\), not the sum. Exam tip: simplify surds to like radicals before adding them.
A. शासक जनता से वैधता प्राप्त करते हैं/Rulers receive legitimacy from people
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में शासक जनता की सहमति से वैध बनते हैं। परीक्षा में सत्ता स्रोत की दिशा जनता से शासक तक याद रखें। / In democracy rulers become legitimate through people's consent. Exam tip: remember the direction of power from people to rulers.
दिया है \(\sqrt{x}=9\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(x=9^2=81\) मिलता है, इसलिए सही विकल्प 81 है। 9 केवल \(\sqrt{x}\) का मान है, \(x\) का नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले समीकरण में वर्ग करने के बाद मूल मान को जाँच लें। / Given \(\sqrt{x}=9\), squaring both sides gives \(x=9^2=81\). Hence, 81 is correct. The number 9 is the value of \(\sqrt{x}\), not of \(x\). Exam tip: After squaring a square-root equation, check the value in the original equation.
लोकतांत्रिक चुनाव में मतदान से परिणाम तक निष्पक्षता जरूरी है। परीक्षा में पूरी चुनाव प्रक्रिया को जांचें। / A democratic election needs fairness from voting to result. Exam tip: check the whole election process.
\(98=49\times2\) और \(8=4\times2\) हैं। इसलिए \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)। अतः \(\sqrt{98}-\sqrt{8}=7\sqrt{2}-2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\), इसलिए विकल्प C सही है। \(4\sqrt{2}\) तब मिलता यदि गुणांकों का अंतर 4 होता। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर से पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालकर समान मूल पदों को घटाइए। / Since \(98=49\times2\) and \(8=4\times2\), \(\sqrt{98}=7\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\). Therefore, \(\sqrt{98}-\sqrt{8}=7\sqrt{2}-2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\), so option C is correct. \(4\sqrt{2}\) would result only if the coefficients differed by 4. Exam tip: first take perfect-square factors out of each surd, then subtract like surd terms.
A. क्योंकि बहुमत को भी कानून और अधिकारों की सीमा माननी होती है/Because majority must also respect law and rights
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में बहुमत महत्वपूर्ण है पर वह कानून से ऊपर नहीं होता। परीक्षा में बहुमत और संवैधानिक सीमा साथ लिखें। / Majority is important in democracy but it is not above law. Exam tip: write majority with constitutional limits.
D. वंश या बल से मिली सत्ता/Power from heredity or force
Explanation
Simple Explanation
चुने हुए शासक का अर्थ है सत्ता जन्म या बल से तय नहीं होती। परीक्षा में परिभाषा का नकारात्मक अर्थ भी समझें। / Elected rulers means power is not decided by birth or force. Exam tip: understand the negative meaning of the definition.
दिया है \(x=\sqrt{2}-1\)। अतः \(x(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)\)। यह \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) के रूप में है, इसलिए मान \((\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1\) होगा। विकल्प 2 तब मिलता यदि \(1^2\) घटाना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: ऐसे व्यंजकों में संयुग्म पदों को पहचानकर वर्गों के अंतर का सूत्र लगाएँ। / Given \(x=\sqrt{2}-1\), we get \(x(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)\). This matches \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), so its value is \((\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1\). Option 2 would result from forgetting to subtract \(1^2\). Exam tip: identify conjugate factors and use the difference-of-squares identity.
A. पारदर्शिता और जवाबदेही/Transparency and accountability
Explanation
Simple Explanation
सूचना के बिना जनता सरकार को परख नहीं सकती। परीक्षा में पारदर्शिता को जवाबदेही की शर्त समझें। / Without information people cannot judge the government. Exam tip: treat transparency as a condition of accountability.
\(\frac{2}{7}\) दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में है और \(-4=\frac{-4}{1}\) लिखा जा सकता है; इसलिए विकल्प B की दोनों संख्याएँ परिमेय हैं। विकल्प D में \(\sqrt{49}=7\) परिमेय है, लेकिन \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। परीक्षा टिप: पूर्णांक को हमेशा हर 1 वाली भिन्न के रूप में लिखकर उसकी परिमेयता जाँचें। / \(\frac{2}{7}\) is a ratio of integers, and \(-4\) can be written as \(\frac{-4}{1}\); therefore, both numbers in option B are rational. In option D, \(\sqrt{49}=7\) is rational, but \(\sqrt{2}\) is irrational. Exam tip: Write an integer with denominator 1 to check whether it is rational.
A. हर नागरिक रोज सभी निर्णय सीधे नहीं ले सकता/Every citizen cannot directly take all decisions daily
Explanation
Simple Explanation
बड़े समाज में जनता प्रतिनिधि चुनकर शासन में भाग लेती है। परीक्षा में प्रतिनिधित्व को लोकतंत्र की व्यावहारिक पद्धति समझें। / In a large society people participate in government by electing representatives. Exam tip: understand representation as a practical method of democracy.
\(45=9\times5\) और \(80=16\times5\) हैं। इसलिए \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) तथा \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)। अतः \(\sqrt{45}+\sqrt{80}=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}\)। \(9\sqrt{5}\) जैसी राशि तब मिल सकती है जब वर्गमूलों को गलत तरीके से सरल किया जाए। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर पूर्ण वर्ग गुणनखंड, जैसे \(9\) या \(16\), पहले अलग करें। / Since \(45=9\times5\) and \(80=16\times5\), \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\) and \(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\). Therefore, \(\sqrt{45}+\sqrt{80}=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}\). A result such as \(9\sqrt{5}\) can arise from simplifying the square roots incorrectly. Exam tip: first factor out perfect squares, such as \(9\) or \(16\), from under each radical.
C. नाम लोकतांत्रिक हो सकता है पर परिभाषा पूरी नहीं होती/The name may be democratic but the definition is not fulfilled
Explanation
Simple Explanation
लोकतांत्रिक दावा पर्याप्त नहीं है वास्तविक चुनाव जरूरी हैं। परीक्षा में नाम और व्यवहार का अंतर समझें। / A democratic claim is not enough real elections are necessary. Exam tip: understand the difference between name and practice.
दिया है कि \(x=\sqrt{11}\)। अतः \(x^2=(\sqrt{11})^2=11\)। इसलिए \(x^2+5=11+5=16\), इसलिए सही विकल्प B है। \(121\) तब मिलता यदि 11 का वर्ग किया जाता, जबकि यहाँ \(\sqrt{11}\) का वर्ग करना है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का वर्ग लेने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। / Given \(x=\sqrt{11}\), we get \(x^2=(\sqrt{11})^2=11\). Therefore, \(x^2+5=11+5=16\), so option B is correct. \(121\) would result from squaring 11 itself, but here \(\sqrt{11}\) is being squared. Exam tip: squaring a square root gives the original non-negative number.
A. क्योंकि लोकतंत्र संख्या के साथ अधिकारों को भी महत्व देता है/Because democracy values rights along with numbers
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में बहुमत निर्णय करता है पर अधिकार सबके रहते हैं। परीक्षा में बहुमत और अधिकार का संतुलन याद रखें। / In democracy majority decides but rights remain for all. Exam tip: remember the balance between majority and rights.
\(\sqrt{2}\approx 1.414\), \(\frac{3}{2}=1.5\) और \(\sqrt{3}\approx 1.732\) हैं। ये तीनों संख्याएँ 1 से बड़ी हैं, इसलिए सबसे छोटी संख्या 1 है। \(\sqrt{2}\) निकटतम भ्रामक विकल्प हो सकता है, पर उसका मान भी 1 से अधिक है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना के लिए उनके लगभग दशमलव मान लिखें। / \(\sqrt{2}\approx 1.414\), \(\frac{3}{2}=1.5\), and \(\sqrt{3}\approx 1.732\). All three are greater than 1, so 1 is the smallest number. \(\sqrt{2}\) may seem like the closest distractor, but it is still greater than 1. Exam tip: use approximate decimal values to compare square roots quickly.
C. जब एक ही पक्ष को जीतने योग्य बनाया जाए/When only one side is made capable of winning
Explanation
Simple Explanation
यदि प्रतियोगिता असमान हो तो चुनाव जनता की वास्तविक पसंद नहीं दिखाते। परीक्षा में निष्पक्ष प्रतियोगिता को अनिवार्य मानें। / If competition is unequal elections do not show people's real choice. Exam tip: treat fair competition as necessary.
दिया है कि \(a=\sqrt{8}\)। अतः \(a^2=(\sqrt{8})^2=8\), क्योंकि किसी धनात्मक संख्या के मुख्य वर्गमूल का वर्ग वही संख्या होता है। विकल्प 4, \(\sqrt{8}\) का वर्ग नहीं है; 4 वास्तव में \(\sqrt{16}\) का मान है। परीक्षा टिप: \((\sqrt{x})^2=x\) का प्रयोग करते समय मूलांक \(x\) को सीधे लिखें। / Given \(a=\sqrt{8}\), we get \(a^2=(\sqrt{8})^2=8\). Squaring the principal square root of a positive number gives back the number itself. Option 4 is not the square of \(\sqrt{8}\); it is the value of \(\sqrt{16}\). Exam tip: use \((\sqrt{x})^2=x\) and write the radicand directly.
A. जनता द्वारा प्रतिनिधियों को शासन के लिए दिया गया अधिकार/Authority given by people to representatives for governing
Explanation
Simple Explanation
जनादेश चुनाव से मिलता है और प्रतिनिधियों को जनता की ओर से निर्णय लेने की वैधता देता है। परीक्षा में जनादेश को चुनाव से जोड़ें। / Mandate comes through elections and gives representatives legitimacy to decide for people. Exam tip: link mandate with elections.
\(200=100\times2\) और \(100\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt{2}=10\sqrt{2}\)। विकल्प \(5\sqrt{2}\) का वर्ग \(50\) होता है, इसलिए वह \(\sqrt{200}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड पहचानें। / Since \(200=100\times2\) and \(100\) is a perfect square, \(\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt{2}=10\sqrt{2}\). The option \(5\sqrt{2}\) squares to \(50\), so it is not equal to \(\sqrt{200}\). Exam tip: To simplify a surd, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
A. क्योंकि जनता सरकार को फिर परख नहीं सकती/Because people cannot judge the government again
Explanation
Simple Explanation
अगला चुनाव जनता को सरकार बदलने या फिर चुनने का अवसर देता है। परीक्षा में आवधिक चुनाव को लोकतांत्रिक नियंत्रण समझें। / The next election gives people the chance to change or re elect government. Exam tip: treat periodic elections as democratic control.
A. क्योंकि उसी से चुनाव जनता की असली पसंद दिखाते हैं/Because only then elections show people's real choice
Explanation
Simple Explanation
स्वतंत्र विचार के बिना वोट स्वतंत्र पसंद नहीं दिखाता। परीक्षा में राय की स्वतंत्रता को मतदान से जोड़ें। / Without free thought a vote does not show free choice. Exam tip: connect freedom of opinion with voting.
यहाँ दोनों पद समान करणी हैं: \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{5}\)। इसलिए उनके गुणांक जोड़े जाते हैं: \(1\sqrt{5}+1\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)। अतः सही उत्तर \(2\sqrt{5}\) है। \(\sqrt{10}\) गलत है, क्योंकि \(\sqrt{5}+\sqrt{5}\) को \(\sqrt{5+5}\) नहीं लिखा जा सकता। परीक्षा टिप: केवल समान करणी वाले पदों के गुणांक जोड़े या घटाए जाते हैं। / Both terms are like surds: \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{5}\). Hence, add their coefficients: \(1\sqrt{5}+1\sqrt{5}=2\sqrt{5}\). Therefore, the correct answer is \(2\sqrt{5}\). \(\sqrt{10}\) is incorrect because \(\sqrt{5}+\sqrt{5}\) cannot be written as \(\sqrt{5+5}\). Exam tip: add or subtract only the coefficients of like surds.
A. लोकतंत्र में सत्ता सहमति से और तानाशाही में प्रायः डर से टिकती है/In democracy power rests on consent while dictatorship often rests on fear
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र जनता की सहमति पर आधारित है। परीक्षा में सत्ता के आधार की तुलना करें। / Democracy is based on people's consent. Exam tip: compare the basis of power.
\(\frac{9}{32}\) के हर में \(32=2^5\) है। सरलतम रूप में किसी परिमेय संख्या का दशमलव तभी समाप्त होता है जब उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल \(2\) और/या \(5\) हों। इसलिए \(\frac{9}{32}=0.28125\) समाप्त होने वाला दशमलव है। \(\frac{5}{18}\) के हर में \(3\), \(\frac{11}{27}\) के हर में \(3\), और \(\frac{7}{21}=\frac{1}{3}\) में भी \(3\) आता है, इसलिए वे असांत आवर्ती दशमलव हैं। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरलतम रूप में लिखकर हर का गुणनखंडन करें। / For \(\frac{9}{32}\), the denominator is \(32=2^5\). In lowest form, a rational number has a terminating decimal only when its denominator has prime factors \(2\) and/or \(5\) only. Hence, \(\frac{9}{32}=0.28125\) terminates. The denominators of \(\frac{5}{18}\) and \(\frac{11}{27}\) contain the factor \(3\), and \(\frac{7}{21}=\frac{1}{3}\) also has a factor \(3\) in its reduced denominator, so they are non-terminating recurring decimals. Exam tip: Reduce the fraction first, then factorise its denominator.
B. वास्तविक निर्णय शक्ति चुने प्रतिनिधियों के पास नहीं है/Real decision power is not with elected representatives
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में अंतिम राजनीतिक निर्णय चुने हुए प्रतिनिधियों के हाथ में होने चाहिए। परीक्षा में औपचारिक चुनाव और वास्तविक सत्ता अलग करें। / In democracy final political decisions should rest with elected representatives. Exam tip: separate formal elections from real power.
13 पूर्ण वर्ग नहीं है। किसी ऐसी प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल, जो पूर्ण वर्ग न हो, अपरिमेय होता है। अतः \(x=\sqrt{13}\) अपरिमेय संख्या है। \(\sqrt{16}=4\) जैसे पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है, लेकिन \(\sqrt{13}\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर की संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह पहले जाँचें। / 13 is not a perfect square. The square root of a natural number that is not a perfect square is irrational. Therefore, \(x=\sqrt{13}\) is an irrational number. In contrast, the square root of a perfect square, such as \(\sqrt{16}=4\), is an integer. Exam tip: first check whether the number under the square root is a perfect square.
A. यह राजनीतिक समुदाय में हर वयस्क को समान सदस्य मानता है/It treats every adult as an equal member of the political community
Explanation
Simple Explanation
समान मताधिकार नागरिकों की समान राजनीतिक स्थिति दिखाता है। परीक्षा में इसे लोकतंत्र की बुनियादी समानता समझें। / Equal franchise shows equal political status of citizens. Exam tip: understand it as basic equality of democracy.
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। अतः \(\sqrt{27}\times\sqrt{3}=\sqrt{81}=9\)। \(27\) मूल के भीतर का गुणनफल है, उसका वर्गमूल नहीं। परीक्षा टिप: पहले मूलों को एक ही वर्गमूल में लिखकर पूर्ण वर्ग पहचानें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Therefore, \(\sqrt{27}\times\sqrt{3}=\sqrt{81}=9\). The number \(27\) is not the square root of \(81\). Exam tip: Combine the radicals first and then look for a perfect square.
लोकतंत्र में आर्थिक स्थिति के आधार पर नागरिकों को मताधिकार से बाहर नहीं किया जाना चाहिए। परीक्षा में बहिष्कार को लोकतंत्र विरोधी मानें। / In democracy citizens should not be excluded from voting due to economic status. Exam tip: treat exclusion as anti democratic.
\(b=\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}\) और \(a=\sqrt{6}\) है। अतः \(b-a=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}\)। \(2\sqrt{6}\) केवल \(b\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों को घटाने से पहले उन्हें समान मूलांक वाले सरल रूप में लिखें। / \(b=\sqrt{24}=\sqrt{4\times6}=2\sqrt{6}\), while \(a=\sqrt{6}\). Therefore, \(b-a=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}\). \(2\sqrt{6}\) is the value of \(b\), not the difference. Exam tip: simplify surds to the same radicand before subtracting them.
A. शांतिपूर्ण सत्ता परिवर्तन/Peaceful transfer of power
Explanation
Simple Explanation
हार स्वीकार करना जनता के निर्णय और शांतिपूर्ण सत्ता परिवर्तन को मान्यता देता है। परीक्षा में चुनाव परिणाम की स्वीकृति को लोकतंत्र से जोड़ें। / Accepting defeat recognises people's decision and peaceful power transfer. Exam tip: connect acceptance of result with democracy.
B. परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं/Rational numbers and irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक संख्याओं का समुच्चय परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के संघ से बनता है: \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}\)। परिमेय संख्याएँ \(p/q\) के रूप में लिखी जा सकती हैं, जबकि अपरिमेय संख्याएँ ऐसी भिन्न के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं। पूर्णांक, प्राकृतिक और पूर्ण संख्याएँ सभी परिमेय संख्याओं के ही उपसमुच्चय हैं, इसलिए वे अकेले वास्तविक संख्याओं का पूरा समुच्चय नहीं बनाते। परीक्षा टिप: \(\sqrt{2}\) और \(\pi\) जैसे अपरिमेय उदाहरणों को याद रखें। / The set of real numbers is the union of rational and irrational numbers: \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}\). Rational numbers can be written in the form \(p/q\), whereas irrational numbers cannot be written in this form. Integers, natural numbers, and whole numbers are all subsets of rational numbers, so they do not alone cover all real numbers. Exam tip: remember irrational examples such as \(\sqrt{2}\) and \(\pi\).
A. किसी देश के दावे को वास्तविक चुनावी प्रक्रिया से परखना/Testing a country's claim through its real electoral process
Explanation
Simple Explanation
लोकतांत्रिक दावा तभी सही है जब शासक सच में जनता से चुने जाएं। परीक्षा में दावा और वास्तविकता में अंतर करें। / A democratic claim is correct only when rulers are truly elected by people. Exam tip: distinguish claim and reality.
धनात्मक संख्याओं के लिए \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{12}\times\sqrt{75}=\sqrt{12\times75}=\sqrt{900}=30\)। विकल्प 15 इसलिए गलत है क्योंकि \(\sqrt{900}\) का मान 30 होता है, 15 नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूलों का गुणन करने से पहले संख्याओं को एक ही वर्गमूल के भीतर लिखकर पूर्ण वर्ग पहचानें। / For positive numbers, \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\). Hence, \(\sqrt{12}\times\sqrt{75}=\sqrt{12\times75}=\sqrt{900}=30\). Option 15 is incorrect because \(\sqrt{900}=30\), not 15. Exam tip: Combine surds under one square root and look for a perfect square.
A. मतदान होता है पर विपक्ष को डराकर चुप कराया जाता है/Voting happens but opposition is silenced by fear
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डर और दमन वास्तविक विकल्प को कमजोर करते हैं। परीक्षा में रूप और सार का अंतर समझें। / Fear and repression weaken real choice. Exam tip: understand the difference between form and substance.
