Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
आच्छादी फलन में (B) के हर अवयव को पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every element of (B) needs a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में केवल (4) अवयव हैं, जबकि (B) में (6) अवयव हैं, इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। / (A) has only (4) elements while (B) has (6), so covering all elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
(|A|<|B|) हो तो आच्छादी फलनों की संख्या (0) होती है। / If (|A|<|B|), the number of onto functions is (0).
कुल फलनों की संख्या \(2^4=16\) है। / The total number of functions is \(2^4=16\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी नहीं होने वाले दो फलन हैं, जिनमें सभी अवयव केवल (0) या केवल (1) पर जाते हैं। / The two non-onto functions send all elements only to (0) or only to (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे। / Hence the number of onto functions is (16-2=14).
(x=0) पर मान (0) मिलता है। / At (x=0), the value (0) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
\(0\le y<1\) के लिए समीकरण \(\frac{x^2}{1+x^2}=y\) का हल \(x^2=\frac{y}{1-y}\) मिलता है। / For \(0\le y<1\), solving \(\frac{x^2}{1+x^2}=y\) gives \(x^2=\frac{y}{1-y}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ([0,1)) का हर मान प्राप्त होता है। / Hence every value in ([0,1)) is obtained.
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता/Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) में हर वास्तविक (x) के लिए हर हमेशा अंश से बड़ा होता है। / In \(\frac{x^2}{1+x^2}\), the denominator is always larger than the numerator for real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए मान (1) से छोटा रहता है और (1) कभी नहीं मिलता। / Therefore the value stays below (1), so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
बंद सहप्रांत में सिरा छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If an endpoint of a closed codomain is missed, the function is not onto.
A. क्योंकि (1) नहीं मिलता/Because (1) is not obtained
Step 1
Concept
(|x+3|+2) का न्यूनतम मान (2) है। / The minimum value of (|x+3|+2) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) में (1) है, पर फलन (1) नहीं दे सकता। / The codomain \([0,\infty\)) contains (1), but the function cannot give (1).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में न्यूनतम परास से छोटे मान हों तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If the codomain contains values below the range minimum, the function is not onto.
A. यह लगातार बढ़ता है और सभी वास्तविक दिशाओं में जाता है/It is increasing and extends in both real directions
Step 1
Concept
(f'(x)=3x-2+2>0), इसलिए फलन बढ़ता है। / (f'(x)=3x-2+2>0), so the function is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty) और \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty)। / As \(x\to\infty\), (f(x)\to\infty), and as \(x\to-\infty\), (f(x)\to-\infty).
Step 3
Exam Tip
ऐसा सतत बढ़ता फलन \(\mathbb{R}\) को पूरा ढकता है। / Such a continuous increasing function covers all of \(\mathbb{R}\).
