यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+12) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x+12), which statement about (f) is correct?
#onto function
#linear function
#preimage
#real numbers
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह स्थिर फलन है / It is a constant function
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
आच्छादी होने के लिए सहप्रांत का हर वास्तविक मान मिलना चाहिए। / For onto nature, every real value in the codomain must be obtained.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए (x=y-12) रखने पर (f(x)=y) मिल जाता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take (x=y-12), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
(x) में केवल जोड़ या घटाव वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear shift function on \(\mathbb{R}\) is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+6) है, तो (f(x)=y) के लिए (x) का सही मान क्या होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-3x+6), what is the correct value of (x) for (f(x)=y)?
#linear equation
#onto proof
#preimage
#class 12
A \(x=\frac{6-y}{3}\)
B \(x=\frac{y-6}{3}\)
C \(x=3y+6\)
D \(x=y-6\)
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Correct Answer
A. \(x=\frac{6-y}{3}\)
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर (-3x+6=y) मिलता है। / Put (f(x)=y), giving (-3x+6=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (-3x=y-6), इसलिए \(x=\frac{6-y}{3}\)। / Then (-3x=y-6), so \(x=\frac{6-y}{3}\).
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक (x) मिल रहा है, इसलिए फलन आच्छादी है। / Since a real (x) exists for every real (y), the function is onto.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=(x-1)2 +4) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to[4,\infty\)), (f(x)=(x-1)2 +4), choose the correct option.
#quadratic function
#onto
#range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (3) मान देता है / It gives value (3)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x-1)2 \ge0), इसलिए (f(x)\ge4)। / ((x-1)2 \ge0), so (f(x)\ge4).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge4\) के लिए \(x=1+\sqrt{y-4}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\ge4\), take \(x=1+\sqrt{y-4}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का न्यूनतम मान और सहप्रांत बराबर हों तो आच्छादीपन आसानी से दिखता है। / When the minimum value matches the codomain start, onto nature is easy to verify.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=(x-2)2 +1) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=(x-2)2 +1), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#minimum value
#codomain
A क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
D क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
Step 1
Concept
((x-2)2 +1) का न्यूनतम मान (1) है। / The minimum value of ((x-2)2 +1) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \([0,\infty\)) में (0) है, पर फलन (0) नहीं दे सकता। / The codomain \([0,\infty\)) contains (0), but the function cannot produce (0).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जांचते समय सहप्रांत के शुरुआती मानों को जरूर देखें। / While checking onto nature, always inspect the starting values of the codomain.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\), (f(x)=3-(x+1)2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,3]\), (f(x)=3-(x+1)2 ), what is the correct statement about (f)?
#quadratic function
#onto
#maximum value
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (3) मान देता है / It gives only value (3)
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
((x+1)2 \ge0), इसलिए (3-(x+1)2 \le3)। / ((x+1)2 \ge0), so (3-(x+1)2 \le3).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\le3\) के लिए \(x=-1+\sqrt{3-y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For every \(y\le3\), take \(x=-1+\sqrt{3-y}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
नीचे खुला द्विघात अपने सही सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A downward quadratic can be onto its correct codomain.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,5]\), (f(x)=4-x-2 ) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If (f:\mathbb{R}\to\(-\infty,5]\), (f(x)=4-x-2 ), why is (f) not onto?
#quadratic function
#not onto
#maximum value
#codomain
A क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
B क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
C क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
D क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
Step 1
Concept
\(4-x^2\) का अधिकतम मान (4) है। / The maximum value of \(4-x^2\) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत (\(-\infty,5]\) में (5) है, लेकिन कोई वास्तविक (x) \(4-x^2=5\) नहीं बना सकता। / The codomain (\(-\infty,5]\) contains (5), but no real (x) can make \(4-x^2=5\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत में अधिकतम परास से बड़ा मान हो तो फलन आच्छादी नहीं होता। / If the codomain contains a value above the maximum range, the function is not onto.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-8), which statement is correct about (f)?
#integer function
#onto
#shift function
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह केवल सम मान देता है / It gives only even values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी \(y\in\mathbb{Z}\) लें। / Take any \(y\in\mathbb{Z}\) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(n=y+8) भी पूर्णांक है और (f(n)=y) हो जाता है। / (n=y+8) is also an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर निश्चित संख्या घटाने वाला फलन सभी पूर्णांक ढकता है। / A fixed shift on integers covers all integers.
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=4n+1) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=4n+1), why is (f) not onto?
#integer function
#not onto
#remainder
#range
A क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (2) is not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि (5) नहीं मिलता / Because (5) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता / Because an integer like (2) is not obtained
Step 1
Concept
(4n+1) हमेशा ऐसा पूर्णांक देता है जो (4) से भाग देने पर शेष (1) देता है। / (4n+1) always gives an integer leaving remainder (1) when divided by (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (2) है, जो इस रूप में नहीं आता। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (2), which is not of this form.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक फलनों में शेषफल का विचार बहुत उपयोगी है। / Remainder patterns are useful in integer-function onto questions.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+5) है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+5), why is (f) not onto?
#natural numbers
#not onto
#range
#codomain
A क्योंकि (1,2,3,4,5) नहीं मिलते / Because (1,2,3,4,5) are not obtained
B क्योंकि (6) नहीं मिलता / Because (6) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह स्थिर है / Because it is constant
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Correct Answer
A. क्योंकि (1,2,3,4,5) नहीं मिलते / Because (1,2,3,4,5) are not obtained
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर (n+5) का सबसे छोटा मान (6) है। / For \(n\in\mathbb{N}\), the smallest value of (n+5) is (6).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सहप्रांत के (1,2,3,4,5) परास में नहीं आते। / Hence (1,2,3,4,5) from the codomain are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में शुरुआत के छूटे हुए मान जल्दी पहचानें। / For natural numbers, quickly identify the missed initial values.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to{6,7,8,\ldots}\), (f(n)=n+5) है, तो सही कथन क्या है?
If \(f:\mathbb{N}\to{6,7,8,\ldots}\), (f(n)=n+5), what is the correct statement?
#natural numbers
#onto
#shifted range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (1) मान देता है / It gives value (1)
D यह केवल (5) मान देता है / It gives only value (5)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (6) से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याओं का है। / The codomain is the natural numbers starting from (6).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge6\) के लिए (n=y-5) प्राकृतिक संख्या है और (f(n)=y)। / For every \(y\ge6\), (n=y-5) is natural and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को परास के अनुसार चुनने से फलन आच्छादी बन जाता है। / Choosing the codomain according to the range makes the function onto.
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