यदि (f:\mathbb{R}\to\(3,\infty\)), (f(x)=e^x+3) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to\(3,\infty\)), (f(x)=e^x+3), choose the correct option.
#exponential function
#onto
#shifted range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह (3) मान देता है / It gives value (3)
D यह ऋणात्मक मान देता है / It gives negative values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(3) जोड़ने पर परास (\(3,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Adding (3) changes the range to (\(3,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन के खुले सिरे को सही ढंग से याद रखें। / Remember the open endpoint of an exponential range correctly.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=e^x+3) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)), (f(x)=e^x+3), why is it not onto?
#exponential function
#not onto
#endpoint
#range
A क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
B क्योंकि (4) नहीं मिलता / Because (4) is not obtained
C क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि (3) नहीं मिलता / Because (3) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) कभी (0) नहीं होता। / \(e^x\) is never (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^x+3\) हमेशा (3) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (3) शामिल है। / Therefore \(e^x+3\) is always greater than (3), but the codomain contains (3).
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद अंतराल का अंतर आच्छादी प्रश्नों में बहुत महत्वपूर्ण है। / The difference between open and closed intervals is important in onto questions.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x-2) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x-2), what is the correct statement about (f)?
#logarithmic function
#onto
#vertical shift
#range
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ऋणात्मक मान देता है / It gives only negative values
D यह (x=0) पर परिभाषित है / It is defined at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / The range of \(\ln x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) घटाने पर भी सभी वास्तविक मान मिल सकते हैं। / Subtracting (2) still allows all real values.
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन का ऊर्ध्व खिसकाव आच्छादीपन नहीं बदलता। / A vertical shift of a logarithmic function does not change its onto nature over \(\mathbb{R}\).
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यदि (f:\(1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-1)) है, तो सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln(x-1)), which statement is correct?
#logarithmic function
#onto
#domain
#preimage
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
D यह (x=1) पर परिभाषित है / It is defined at (x=1)
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
(x>1) होने पर (x-1>0)। / Since (x>1), (x-1>0).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=1+e^y\) लेने पर (\ln(x-1)=y) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=1+e^y\), then (\ln(x-1)=y).
Step 3
Exam Tip
अंदर की राशि धनात्मक बनी रहे, तो लघुगणक सभी वास्तविक मान दे सकता है। / A logarithm can give all real values when its inside quantity stays positive.
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यदि \(f:[0,2\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प क्या है?
If \(f:[0,2\pi]\to[-1,1]\), (f(x)=\sin x), what is the correct option about (f)?
#sine function
#onto
#trigonometric range
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल (0) देता है / It gives only (0)
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
\([0,2\pi]\) पर \(\sin x\) (-1) से (1) तक सभी मान लेता है। / On \([0,2\pi]\), \(\sin x\) takes all values from (-1) to (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) है, इसलिए हर सहप्रांत मान प्राप्त होता है। / The codomain is ([-1,1]), so every codomain value is obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण आवर्त पर त्रिकोणमितीय परास पहचानना आसान होता है। / On a full period, identifying trigonometric range is easy.
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{6}]\to[0,1]\), (f(x)=\sin x) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{6}]\to[0,1]\), (f(x)=\sin x), why is it not onto?
#sine function
#not onto
#restricted domain
#range
A क्योंकि \(\frac{3}{4}\) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like \(\frac{3}{4}\) is not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / Because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
D क्योंकि यह फलन नहीं है / Because it is not a function
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Correct Answer
A. क्योंकि \(\frac{3}{4}\) जैसा मान नहीं मिलता / Because a value like \(\frac{3}{4}\) is not obtained
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{6}]\) पर \(\sin x\) का परास \([0,\frac{1}{2}]\) है। / On \([0,\frac{\pi}{6}]\), the range of \(\sin x\) is \([0,\frac{1}{2}]\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([0,1]) में \(\frac{3}{4}\) है, पर वह परास में नहीं आता। / The codomain ([0,1]) contains \(\frac{3}{4}\), which is not in the range.
Step 3
Exam Tip
छोटे त्रिकोणमितीय अंतराल पर परास भी छोटा हो सकता है। / On a small trigonometric interval, the range can also be small.
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{3}]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{3}]\to[-1,1]\), (f(x)=\cos x), why is it not onto?
#cosine function
#not onto
#restricted domain
#codomain
A क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
B क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
C क्योंकि \(\frac{1}{2}\) नहीं मिलता / Because \(\frac{1}{2}\) is not obtained
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{3}]\) पर \(\cos x\) का परास \([\frac{1}{2},1]\) है। / On \([0,\frac{\pi}{3}]\), the range of \(\cos x\) is \([\frac{1}{2},1]\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([-1,1]) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain ([-1,1]) contains negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित करते समय परास को फिर से जांचना चाहिए। / When the domain is restricted, the range must be checked again.
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यदि (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (f:\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), which statement about (f) is correct?
#tangent function
#onto
#real range
#trigonometry
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह केवल ([0,1]) में मान देता है / It gives values only in ([0,1])
D यह स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
इस अंतराल पर \(\tan x\) सभी वास्तविक मान लेता है। / On this interval, \(\tan x\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई (x) इस अंतराल में है जिससे \(\tan x=y\)। / For every \(y\in\mathbb{R}\), there is an (x) in this interval such that \(\tan x=y\).
Step 3
Exam Tip
\(\tan x\) का मानक परास \(\mathbb{R}\) याद रखें। / Remember the standard range of \(\tan x\) as \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:[0,\frac{\pi}{4}]\to[0,2]\), (f(x)=\tan x) है, तो यह आच्छादी क्यों नहीं है?
If \(f:[0,\frac{\pi}{4}]\to[0,2]\), (f(x)=\tan x), why is it not onto?
#tangent function
#not onto
#range
#codomain
A क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
B क्योंकि (0) नहीं मिलता / Because (0) is not obtained
C क्योंकि (1) नहीं मिलता / Because (1) is not obtained
D क्योंकि सभी मान मिलते हैं / Because all values are obtained
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Correct Answer
A. क्योंकि (2) नहीं मिलता / Because (2) is not obtained
Step 1
Concept
\([0,\frac{\pi}{4}]\) पर \(\tan x\) का परास ([0,1]) है। / On \([0,\frac{\pi}{4}]\), the range of \(\tan x\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([0,2]) में (2) है, लेकिन वह परास में नहीं आता। / The codomain ([0,2]) contains (2), but it is not in the range.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बड़ा हो तो फलन आच्छादी नहीं रह सकता। / If the codomain is larger than the range, the function is not onto.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c\}\) और \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,b),(5,a)\}\) है, तो \(f:A\to B\) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and \(f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,b),(5,a)\}\), what is correct about \(f:A\to B\)?
#finite sets
#onto
#ordered pairs
#codomain
A यह आच्छादी है / It is onto
B यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
C यह फलन नहीं है / It is not a function
D इसका परास खाली है / Its range is empty
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Correct Answer
A. यह आच्छादी है / It is onto
Step 1
Concept
सहप्रांत (B) के अवयव (a,b,c) हैं। / The codomain (B) has elements (a,b,c).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रतिबिंबों में (a), (b) और (c) तीनों आते हैं। / The images include (a), (b), and (c).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में हर सहप्रांत अवयव मिल जाए तो फलन आच्छादी है। / For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto.
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