Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. नहीं क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/No because only integer values are attained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) सदैव पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे गैरपूर्णांक भी हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers like \(\frac{1}{2}\), which are not attained.
Step 3
Exam Tip
परिभाषित होना और आच्छादी होना अलग बातें हैं। / Being defined everywhere and being onto are different ideas.
किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\) मिलता है। / For any \(n\in\mathbb{Z}\), choose (x=n), then \(\lfloor x\rfloor=n\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर पूर्णांक सहप्रांतीय तत्व का पूर्वप्रतिबिंब है। / So every integer in the codomain has a preimage.
Step 3
Exam Tip
तल फलन \(\mathbb{Z}\) सहप्रांत पर आच्छादी होता है। / The floor function is onto when the codomain is \(\mathbb{Z}\).
\(\lceil x\rceil\) हमेशा पूर्णांक देता है। / \(\lceil x\rceil\) always gives an integer.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lceil x\rceil=n\) मिलता है। / For any \(n\in\mathbb{Z}\), choosing (x=n) gives \(\lceil x\rceil=n\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन के लिए सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) हो तो हर पूर्णांक ढक जाता है। / For the ceiling function, codomain \(\mathbb{Z}\) is fully covered.
किसी भी \(0\le y<1\) के लिए \(x^2=\frac{y}{1-y}\) संभव है, इसलिए कोई वास्तविक (x) मिल जाता है। / For any \(0\le y<1\), \(x^2=\frac{y}{1-y}\) is possible, so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले समीकरण में दायाँ पक्ष गैरऋणात्मक हो तो वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब मिल सकता है। / In equations involving \(x^2\), a non-negative right side gives real preimages.
A. कम से कम एक \(a\in A\) होगा जिसके लिए (f(a)=b)/There exists at least one \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादी फलन का अर्थ है कि सहप्रांत का कोई भी तत्व खाली न छूटे। / Onto means no element of the codomain is left out.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए प्रत्येक \(b\in B\) के लिए कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब \(a\in A\) होना चाहिए। / Therefore, for each \(b\in B\), at least one preimage \(a\in A\) must exist.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी में एक से अधिक पूर्वप्रतिबिंब हो सकते हैं, एकैकी की शर्त अलग है। / An onto function may have multiple preimages; one-one is a separate condition.
(x-3-6x-2+12x-5=(x-2)3+3) लिखा जा सकता है। / We can write (x-3-6x-2+12x-5=(x-2)3+3).
Step 2
Why this answer is correct
((x-2)3) सभी वास्तविक मान लेता है, इसलिए ((x-2)3+3) भी सभी वास्तविक मान लेता है। / Since ((x-2)3) takes all real values, ((x-2)3+3) also takes all real values.
Step 3
Exam Tip
घन फलन में क्षैतिज या ऊर्ध्व स्थानांतरण होने पर भी \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादिता बनी रहती है। / A horizontal or vertical shift of a cubic still remains onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
