यदि \(f:A\to B\) आच्छादक है, तो परास और सहप्रान्त के बीच कौन-सा संबंध होगा?
If \(f:A\to B\) is onto, what relation holds between the range and the codomain?
#onto function
#range
#codomain
#surjective
A परास (=B) / Range (=B)
B परास रिक्त होगा / Range is empty
C परास (A) होगा / Range is (A)
D परास हमेशा (B) से बड़ा होगा / Range is always bigger than (B)
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Correct Answer
A. परास (=B) / Range (=B)
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होता है। / In an onto function, every element of the codomain is an image.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वास्तविक छवियों का समुच्चय पूरे (B) के बराबर हो जाता है। / Therefore the set of actual images equals the whole (B).
Step 3
Exam Tip
आच्छादक पहचानने के लिए देखें कि सहप्रान्त में कोई अवयव छूटा तो नहीं। / To identify onto, check whether any codomain element is left out.
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यदि \(f:A\to B\) एक-एकी है, तो कौन-सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is one-one, which statement is correct?
#one one function
#injective
#function property
#basic
A अलग-अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं / Different inputs have different images
B सभी आगतों की छवि समान होती है / All inputs have the same image
C सहप्रान्त हमेशा रिक्त होता है / The codomain is always empty
D हर छवि के दो पूर्वछवि होते हैं / Every image has two preimages
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Correct Answer
A. अलग-अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं / Different inputs have different images
Step 1
Concept
एक-एकी फलन में दो अलग आगत एक ही छवि नहीं दे सकते। / In a one-one function, two different inputs cannot have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए अलग-अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं। / Therefore different inputs have different images.
Step 3
Exam Tip
यदि दो अलग आगतों की छवि समान मिले, तो फलन एक-एकी नहीं होगा। / If two different inputs give the same image, the function is not one-one.
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यदि \(f:A\to B\) उभयैक है, तो (f) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(f:A\to B\) is bijective, which statement is correct about (f)?
#bijective function
#one one
#onto
#inverse
A यह एक-एकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
B यह केवल स्थिर है / It is only constant
C यह केवल बहु-एकी है / It is only many-one
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह एक-एकी और आच्छादक दोनों है / It is both one-one and onto
Step 1
Concept
उभयैक फलन का अर्थ दो गुणों का साथ होना है। / A bijective function means two properties hold together.
Step 2
Why this answer is correct
वह एक-एकी भी होता है और आच्छादक भी। / It is both one-one and onto.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलन का प्रतिलोम सामान्यतः अच्छी तरह परिभाषित होता है। / Such a function generally has a well-defined inverse.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में कुल कितने फलन बन सकते हैं?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{a,b\}\), how many functions can be formed from (A) to (B)?
#number of functions
#finite sets
#counting
#domain codomain
A (8)
B (6)
C (5)
D (2)
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Step 1
Concept
(A) में (3) अवयव हैं और (B) में (2) विकल्प हैं। / (A) has (3) elements and (B) gives (2) choices.
Step 2
Why this answer is correct
(A) के प्रत्येक अवयव के लिए (2) छवि विकल्प होंगे। / Each element of (A) has (2) possible images.
Step 3
Exam Tip
कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। / Total functions are \(2^3=8\).
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यदि (A) में (m) अवयव और (B) में (n) अवयव हैं, तो (A) से (B) में कुल फलनों की संख्या क्या है?
If (A) has (m) elements and (B) has (n) elements, what is the number of functions from (A) to (B)?
#number of functions
#finite sets
#counting formula
#basic
A \(n^m\)
B \(m^n\)
C (mn)
D (m+n)
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Correct Answer
A. \(n^m\)
Step 1
Concept
प्रान्त (A) के हर अवयव को (B) में एक छवि चुननी होती है। / Each element of domain (A) must choose one image in (B).
Step 2
Why this answer is correct
हर अवयव के लिए (n) विकल्प हैं और ऐसे (m) अवयव हैं। / Each element has (n) choices, and there are (m) elements.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल फलनों की संख्या \(n^m\) होती है। / Therefore the number of functions is \(n^m\).
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यदि \(f:R\to R\), (f(x)=x+2), तो (f^{-1}(5)) क्या होगा?
If \(f:R\to R\), (f(x)=x+2), what is (f^{-1}(5))?
#inverse image
#linear function
#evaluation
#function basics
A (3)
B (7)
C (5)
D (-3)
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Step 1
Concept
(f^{-1}(5)) का अर्थ है वह (x) जिसके लिए (f(x)=5)। / (f^{-1}(5)) means the (x) for which (f(x)=5).
Step 2
Why this answer is correct
(x+2=5) से (x=3) मिलता है। / From (x+2=5), we get (x=3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (f^{-1}(5)=3)। / Therefore (f^{-1}(5)=3).
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फलन \(f:R\to R\), (f(x)=x-3 ) कैसा है?
What type of function is \(f:R\to R\), (f(x)=x-3 )?
#cubic function
#one one
#onto
#bijection
A एक-एकी और आच्छादक / One-one and onto
B केवल स्थिर / Only constant
C केवल बहु-एकी / Only many-one
D आच्छादक नहीं / Not onto
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Correct Answer
A. एक-एकी और आच्छादक / One-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3\) में (x) बढ़ने पर मान भी अलग-अलग ढंग से बदलता है, इसलिए यह एक-एकी है। / For \(x^3\), different real inputs give different outputs, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) वास्तविक है। / For every real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) is real.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर (y) की पूर्वछवि मिलती है और फलन आच्छादक भी है। / Hence every (y) has a preimage, so the function is onto as well.
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फलन \(f:R\to R\), (f(x)=|x|) एक-एकी क्यों नहीं है?
Why is \(f:R\to R\), (f(x)=|x|), not one-one?
#absolute value
#one one
#many one
#function example
A क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
B क्योंकि (f(0)=0) / Because (f(0)=0)
C क्योंकि (f(1)=1) / Because (f(1)=1)
D क्योंकि परास ऋणात्मक है / Because the range is negative
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(2)=f(-2)) / Because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
एक-एकी होने के लिए अलग आगतों की छवियाँ अलग होनी चाहिए। / For one-one, different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\ne -2\), फिर भी (|2|=|-2|=2)। / \(2\ne -2\), but (|2|=|-2|=2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह फलन एक-एकी नहीं है। / Therefore this function is not one-one.
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फलन \(f:R\to R\), (f(x)=|x|) आच्छादक क्यों नहीं है?
Why is \(f:R\to R\), (f(x)=|x|), not onto?
#absolute value
#onto function
#range
#codomain
A क्योंकि कोई (x) ऐसा नहीं है जिससे (f(x)=-2) मिले / Because no (x) gives (f(x)=-2)
B क्योंकि (f(2)=2) / Because (f(2)=2)
C क्योंकि (f(-2)=2) / Because (f(-2)=2)
D क्योंकि (f(0)=0) / Because (f(0)=0)
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Correct Answer
A. क्योंकि कोई (x) ऐसा नहीं है जिससे (f(x)=-2) मिले / Because no (x) gives (f(x)=-2)
Step 1
Concept
आच्छादक होने के लिए (R) का हर अवयव छवि होना चाहिए। / To be onto, every element of (R) must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
\(-2\in R\), पर (|x|) कभी ऋणात्मक नहीं होता। / \(-2\in R\), but (|x|) is never negative.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परास (R) नहीं है और फलन आच्छादक नहीं है। / Hence the range is not (R), and the function is not onto.
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यदि (f(x)=\frac{1}{x}), तो इस फलन का प्रान्त वास्तविक संख्याओं में क्या होगा?
If (f(x)=\frac{1}{x}), what is the domain of this function in real numbers?
#domain
#rational function
#denominator
#undefined
A (R-{0})
B (R)
C ({0})
D (\(0,\infty\))
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Correct Answer
A. (R-{0})
Step 1
Concept
भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। / The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) रखने पर \(\frac{1}{0}\) परिभाषित नहीं है। / At (x=0), \(\frac{1}{0}\) is undefined.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रान्त सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, पर (0) को हटाकर। / So the domain is all real numbers except (0).
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