Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A'={1,3,5,7,9}), so the subsets with exactly (2) elements are \(\binom{5}{2}=10\). First find the complement set and then use combinations.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (10). (A'={1,3,5,7,9}), so the subsets with exactly (2) elements are \(\binom{5}{2}=10\). First find the complement set and then use combinations.
Step 3
Exam Tip
(A'={1,3,5,7,9}), इसलिए ठीक (2) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{2}=10\) होंगे। पहले पूरक समुच्चय निकालें फिर संयोजन लगाएं।
(A'={1,3,5,7,9}), and singleton sets in (P(A')) are (n(A')=5). The number of singleton subsets equals the number of elements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5). (A'={1,3,5,7,9}), and singleton sets in (P(A')) are (n(A')=5). The number of singleton subsets equals the number of elements.
Step 3
Exam Tip
(A'={1,3,5,7,9}) और (P(A')) में एकल समुच्चय (n(A')=5) होते हैं। एकल उपसमुच्चयों की संख्या मूल अवयवों जितनी होती है।
(P\(\varnothing\)={\varnothing}), so (P(P(A))=P\({\varnothing}\)={\varnothing,{\varnothing}}). The power set of an empty set is not empty.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \({\varnothing,{\varnothing}}\). (P\(\varnothing\)={\varnothing}), so (P(P(A))=P\({\varnothing}\)={\varnothing,{\varnothing}}). The power set of an empty set is not empty.
Step 3
Exam Tip
(P\(\varnothing\)={\varnothing}), इसलिए (P(P(A))=P\({\varnothing}\)={\varnothing,{\varnothing}})। खाली समुच्चय का पावर सेट खाली नहीं होता।
Total subsets are \(2^4=16\) and one subset is empty, so there are (15) non-empty subsets. Subtract (1) for non-empty subsets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (15). Total subsets are \(2^4=16\) and one subset is empty, so there are (15) non-empty subsets. Subtract (1) for non-empty subsets.
Step 3
Exam Tip
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और खाली उपसमुच्चय (1) है, इसलिए (15) गैर-रिक्त उपसमुच्चय हैं। गैर-रिक्त के लिए (1) घटाएं।
The elements of (P(A)) are all subsets of (A), and only (A) itself is not a proper subset. A proper subset excludes the whole set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (1). The elements of (P(A)) are all subsets of (A), and only (A) itself is not a proper subset. A proper subset excludes the whole set.
Step 3
Exam Tip
(P(A)) के अवयव (A) के सभी उपसमुच्चय हैं, जिनमें केवल (A) स्वयं उचित उपसमुच्चय नहीं है। उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय नहीं आता।
Elements of (P(A)) are subsets of (A), but ({{1}}) has element ({1}), which is not an element of (A). Watch the layers of braces carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ({{1}}). Elements of (P(A)) are subsets of (A), but ({{1}}) has element ({1}), which is not an element of (A). Watch the layers of braces carefully.
Step 3
Exam Tip
(P(A)) के अवयव (A) के उपसमुच्चय होते हैं, लेकिन ({{1}}) में अवयव ({1}) है जो (A) का अवयव नहीं है। ब्रेसेस की परतें ध्यान से देखें।
Every set is an element of its power set, so \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) is included. The original set is also in its power set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \({\varnothing,{\varnothing}}\). Every set is an element of its power set, so \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) is included. The original set is also in its power set.
Step 3
Exam Tip
हर समुच्चय स्वयं अपने पावर सेट का अवयव होता है, इसलिए \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) शामिल है। पावर सेट में मूल समुच्चय भी आता है।
From (2^{n(A)}=2^{n(B)}), we get (n(A)=n(B)), but the sets need not be equal. Cardinality and equality are different ideas.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (n(A)=n(B)). From (2^{n(A)}=2^{n(B)}), we get (n(A)=n(B)), but the sets need not be equal. Cardinality and equality are different ideas.
Step 3
Exam Tip
(2^{n(A)}=2^{n(B)}) से (n(A)=n(B)) मिलता है, पर समुच्चय समान होना जरूरी नहीं। कार्डिनैलिटी और समानता अलग बातें हैं।
Both power sets always contain the empty set, and no other subset is common here. For disjoint original sets, the common element is \(\varnothing\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \({\varnothing}\). Both power sets always contain the empty set, and no other subset is common here. For disjoint original sets, the common element is \(\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
दोनों पावर सेटों में खाली समुच्चय हमेशा होता है और कोई अन्य समान उपसमुच्चय नहीं है। असंबद्ध मूल समुच्चयों के लिए सामान्य अवयव \(\varnothing\) रहता है।
\(P(A)\cup P(B)\) contains subsets of (A) or subsets of (B), while (P\(A\cup B\)) may contain mixed subsets. Do not use this as an identity without checking.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (P(A)\cup P(B)=P\(A\cup B\)). \(P(A)\cup P(B)\) contains subsets of (A) or subsets of (B), while (P\(A\cup B\)) may contain mixed subsets. Do not use this as an identity without checking.
Step 3
Exam Tip
\(P(A)\cup P(B)\) में केवल (A) या (B) के अलग-अलग उपसमुच्चय होते हैं, जबकि (P\(A\cup B\)) में मिश्रित उपसमुच्चय भी हो सकते हैं। इस पहचान को बिना जांचे न लगाएं।
(P(A)) and (P(B)) have \(\varnothing\) and ({2}) in common, so the total is (4+4-2=6). Remove duplicates in the union of power sets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (6). (P(A)) and (P(B)) have \(\varnothing\) and ({2}) in common, so the total is (4+4-2=6). Remove duplicates in the union of power sets.
Step 3
Exam Tip
(P(A)) और (P(B)) में \(\varnothing\) तथा ({2}) समान हैं, इसलिए कुल (4+4-2=6)। पावर सेटों के संघ में दोहराव हटाएं।
(A) and (A') are disjoint, so their power sets have only \(\varnothing\) in common. Write the intersection of power sets as a set.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \({\varnothing}\). (A) and (A') are disjoint, so their power sets have only \(\varnothing\) in common. Write the intersection of power sets as a set.
Step 3
Exam Tip
(A) और (A') असंबद्ध हैं, इसलिए उनके पावर सेटों में केवल \(\varnothing\) समान होगा। पावर सेटों का प्रतिच्छेद एक समुच्चय के रूप में लिखें।
A. क्योंकि (A) का हर उपसमुच्चय (U) का भी उपसमुच्चय है/Because every subset of (A) is also a subset of (U)
Step 1
Concept
The universal set contains all elements of (A), so subsets of (A) are also subsets of (U). This is a basic property of power sets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (A) का हर उपसमुच्चय (U) का भी उपसमुच्चय है / Because every subset of (A) is also a subset of (U). The universal set contains all elements of (A), so subsets of (A) are also subsets of (U). This is a basic property of power sets.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक समुच्चय में (A) के सभी अवयव हैं, इसलिए (A) के उपसमुच्चय भी (U) के उपसमुच्चय हैं। यह पावर सेट का आधारभूत गुण है।
If power sets are equal, the original sets are equal, so (A'=A) is required. In a finite (U), this means (A) equals its complement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. जब (A=A') / When (A=A'). If power sets are equal, the original sets are equal, so (A'=A) is required. In a finite (U), this means (A) equals its complement.
Step 3
Exam Tip
पावर सेट बराबर हों तो मूल समुच्चय बराबर होते हैं, इसलिए (A'=A) चाहिए। सीमित (U) में यह तभी संभव है जब (A) अपने पूरक के बराबर हो।
Subsets with at most (2) elements are \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\). For at most, add all smaller sizes.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (16). Subsets with at most (2) elements are \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\). For at most, add all smaller sizes.
Step 3
Exam Tip
अधिकतम (2) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\) हैं। अधिकतम में सभी छोटे आकार जोड़ें।
For an even sum, choose an even number of odd elements from (1,3), and even elements are free, so \(2\cdot 2^2=8\). In parity questions, focus on odd elements.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (8). For an even sum, choose an even number of odd elements from (1,3), and even elements are free, so \(2\cdot 2^2=8\). In parity questions, focus on odd elements.
Step 3
Exam Tip
सम योग पाने के लिए विषम अवयवों (1,3) में से सम संख्या चुनी जाएगी और सम अवयव स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2\cdot 2^2=8\)। पैरिटी में विषम अवयवों पर ध्यान दें।
A. केवल \({1}\in P(A)\) सही है/Only \({1}\in P(A)\) is correct
Step 1
Concept
({1}) is a subset of (A), so it is an element of (P(A)). But (1) is not an element of (P(A)), so \({1}\subseteq P(A)\) is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केवल \({1}\in P(A)\) सही है / Only \({1}\in P(A)\) is correct. ({1}) is a subset of (A), so it is an element of (P(A)). But (1) is not an element of (P(A)), so \({1}\subseteq P(A)\) is false.
Step 3
Exam Tip
({1}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए वह (P(A)) का अवयव है। लेकिन (1), (P(A)) का अवयव नहीं है, इसलिए \({1}\subseteq P(A)\) गलत है।
({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A) and an element of (P(A)). Counting the layers is essential.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({{2}}). ({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A) and an element of (P(A)). Counting the layers is essential.
Step 3
Exam Tip
({2}) स्वयं (A) का अवयव है, इसलिए ({{2}}) (A) का उपसमुच्चय है और (P(A)) का अवयव है। परतों को गिनना जरूरी है।
Subsets containing (1) are (8), and size (2) subsets are \(\binom{4}{2}=6\). Their overlap is \(\binom{3}{1}=3\), so (8+6-3=11).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (11). Subsets containing (1) are (8), and size (2) subsets are \(\binom{4}{2}=6\). Their overlap is \(\binom{3}{1}=3\), so (8+6-3=11).
Step 3
Exam Tip
(1) वाले उपसमुच्चय (8) हैं और आकार (2) वाले \(\binom{4}{2}=6\) हैं। दोनों में (1) और एक अन्य वाला \(\binom{3}{1}=3\) है, इसलिए (8+6-3=11)।
(2) is fixed and (1) is forbidden, so (3,4,5) have \(2^3=8\) choices. Handle compulsory and forbidden elements separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (8). (2) is fixed and (1) is forbidden, so (3,4,5) have \(2^3=8\) choices. Handle compulsory and forbidden elements separately.
Step 3
Exam Tip
(2) स्थिर है और (1) निषिद्ध है, इसलिए (3,4,5) के \(2^3=8\) चयन होंगे। अनिवार्य और निषिद्ध अवयव अलग-अलग संभालें।
