Level 13 • 50/50 questions • 30 seconds per question.
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B. (34)
पहले (n\(A\cup B\)=180-38=142), फिर (n\(A\cap B\)=92+84-142=34)। बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=180-38=142), then (n\(A\cap B\)=92+84-142=34). If the outside region is given, find the union first.
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If (n\(A\cup B\)=126), (n(A-B)=47), and (n(B-A)=39), what is (n\(A\cap B\))?
A. (40)
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए (n\(A\cap B\)=126-47-39=40)। क्षेत्रीय विभाजन वाले प्रश्नों में अंदर के अलग भाग पहचानें। / The union is the sum of three separate parts, so (n\(A\cap B\)=126-47-39=40). In region-partition questions, identify separate inside regions.
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In a class (n(A)=74), (n(B)=68), and (86) students are in exactly one set. What is (n\(A\cap B\))?
C. (28)
ठीक एक (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)) होता है, इसलिए (86=142-2x) से (x=28)। इस प्रकार उल्टे प्रश्न में समीकरण बनाएं। / Exactly one is (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (86=142-2x) gives (x=28). For inverse questions, form an equation.
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If (n(U)=120), (n(A)=77), and (n(B)=64), what is the minimum possible value of (n\(A\cap B\))?
C. (21)
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=77+64-120=21) है। जब कुल (U) से अधिक हो जाए तो अतिरिक्त भाग अनिवार्य साझा होता है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=77+64-120=21). When the total exceeds (U), the extra part must be common.
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If (n(U)=150), (n(A)=66), and (n(B)=59), what is the maximum possible value of (n\(A\cap B\))?
B. (59)
अधिकतम प्रतिच्छेद छोटे समुच्चय से अधिक नहीं हो सकता, इसलिए मान (59) है। अधिकतम के लिए (\min(n(A),n(B))) देखें। / The maximum intersection cannot exceed the smaller set, so the value is (59). For maximum, check (\min(n(A),n(B))).
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If \(A\subseteq B\), (n(A)=38), (n(B)=91), and (n(U)=130), what is (n\(B^c\))?
A. (39)
\(B^c\) में (U) के वे तत्व हैं जो (B) में नहीं हैं, इसलिए (130-91=39)। उपसमुच्चय जानकारी यहां जरूरी नहीं है, यह जाल हो सकता है। / \(B^c\) contains elements of (U) not in (B), so (130-91=39). The subset information is not needed here and can be a trap.
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If \(A\subseteq B\subseteq C\), (n(C)=118), (n(B)=73), and (n(A)=29), what is (n(C-A))?
C. (89)
क्योंकि (A) पूरा (C) में है, इसलिए (n(C-A)=118-29=89)। nested वेन आरेख में जिस समुच्चय को हटाना हो केवल वही घटाएं। / Since (A) lies fully inside (C), (n(C-A)=118-29=89). In a nested Venn diagram, subtract only the set being removed.
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B. (118)
तीन समुच्चयों का संघ (64+58+52-24-21-19+8=118) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग वापस जोड़ें। / The union of three sets is (64+58+52-24-21-19+8=118). After subtracting pairwise intersections, add the central part back.
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C. (19)
सूत्र में (140=70+65+60-28-24-22+x) होगा, इसलिए (x=19)। केंद्रीय भाग के लिए समावेशन-बहिष्करण को समीकरण की तरह लिखें। / In the formula (140=70+65+60-28-24-22+x), so (x=19). For the central part, write inclusion-exclusion as an equation.
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A. (49)
ठीक दो (=(31-12)+(29-12)+(25-12)=49) है। प्रत्येक जोड़ी में केंद्रीय भाग शामिल होता है, इसलिए उसे घटाएं। / Exactly two (=(31-12)+(29-12)+(25-12)=49). Each pairwise intersection includes the central part, so subtract it.
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C. 27
केवल A में आने वाले तत्वों की गिनती के लिए तीन-समुच्चयों के समावेशन–अपवर्जन (inclusion–exclusion) सिद्धांत का उपयोग करें: केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). संख्याएँ डालने पर \(80-35-32+14=27\)। कारण: \(A\cap B\) और \(A\cap C\) दोनों में त्रि-आवरण \(A\cap B\cap C\) दो बार घटाया गया था, इसलिए उसे एक बार वापस जोड़ना आवश्यक है। आम भूल: त्रि-आवरण को जोड़ना भूलने पर \(80-35-32=13\) मिलता है (विकल्प A) — यह गलत है। परीक्षा टिप: तीन-सेट वाला वेंस आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र के हिस्सों को अलग-अलग लिखें और फिर inclusion–exclusion सूत्र लगाएँ। / Use the inclusion–exclusion idea for three sets: only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting gives \(80-35-32+14=27\). Explanation: the elements in \(A\cap B\) and \(A\cap C\) cause the triple intersection \(A\cap B\cap C\) to be subtracted twice, so add it back once. Common mistake: forgetting to add back the triple intersection yields \(80-35-32=13\) (option A), which is incorrect. Exam tip: label each region of a 3-set Venn diagram or directly apply the inclusion–exclusion formula to avoid sign errors.
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A. (67)
कम से कम दो (=(42-15)+(36-15)+(34-15)+15=82) होना चाहिए, इसलिए सही मान (82) है। पहले ठीक दो निकालें और फिर तीनों वाला भाग जोड़ें। / At least two should be ((42-15)+(36-15)+(34-15)+15=82), so the correct value is (82). First find exactly two and then add the all-three part.
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A. (19)
अंदर का संघ (23+27+21+13+11+9+7=111), इसलिए बाहर (130-111=19)। सातों अंदरूनी क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The inside union is (23+27+21+13+11+9+7=111), so outside is (130-111=19). Add all seven inside regions only once.
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If only (A=18), only \(A\cap B=12\), only \(A\cap C=10\), and \(A\cap B\cap C=6\), what is (n(A))?
C. (46)
(A) के सभी अंदरूनी भागों का योग (18+12+10+6=46) है। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके पूरे वृत्त के भागों से मिलती है। / The sum of all inside parts of (A) is (18+12+10+6=46). The total of a set comes from all regions of its circle.
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In a Venn diagram (n\(A\triangle B\)=82) and (n\(A\cup B\)=119). What is (n\(A\cap B\))?
A. (37)
\(A\cup B\) में \(A\triangle B\) और \(A\cap B\) दोनों शामिल हैं, इसलिए (119-82=37)। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / \(A\cup B\) contains both \(A\triangle B\) and \(A\cap B\), so (119-82=37). The symmetric difference does not include the common part.
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If (n(A)=73), (n(B)=69), and (n\(A\triangle B\)=88), what is (n\(A\cap B\))?
A. (27)
(n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (88=142-2x) से (x=27)। ठीक एक और साझा भाग में अंतर करें। / (n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (88=142-2x) gives (x=27). Distinguish exactly one from the common part.
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In a Venn diagram, what is (\(A\cup B\)- \(A\cap B\)) equal to?
A. \(A\triangle B\)
संघ से साझा भाग हटाने पर केवल एक-एक समुच्चय वाले भाग बचते हैं। यही \(A\triangle B\) है। / Removing the common part from the union leaves the regions belonging to exactly one set. That is \(A\triangle B\).
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By De Morgan's law, what is (\(A\cap B\cap C\)^c) equal to?
A. \(A^c\cup B^c\cup C^c\)
प्रतिच्छेद का पूरक संघ में बदलता है, इसलिए (\(A\cap B\cap C\)^c=A^c\cup B^c\cup C^c)। पूरक लेते समय चिन्ह बदलना याद रखें। / The complement of an intersection changes into a union, so (\(A\cap B\cap C\)^c=A^c\cup B^c\cup C^c). Remember that the operation changes under complement.
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By De Morgan's law, what is (\(A\cup B\cup C\)^c) equal to?
B. \(A^c\cap B^c\cap C^c\)
संघ का पूरक प्रतिच्छेद में बदलता है, इसलिए (\(A\cup B\cup C\)^c=A^c\cap B^c\cap C^c)। वेन आरेख में यह तीनों वृत्तों के बाहर का भाग है। / The complement of a union changes into an intersection, so (\(A\cup B\cup C\)^c=A^c\cap B^c\cap C^c). In a Venn diagram, it is the outside of all three circles.
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A. (n\(A\cup B\)+n\(A^c\cap B^c\)=n(U))
(\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c), इसलिए (128+72=200) सही है। पूरक क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c), so (128+72=200) is true. Complementary regions together form the whole (U).
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A. 5
A और B का अंतराल वे संख्याएँ हैं जो दोनों 2 और 3 की गुणज हों — अर्थात् LCM(2,3)=6 के गुणज। 1 से 30 तक 6 के गुणज: 6, 12, 18, 24, 30 — कुल 5 संख्याएँ। विकल्प B (10) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह 3 के गुणजों की संख्या \(\lfloor30/3\rfloor=10\) है, न कि दोनों का साझा गुणज। परीक्षा सुझाव: साझा गुणजों के लिए LCM लिये और \(\lfloor n/\text{LCM}\rfloor\) से गिनती निकालें। / Elements in both A and B are multiples of both 2 and 3, so they are multiples of LCM(2,3)=6. Multiples of 6 up to 30 are 6,12,18,24,30 — five elements. Option B (10) equals the count of multiples of 3 (\(\lfloor30/3\rfloor\)), not the intersection. Exam tip: use LCM of the moduli and compute \(\lfloor N/\text{LCM}\rfloor\) to find the count in \(1\) to \(N\).
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B. (16)
(4) के गुणज (10), (5) के गुणज (8), और (20) के गुणज (2) हैं, इसलिए (10+8-2=16)। लघुत्तम समापवर्त्य से साझा भाग निकालें। / Multiples of (4) are (10), multiples of (5) are (8), and multiples of (20) are (2), so (10+8-2=16). Use the LCM to find the common part.
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A. \(\{2\}\)
अभाज्य (prime) संख्या की परिभाषा के अनुसार वह संख्या केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती है। सम (even) संख्याएँ 2 से विभाज्य होती हैं। 2 ही ऐसी एकमात्र संख्या है जो दोनों गुण रखती है — सम भी है और अभाज्य भी। अतः \(A\cap B=\{2\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि प्रतिच्छेद खाली नहीं है; विकल्प C केवल सम संख्याएँ हैं लेकिन उनमें से केवल 2 अभाज्य है; विकल्प D समुच्चय में सम संख्याएँ नहीं हैं। परीक्षा-टिप: अभाज्य-गणना में हमेशा याद रखें कि 1 अभाज्य नहीं है और 2 ही एकमात्र सम अभाज्य है। / By definition a prime number has no divisors other than 1 and itself, and even numbers are divisible by 2. The only number that is both prime and even is 2, so \(A\cap B=\{2\}\). Option B is wrong because the intersection is not empty; option C lists all even numbers but only 2 among them is prime; option D lists odd primes and so cannot be the intersection with even numbers. Exam tip: remember 1 is not prime and 2 is the only even prime — check small examples when in doubt.
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B. (2)
तीनों में आने के लिए संख्या (30) से विभाज्य होगी, यानी (30,60)। इसलिए संख्या (2) है। / To be in all three sets, a number must be divisible by (30), namely (30,60). Hence the count is (2).
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A. \(C=A\cap B\)
(10) से विभाज्य संख्या (2) और (5) दोनों से विभाज्य होती है, इसलिए \(C=A\cap B\)। वेन आरेख में (C) साझा भाग है। / A number divisible by (10) is divisible by both (2) and (5), so \(C=A\cap B\). In the Venn diagram, (C) is the common region.
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A. इनसे (n\(A\cup B\cup C\)) निश्चित हो जाता हैThese determine (n\(A\cup B\cup C\))
केवल कुछ अंतरों से पूरा संघ निश्चित नहीं होता क्योंकि प्रतिच्छेदों की जानकारी अधूरी है। ऐसे प्रश्नों में पर्याप्त डेटा की जांच करें। / A few differences alone do not determine the whole union because intersection information is incomplete. In such questions, check whether the data is sufficient.
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If (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)), which conclusion is correct according to the Venn diagram?
A. \(A\cap B=\varnothing\)
संघ सूत्र में घटने वाला भाग (n\(A\cap B\)) है, जो यहां (0) होगा। इसलिए समुच्चय असंबद्ध हैं। / In the union formula, the subtracted part is (n\(A\cap B\)), which must be (0) here. Hence the sets are disjoint.
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If (n\(A\cup B\)=n(A)), which relation must be true?
A. \(B\subseteq A\)
संघ में (B) जोड़ने पर (A) से बड़ा क्षेत्र नहीं बन रहा, इसलिए (B) पहले से (A) में है। इसलिए \(B\subseteq A\)। / Adding (B) to (A) does not enlarge the region, so (B) is already inside (A). Therefore \(B\subseteq A\).
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If (n\(A\cap B\)=n(A)), which relation must be true?
A. \(A\subseteq B\)
पूरा (A) प्रतिच्छेद में आ रहा है, इसलिए (A) का हर तत्व (B) में भी है। अतः \(A\subseteq B\)। / All of (A) is appearing in the intersection, so every element of (A) is also in (B). Hence \(A\subseteq B\).
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If \(n(A)=48\), \(n(B)=52\), \(n(A-B)=17\), and \(n(B-A)=21\), what is \(n(A\cap B)\)?
A. 31
कोर कॉन्सेप्ट: किसी सेट का इंटरसेक्शन उस सेट के कुल सदस्यों में से उस सेट के केवल (exclusive) भाग को घटाकर पाया जा सकता है। यहाँ \(n(A\cap B)=n(A)-n(A-B)=48-17=31\)। जांच के लिए दूसरे सेट से भी निकालें: \(n(B)-n(B-A)=52-21=31\), जो मेल खाता है — इसलिए उत्तर 31 सही है। निकटतम भ्रांति (विकल्प 27): यह तब आता है जब गलत तरीके से \(n(B-A)=21\) को \(n(A)\) से घटा दिया जाए (\(48-21=27\)) — यह गलत है क्योंकि वह A के 'केवल B के बाहर' हिस्से को नहीं दिखाता; सही घटाना A−B होना चाहिए। परीक्षा सुझाव: किसी भी एक सेट से ‘‘केवल’’ भाग घटाएँ और परिणाम को दूसरे सेट से भी जाँच कर लें। / Core concept: The intersection size equals a set's total minus the elements that belong only to that set. Compute \(n(A\cap B)=n(A)-n(A-B)=48-17=31\). Verify with B: \(n(B)-n(B-A)=52-21=31\), so results agree and 31 is correct. Closest distractor (27): arises from mistakenly subtracting \(n(B-A)=21\) from \(n(A)\) giving \(48-21=27\); that error swaps the exclusive parts and is incorrect. Exam tip: subtract the 'only' portion (A−B or B−A) from the corresponding total and cross-check using the other set.
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A. आंकड़े असंगत हैंThe data are inconsistent
(A) से साझा भाग (55-20=35), लेकिन (B) से (50-18=32) मिलता है। दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / From (A), the common part is (55-20=35), but from (B), it is (50-18=32). Since these are not equal, the data are inconsistent.
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C. (30)
संघ (96+88+74-40-31-29+12=170) है, इसलिए कोई नहीं (200-170=30)। पहले तीन-समुच्चय संघ निकालें। / The union is (96+88+74-40-31-29+12=170), so none is (200-170=30). First find the three-set union.
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B. (18)
ज्ञात छह अंदरूनी क्षेत्रों का योग (32+28+24+18+16+14=132) है, इसलिए केंद्रीय भाग (150-132=18)। संघ में सभी सात अंदरूनी क्षेत्र आते हैं। / The sum of six known inside regions is (32+28+24+18+16+14=132), so the central part is (150-132=18). The union contains all seven inside regions.
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C. 132
समुच्चयों का संयुक्त समुच्चय उन सभी तत्वों को रखता है जो ठीक एक क्षेत्र, ठीक दो-क्षेत्रों या तीनों में मौजूद हैं। यहाँ दिए गए मान "ठीक एक", "ठीक दो" और "तीनوں" के लिए हैं, अतः कुल = 71 + 46 + 15 = 132। विकल्प B (117) उस त्रि-आवरण (15) को छोड़ देता है इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: प्रश्न में "exactly/ठीक" शब्दों का अर्थ समझ कर ही जोड़ें — यदि मान "exactly" दिए हों तो उन्हें सीधे जोड़ना होता है। / The union contains all elements that lie in exactly one region, exactly two regions, or in all three. Since the counts are given for "exactly one", "exactly two" and "all three", the total is 71 + 46 + 15 = 132. Option B (117) omits the 15 elements that are in all three, so it is incorrect. Exam tip: pay attention to the word "exactly" — when counts are for exactly k sets, the union is the sum of those counts (no further inclusion–exclusion adjustment needed).
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B. 54
समुच्चयों के संयुक्त में तत्त्वों को तीन परस्पर भिन्न वर्गों में बाँटा जा सकता है: ठीक एक में, ठीक दो में और तीनों में। इसलिए \(n(A\cup B\cup C)=\text{(ठीक एक)}+\text{(ठीक दो)}+\text{(तीनों)}\). यहाँ \(128=63+x+11\) जिससे \(x=128-63-11=54\)। सामान्य गलती: कुछ लोग तीनों में आने वाले 11 को बार-बार घटा देते हैं (उदा. \(128-63-22=43\))—यह गलत है क्योंकि तीनों के हिस्से को केवल एक बार घटाना चाहिए। परीक्षा टिप: यूनियन को सीधे तीन विसंयोजित भागों में बाँटकर समस्या तुरंत हल हो जाती है। / Partition the union into three disjoint classes: elements in exactly one set, exactly two sets, and all three. So \(n(A\cup B\cup C)=\text{(exactly one)}+\text{(exactly two)}+\text{(all three)}\). Here \(128=63+x+11\), giving \(x=128-63-11=54\). Common mistake: subtracting the triple-intersection twice (e.g. \(128-63-22=43\)) which double-counts the triple-region; you should subtract it only once. Exam tip: think in terms of disjoint regions (exactly 1, exactly 2, exactly 3) rather than manipulating pairwise counts directly.
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C. (120)
कुल सदस्यता (82+76+70=228) है। यह ठीक एक \(+2\times54+3\times18\) के बराबर है, इसलिए ठीक एक (228-108-54=66)। / Total memberships are (82+76+70=228). This equals exactly one \(+2\times54+3\times18\), so exactly one is (228-108-54=66).
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If (n\(A\cup B\)=104), (n\(A\cap B\)=26), and (n(A-B)=37), what is (n(B))?
C. (67)
पहले (n(B-A)=104-37-26=41), फिर (n(B)=41+26=67)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों जोड़ें। / First (n(B-A)=104-37-26=41), then (n(B)=41+26=67). Add only (B) and the common part to get (B).
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If (n(A)=90), (n(B)=85), (n\(A\cup B\)=125), and (n(U)=160), what is (n\(A^c\cap B^c\))?
A. (35)
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (160-125=35)। डी मॉर्गन नियम से बाहर का क्षेत्र पहचानें। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), so (160-125=35). Use De Morgan's law to identify the outside region.
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If (n(U)=170), (n\(A\cap B\)=44), and (n\(A^c\cup B^c\)=146), what can be said about the given data?
A. आंकड़े असंगत हैंThe data are inconsistent
डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए इसका मान (170-44=126) होना चाहिए। (146) मिलने से आंकड़े असंगत हैं। / By De Morgan's law, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so its value should be (170-44=126). Since (146) is given, the data are inconsistent.
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A. (45)
\(A^c\) में (B-A) और बाहर का भाग आएगा, इसलिए (30+15=45)। (A) के बाहर के सभी क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A^c\) includes (B-A) and the outside region, so (30+15=45). Add all regions outside (A).
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If (n(A-B)=36), (n(B-A)=28), (n\(A\cap B\)=22), and (n(U)=120), what is (n\(A^c\cup B^c\))?
D. (98)
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (120-22=98)। साझा भाग का पूरक पूरे (U) से साझा भाग घटाकर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (120-22=98). The complement of the common part is found by subtracting it from (U).
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In a Venn diagram, what set is \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)\) equal to?
A. \(A\)
\((A\cap B)\) और \((A\cap B^c)\) मिलकर \(A\) का पूर्ण विभाजन बनाते हैं क्योंकि किसी भी \(x\in A\) के लिए या तो \(x\in B\) होगा या \(x\in B^c\) होगा। इसलिए \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\). वैकल्पिक रूप से, वितरणीय नियम से \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\cap(B\cup B^c)=A\cap U=A\). नजदीकी भ्रमित करने वाला विकल्प \(A\cup B\) है जो \(A\) के साथ-साथ \(B\) के अतिरिक्त तत्व भी रखता है इसलिए बड़ा है; \(A\triangle B\) में \(A\cap B\) शामिल नहीं रहता। परीक्षा टिप: किसी भी सेट को \(B\) और \(B^c\) में बाँटकर परखें — यह अक्सर तुरंत पहचान देता है। / \((A\cap B)\) and \((A\cap B^c)\) form a partition of \(A\): for any \(x\in A\), either \(x\in B\) or \(x\in B^c\). Hence \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\). Alternatively use distributivity: \((A\cap B)\cup(A\cap B^c)=A\cap(B\cup B^c)=A\cap U=A\). The closest misleading choice is \(A\cup B\), which contains extra elements from \(B\) outside \(A\). The symmetric difference \(A\triangle B\) excludes \(A\cap B\), so it cannot equal \(A\). Exam tip: Try splitting a set by \(B\) and its complement to quickly recognize such identities.
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In a Venn diagram, what is (\(A\cup B\)\cap\(A\cup B^c\)) equal to?
A. (A)
वितरण नियम से (\(A\cup B\)\cap\(A\cup B^c\)=A\cup\(B\cap B^c\)=A)। क्योंकि \(B\cap B^c=\varnothing\)। / By distributive law, (\(A\cup B\)\cap\(A\cup B^c\)=A\cup\(B\cap B^c\)=A). This is because \(B\cap B^c=\varnothing\).
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A. (32)
तीन अंदरूनी भागों का योग (33+27+18=78) है, इसलिए बाहर (110-78=32)। चार क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (33+27+18=78), so outside is (110-78=32). The four regions together form the whole (U).
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A. आंकड़े असंगत हैंThe data are inconsistent
(A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), इसलिए इसका मान (44+36=80) होना चाहिए। (92) दिया है, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / (A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), so its value should be (44+36=80). Since (92) is given, the data are inconsistent.
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B. 42
तीन समुच्चयों के समुच्च्यक योग से कुल सदस्यताएँ मिलती हैं: n(A)+n(B)+n(C)=72+66+60=198। यदि x = ठीक दो समुच्चयों में तत्त्वों की संख्या हो, तो प्रत्येक ऐसा तत्त्व दो बार कुल योग में गिना जाता है और जो तत्त्व तीनों में हैं वे तीन बार गिने जाते हैं। अतः \(198 = 84 + 2x + 3\times10\). इसके से \(198=84+2x+30=114+2x\) और \(2x=84\) इसलिए \(x=42\)। भ्रष्ट विकल्प का कारण: विकल्प C (52) तब आ सकता है जब तीन-समुच्चय के योगदान का गलत उपयोग कर के केवल एक बार घटाया जाए — लेकिन ठीक-दो के सदस्य कुल योग में दो-दो बार गिने जाते हैं। परीक्षा-सूत्र: Venn आरेख बनाकर या inclusion–exclusion के रूप में "कुल सदस्यताएँ = ठीक एक + 2×(ठीक दो) + 3×(ठीक तीन)" याद रखें। / Sum of memberships gives total counts: n(A)+n(B)+n(C)=72+66+60=198. Let x be the number of elements in exactly two sets. Elements in exactly one set contribute once, those in exactly two sets contribute twice to the sum of sizes, and those in all three contribute three times. Thus \(198 = 84 + 2x + 3\times10\). So \(198=84+2x+30=114+2x\), hence \(2x=84\) and \(x=42\). Why a common wrong answer appears: option C (52) can result from mishandling the triple intersection (for example subtracting it only once instead of accounting for how many times it's counted). Remember that exactly-two elements are counted twice in the sum of individual set sizes. Exam tip: Draw a three-circle Venn or use the equation "total memberships = exactly one + 2×(exactly two) + 3×(exactly three)" to avoid double-counting errors.
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If (n\(A\cup B\)=115), (n(A)=73), (n(B)=67), and (n(U)=150), what is (n\(A^c\cup B^c\))?
D. (108)
पहले (n\(A\cap B\)=73+67-115=25)। फिर (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (150-25=125), अतः दिए गए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / First (n\(A\cap B\)=73+67-115=25). Then (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (150-25=125), hence none of the given options is correct.
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A. \(A\setminus B\)
तर्क: \(A-(A\cap B)\) उन तत्वों का समूह है जो \(A\) में हैं पर \(A\cap B\) में नहीं हैं। यह ठीक वही है जो परिभाषा के अनुसार \(A\) में है और \(B\) में नहीं — अर्थात् \(A\setminus B\)। अलजेब्रिक रूप से: \(A-(A\cap B)=A\cap (A\cap B)^c= A\cap (A^c\cup B^c)= (A\cap A^c)\cup (A\cap B^c)=\varnothing\cup (A\cap B^c)=A\setminus B\)। नजदीकी विकर्षक क्यों गलत है: \(B\setminus A\) वे तत्व देता है जो \(B\) में हैं पर \(A\) में नहीं — यह प्रश्न की शर्त से मेल नहीं खाता। परीक्षा सुझाव: जल्दी जाँचना हो तो वेन आरेख में \(A\) के उस भाग को शेड करें जो \(B\) से ओवरलैप नहीं करता; वही उत्तर होगा। / Reason: \(A-(A\cap B)\) consists of elements that are in \(A\) but not in \(A\cap B\). Those are exactly the elements of \(A\) that are not in \(B\), i.e. \(A\setminus B\). Algebraic proof: \(A-(A\cap B)=A\cap (A\cap B)^c= A\cap (A^c\cup B^c)=(A\cap A^c)\cup (A\cap B^c)=\varnothing\cup (A\cap B^c)=A\setminus B\. Why the closest distractor is wrong: \(B\setminus A\) denotes elements in \(B\) but not in \(A\), which is not what the expression asks for. Exam tip: shade the part of \(A\) outside the overlap in a Venn diagram to get the answer quickly.
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B. 90
कभी-कभी संघ की कुल संख्या को अलग-अलग हिस्सों में बाँटकर देखा जाता है: कुल संघ = ठीक एक में होने वाले + ठीक दो में होने वाले + तीनों में होने वाले। यहाँ ठीक दो का मान दिया हुआ है (70) और तीनों का मान \(20\) है। इसलिए ठीक एक = \(180-70-20=90\)। निकटतम ग़लत विकल्प (110) वह त्रुटि दर्शाता है जहाँ केवल तीनों को न घटाकर (सिर्फ \(180-70\)) गलत परिणाम लिया गया हो। परीक्षा-सुझाव: तुरंत नंबर घटाने से पहले एक साधारण Venn आरेख बनाकर तीनों क्षेत्रों को लेबल कर लें—यह "ठीक दो" और "जोड़ा-बिंदु" (pairwise intersection) के बीच अंतर स्पष्ट करता है। / Split the union into disjoint regions: union = (exactly one) + (exactly two) + (all three). Here exactly-two = 70 and all-three = 20, so exactly-one = \(180-70-20=90\). The common error giving 110 comes from subtracting only the "exactly two" part (i.e. \(180-70\)) and forgetting to remove the triple-counted elements. Exam tip: draw a three-set Venn diagram and label the seven regions — it prevents confusion between "exactly two" and pairwise intersections like \(A\cap B\) which may include the triple overlap.
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If (n(A-B)=x), (n(B-A)=2x), (n\(A\cap B\)=15), and (n\(A\cup B\)=75), what is (x)?
B. (20)
संघ के भागों से (x+2x+15=75), इसलिए (3x=60) और (x=20)। अज्ञात क्षेत्र को समीकरण से हल करें। / From the union regions, (x+2x+15=75), so (3x=60) and (x=20). Solve unknown regions by forming an equation.
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