Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The condition asks for prime numbers greater than (10) and less than (30).
Step 2
Why this answer is correct
These numbers are (11,13,17,19,23,29), so this is the roster form.
Step 3
Exam Tip
In exams, include boundary numbers only when equality is given. चरण 1: दी गई शर्त में (10) से बड़ी और (30) से छोटी अभाज्य संख्याएँ चाहिए। चरण 2: ऐसी संख्याएँ (11,13,17,19,23,29) हैं, इसलिए रोस्टर रूप यही होगा। चरण 3: परीक्षा में सीमा वाली संख्याओं को तभी शामिल करें जब असमानता में बराबर का चिह्न हो।
A. (10) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ/Odd natural numbers less than (10)
Step 1
Concept
In a well-defined set, it must be clear whether an object belongs to it or not.
Step 2
Why this answer is correct
Odd natural numbers less than (10) are exactly (1,3,5,7,9), so this description is well-defined.
Step 3
Exam Tip
In exams, words like beautiful, good, and interesting usually make a description not well-defined. चरण 1: सुव्यक्त समुच्चय में यह साफ तय होना चाहिए कि कोई वस्तु उसमें आती है या नहीं। चरण 2: (10) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ निश्चित रूप से (1,3,5,7,9) हैं, इसलिए यह सुव्यक्त है। चरण 3: परीक्षा में सुंदर, अच्छा, रोचक जैसे शब्दों से बने वर्णन आम तौर पर सुव्यक्त नहीं माने जाते।
The set contains all positive even integers from (2) to (40).
Step 2
Why this answer is correct
Each element is of the form (2n), where (n) runs from (1) to (20).
Step 3
Exam Tip
When converting roster form to set-builder form, always check the last element. चरण 1: दिए गए समुच्चय में (2) से (40) तक सभी सम धन पूर्णांक हैं। चरण 2: हर पद (2n) के रूप में है, जहाँ (n=1) से (20) तक जाता है। चरण 3: रोस्टर से निर्माण रूप बनाते समय अंतिम पद की जाँच अवश्य करें।
When converting set-builder form to roster form, solve the condition first and then match it with the given number set. चरण 1: \(x^2-4x+3=0\) को ((x-1)(x-3)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इससे (x=1) या (x=3) मिलता है, और दोनों पूर्णांक हैं। चरण 3: समुच्चय-निर्माण रूप से रोस्टर रूप बनाते समय पहले शर्त का हल निकालें, फिर दिए गए संख्या-समुच्चय से मिलाएँ।
The integer solutions of \(x^2=16\) are (x=4) and (x=-4).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(C=\{-4,4\}\), so it has two elements.
Step 3
Exam Tip
In square equations, remember to check both positive and negative values. चरण 1: \(x^2=16\) के पूर्णांक हल (x=4) और (x=-4) हैं। चरण 2: इसलिए समुच्चय \(C=\{-4,4\}\) है और इसमें दो अवयव हैं। चरण 3: वर्ग समीकरण में धन और ऋण दोनों मान जाँचना न भूलें।
They are formed by \(1^2-1,2^2-1,3^2-1,4^2-1,5^2-1\), so \(x=n^2-1\) is the correct rule.
Step 3
Exam Tip
In pattern-based questions, test the rule on the first few terms and also on the last term. चरण 1: दिए गए अवयवों को क्रम से देखें: (0,3,8,15,24)। चरण 2: ये \(1^2-1,2^2-1,3^2-1,4^2-1,5^2-1\) से बनते हैं, इसलिए \(x=n^2-1\) सही नियम है। चरण 3: पैटर्न वाले प्रश्नों में पहले दो-तीन पदों पर नियम जाँचें, फिर अंतिम पद पर भी जाँच कर लें।
Positive divisors are numbers that divide (12) exactly.
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,3,4,6,12) are all positive divisors, so this is the roster form.
Step 3
Exam Tip
A common mistake is to forget (1) and the number itself. चरण 1: धन भाजक वे संख्याएँ हैं जिनसे (12) पूर्ण रूप से विभाजित होता है। चरण 2: (1,2,3,4,6,12) सभी धन भाजक हैं, इसलिए यही रोस्टर रूप है। चरण 3: भाजक लिखते समय (1) और स्वयं संख्या को छोड़ना आम गलती है।
(N) contains \(1,2,3,\ldots\), while (W) contains \(0,1,2,3,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
Thus \(E=\{1,2,3,4\}\) and \(F=\{0,1,2,3,4\}\), so \(E\subset F\).
Step 3
Exam Tip
Remember the role of (0) in whole numbers. चरण 1: (N) में \(1,2,3,\ldots\) आते हैं और (W) में \(0,1,2,3,\ldots\) आते हैं। चरण 2: इसलिए \(E=\{1,2,3,4\}\) और \(F=\{0,1,2,3,4\}\), अतः \(E\subset F\)। चरण 3: प्राकृतिक और पूर्ण संख्याओं में (0) का अंतर याद रखें।
Identify the vowels in the word, but do not repeat an element in a set.
Step 2
Why this answer is correct
The vowels appearing in “mathematics” are (a,e,i), so the set is ({a,e,i}).
Step 3
Exam Tip
Repeated elements are written only once in a set. चरण 1: शब्द में आने वाले स्वरों को पहचानना है, बार-बार आने वाले अक्षर अलग से नहीं लिखे जाते। चरण 2: “mathematics” में (a,e,i) स्वर आते हैं, इसलिए समुच्चय ({a,e,i}) है। चरण 3: समुच्चय में किसी अवयव की पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती।
Here ({3,4}) is one complete element, while (3) and (4) are not separate elements of (H).
Step 3
Exam Tip
Treat a set inside another set as a single element. चरण 1: समुच्चय (H) के अवयव (1,2,{3,4},5) हैं। चरण 2: यहाँ ({3,4}) पूरा समुच्चय एक अवयव है, पर (3) और (4) अलग-अलग अवयव नहीं हैं। चरण 3: समुच्चय के अंदर बने समुच्चय को एक अवयव की तरह देखें।
(x) is an integer greater than (-3), so (-3) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
Equality is allowed at (2), so (2) is included. Hence ({-2,-1,0,1,2}) is correct.
Step 3
Exam Tip
Read open and closed boundary conditions carefully. चरण 1: (x) पूर्णांक है और (-3) से बड़ा है, इसलिए (-3) शामिल नहीं होगा। चरण 2: (2) तक बराबर की अनुमति है, इसलिए (2) शामिल होगा। अतः ({-2,-1,0,1,2}) सही है। चरण 3: खुली और बंद सीमा को ध्यान से पढ़ें।
Use (n=0) only when whole numbers are specified. चरण 1: \(n\in N\) और \(n\le 4\) होने से (n=1,2,3,4) होंगे। चरण 2: (x=3n+1) में मान रखने पर (4,7,10,13) मिलते हैं। चरण 3: (n=0) तभी लें जब (n) पूर्ण संख्या में दिया हो।
Positive multiples of (5) start from (5), not (0).
Step 2
Why this answer is correct
Because the condition says less than (30), (30) is excluded. Thus ({5,10,15,20,25}) is correct.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between “less than” and “up to”. चरण 1: धन गुणज (5) से शुरू होंगे, (0) धन संख्या नहीं माना जाएगा। चरण 2: (30) से छोटी शर्त के कारण (30) शामिल नहीं होगा, इसलिए ({5,10,15,20,25}) सही है। चरण 3: “से छोटी” और “तक” में अंतर समझें।
Check squares of natural numbers: \(1^2,2^2,3^2,4^2\) are all less than (20).
Step 2
Why this answer is correct
\(5^2=25\), which is greater than (20), so (5) is not included.
Step 3
Exam Tip
For square conditions, test values just before and after the limit. चरण 1: प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग देखें: \(1^2,2^2,3^2,4^2\) सभी (20) से छोटे हैं। चरण 2: \(5^2=25\) है, जो (20) से बड़ा है, इसलिए (5) शामिल नहीं होगा। चरण 3: वर्ग वाली शर्तों में सीमा से पहले और बाद का मान जाँचें।
The integer solutions of \(x^2=9\) are (x=3) and (x=-3).
Step 2
Why this answer is correct
Both satisfy the condition, so \(S=\{-3,3\}\).
Step 3
Exam Tip
When a square is given, always check the negative value too. चरण 1: \(x^2=9\) के पूर्णांक हल (x=3) और (x=-3) हैं। चरण 2: दोनों मान शर्त पूरी करते हैं, इसलिए \(S=\{-3,3\}\)। चरण 3: वर्ग का मान समान आने पर ऋण मान को भी जाँचें।
The phrase “between” usually means the endpoints are not included.
Step 2
Why this answer is correct
The odd natural numbers between (1) and (10) are (3,5,7,9).
Step 3
Exam Tip
In word-based boundary conditions, decide carefully whether endpoints are included. चरण 1: “बीच की” का सामान्य अर्थ है कि सीमाएँ शामिल नहीं होतीं। चरण 2: (1) और (10) के बीच विषम प्राकृतिक संख्याएँ (3,5,7,9) हैं। चरण 3: शब्दों वाली सीमा में यह देखें कि किन सिरों को शामिल करना है।
From (2<x<4) and \(x\in N\), only (x=3) is possible.
Step 3
Exam Tip
To identify a singleton set, count the possible elements carefully. चरण 1: एकल समुच्चय में केवल एक अवयव होता है। चरण 2: (2<x<4) और \(x\in N\) से केवल (x=3) मिलता है। चरण 3: एकल समुच्चय पहचानने के लिए संभावित अवयव गिनें।
The distinct letters of “collection” are (c,o,l,e,t,i,n), giving (8) elements.
Step 3
Exam Tip
In letter-based sets, do not count repetition. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए अक्षर एक बार ही लिखे जाते हैं। चरण 2: “collection” के भिन्न अक्षर (c,o,l,e,t,i,n) हैं, कुल (8) अवयव हैं। चरण 3: अक्षर वाले समुच्चय में पुनरावृत्ति को गिनती में शामिल न करें।
The positive divisors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24).
Step 2
Why this answer is correct
The even divisors among them are (2,4,6,8,12,24).
Step 3
Exam Tip
For sets with two conditions, apply both conditions together. चरण 1: (24) के धन भाजक (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 2: इनमें सम भाजक (2,4,6,8,12,24) हैं। चरण 3: दो शर्तों वाले समुच्चय में दोनों शर्तें एक साथ लागू करें।
(2n-1) usually represents the first (n) odd natural numbers. चरण 1: (n=1,2,3,4,5) होंगे। चरण 2: (2n-1) में रखने पर (1,3,5,7,9) मिलते हैं। चरण 3: (2n-1) सामान्यतः पहली (n) विषम प्राकृतिक संख्याएँ देता है।
Natural multiples of (2), such as \(2,4,6,\ldots\), continue without end.
Step 3
Exam Tip
When a boundary is given, the set often becomes finite. चरण 1: अनंत समुच्चय में अवयवों की संख्या समाप्त नहीं होती। चरण 2: (2) के प्राकृतिक गुणज \(2,4,6,\ldots\) बिना अंत तक चलते हैं, इसलिए यह अनंत समुच्चय है। चरण 3: सीमा दी हो तो समुच्चय अक्सर सीमित हो जाता है।
(|x|<3) means the distance of (x) from (0) is less than (3).
Step 2
Why this answer is correct
The integer values are (-2,-1,0,1,2).
Step 3
Exam Tip
For absolute value conditions, check both negative and positive sides. चरण 1: (|x|<3) का अर्थ है (x) की दूरी (0) से (3) से कम हो। चरण 2: पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 3: परिमाण वाली शर्त में ऋण और धन दोनों ओर के मान देखें।
Since \(x\in N\), the possible values are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
After solving an inequality, always apply the given number set. चरण 1: \(3x\le 15\) से \(x\le 5\) मिलता है। चरण 2: \(x\in N\) होने से (x=1,2,3,4,5) होंगे। चरण 3: असमानता हल करने के बाद भी दिए गए संख्या-समुच्चय को याद रखें।
The positive multiples of (7) less than (50) are (7,14,21,28,35,42,49).
Step 2
Why this answer is correct
There are (7) elements.
Step 3
Exam Tip
While counting multiples, compare the last multiple with the boundary. चरण 1: (50) से छोटी (7) की धन गुणज संख्याएँ (7,14,21,28,35,42,49) हैं। चरण 2: कुल (7) अवयव हैं। चरण 3: गिनती करते समय अंतिम गुणज को सीमा से तुलना करके ही शामिल करें।
The elements (1,4,9,16,25) are the squares of the first five natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(x=n^2\), where \(1\le n\le 5\), is correct.
Step 3
Exam Tip
First identify the pattern in the roster form. चरण 1: दिए गए अवयव (1,4,9,16,25) पहली पाँच प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग हैं। चरण 2: इसलिए \(x=n^2\), जहाँ \(1\le n\le 5\), सही रूप है। चरण 3: रोस्टर देखकर पहले क्रम का नियम पहचानें।
In a set defined by a quadratic condition, the solutions become the elements. चरण 1: \(x^2-5x+6=0\) को ((x-2)(x-3)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसलिए (x=2) या (x=3), अतः \(E=\{2,3\}\)। चरण 3: द्विघात शर्त वाले समुच्चय में हल ही अवयव बनते हैं।
Never treat \(\phi\) and ({0}) as the same. चरण 1: ({0}) में (0) एक अवयव के रूप में मौजूद है। चरण 2: इसलिए यह रिक्त नहीं, बल्कि एकल समुच्चय है। चरण 3: \(\phi\) और ({0}) को कभी समान न मानें।
The common divisors with (24) are (1,2,3,6), so this is the set.
Step 3
Exam Tip
For common divisors, test both numbers together. चरण 1: (18) के भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: (24) के साथ सामान्य भाजक (1,2,3,6) हैं, इसलिए यही समुच्चय है। चरण 3: सामान्य भाजक में दोनों संख्याओं को साथ-साथ जाँचें।
In \(-2\le x<3\), (-2) is included but (3) is not included.
Step 2
Why this answer is correct
The integers are (-2,-1,0,1,2), so there are (5) elements.
Step 3
Exam Tip
Writing the roster first is a safe way to count. चरण 1: \(-2\le x<3\) में (-2) शामिल है पर (3) शामिल नहीं है। चरण 2: पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) हैं, कुल (5) अवयव। चरण 3: गिनती से पहले पूरा रोस्टर लिखना सुरक्षित तरीका है।
The multiples of (11) in this range are (11,22,33,44,55,66,77,88,99).
Step 3
Exam Tip
Under the condition less than (100), (99) can be included. चरण 1: दो अंकों वाली संख्याएँ (10) से (99) तक होती हैं। चरण 2: (11) की ऐसी गुणज संख्याएँ (11,22,33,44,55,66,77,88,99) हैं। चरण 3: (100) से छोटी शर्त में (99) शामिल हो सकता है।
\(x^2-10x+21=0\) can be written as ((x-3)(x-7)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=3) or (x=7), and both are natural numbers.
Step 3
Exam Tip
After solving, match the solutions with the given domain. चरण 1: \(x^2-10x+21=0\) को ((x-3)(x-7)=0) लिखा जा सकता है। चरण 2: (x=3) या (x=7), और दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 3: हल निकालने के बाद दिए गए क्षेत्र से मिलान करें।
A. \(A={x:x\) अंग्रेजी वर्णमाला के पहले तीन अक्षर हैं(})/\(A={x:x\) is one of the first three letters of the English alphabet(})
Step 1
Concept
(a,b,c) are the first three letters of the English alphabet.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the description correctly gives exactly these three elements.
Step 3
Exam Tip
In descriptive form, write a condition that gives neither extra nor missing elements. चरण 1: (a,b,c) अंग्रेजी वर्णमाला के पहले तीन अक्षर हैं। चरण 2: इसलिए दिया गया वर्णन इन्हीं तीन अवयवों को ठीक से बताता है। चरण 3: वर्णनात्मक रूप में ऐसी शर्त लिखें जो न ज्यादा अवयव दे, न कम।
From \(x^3=x\), we get \(x^3-x=0\), so (x(x-1)(x+1)=0).
Step 2
Why this answer is correct
The solutions are (-1,0,1), and all are integers.
Step 3
Exam Tip
Factoring the equation helps find set elements quickly. चरण 1: \(x^3=x\) से \(x^3-x=0\), यानी (x(x-1)(x+1)=0) मिलता है। चरण 2: हल (-1,0,1) हैं और ये सभी पूर्णांक हैं। चरण 3: समीकरण को गुणनखंड में बदलना समुच्चय के अवयव जल्दी देता है।
The positive divisors of (36) are (1,2,3,4,6,9,12,18,36).
Step 2
Why this answer is correct
The divisors greater than (6) are (9,12,18,36).
Step 3
Exam Tip
“Greater than” does not include equality. चरण 1: (36) के धन भाजक (1,2,3,4,6,9,12,18,36) हैं। चरण 2: (6) से बड़े भाजक (9,12,18,36) हैं। चरण 3: “से बड़ा” में बराबर शामिल नहीं होता।
A. (x) (10) से छोटी अभाज्य प्राकृतिक संख्या है/(x) is a prime natural number less than (10)
Step 1
Concept
(2,3,5,7) are all prime natural numbers less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
Odd numbers would include (1,9) and exclude (2), so that description is not correct.
Step 3
Exam Tip
Check both included elements and unwanted extra elements. चरण 1: (2,3,5,7) सभी (10) से छोटी अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 2: विषम संख्याओं में (1,9) भी आ जाते और (2) छूट जाता, इसलिए वह सही नहीं है। चरण 3: वर्णन चुनते समय हर अवयव और कोई अतिरिक्त अवयव दोनों जाँचें।
\(0^2,1^2,2^2,3^2\) are less than (10), but \(4^2=16\) is not. So \(M=\{0,1,2,3\}\).
Step 3
Exam Tip
Remember to include (0) in whole numbers. चरण 1: पूर्ण संख्याएँ \(0,1,2,3,\ldots\) होती हैं। चरण 2: \(0^2,1^2,2^2,3^2\) (10) से छोटे हैं, पर \(4^2=16\) नहीं। इसलिए \(M=\{0,1,2,3\}\)। चरण 3: पूर्ण संख्याओं में (0) को शामिल करना न भूलें।
Look at the natural numbers between (15) and (25).
Step 2
Why this answer is correct
The primes among them are (17,19,23). (21) and (25) are not prime.
Step 3
Exam Tip
Use quick divisibility checks to identify primes. चरण 1: (15) और (25) के बीच प्राकृतिक संख्याएँ देखें। चरण 2: इनमें अभाज्य संख्याएँ (17,19,23) हैं। (21) और (25) अभाज्य नहीं हैं। चरण 3: अभाज्य पहचानते समय विभाज्यता की जल्दी जाँच करें।
Numbers up to (10) divisible by (2) are (2,4,6,8,10).
Step 2
Why this answer is correct
Numbers divisible by (5) are (5,10), so together we get ({2,4,5,6,8,10}).
Step 3
Exam Tip
With “or”, include elements satisfying either condition, but write duplicates once. चरण 1: (10) तक (2) से विभाज्य संख्याएँ (2,4,6,8,10) हैं। चरण 2: (5) से विभाज्य संख्याएँ (5,10) हैं, संयुक्त रूप से ({2,4,5,6,8,10}) मिलता है। चरण 3: “या” में दोनों शर्तों से मिलने वाले सभी अवयव लें, दोहराव एक बार लिखें।
All elements are the first five positive multiples of (4).
Step 2
Why this answer is correct
(x=4n) with \(1\le n\le 5\) gives (4,8,12,16,20).
Step 3
Exam Tip
In multiple-based sets, identify the multiplier correctly. चरण 1: सभी अवयव (4) के प्रथम पाँच धन गुणज हैं। चरण 2: (x=4n) और \(1\le n\le 5\) रखने से (4,8,12,16,20) मिलते हैं। चरण 3: गुणज वाले समुच्चय में गुणनांक को ठीक पहचानें।
(x) is an integer and the interval includes both (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (-1,0,1) are all included.
Step 3
Exam Tip
(0) is an integer, so do not skip it while listing values. चरण 1: (x) पूर्णांक है और (-1) से (1) तक बराबर सहित है। चरण 2: इसलिए (-1,0,1) तीनों अवयव शामिल होंगे। चरण 3: (0) पूर्णांक है, इसे बीच की गिनती में न छोड़ें।
From natural numbers less than (20), choose those not divisible by both (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
The elements are (1,5,7,11,13,17,19).
Step 3
Exam Tip
For “neither” conditions, remove numbers satisfying each excluded divisibility. चरण 1: (20) से छोटी प्राकृतिक संख्याओं में वे चुनें जो (2) और (3) दोनों से विभाज्य न हों। चरण 2: ऐसे अवयव (1,5,7,11,13,17,19) हैं। चरण 3: “न तो” वाली शर्त में दोनों विभाज्यताओं को हटाएँ।
But \(x\in N\), and here natural numbers start from (1), so there is no element.
Step 3
Exam Tip
After solving, always check whether the solution belongs to the given domain. चरण 1: (x+4=4) से (x=0) मिलता है। चरण 2: लेकिन \(x\in N\) है और यहाँ प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं, इसलिए कोई अवयव नहीं है। चरण 3: हल मिलने के बाद यह देखना जरूरी है कि वह दिए गए समुच्चय में आता है या नहीं।
C. \({\phi}\) में एक अवयव है/\({\phi}\) has one element
Step 1
Concept
\(\phi\) is the empty set and has no element.
Step 2
Why this answer is correct
\({\phi}\) contains \(\phi\) itself as one element.
Step 3
Exam Tip
Putting a set as an element makes a new set that is not empty. चरण 1: \(\phi\) रिक्त समुच्चय है, इसमें कोई अवयव नहीं होता। चरण 2: \({\phi}\) में \(\phi\) स्वयं एक अवयव है, इसलिए इसमें एक अवयव है। चरण 3: किसी समुच्चय को अवयव के रूप में रखने से नया समुच्चय रिक्त नहीं रहता।
The positive multiples of (8) are \(8,16,24,32,40,48,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
The multiples less than (50) stop at (48).
Step 3
Exam Tip
(0) is not included among positive natural multiples. चरण 1: (8) के धन गुणज \(8,16,24,32,40,48,\ldots\) हैं। चरण 2: (50) से छोटे गुणज (8,16,24,32,40,48) तक ही हैं। चरण 3: धन प्राकृतिक गुणज में (0) शामिल नहीं किया जाता।
The integer values satisfying \(x^2\le 4\) are (-2,-1,0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
These form (5) elements.
Step 3
Exam Tip
For square inequalities, include zero and values on both sides. चरण 1: \(x^2\le 4\) के पूर्णांक मान (-2,-1,0,1,2) हैं। चरण 2: ये कुल (5) अवयव बनाते हैं। चरण 3: वर्ग वाली असमानता में शून्य और दोनों ओर के मान शामिल करें।
From (2x+1<12), we get (2x<11), so \(x<\frac{11}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
The natural values are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
When an inequality gives a fractional boundary, choose integer values carefully. चरण 1: (2x+1<12) से (2x<11), इसलिए \(x<\frac{11}{2}\)। चरण 2: प्राकृतिक मान (1,2,3,4,5) होंगे। चरण 3: असमानता में भिन्न सीमा आने पर पूर्णांक मान अलग से चुनें।
Distinguish cube patterns from square patterns. चरण 1: (0,1,8,27,64) क्रमशः \(0^3,1^3,2^3,3^3,4^3\) हैं। चरण 2: इसलिए \(x=n^3,\ n\in W,\ 0\le n\le 4\) सही है। चरण 3: घन और वर्ग के पैटर्न को अलग-अलग पहचानें।
The least common multiple of (9) and (12) is (36).
Step 2
Why this answer is correct
The positive multiples of (36) up to (100) are (36,72).
Step 3
Exam Tip
For common multiples, first find the least common multiple. चरण 1: (9) और (12) का लघुत्तम सामान्य गुणज (36) है। चरण 2: (100) तक (36) के धन गुणज (36,72) हैं। चरण 3: सामान्य गुणज में पहले लघुत्तम सामान्य गुणज निकालना तेज तरीका है।
The integers between (-4) and (4) are (-3,-2,-1,0,1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
The even integers among them are (-2,0,2).
Step 3
Exam Tip
(0) is also an even integer. चरण 1: (-4) और (4) के बीच पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं। चरण 2: इनमें सम पूर्णांक (-2,0,2) हैं। चरण 3: सम पूर्णांकों में (0) भी शामिल होता है।
The square of a natural number is odd exactly when the number itself is odd.
Step 2
Why this answer is correct
The odd natural numbers less than (8) are (1,3,5,7).
Step 3
Exam Tip
The parity of a square matches the parity of the original integer. चरण 1: किसी प्राकृतिक संख्या का वर्ग विषम तभी होता है जब संख्या स्वयं विषम हो। चरण 2: (8) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ (1,3,5,7) हैं। चरण 3: वर्ग की सम-विषम प्रकृति मूल संख्या जैसी रहती है।
