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पहले (n\(A\cup B\)=180-38=142), फिर (n\(A\cap B\)=92+84-142=34)। बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=180-38=142), then (n\(A\cap B\)=92+84-142=34). If the outside region is given, find the union first.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए (n\(A\cap B\)=126-47-39=40)। क्षेत्रीय विभाजन वाले प्रश्नों में अंदर के अलग भाग पहचानें। / The union is the sum of three separate parts, so (n\(A\cap B\)=126-47-39=40). In region-partition questions, identify separate inside regions.
ठीक एक (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)) होता है, इसलिए (86=142-2x) से (x=28)। इस प्रकार उल्टे प्रश्न में समीकरण बनाएं। / Exactly one is (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (86=142-2x) gives (x=28). For inverse questions, form an equation.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=77+64-120=21) है। जब कुल (U) से अधिक हो जाए तो अतिरिक्त भाग अनिवार्य साझा होता है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=77+64-120=21). When the total exceeds (U), the extra part must be common.
अधिकतम प्रतिच्छेद छोटे समुच्चय से अधिक नहीं हो सकता, इसलिए मान (59) है। अधिकतम के लिए (\min(n(A),n(B))) देखें। / The maximum intersection cannot exceed the smaller set, so the value is (59). For maximum, check (\min(n(A),n(B))).
\(B^c\) में (U) के वे तत्व हैं जो (B) में नहीं हैं, इसलिए (130-91=39)। उपसमुच्चय जानकारी यहां जरूरी नहीं है, यह जाल हो सकता है। / \(B^c\) contains elements of (U) not in (B), so (130-91=39). The subset information is not needed here and can be a trap.
क्योंकि (A) पूरा (C) में है, इसलिए (n(C-A)=118-29=89)। nested वेन आरेख में जिस समुच्चय को हटाना हो केवल वही घटाएं। / Since (A) lies fully inside (C), (n(C-A)=118-29=89). In a nested Venn diagram, subtract only the set being removed.
तीन समुच्चयों के लिए (n(A)=64), (n(B)=58), (n(C)=52), (n\(A\cap B\)=24), (n\(B\cap C\)=21), (n\(C\cap A\)=19) और (n\(A\cap B\cap C\)=8) है। (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
तीन समुच्चयों का संघ (64+58+52-24-21-19+8=118) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग वापस जोड़ें। / The union of three sets is (64+58+52-24-21-19+8=118). After subtracting pairwise intersections, add the central part back.
सूत्र में (140=70+65+60-28-24-22+x) होगा, इसलिए (x=19)। केंद्रीय भाग के लिए समावेशन-बहिष्करण को समीकरण की तरह लिखें। / In the formula (140=70+65+60-28-24-22+x), so (x=19). For the central part, write inclusion-exclusion as an equation.
ठीक दो (=(31-12)+(29-12)+(25-12)=49) है। प्रत्येक जोड़ी में केंद्रीय भाग शामिल होता है, इसलिए उसे घटाएं। / Exactly two (=(31-12)+(29-12)+(25-12)=49). Each pairwise intersection includes the central part, so subtract it.
केवल A में आने वाले तत्वों की गिनती के लिए तीन-समुच्चयों के समावेशन–अपवर्जन (inclusion–exclusion) सिद्धांत का उपयोग करें: केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). संख्याएँ डालने पर \(80-35-32+14=27\)। कारण: \(A\cap B\) और \(A\cap C\) दोनों में त्रि-आवरण \(A\cap B\cap C\) दो बार घटाया गया था, इसलिए उसे एक बार वापस जोड़ना आवश्यक है। आम भूल: त्रि-आवरण को जोड़ना भूलने पर \(80-35-32=13\) मिलता है (विकल्प A) — यह गलत है। परीक्षा टिप: तीन-सेट वाला वेंस आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र के हिस्सों को अलग-अलग लिखें और फिर inclusion–exclusion सूत्र लगाएँ। / Use the inclusion–exclusion idea for three sets: only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting gives \(80-35-32+14=27\). Explanation: the elements in \(A\cap B\) and \(A\cap C\) cause the triple intersection \(A\cap B\cap C\) to be subtracted twice, so add it back once. Common mistake: forgetting to add back the triple intersection yields \(80-35-32=13\) (option A), which is incorrect. Exam tip: label each region of a 3-set Venn diagram or directly apply the inclusion–exclusion formula to avoid sign errors.
कम से कम दो (=(42-15)+(36-15)+(34-15)+15=82) होना चाहिए, इसलिए सही मान (82) है। पहले ठीक दो निकालें और फिर तीनों वाला भाग जोड़ें। / At least two should be ((42-15)+(36-15)+(34-15)+15=82), so the correct value is (82). First find exactly two and then add the all-three part.
तीन समुच्चयों में केवल (A=23), केवल (B=27), केवल (C=21), केवल \(A\cap B=13\), केवल \(B\cap C=11\), केवल \(C\cap A=9\) और \(A\cap B\cap C=7\) हैं। (n(\(A\cup B\cup C\)^c)) कितना होगा यदि (n(U)=130)?
अंदर का संघ (23+27+21+13+11+9+7=111), इसलिए बाहर (130-111=19)। सातों अंदरूनी क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The inside union is (23+27+21+13+11+9+7=111), so outside is (130-111=19). Add all seven inside regions only once.
(A) के सभी अंदरूनी भागों का योग (18+12+10+6=46) है। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके पूरे वृत्त के भागों से मिलती है। / The sum of all inside parts of (A) is (18+12+10+6=46). The total of a set comes from all regions of its circle.
\(A\cup B\) में \(A\triangle B\) और \(A\cap B\) दोनों शामिल हैं, इसलिए (119-82=37)। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / \(A\cup B\) contains both \(A\triangle B\) and \(A\cap B\), so (119-82=37). The symmetric difference does not include the common part.
(n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (88=142-2x) से (x=27)। ठीक एक और साझा भाग में अंतर करें। / (n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (88=142-2x) gives (x=27). Distinguish exactly one from the common part.
संघ से साझा भाग हटाने पर केवल एक-एक समुच्चय वाले भाग बचते हैं। यही \(A\triangle B\) है। / Removing the common part from the union leaves the regions belonging to exactly one set. That is \(A\triangle B\).
प्रतिच्छेद का पूरक संघ में बदलता है, इसलिए (\(A\cap B\cap C\)^c=A^c\cup B^c\cup C^c)। पूरक लेते समय चिन्ह बदलना याद रखें। / The complement of an intersection changes into a union, so (\(A\cap B\cap C\)^c=A^c\cup B^c\cup C^c). Remember that the operation changes under complement.
संघ का पूरक प्रतिच्छेद में बदलता है, इसलिए (\(A\cup B\cup C\)^c=A^c\cap B^c\cap C^c)। वेन आरेख में यह तीनों वृत्तों के बाहर का भाग है। / The complement of a union changes into an intersection, so (\(A\cup B\cup C\)^c=A^c\cap B^c\cap C^c). In a Venn diagram, it is the outside of all three circles.
(\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c), इसलिए (128+72=200) सही है। पूरक क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c), so (128+72=200) is true. Complementary regions together form the whole (U).
(4) के गुणज (10), (5) के गुणज (8), और (20) के गुणज (2) हैं, इसलिए (10+8-2=16)। लघुत्तम समापवर्त्य से साझा भाग निकालें। / Multiples of (4) are (10), multiples of (5) are (8), and multiples of (20) are (2), so (10+8-2=16). Use the LCM to find the common part.
\((U={1,2,3,\ldots,60}), (A={x:x\) is divisible by \(2}), (B={x:x\) is divisible by \(3}) और (C={x:x\) is divisible by 5}) हैं। \((n(A\cap B\cap C)) कितना है\)?
तीनों में आने के लिए संख्या (30) से विभाज्य होगी, यानी (30,60)। इसलिए संख्या (2) है। / To be in all three sets, a number must be divisible by (30), namely (30,60). Hence the count is (2).
(10) से विभाज्य संख्या (2) और (5) दोनों से विभाज्य होती है, इसलिए \(C=A\cap B\)। वेन आरेख में (C) साझा भाग है। / A number divisible by (10) is divisible by both (2) and (5), so \(C=A\cap B\). In the Venn diagram, (C) is the common region.
A. इनसे (n\(A\cup B\cup C\)) निश्चित हो जाता है/These determine (n\(A\cup B\cup C\))
Explanation
Simple Explanation
केवल कुछ अंतरों से पूरा संघ निश्चित नहीं होता क्योंकि प्रतिच्छेदों की जानकारी अधूरी है। ऐसे प्रश्नों में पर्याप्त डेटा की जांच करें। / A few differences alone do not determine the whole union because intersection information is incomplete. In such questions, check whether the data is sufficient.
संघ सूत्र में घटने वाला भाग (n\(A\cap B\)) है, जो यहां (0) होगा। इसलिए समुच्चय असंबद्ध हैं। / In the union formula, the subtracted part is (n\(A\cap B\)), which must be (0) here. Hence the sets are disjoint.
संघ में (B) जोड़ने पर (A) से बड़ा क्षेत्र नहीं बन रहा, इसलिए (B) पहले से (A) में है। इसलिए \(B\subseteq A\)। / Adding (B) to (A) does not enlarge the region, so (B) is already inside (A). Therefore \(B\subseteq A\).
पूरा (A) प्रतिच्छेद में आ रहा है, इसलिए (A) का हर तत्व (B) में भी है। अतः \(A\subseteq B\)। / All of (A) is appearing in the intersection, so every element of (A) is also in (B). Hence \(A\subseteq B\).
(A) से साझा भाग (55-20=35), लेकिन (B) से (50-18=32) मिलता है। दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / From (A), the common part is (55-20=35), but from (B), it is (50-18=32). Since these are not equal, the data are inconsistent.
एक सर्वे में (n(U)=200), (n(A)=96), (n(B)=88), (n(C)=74), (n\(A\cap B\)=40), (n\(B\cap C\)=31), (n\(C\cap A\)=29) और (n\(A\cap B\cap C\)=12) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (96+88+74-40-31-29+12=170) है, इसलिए कोई नहीं (200-170=30)। पहले तीन-समुच्चय संघ निकालें। / The union is (96+88+74-40-31-29+12=170), so none is (200-170=30). First find the three-set union.
तीन समुच्चयों में (n\(A\cup B\cup C\)=150), केवल (A=32), केवल (B=28), केवल (C=24), केवल \(A\cap B=18\), केवल \(B\cap C=16\) और केवल \(C\cap A=14\) हैं। (n\(A\cap B\cap C\)) कितना होगा?
ज्ञात छह अंदरूनी क्षेत्रों का योग (32+28+24+18+16+14=132) है, इसलिए केंद्रीय भाग (150-132=18)। संघ में सभी सात अंदरूनी क्षेत्र आते हैं। / The sum of six known inside regions is (32+28+24+18+16+14=132), so the central part is (150-132=18). The union contains all seven inside regions.
यदि तीन समुच्चयों में ठीक एक समुच्चय में 71 तत्व हैं, ठीक दो समुच्चयों में 46 तत्व हैं और तीनों समुच्चयों में 15 तत्व हैं, तो \(n(A\cup B\cup C)\) कितना होगा?
समुच्चयों का संयुक्त समुच्चय उन सभी तत्वों को रखता है जो ठीक एक क्षेत्र, ठीक दो-क्षेत्रों या तीनों में मौजूद हैं। यहाँ दिए गए मान "ठीक एक", "ठीक दो" और "तीनوں" के लिए हैं, अतः कुल = 71 + 46 + 15 = 132। विकल्प B (117) उस त्रि-आवरण (15) को छोड़ देता है इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: प्रश्न में "exactly/ठीक" शब्दों का अर्थ समझ कर ही जोड़ें — यदि मान "exactly" दिए हों तो उन्हें सीधे जोड़ना होता है। / The union contains all elements that lie in exactly one region, exactly two regions, or in all three. Since the counts are given for "exactly one", "exactly two" and "all three", the total is 71 + 46 + 15 = 132. Option B (117) omits the 15 elements that are in all three, so it is incorrect. Exam tip: pay attention to the word "exactly" — when counts are for exactly k sets, the union is the sum of those counts (no further inclusion–exclusion adjustment needed).
समुच्चयों के संयुक्त में तत्त्वों को तीन परस्पर भिन्न वर्गों में बाँटा जा सकता है: ठीक एक में, ठीक दो में और तीनों में। इसलिए \(n(A\cup B\cup C)=\text{(ठीक एक)}+\text{(ठीक दो)}+\text{(तीनों)}\). यहाँ \(128=63+x+11\) जिससे \(x=128-63-11=54\)। सामान्य गलती: कुछ लोग तीनों में आने वाले 11 को बार-बार घटा देते हैं (उदा. \(128-63-22=43\))—यह गलत है क्योंकि तीनों के हिस्से को केवल एक बार घटाना चाहिए। परीक्षा टिप: यूनियन को सीधे तीन विसंयोजित भागों में बाँटकर समस्या तुरंत हल हो जाती है। / Partition the union into three disjoint classes: elements in exactly one set, exactly two sets, and all three. So \(n(A\cup B\cup C)=\text{(exactly one)}+\text{(exactly two)}+\text{(all three)}\). Here \(128=63+x+11\), giving \(x=128-63-11=54\). Common mistake: subtracting the triple-intersection twice (e.g. \(128-63-22=43\)) which double-counts the triple-region; you should subtract it only once. Exam tip: think in terms of disjoint regions (exactly 1, exactly 2, exactly 3) rather than manipulating pairwise counts directly.
कुल सदस्यता (82+76+70=228) है। यह ठीक एक \(+2\times54+3\times18\) के बराबर है, इसलिए ठीक एक (228-108-54=66)। / Total memberships are (82+76+70=228). This equals exactly one \(+2\times54+3\times18\), so exactly one is (228-108-54=66).
पहले (n(B-A)=104-37-26=41), फिर (n(B)=41+26=67)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों जोड़ें। / First (n(B-A)=104-37-26=41), then (n(B)=41+26=67). Add only (B) and the common part to get (B).
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (160-125=35)। डी मॉर्गन नियम से बाहर का क्षेत्र पहचानें। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), so (160-125=35). Use De Morgan's law to identify the outside region.
डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए इसका मान (170-44=126) होना चाहिए। (146) मिलने से आंकड़े असंगत हैं। / By De Morgan's law, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so its value should be (170-44=126). Since (146) is given, the data are inconsistent.
\(A^c\) में (B-A) और बाहर का भाग आएगा, इसलिए (30+15=45)। (A) के बाहर के सभी क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A^c\) includes (B-A) and the outside region, so (30+15=45). Add all regions outside (A).
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (120-22=98)। साझा भाग का पूरक पूरे (U) से साझा भाग घटाकर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (120-22=98). The complement of the common part is found by subtracting it from (U).
वितरण नियम से (\(A\cup B\)\cap\(A\cup B^c\)=A\cup\(B\cap B^c\)=A)। क्योंकि \(B\cap B^c=\varnothing\)। / By distributive law, (\(A\cup B\)\cap\(A\cup B^c\)=A\cup\(B\cap B^c\)=A). This is because \(B\cap B^c=\varnothing\).
तीन अंदरूनी भागों का योग (33+27+18=78) है, इसलिए बाहर (110-78=32)। चार क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (33+27+18=78), so outside is (110-78=32). The four regions together form the whole (U).
(A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), इसलिए इसका मान (44+36=80) होना चाहिए। (92) दिया है, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / (A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), so its value should be (44+36=80). Since (92) is given, the data are inconsistent.
तीन समुच्चयों A, B, C के लिए n(A)=72, n(B)=66, n(C)=60 दिए हैं; ठीक एक समुच्चय में 84 तत्त्व हैं और तीनों में 10 तत्त्व हैं। ठीक दो समुच्चयों में कितने तत्त्व हैं?
तीन समुच्चयों के समुच्च्यक योग से कुल सदस्यताएँ मिलती हैं: n(A)+n(B)+n(C)=72+66+60=198। यदि x = ठीक दो समुच्चयों में तत्त्वों की संख्या हो, तो प्रत्येक ऐसा तत्त्व दो बार कुल योग में गिना जाता है और जो तत्त्व तीनों में हैं वे तीन बार गिने जाते हैं। अतः
\(198 = 84 + 2x + 3\times10\).
इसके से \(198=84+2x+30=114+2x\) और \(2x=84\) इसलिए \(x=42\)।
भ्रष्ट विकल्प का कारण: विकल्प C (52) तब आ सकता है जब तीन-समुच्चय के योगदान का गलत उपयोग कर के केवल एक बार घटाया जाए — लेकिन ठीक-दो के सदस्य कुल योग में दो-दो बार गिने जाते हैं।
परीक्षा-सूत्र: Venn आरेख बनाकर या inclusion–exclusion के रूप में "कुल सदस्यताएँ = ठीक एक + 2×(ठीक दो) + 3×(ठीक तीन)" याद रखें। / Sum of memberships gives total counts: n(A)+n(B)+n(C)=72+66+60=198. Let x be the number of elements in exactly two sets. Elements in exactly one set contribute once, those in exactly two sets contribute twice to the sum of sizes, and those in all three contribute three times. Thus
\(198 = 84 + 2x + 3\times10\).
So \(198=84+2x+30=114+2x\), hence \(2x=84\) and \(x=42\).
Why a common wrong answer appears: option C (52) can result from mishandling the triple intersection (for example subtracting it only once instead of accounting for how many times it's counted). Remember that exactly-two elements are counted twice in the sum of individual set sizes.
Exam tip: Draw a three-circle Venn or use the equation "total memberships = exactly one + 2×(exactly two) + 3×(exactly three)" to avoid double-counting errors.
पहले (n\(A\cap B\)=73+67-115=25)। फिर (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (150-25=125), अतः दिए गए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / First (n\(A\cap B\)=73+67-115=25). Then (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (150-25=125), hence none of the given options is correct.
कभी-कभी संघ की कुल संख्या को अलग-अलग हिस्सों में बाँटकर देखा जाता है: कुल संघ = ठीक एक में होने वाले + ठीक दो में होने वाले + तीनों में होने वाले। यहाँ ठीक दो का मान दिया हुआ है (70) और तीनों का मान \(20\) है। इसलिए ठीक एक = \(180-70-20=90\)। निकटतम ग़लत विकल्प (110) वह त्रुटि दर्शाता है जहाँ केवल तीनों को न घटाकर (सिर्फ \(180-70\)) गलत परिणाम लिया गया हो। परीक्षा-सुझाव: तुरंत नंबर घटाने से पहले एक साधारण Venn आरेख बनाकर तीनों क्षेत्रों को लेबल कर लें—यह "ठीक दो" और "जोड़ा-बिंदु" (pairwise intersection) के बीच अंतर स्पष्ट करता है। / Split the union into disjoint regions: union = (exactly one) + (exactly two) + (all three). Here exactly-two = 70 and all-three = 20, so exactly-one = \(180-70-20=90\). The common error giving 110 comes from subtracting only the "exactly two" part (i.e. \(180-70\)) and forgetting to remove the triple-counted elements. Exam tip: draw a three-set Venn diagram and label the seven regions — it prevents confusion between "exactly two" and pairwise intersections like \(A\cap B\) which may include the triple overlap.
संघ के भागों से (x+2x+15=75), इसलिए (3x=60) और (x=20)। अज्ञात क्षेत्र को समीकरण से हल करें। / From the union regions, (x+2x+15=75), so (3x=60) and (x=20). Solve unknown regions by forming an equation.
पहले (n\(A\cup B\)=210-58=152), फिर (n\(A\cap B\)=96+88-152=32)। बाहर का भाग मिले तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=210-58=152), then (n\(A\cap B\)=96+88-152=32). If the outside part is given, find the union first.
पहले (n\(A\cup B\)=91+87-34=144), इसलिए पूरक (190-144=46) है। बाहर का भाग निकालने से पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=91+87-34=144), so the complement is (190-144=46). Find the union before finding the outside region.
संघ के तीन अलग भाग होते हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=148-52-43=53)। अलग क्षेत्रों को केवल एक बार गिनें। / The union has three separate parts, so (n\(A\cap B\)=148-52-43=53). Count each separate region only once.
संघ में सममित अंतर और साझा भाग दोनों आते हैं, इसलिए (112+39=151)। \(A\triangle B\) में साझा भाग शामिल नहीं होता। / The union contains both the symmetric difference and the common part, so (112+39=151). \(A\triangle B\) does not include the common part.
ठीक एक समुच्चय में आने वाले विद्यार्थियों की संख्या का सूत्र है \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। इसे मानों में रखकर: \(98=86+78-2n(A\cap B)=164-2x\)। अतः \(2x=66\) और \(x=33\)। सबसे निकट वाला विकल्प 31 गलत है क्योंकि उससे \(164-2\times31=102\) मिलेगा, न कि 98। परीक्षा सुझाव: "ठीक एक" वाले छात्रों के लिए हमेशा \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\) का प्रयोग करें या Venn चित्र से ही निकालें। / The number in exactly one set equals \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\). Substitute values: \(98=86+78-2x=164-2x\), so \(2x=66\) and \(x=33\). The closest distractor 31 is wrong because it would give \(164-2\times31=102\), not 98. Exam tip: remember the "exactly one" formula or derive it from the two-circle Venn diagram to avoid sign errors.
तीन समुच्चयों का संघ (90+84+78-36-32-30+13=167) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग जोड़ें। / The union of three sets is (90+84+78-36-32-30+13=167). After subtracting pairwise intersections, add the central part.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (n(A)+n(B)-n(U)=92+83-160=15) है। कुल संख्या (U) से अधिक हो तो अतिरिक्त भाग साझा होना जरूरी है। / The minimum intersection is (n(A)+n(B)-n(U)=92+83-160=15). If the total exceeds (U), the extra part must be common.
ठीक दो (=(45-16)+(38-16)+(35-16)=70) होना चाहिए, इसलिए विकल्पों में सही मान (70) है। हर जोड़ी से तीनों का साझा भाग घटाएं। / Exactly two should be ((45-16)+(38-16)+(35-16)=70), so the correct option is (70). Subtract the all-three part from each pair.
प्रतिच्छेद किसी भी समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम मान (74) है। अधिकतम के लिए छोटे समुच्चय का मान देखें। / The intersection cannot be larger than either set, so the maximum value is (74). For maximum, use the smaller set.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (105+96-180=21) है। जब दोनों कुल मिलकर (U) से अधिक हों, तो अतिरिक्त भाग साझा होता है। / The minimum intersection is (105+96-180=21). When the two totals exceed (U), the extra part must be common.
\(B^c\) में (U) के वे तत्व हैं जो (B) में नहीं हैं, इसलिए (150-108=42)। उपसमुच्चय जानकारी यहां जाल है। / \(B^c\) contains elements of (U) that are not in (B), so (150-108=42). The subset information is a trap here.
पहले (n(B-A)=136-49-31=56), फिर (n(B)=56+31=87)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों आते हैं। / First (n(B-A)=136-49-31=56), then (n(B)=56+31=87). (B) contains only (B) and the common part.
(4) के गुणज (24), (6) के गुणज (16), और (12) के गुणज (8) हैं, इसलिए (24+16-8=32)। साझा भाग के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiples of (4) are (24), multiples of (6) are (16), and multiples of (12) are (8), so (24+16-8=32). Use the LCM for the common part.
तीन समुच्चयों के लिए (n(A)=72), (n(B)=66), (n(C)=59), (n\(A\cap B\)=28), (n\(B\cap C\)=24), (n\(C\cap A\)=22) और (n\(A\cap B\cap C\)=9) है। (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
तीन समुच्चयों का संघ (72+66+59-28-24-22+9=132) है। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाने के बाद केंद्रीय भाग वापस जोड़ें। / The union of three sets is (72+66+59-28-24-22+9=132). After subtracting pairwise intersections, add the central part back.
तीन अंदरूनी भागों का योग (48+44+28=120) है, इसलिए बाहर (160-120=40)। चारों क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (48+44+28=120), so outside is (160-120=40). The four regions together form the whole (U).
सूत्र में (162=82+76+70-34-30-27+x) होगा, इसलिए (x=15)। अज्ञात केंद्रीय भाग के लिए समीकरण बनाएं। / In the formula (162=82+76+70-34-30-27+x), so (x=15). Form an equation for the unknown central part.
ठीक दो (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58) है। हर जोड़ी में केंद्रीय भाग शामिल होता है, इसलिए उसे घटाएं। / Exactly two (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58). Each pairwise intersection includes the central part, so subtract it.
केवल \(A\) में आने वाले तत्वों की संख्या \(n(A)-n(A\cap(B\cup C))\) होगी। समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से \(n(A\cap(B\cup C))=n(A\cap B)+n(A\cap C)-n(A\cap B\cap C)=40+37-16=61\)। त्रि-छेदीय भाग को एक बार घटाना आवश्यक है, क्योंकि वह पहले दो छेदों में दो बार गिना गया है। इसलिए केवल \(A\) में तत्व \(94-61=33\) हैं। विकल्प 31 में सामान्यतः त्रि-छेद के चिह्न या जोड़-घटाव की गलती होती है। परीक्षा-सुझाव: दो छेदों के योग से साझा त्रि-छेदीय भाग एक बार घटाना न भूलें। / The elements only in \(A\) are \(n(A)-n(A\cap(B\cup C))\). By inclusion–exclusion, \(n(A\cap(B\cup C))=n(A\cap B)+n(A\cap C)-n(A\cap B\cap C)=40+37-16=61\). The triple intersection must be subtracted once because it is counted in both pairwise intersections. Hence, the number of elements only in \(A\) is \(94-61=33\). Option 31 usually results from a sign or arithmetic error involving the triple intersection. Exam tip: whenever two overlapping parts are added, subtract their common overlap once.
कम से कम दो (=(48-17)+(41-17)+(39-17)+17=94) है। ठीक दो निकालकर तीनों वाला भाग जोड़ें। / At least two is ((48-17)+(41-17)+(39-17)+17=94). Find exactly two and then add the all-three part.
तीन समुच्चयों में केवल (A=31), केवल (B=26), केवल (C=24), केवल \(A\cap B=15\), केवल \(B\cap C=13\), केवल \(C\cap A=11\) और \(A\cap B\cap C=8\) हैं। यदि (n(U)=160), तो (n(\(A\cup B\cup C\)^c)) कितना होगा?
अंदर का संघ (31+26+24+15+13+11+8=128), इसलिए बाहर (160-128=32)। सातों अंदरूनी क्षेत्रों को जोड़ें। / The inside union is (31+26+24+15+13+11+8=128), so outside is (160-128=32). Add all seven inside regions.
(A) के सभी अंदरूनी भागों का योग (25+14+12+9=60) है। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके वृत्त के सभी भागों से मिलती है। / The sum of all inside parts of (A) is (25+14+12+9=60). The total of a set is found from all regions inside its circle.
\(A\cup B\) में \(A\triangle B\) और \(A\cap B\) दोनों भाग होते हैं, इसलिए (137-96=41)। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / \(A\cup B\) contains both \(A\triangle B\) and \(A\cap B\), so (137-96=41). The symmetric difference excludes the common part.
(n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (104=170-2x) से (x=33)। ठीक एक और साझा भाग अलग रखें। / (n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (104=170-2x) gives (x=33). Keep exactly one and common parts separate.
क्योंकि (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (157+83=240) सही है। पूरक क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / Since (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), (157+83=240) is true. Complementary regions together form the whole (U).
(6) के गुणज (12), (8) के गुणज (9) और (24) के गुणज (3) हैं, इसलिए (12+9-3=18)। साझा भाग के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiples of (6) are (12), multiples of (8) are (9), and multiples of (24) are (3), so (12+9-3=18). Use the LCM for the common part.
\((U={1,2,3,\ldots,90}), (A={x:x\) 2 से विभाज्य है\(}), (B={x:x\) 3 से विभाज्य है\(}) और (C={x:x\) 5 से विभाज्य है}) हैं। \((n(A\cap B\cap C)) कितना है\)?
तीनों में आने के लिए संख्या (30) से विभाज्य होगी, यानी (30,60,90)। इसलिए संख्या (3) है। / To be in all three sets, a number must be divisible by (30), namely (30,60,90). Hence the count is (3).
(12) से विभाज्य संख्या (3) और (4) दोनों से विभाज्य होती है, इसलिए \(C=A\cap B\)। वेन आरेख में (C) साझा भाग है। / A number divisible by (12) is divisible by both (3) and (4), so \(C=A\cap B\). In the Venn diagram, (C) is the common part.
A. इनसे (n\(A\cup B\cup C\)) निश्चित हो जाता है/These determine (n\(A\cup B\cup C\))
Explanation
Simple Explanation
केवल कुछ अंतर क्षेत्रों से पूरा संघ निश्चित नहीं होता क्योंकि कई साझा भाग अज्ञात रहते हैं। डेटा पर्याप्त है या नहीं, पहले जांचें। / A few difference regions alone do not determine the whole union because many common regions remain unknown. First check whether the data is sufficient.
(n\(A\cap B\)=56-19=37) है और (61-24=37) से पुष्टि होती है। दोनों तरफ से समान साझा भाग मिलना चाहिए। / (n\(A\cap B\)=56-19=37), and (61-24=37) confirms it. The same common part should be obtained from both sides.
(A) से साझा भाग (64-22=42), लेकिन (B) से (59-20=39) मिलता है। दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / From (A), the common part is (64-22=42), but from (B), it is (59-20=39). Since these are not equal, the data are inconsistent.
एक सर्वे में (n(U)=260), (n(A)=118), (n(B)=104), (n(C)=92), (n\(A\cap B\)=48), (n\(B\cap C\)=41), (n\(C\cap A\)=37) और (n\(A\cap B\cap C\)=16) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (118+104+92-48-41-37+16=204) है, इसलिए कोई नहीं (260-204=56)। पहले तीन-समुच्चय संघ निकालें। / The union is (118+104+92-48-41-37+16=204), so none is (260-204=56). First find the three-set union.
तीन समुच्चयों में (n\(A\cup B\cup C\)=172), केवल (A=38), केवल (B=34), केवल (C=29), केवल \(A\cap B=21\), केवल \(B\cap C=18\) और केवल \(C\cap A=16\) हैं। (n\(A\cap B\cap C\)) कितना होगा?
ज्ञात छह अंदरूनी क्षेत्रों का योग (38+34+29+21+18+16=156) है, इसलिए केंद्रीय भाग (172-156=16)। संघ में सातों अंदरूनी क्षेत्र आते हैं। / The sum of the six known inside regions is (38+34+29+21+18+16=156), so the central part is (172-156=16). The union contains all seven inside regions.
\(n(A\cup B\cup C)\) में उन सभी क्षेत्र‑ों के तत्व आते हैं जो परस्पर अलग (disjoint) हैं: ठीक एक वाले, ठीक दो वाले और तीनों वाले। इसलिए कुल = 84 + 63 + 18 = 165। निकटतम भ्रामक विकल्प 147 तब बनता है जब कोई तीनों में आने वाले 18 को भूल जाए (84+63) — यह गलत है क्योंकि तीनों में आने वाले अलग से जोड़े गए हैं। परिक्षा सुझाव: दिया गया मान "exactly" है; पहले यह सुनिश्चित कर लें कि मान अलग‑अलग (disjoint) क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं या नहीं। / The union counts every disjoint region once: elements in exactly one set, exactly two sets, and all three sets. So |A∪B∪C| = 84 + 63 + 18 = 165. A common mistake gives 147 by omitting the 18 that belong to all three (84+63), which is incorrect. Exam tip: always check whether given numbers mean "exactly" (disjoint regions) or "at least" (may require inclusion–exclusion adjustments).
ठीक दो (156-74-17=65) हैं। संघ को ठीक एक, ठीक दो और तीनों में बांटकर हल करें। / Exactly two is (156-74-17=65). Solve by dividing the union into exactly one, exactly two, and all three.
कुल सदस्यता (96+88+82=266) है। यह ठीक एक \(+2\times69+3\times21\) के बराबर है, इसलिए ठीक एक (266-138-63=65)। / Total memberships are (96+88+82=266). This equals exactly one \(+2\times69+3\times21\), so exactly one is (266-138-63=65).
पहले (n(B-A)=128-45-32=51), फिर (n(B)=51+32=83)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों आते हैं। / First (n(B-A)=128-45-32=51), then (n(B)=51+32=83). (B) contains only (B) and the common part.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (190-143=47)। डी मॉर्गन नियम से बाहर का क्षेत्र पहचानें। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), so (190-143=47). Use De Morgan's law to identify the outside region.
डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए इसका मान (210-52=158) होना चाहिए। (170) मिलने से आंकड़े असंगत हैं। / By De Morgan's law, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so its value should be (210-52=158). Since (170) is given, the data are inconsistent.
\(A^c\) में (B-A) और बाहर का भाग आएगा, इसलिए (37+18=55)। (A) के बाहर के सभी क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A^c\) includes (B-A) and the outside region, so (37+18=55). Add all regions outside (A).
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (150-29=121)। साझा भाग का पूरक (U) से साझा भाग घटाकर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (150-29=121). The complement of the common part is found by subtracting it from (U).
तीन अंदरूनी भागों का योग (41+34+26=101) है, इसलिए बाहर (130-101=29)। चार क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (41+34+26=101), so outside is (130-101=29). The four regions together form the whole (U).
(A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), इसलिए इसका मान (52+39=91) होना चाहिए। (100) दिया है, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / (A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), so its value should be (52+39=91). Since (100) is given, the data are inconsistent.
तीन समुच्चयों A, B, C के लिए n(A)=84, n(B)=78, n(C)=72 हैं। ठीक एक समुच्चय में 96 तत्व हैं और तीनों में 12 तत्व हैं। ठीक दो समुच्चयों में कितने तत्व होंगे?
कुल सदस्यता (membership) का योग है
\(84+78+72=234\)। यदि x = ठीक दो समुच्चयों में तत्वों की संख्या हो तो सदस्यता योग को समूहों के योगदान के रूप में लिखा जा सकता है: ठीक एक समुच्चय के तत्व एक-एक बार गिने जाते हैं, ठीक दो समुच्चयों के तत्व प्रत्येक दो बार गिने जाते हैं, और तीनों में के तत्व तीन बार गिने जाते हैं। इसलिए
\(234 = 96 + 2x + 3\times12\). इससे \(2x = 234-96-36 = 102\) और \(x = 51\)।
गलत विकल्पों की जाँच: यदि x=60 होता तो \(96+2\times60+3\times12=252\) जो 234 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: Venn आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र की multiplicity याद रखें — ठीक दो वाले हिस्से को दो बार गिनना होता है और तीनों में वाले को तीन बार। / Total membership count is \(84+78+72=234\). Let x be the number of elements in exactly two sets. In the sum of memberships each element in exactly one is counted once, each element in exactly two is counted twice, and each element in all three is counted three times. Thus
\(234 = 96 + 2x + 3\times12\). So \(2x = 234-96-36 = 102\) and \(x = 51\).
Why the nearest distractor is wrong: plugging x=60 gives \(96+2\times60+3\times12=252\neq234\). Exam tip: draw the three-set Venn diagram and write the total-membership equation \(\text{sum}=\text{one}+2\times\text{two}+3\times\text{three}\) before solving.
पहले (n\(A\cap B\)=82+76-139=19)। फिर (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (190-19=171)। दिए गए विकल्पों में कोई भी सही नहीं है। / First (n\(A\cap B\)=82+76-139=19). Then (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (190-19=171). None of the given options is correct.
कोर विचार: किसी भी तीन समुच्चयों का समेक (union) आपस में अलग-चिन्हित भागों का योग होता है — ठीक एक समुच्चय में वाले + ठीक दो समुच्चयों में वाले + तीनों में वाले। यहाँ दिया है \(n(A\cup B\cup C)=205\), ठीक दो में कुल = 83 और तीनों में = 24। अत: ठीक एक = \(205-83-24=98\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 107 इसलिए गलत है क्योंकि यह उस गलत धारणा से मिल सकता है कि किसी दिए हुए हिस्से को अलग तरह से घटाया गया हो; सही तरीका है यूनियन को disjoint भागों में विभाजित करना। परीक्षा टिप: सभी भागों को "ठीक एक, ठीक दो, तीनों" के रूप में अलग-अलग लिखकर ही घटाव करें ताकि ओवरलैप दोबारा न गिनें। / Core idea: The union of three sets breaks into disjoint parts: elements in exactly one set + exactly two sets + all three. Given \(n(A\cup B\cup C)=205\), exactly two = 83 and exactly three = 24, so exactly one = \(205-83-24=98\). Why the closest distractor (107) is wrong: 107 would arise only by a mistaken manipulation of the given counts (for example misinterpreting which counts are disjoint); the correct method is to decompose the union into disjoint categories before subtracting. Exam tip: Always partition the union into disjoint regions (label them) to avoid double-counting or misinterpretation of "exactly two" vs pairwise intersections.
संघ के भागों से (x+3x+24=120), इसलिए (4x=96) और (x=24)। अज्ञात क्षेत्र को समीकरण से हल करें। / From the union regions, (x+3x+24=120), so (4x=96) and (x=24). Solve unknown regions by forming an equation.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से साझा भाग (58+49-96=11) है। हमेशा संघ में दोहरी गिनती घटती है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), the common part is (58+49-96=11). Always remove double counting in a union.
पहले (n\(A\cup B\)=52+47-24=75), इसलिए बाहर (90-75=15) है। वेन आरेख में बाहर का क्षेत्र अंत में निकालें। / First (n\(A\cup B\)=52+47-24=75), so outside is (90-75=15). In a Venn diagram, find the outside region at the end.
पूरक के लिए (n(\(A\cup B\)')=n(U)-n\(A\cup B\)=150-118=32)। पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से संबंधित होता है। / For complement, (n(\(A\cup B\)')=n(U)-n\(A\cup B\)=150-118=32). A complement is always taken with respect to the universal set.
तीन समुच्चयों का सूत्र (40+38+35-14-12-10+5=82) देता है। तीनों के साझा भाग को अंत में फिर जोड़ना जरूरी है। / The three-set formula gives (40+38+35-14-12-10+5=82). The common part of all three must be added back at the end.
सूत्र में (100=50+45+40-18-15-12+x), इसलिए (x=10)। अज्ञात त्रिक छेदन को (x) मानकर हल करें। / In the formula, (100=50+45+40-18-15-12+x), so (x=10). Take the unknown triple intersection as (x) and solve.
एक वेन आरेख में (n\(A\cap B\cap C\)=7), केवल \(A\cap B\) में (9), केवल \(B\cap C\) में (6), केवल \(C\cap A\) में (5) और केवल (A) में (18) है। (n(A)) कितना है?
(A) में केवल (A), केवल \(A\cap B\), केवल \(C\cap A\) और तीनों साझा आते हैं, इसलिए (18+9+5+7=39)। क्षेत्र जोड़ते समय केवल (A) के अंदर वाले भाग चुनें। / Set (A) contains only (A), only \(A\cap B\), only \(C\cap A\), and the triple part, so (18+9+5+7=39). While adding regions, choose only parts inside (A).
किसी में भी नहीं (=n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=200-164=36)। बाहरी क्षेत्र सार्वत्रिक समुच्चय से संघ घटाने पर मिलता है। / None of them equals (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=200-164=36). The outside region is found by subtracting the union from the universal set.
यदि केवल (A), केवल (B), केवल (C), ठीक दो समुच्चयों में और तीनों समुच्चयों में क्रमशः (16), (19), (14), (27), (8) तत्व हैं, तो कम से कम एक समुच्चय में कुल कितने तत्व हैं?
कम से कम एक का अर्थ संघ है, इसलिए (16+19+14+27+8=84)। वेन आरेख में सभी अंदरूनी क्षेत्रों को जोड़ें। / At least one means the union, so (16+19+14+27+8=84). In a Venn diagram, add all inside regions.
किसी परीक्षा समूह में 80 विद्यार्थियों में से 46 ने गणित चुना, 39 ने भौतिकी चुना और 22 ने दोनों विषय चुने। केवल भौतिकी चुनने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
केवल भौतिकी वाले = कुल भौतिकी लेने वालों − दोनों लेने वाले = \(39-22=17\)। विकल्प B (24) वास्तव में केवल गणित के लिए है, क्योंकि \(46-22=24\)। विकल्प C (61) समेकित गलत गणना है (39+22) जो सामान्य क्षेत्र को दुहरा देता है। विकल्प D (63) उन छात्रों की संख्या हो सकती है जो कम से कम एक विषय लेते हैं (46+39−22), पर वह केवल भौतिकी नहीं है। परीक्षा-टिप: ऐसा सवाल हल करते समय तुरंत दो-सेट व venn आरेख बनाकर केवल/दोनों/कम से कम एक क्षेत्रों को चिन्हित करें। / Only-Physics = Physics total − both = \(39-22=17\). Option B (24) corresponds to only Mathematics because \(46-22=24\). Option C (61) is the incorrect sum 39+22 which double-counts the overlap. Option D (63) equals the number taking at least one subject (46+39−22), not the count of only Physics. Exam tip: Draw a two-set Venn diagram and label totals to read off the "only" and "both" regions quickly.
जब \(A\subseteq B\), तब (B-A) में (64-28=36) तत्व होते हैं। उपसमुच्चय का पूरा वृत्त बड़े समुच्चय के अंदर होता है। / When \(A\subseteq B\), (B-A) has (64-28=36) elements. The subset circle lies completely inside the larger set.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (31+44=75)। असंबद्ध वृत्त वेन आरेख में नहीं कटते। / For disjoint sets, the common part is (0), so (31+44=75). Disjoint circles do not overlap in a Venn diagram.
संघ तीन अलग क्षेत्रों का योग है, इसलिए (23+17+12=52)। वेन आरेख में अलग-अलग क्षेत्रों को एक बार ही जोड़ें। / The union is the sum of three separate regions, so (23+17+12=52). In a Venn diagram, add each separate region only once.
(B) में (B-A) और \(A\cap B\) आते हैं, इसलिए (B-A=47-15=32)। दिए गए (A-B) से भ्रमित न हों। / Set (B) contains (B-A) and \(A\cap B\), so (B-A=47-15=32). Do not get confused by the given (A-B).
A. क्योंकि (A-B) में \(A\cap C\) का कुछ भाग आ सकता है/Because (A-B) may include a part of \(A\cap C\)
Explanation
Simple Explanation
तीन समुच्चयों में (A-B) का अर्थ (A) में वे सभी भाग हैं जो (B) में नहीं हैं, इसमें केवल (A) और केवल \(A\cap C\) आ सकते हैं। क्षेत्र का अर्थ पढ़कर ही संख्या रखें। / In three sets, (A-B) means all parts of (A) not in (B), which can include only (A) and only \(A\cap C\). Always interpret the region before placing the number.
\(A'\cap B'\) का अर्थ दोनों से बाहर है, इसलिए (n\(A\cup B\)=100-18=82)। अब (48+52-n\(A\cap B\)=82), अतः (18)। / \(A'\cap B'\) means outside both, so (n\(A\cup B\)=100-18=82). Now (48+52-n\(A\cap B\)=82), hence (18).
संघ (=(A-B)+(B-A)+\(A\cap B\)), इसलिए साझा भाग (70-24-31=15) है। संघ में तीन अलग क्षेत्र होते हैं। / Union equals ((A-B)+(B-A)+\(A\cap B\)), so the common part is (70-24-31=15). A union has three separate regions in two sets.
सममित अंतर \(A\Delta B\) ठीक एक समुच्चय के क्षेत्र देता है, इसलिए संघ (54+19=73) है। साझा क्षेत्र अलग से जोड़ना होता है। / The symmetric difference \(A\Delta B\) gives the exactly-one regions, so the union is (54+19=73). The common region must be added separately.
A. (n\(A\cap B\)+n\(B\cap C\)+n\(C\cap A\)-3n\(A\cap B\cap C\))
Explanation
Simple Explanation
हर युग्म छेदन में त्रिक छेदन शामिल होता है, जो तीन बार गिना जाता है, इसलिए (3n\(A\cap B\cap C\)) घटता है। ठीक दो में त्रिक भाग शामिल नहीं होता। / Each pairwise intersection includes the triple intersection, counted three times, so (3n\(A\cap B\cap C\)) is subtracted. Exactly two does not include the triple part.
ठीक दो \(=20+18+16-3\cdot6=36\)। युग्म छेदनों में त्रिक भाग बार-बार गिना जाता है। / Exactly two is \(20+18+16-3\cdot6=36\). The triple part is counted repeatedly in pairwise intersections.
सार्वत्रिक समुच्चय में अंदर और बाहर सभी क्षेत्र आते हैं, इसलिए (12+15+10+33+9+21=100)। कोई भी क्षेत्र न छोड़ें। / The universal set contains all inside and outside regions, so (12+15+10+33+9+21=100). Do not skip any region.
एक सर्वेक्षण में कुल 45 लोग सेट \(A\) में हैं, 50 लोग \(B\) में, 42 लोग \(C\) में; \(A\cap B\) में 18 लोग, \(B\cap C\) में 20 लोग, \(C\cap A\) में 16 लोग और तीनों में 7 लोग शामिल हैं। केवल \(A\) में कितने लोग हैं?
केवल \(A\) का भाग निकालने के लिए जो हिस्से सिर्फ जोड़नों में हैं उनमें से त्रि-आवरण (तीनों में सामान्य) भाग पहले अलग करना होता है। \(A\cap B\) में से केवल जोड़ी वाला हिस्सा होगा \(18-7=11\), और \(C\cap A\) में केवल जोड़ी वाला हिस्सा होगा \(16-7=9\)। इसलिए केवल \(A\)=कुल \(A\) − (\(A\) के जोड़ी-only हिस्से) − (\(A\) के अन्य जोड़ी-only हिस्से) − (तीनों का हिस्सा) = \(45-(18-7)-(16-7)-7=45-11-9-7=18\).\nक्यों गलत: विकल्प B (11) केवल \(A\cap B\) से त्रि-आवरण घटाने का मूल्य है, यह भूलकर केवल एक इंटरसेक्शन घटाने से आता है — पर अंत में दोनों जोड़ी-हिस्से और त्रि-हिस्सा घटाने आवश्यक हैं।\nपरीक्षात्मक सुझाव: एक Venn डायग्राम बनाएं और सबसे पहले केंद्र (तीनों) को लिखें, फिर जोड़ी-only क्षेत्र और अंत में केवल-एक क्षेत्रों की गणना करें। / Compute the region-by-region counts. For each pair intersection subtract the triple part first: \(A\cap B\) only = \(18-7=11\), \(C\cap A\) only = \(16-7=9\). Now only-\(A\) = total in \(A\) − (both-only parts involving A) − (triple) = \(45-(18-7)-(16-7)-7 = 45-11-9-7 = 18\).\nWhy other choices fail: option B (11) equals \(A\cap B\) minus the triple and corresponds to subtracting only one pair's overlap — it misses the other pair and the triple.\nExam tip: sketch a three-set Venn diagram, place the triple intersection first, then compute pairwise-only values, then remaining single-only values to avoid double counting.
यदि (n(A)=70), (n(B)=62), (n(C)=58), (n\(A\cap B\)=30), (n\(B\cap C\)=24), (n\(C\cap A\)=26), (n\(A\cap B\cap C\)=12), और (n(U)=130) है, तो किसी में भी नहीं कितने हैं?
संघ (70+62+58-30-24-26+12=122) है, इसलिए बाहर (130-122=8)। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / The union is (70+62+58-30-24-26+12=122), so outside is (130-122=8). Find the union first and then take its complement.
पूरा (A) यदि (B) के अंदर है, तो \(A\subseteq B\) है। वेन आरेख में वृत्तों की स्थिति समुच्चय संबंध बताती है। / If all of (A) is inside (B), then \(A\subseteq B\). In Venn diagrams, circle placement shows set relations.
A. नहीं, (A) और (C) कट सकते हैं/No, (A) and (C) may overlap
Explanation
Simple Explanation
दोनों शर्तें केवल (B) को (A) और (C) से अलग करती हैं, (A) और (C) आपस में कट सकते हैं। वेन आरेख से प्रतिउदाहरण जल्दी दिखता है। / The two conditions only separate (B) from (A) and (C); (A) and (C) can still overlap. A Venn diagram quickly shows the counterexample.
(A) के अंदर और (B) के बाहर का क्षेत्र (A-B) है। भाषा को क्षेत्रीय अर्थ में बदलना सीखें। / The region inside (A) and outside (B) is (A-B). Learn to translate words into region meanings.
दोनों के बाहर का भाग \(A'\cap B'\) है, जो (\(A\cup B\)') के बराबर है। डी मॉर्गन नियम याद रखें। / The part outside both is \(A'\cap B'\), which equals (\(A\cup B\)'). Remember De Morgan's law.
संघ के तीन भाग जोड़ें: ((x+5)+(2x-3)+(x+1)=45), इसलिए (4x+3=45) और (x=10.5) नहीं आता, अतः सही समीकरण में त्रुटि है। / Add the three union parts: ((x+5)+(2x-3)+(x+1)=45), so (4x+3=45) and (x=10.5), not an integer; hence the given options show inconsistency.
सूत्र से ((3x+8)+(2x+17)-(x+5)=70), इसलिए (4x+20=70) और (x=12.5) आता है, अतः विकल्पों में कोई सही नहीं। / Using the formula, ((3x+8)+(2x+17)-(x+5)=70), so (4x+20=70) and (x=12.5); therefore none of the listed options is correct.
((4x+6)+(3x+9)-(2x+5)=80) से (5x+10=80), इसलिए (x=14)। सूत्र लगाते समय छेदन घटाना न भूलें। / From ((4x+6)+(3x+9)-(2x+5)=80), (5x+10=80), so (x=14). Do not forget to subtract the intersection.
कम से कम एक (=68+57-31=94), इसलिए प्रतिशत \(\frac{94}{120}\times100=78.33%\) है। पहले संख्या निकालें फिर प्रतिशत लें। / At least one is (68+57-31=94), so the percentage is \(\frac{94}{120}\times100=78.33%\). Find the count first, then convert to percentage.
संघ प्रतिशत (35%+48%-20%=63%) है। प्रतिशतों पर भी वही समावेशन-बहिष्करण सूत्र लगता है। / The union percentage is (35%+48%-20%=63%). The same inclusion-exclusion formula works for percentages.
सामान्य सूत्र में छेदन घटता है, इसलिए बराबरी तभी होगी जब (n\(A\cap B\)=0)। इसका अर्थ असंबद्ध समुच्चय है। / In the general formula, the intersection is subtracted, so equality holds only when (n\(A\cap B\)=0). This means the sets are disjoint.
जब \(A\subseteq B\), तब मिलाकर (B) और साझा भाग (A) होता है। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में यह तुरंत दिखता है। / When \(A\subseteq B\), the union is (B) and the common part is (A). This is immediate from the subset Venn diagram.
A. तीन अलग-अलग असंबद्ध क्षेत्र/Three separate disjoint regions
Explanation
Simple Explanation
आंशिक कटान में (A-B), \(A\cap B\), और (B-A) एक-दूसरे से असंबद्ध अलग क्षेत्र हैं। इन्हीं का योग \(A\cup B\) देता है। / In partial overlap, (A-B), \(A\cap B\), and (B-A) are separate disjoint regions. Their sum gives \(A\cup B\).
ये तीनों \(A\cup B\) के अलग-अलग क्षेत्र हैं, इसलिए (29+34+21=84)। पूरक चिह्न से क्षेत्र पहचानें। / These three are separate regions of \(A\cup B\), so (29+34+21=84). Use the complement symbol to identify the region.
संघ (18+22+16=56) है, इसलिए दोनों के बाहर (75-56=19)। चार क्षेत्रों का कुल योग (U) होता है। / The union is (18+22+16=56), so outside both is (75-56=19). The four regions together make (U).
यदि (A), (B), (C) के वेन आरेख में केवल \(A\cap B\) में (11), केवल \(B\cap C\) में (13), केवल \(C\cap A\) में (9), और तीनों में (4) हैं, तो (n\(A\cap B\)+n\(B\cap C\)+n\(C\cap A\)) कितना है?
युग्म छेदन योग (=(11+4)+(13+4)+(9+4)=45)। तीनों वाला भाग हर युग्म छेदन में शामिल होता है। / The pairwise intersection sum is ((11+4)+(13+4)+(9+4)=45). The triple part is included in every pairwise intersection.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों, इसलिए तीनों (95-46-33=16)। क्षेत्र श्रेणियां अलग-अलग होती हैं। / Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (95-46-33=16). These region categories are disjoint.
सूत्र से (120=55+60+65-78+x), इसलिए (x=18)। युग्म छेदन का योग सीधे सूत्र में घटता है। / Using the formula, (120=55+60+65-78+x), so (x=18). The sum of pairwise intersections is subtracted directly in the formula.
ठीक एक (=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (82=140-2x) और (x=29)। ठीक एक में साझा भाग दो बार घटता है। / Exactly one equals (n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (82=140-2x) and (x=29). The common part is removed twice for exactly one.
A. क्योंकि कई अंदरूनी क्षेत्र अभी अज्ञात हैं/Because several inner regions are still unknown
Explanation
Simple Explanation
तीन-समुच्चय वेन आरेख में केवल ये अंतर कुछ क्षेत्रों को ही बताते हैं, सभी सात अंदरूनी क्षेत्र नहीं। संघ जानने के लिए सभी अंदरूनी क्षेत्र चाहिए। / In a three-set Venn diagram, these differences describe only some regions, not all seven inner regions. To know the union, all inner regions are needed.
A. क्योंकि खाली न होने वाले सदस्यता प्रकार \(2^3-1=7\) होते हैं/Because the non-empty membership types are \(2^3-1=7\)
Explanation
Simple Explanation
तीन समुच्चयों के लिए कुल सदस्यता प्रकार \(2^3\) हैं, जिनमें एक बाहर का क्षेत्र है, इसलिए अंदर \(2^3-1=7\) क्षेत्र हैं। क्षेत्र गिनने में बाहर वाला अलग रखें। / For three sets, there are \(2^3\) membership types, one of which is outside, so inner regions are \(2^3-1=7\). Keep the outside region separate while counting.
यदि (n(U)=250), (n(A)=120), (n(B)=110), (n(C)=95), (n\(A\cap B\)=52), (n\(B\cap C\)=41), (n\(C\cap A\)=37), (n\(A\cap B\cap C\)=19) है, तो कम से कम एक में नहीं होने वालों की संख्या क्या है?
कम से कम एक का संघ (120+110+95-52-41-37+19=214) है, इसलिए बाहर (250-214=36)। लंबी संख्याओं में सूत्र क्रम से लिखें। / The union for at least one is (120+110+95-52-41-37+19=214), so outside is (250-214=36). With large numbers, write the formula in order.
एक कक्षा में (100) विद्यार्थियों में (72) ने (A) या (B) में से कम से कम एक चुना। यदि केवल (A) में (28) और केवल (B) में (34) हैं, तो दोनों में कितने हैं?
संघ (=) केवल (A) (+) केवल (B) (+) दोनों, इसलिए दोनों (72-28-34=10)। कम से कम एक का अर्थ संघ है। / Union equals only (A) plus only (B) plus both, so both is (72-28-34=10). At least one means union.
