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तीन तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(2^3=8\) होते हैं। परीक्षा में घात समुच्चय की संख्या के लिए \(2^n\) याद रखें। / A set with three elements has \(2^3=8\) subsets. For exams remember \(2^n\) for number of elements in a power set.
पहले (A'={3,4,5,6}) मिलेगा जिसमें (4) तत्व हैं। इसलिए (\mathcal{P}(A')) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (A'={3,4,5,6}), which has (4) elements. So (\mathcal{P}(A')) has \(2^4=16\) elements.
घात समुच्चय किसी समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है। परीक्षा में तत्व और उपसमुच्चय में अंतर रखें। / A power set is the set of all subsets of a given set. In exams keep the difference between element and subset clear.
({a}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय के तत्व हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / ({a}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Elements of a power set are always subsets.
रिक्त समुच्चय का एक ही उपसमुच्चय \(\emptyset\) होता है। इसलिए (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}) है। / The empty set has only one subset which is \(\emptyset\). Hence (\mathcal{P}\(\emptyset\)={\emptyset}).
A. चर्चा में सभी संबंधित तत्वों का समुच्चय/set of all relevant elements under discussion
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय उस संदर्भ के सभी संबंधित तत्व रखता है। प्रश्न में दिए गए संदर्भ को देखकर (U) तय करें। / The universal set contains all relevant elements in the given context. Decide (U) from the context of the question.
किसी समुच्चय A के घात समुच्चय में A के सभी उपसमुच्चय आते हैं और उनकी संख्या सूत्र \(2^n\) से दी जाती है जहाँ \(n\) मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=4\) है अतः \(2^4=16\)। इसलिए सही उत्तर 16 है। नज़दीकी विचलन — 8 इसलिए गलत है क्योंकि यह \(2^n\) के बजाय किसी और (जैसे \(2\times n\)) ग़लत गणना का परिणाम होगा; 32 तब ही सही होता यदि \(n=5\) होता। परीक्षा सुझाव: घात समुच्चय में खाली समुच्चय और मूल समुच्चय दोनों शामिल होते हैं — इसलिए हमेशा \(2^n\) याद रखें। / The power set of a set A consists of all possible subsets, and its size is given by the formula \(2^n\), where \(n\) is the number of elements in A. Here \(n=4\), so \(2^4=16\); hence 16 is correct. Closest distractor 8 is incorrect because it reflects a wrong computation (e.g. treating the count as \(2\times n\) instead of \(2^n\)); 32 would correspond to \(n=5\). Exam tip: always count the empty set and the set itself — memorise \(2^n\) for power-set questions.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({x}) हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{x}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({x}). So its power set is \({\emptyset,{x}}\).
\(\mathcal{P}(\{1,2\})\) में उन सभी उपसमुच्चयों के集合 आते हैं जो \(\{1,2\}\) के हैं, अर्थात् \(\emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}\). \(\{3\}\) उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि तत्व 3 मूल समुच्चय \(\{1,2\}\) में नहीं है; अतः \(\{3\}\) घात समुच्चय का तत्व नहीं हो सकता। निकटभ्रामक विकल्प \(\emptyset\) को कभी-कभी याद नहीं रखा जाता, पर खाली समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है इसलिए वह घात समुच्चय में अवश्य आता है। परीक्छा-सूत्र: घात समुच्चय लिखते समय सभी उपसमुच्चयों को सूचीबद्ध कर लें और खाली समुच्चय न भूलें। / The power set \(\mathcal{P}(\{1,2\})\) consists of all subsets of \(\{1,2\}\), namely \(\emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}\). The set \(\{3\}\) is not a subset because element 3 is not in \(\{1,2\}\); therefore \(\{3\}\) cannot be an element of the power set. A common distractor is \(\emptyset\): some students forget it, but the empty set is a subset of every set so it is in the power set. Exam tip: systematically list all subsets when forming a power set and always include \(\emptyset\).
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए \(\emptyset\) हर घात समुच्चय का तत्व है। / The empty set is a subset of every set. Therefore \(\emptyset\) is an element of every power set.
किसी समुच्चय A का घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में तत्वों की संख्या \(2^{n(A)}\) होती है क्योंकि प्रत्येक तत्व को या तो चुना जा सकता है या छोड़ा जा सकता है। यहाँ \(n(A)=2\) है, अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^{2}=4\)। विकल्प 2, 3 और 5 गलत हैं क्योंकि वे \(2^{n(A)}\) के नियम का पालन नहीं करते। परीक्षा-सुझाव: याद रखें कि यदि समुच्चय में \(n\) तत्व हों तो उसका पावर सेट हमेशा \(2^n\) तत्वों का होगा। / The cardinality of the power set \(\mathcal{P}(A)\) is \(2^{n(A)}\) because each element may either be included or excluded when forming a subset. With \(n(A)=2\), we get \(n(\mathcal{P}(A))=2^{2}=4\). Options 2, 3 and 5 are incorrect as they do not follow the \(2^{n(A)}\) rule. Exam tip: for any set with \(n\) elements, its power set has \(2^n\) subsets—memorize this formula.
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में A के सभी उपसमुच्चय (subsets) अपने-अपने तत्व के रूप में होते हैं। चूँकि \(\{p,q\}\) A का उपसमुच्चय है (\(\{p,q\}\subseteq A\)), इसलिए \(\{p,q\}\) पावर सेट का एक तत्व है यानी \(\{p,q\}\in\mathcal{P}(A)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\{p,q\}\subset\mathcal{P}(A)\) का अर्थ होगा कि हर एक तत्व p और q भी \(\mathcal{P}(A)\) में है — पर \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व उपसमुच्चय हैं, न कि p और q जैसे मूल तत्व। विकल्प C तभी सही होता अगर A स्वयं \(\{p,q\}\) होता (यहाँ A में r भी है)। विकल्प D गलत है क्योंकि A के तत्व p और q सेट नहीं, बल्कि मूल तत्त्व हैं, अतः \(\{p,q\}\in A\) व्यर्थ कथन है। परीक्षा-सुझाव: ∈ (element of) और ⊂/⊆ (subset) का अंतर स्पष्ट रखें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of A as its elements. Since \(\{p,q\}\) is a subset of A (\(\{p,q\}\subseteq A\)), it is an element of the power set, so \(\{p,q\}\in\mathcal{P}(A)\). Option B is incorrect because \(\{p,q\}\subset\mathcal{P}(A)\) would mean p and q themselves are elements of \(\mathcal{P}(A)\); but elements of \(\mathcal{P}(A)\) are subsets of A, not the individual atoms p and q. Option C is wrong because A contains r as well, and option D is false since p and q are members of A, not the set \(\{p,q\}\) being a member of A. Exam tip: clearly distinguish between “∈” (is an element of) and “⊂/⊆” (is a subset of).
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) होता है। परीक्षा में \(\emptyset'=U\) याद रखें। / The empty set has no elements so its complement is the whole (U). Remember \(\emptyset'=U\) for exams.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। इनमें \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी शामिल होते हैं। / A two element set has four subsets. These include \(\emptyset\) and the whole set itself.
किसी समुच्चय के हर मूल तत्व से एक-एक एकल (singleton) उपसमुच्चय बनता है। चूँकि \(A\) में 5 तत्व हैं, इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में 5 एक-तत्व उपसमुच्चय होंगे। विकल्प D (10) अक्सर भ्रम पैदा करता है — यह संख्या वास्तव में 2-तत्व उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) के बराबर है, न कि एक-तत्व उपसमुच्चयों की। परीक्षा सुझाव: एक-तत्व उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर होती है (यदि \(|A|=n\) तो singletons = \(n\)). / Each element of a set produces exactly one singleton subset. Since \(A\) has 5 elements, there are 5 one-element subsets in \(\mathcal{P}(A)\). Option D (10) is a common distractor — 10 equals the number of 2-element subsets, \(\binom{5}{2}=10\), not singletons. Exam tip: For k-element subsets use \(\binom{n}{k}\); for singletons set \(k=1\) so the count is \(n\).
A. हां क्योंकि \(A\subseteq A\)/Yes because \(A\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(\mathcal{P}(A)\) वह समुच्चय है जिसमें A के सभी उपसमुच्चय आते हैं। हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, अर्थात् \(A\subseteq A\)। इसलिए A एक उपसमुच्चय है और इसलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\mathcal{P}(A)\) में A के तत्व नहीं बल्कि A के उपसमुच्चय होते हैं; विकल्प C गलत है क्योंकि किसी समुच्चय के तत्वों की संख्या उसे उपसमुच्चय या सदस्य बनने से रोकती नहीं है; विकल्प D अप्रासंगिक है — सार्वत्रिक समुच्चय होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा सुझाव: किसी भी सेट X के लिये हमेशा जाँचें कि क्या X ⊆ X — यदि हाँ तो X ∈ P(X)। / By definition \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of A. Every set is a subset of itself, so \(A\subseteq A\), which means A is one of the subsets and therefore \(A\in\mathcal{P}(A)\). Option B is a common mistake — elements of \(\mathcal{P}(A)\) are subsets of A, not the individual elements of A. Option C is irrelevant: the number of elements does not prevent a set from being a subset. Option D is also irrelevant: A need not be the universal set to belong to its power set. Exam tip: remember P(X) contains every subset of X, including X itself and the empty set.
B. विद्यालय के वे विद्यार्थी जो कक्षा (11) में नहीं हैं/school students not in class (11)
Explanation
Simple Explanation
पूरक (U) के अंदर (A) से बाहर के तत्वों को दिखाता है। यहां यह कक्षा (11) में न पढ़ने वाले विद्यालय के विद्यार्थी हैं। / The complement shows elements inside (U) but outside (A). Here it means school students who are not in class (11).
पावर सेट के लिए सूत्र है \(n(\mathcal{P}(A))=2^{\,n(A)}\)। दिया गया है \(2^{\,n(A)}=8\)। क्योंकि \(8=2^3\), इसलिए \(n(A)=3\)। निकटतम विकर्षक (उदा. विकल्प A: 2) गलत है क्योंकि \(2^2=4\) न कि 8; विकल्प C:4 भी गलत है क्योंकि \(2^4=16\)। परीक्षा-सूत्र: पावर सेट का आकार \(2^n\) का रूप लेता है — दिए गए संख्या को 2 के घात के रूप में पहचानें या \(\log_2\) लें। / The cardinality of a power set satisfies \(n(\mathcal{P}(A))=2^{\,n(A)}\). Here \(2^{\,n(A)}=8\), and since \(8=2^3\) we get \(n(A)=3\). The nearest distractor (option A: 2) is wrong because \(2^2=4\), not 8; option C:4 is wrong because \(2^4=16\). Exam tip: write the power-set size as \(2^n\) and match it to a power of 2 (or use \(\log_2\)) to find \(n\).
केंद्रित विचार: यदि \(A=\{\emptyset\}\), तो सेट \(A\) में एक ही तत्व है — वह तत्व खुद खाली सेट \(\emptyset\) है, न कि \(A\) खाली है। पावर सेट की परिभाषा के अनुसार \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। यहाँ \(n(A)=1\), अतः \(n(\mathcal{P}(A))=2^1=2\), यही सही उत्तर है। नजदीकी ग़लत विकल्प का स्पष्टीकरण: विकल्प B (1) भ्रामक है — यह तब सही होता अगर पावर सेट की गणना गलत तरीके से केवल एक (खाली उपसेट) मान ली जाए; पर वास्तविकता में \(A\) के दो उपसेट हैं: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\)। परीक्षा टिप: \(\emptyset\) (खाली सेट) और \(\{\emptyset\}\) (खाली सेट को तत्व मानने वाला सेट) को अलग-अलग समझें और पहले हमेशा \(n(A)\) गिनें, फिर \(2^{n(A)}\) लगाएँ। / Core idea: For \(A=\{\emptyset\}\), the set \(A\) has exactly one element — that element is the empty set \(\emptyset\). By definition \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Here \(n(A)=1\), so \(n(\mathcal{P}(A))=2^1=2\), which is correct. Why the closest distractor is wrong: option B (1) confuses the empty set with a set containing the empty set; it ignores the full subset \(\{\emptyset\}\) and counts only the empty subset. Exam tip: always count elements of the original set first (distinguish \(\emptyset\) from \(\{\emptyset\}\)), then apply \(2^{n(A)}\) to get the power-set size.
(A) के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए उसका घात समुच्चय \({\emptyset,{\emptyset}}\) है। / The subsets of (A) are \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). So its power set is \({\emptyset,{\emptyset}}\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं, सीधे तत्व नहीं। ({1}) उपसमुच्चय है इसलिए सही है। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets, not direct elements. ({1}) is a subset, so it is correct.
({1,5}) (A) का उपसमुच्चय है लेकिन (A) का सीधा तत्व नहीं है। इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / ({1,5}) is a subset of (A) but not a direct element of (A). So it is an element of (\mathcal{P}(A)).
क्योंकि \(32=2^5\), मूल समुच्चय में (5) तत्व होंगे। घात समुच्चय की संख्या हमेशा (2) की घात होती है। / Since \(32=2^5\), the original set has (5) elements. The size of a power set is always a power of (2).
(0) तत्वों वाले समुच्चय के लिए \(2^0=1\) होता है। इसलिए रिक्त समुच्चय का घात समुच्चय एक तत्व वाला है। / For a set with (0) elements, \(2^0=1\). So the power set of the empty set has one element.
किसी सेट के दो-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\) से दी जाती है, जहाँ \(n\) सेट के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=3\) इसलिए \(\binom{3}{2}=3\)। स्पष्ट रूप से दो-तत्व वाले उपसमुच्चय हैं \(\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\)। विकल्प D (6) गलत है—यह क्रमबद्ध जोड़ों (permutations) की संख्या \(P(3,2)=6\) से मेल खाता है। परीक्षा-सुझाव: छोटे सेटों के लिए सूची बना लेना तेज़ और सुरक्षित तरीका है; सामान्यतः \(\binom{n}{2}\) याद रखें। / The number of two-element subsets of an n-element set is given by \(\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}\). Here \(n=3\), so \(\binom{3}{2}=3\). The two-element subsets are \(\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\). Option D (6) is incorrect because 6 counts ordered arrangements (permutations) \(P(3,2)=6\), not unordered subsets. Exam tip: for small n either list subsets or use \(\binom{n}{2}\).
\(\mathcal{P}(A)\) किसी समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है। खाली समुच्चय \(\emptyset\) प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय है, इसलिए यह \(\mathcal{P}(A)\) का एक तत्व है। उदाहरण के लिए \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\emptyset\) उपसमुच्चय न होकर \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व है; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि \(\emptyset\) न तो A के बराबर है न सार्वत्रिक समुच्चय \(U\) के बराबर। परीक््षा सुझाव: पावर सेट के तत्व हमेशा उपसमुच्चय होते हैं — "∈" (तत्व) और "⊆" (उपसमुच्चय) में फर्क याद रखें। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of A. The empty set \(\emptyset\) is a subset of every set, so it is one of the elements of \(\mathcal{P}(A)\). For A = \{2,3\}, \(\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}\). Option B is incorrect because \(\emptyset\) is indeed a subset and hence belongs to \(\mathcal{P}(A)\); options C and D are wrong because \(\emptyset\) is neither equal to A nor to the universal set U. Exam tip: remember that elements of the power set are subsets of the original set — distinguish "∈" (element of) from "⊆" (subset of).
A. क्योंकि हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है/because every set is a subset of itself
Explanation
Simple Explanation
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) से आशय उन सभी उपसमुच्चयों का समूह है जो \(A\) के हैं। किसी भी समुच्चय का नियमानुसार स्वयं उसका उपसमुच्चय होता है (यानी \(A\subseteq A\))। अतः \(\{7,8\}\), जो कि \(A\) के बराबर है, \(\mathcal{P}(A)\) का एक तत्व है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व 7 और 8 हैं, न कि समुच्चय \(\{7,8\}\) स्वयं; C और D स्पष्ट रूप से असत्य हैं। परीक्षा टिप: 'तत्व (element)' और 'उपसमुच्चय (subset)' में फर्क स्पष्ट रखें—पहला समुच्चय के अंदर मौजूद सदस्य है, दूसरा समुच्चय का हिस्सा (जो स्वयं एक समुच्चय हो सकता है) है। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) is the collection of all subsets of \(A\). By definition every set is a subset of itself (\(A\subseteq A\)), so \(\{7,8\}\), being equal to \(A\), is one of the subsets and therefore an element of \(\mathcal{P}(A)\). Option B is wrong because the elements of \(A\) are 7 and 8, not the set \(\{7,8\}\) as a single element; options C and D are also false. Exam tip: always distinguish ‘element of a set’ from ‘subset of a set’ when answering power set questions.
पूरक तब रिक्त होगा जब (A) ने पूरे सार्वत्रिक समुच्चय को ले लिया हो। इसलिए (A=U) सही स्थिति है। / The complement is empty when (A) takes the whole universal set. Therefore (A=U) is the correct case.
रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता इसलिए उसका पूरक पूरा (U) है। परीक्षा में यह मूल नियम बहुत उपयोगी है। / The empty set has no element, so its complement is the whole (U). This basic rule is very useful in exams.
चार तत्वों में से तीन चुनने के (4) तरीके हैं। इसलिए तीन तत्व वाले उपसमुच्चय (4) होंगे। / There are (4) ways to choose three elements from four. So there are (4) three element subsets.
किसी भी समुच्चय का केवल एक ही शून्य-तत्व उपसमुच्चय होता है, जो शून्य समुच्चय \(\emptyset\) है। इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में शून्य-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या 1 है। निकटवर्ती गलत विकल्पों का कारण: विकल्प D (8) कुल उपसमुच्चयों की कुल संख्या है (\(2^3\)) पर वह शून्य-तत्व उपसमुच्चयों की संख्या नहीं बताता। परीक्षा सुझाव: हर समय याद रखें कि किसी भी सेट का सिर्फ एक खाली उपसमुच्चय होता है और कुल उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। / Every set has exactly one empty subset, namely \(\emptyset\). Thus among the subsets in \(\mathcal{P}(A)\) there is exactly one empty subset. Why other options are wrong: option D (8) is the total number of subsets \(2^3\), not the count of empty subsets. Exam tip: remember “one empty subset per set” and that the total number of subsets is \(2^n\) for a set of size \(n\).
घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा मूल समुच्चय दोनों होते हैं। यहां पूरा मूल समुच्चय ({5}) है। / A power set contains both \(\emptyset\) and the whole original set. Here the whole original set is ({5}).
A. क्योंकि (3) (A) में नहीं है/because (3) is not in (A)
Explanation
Simple Explanation
({1,2,3}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि इसमें अतिरिक्त तत्व (3) है। घात समुच्चय में केवल उपसमुच्चय आते हैं। / ({1,2,3}) is not a subset of (A) because it has the extra element (3). A power set contains only subsets.
किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र \(2^{n}\) होता है जहाँ \(n\) मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=2\) इसलिए \(2^{2}=4\)। \(\mathcal{P}(A)\) के उपसमुच्चय हैं: \(\varnothing,\ \{किताब\},\ \{कलम\},\ \{किताब,\, कलम\}\)। विकल्प B (3) गलत है क्योंकि वह शून्य-उपसमुच्चय (\(\varnothing\)) को नहीं गिनता या किसी उपसमुच्चय की अनुपस्थिति का परिणाम होता है। परीक्षा टिप: छोटे सेटों के लिए पहले सभी उपसमुच्चयों की सूची बना लें या सीधे सूत्र \(2^{n}\) लागू करें। / The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^{n}\). Here \(n=2\), so \(2^{2}=4\). The subsets of \(\mathcal{P}(A)\) are \(\varnothing,\ \{book\},\ \{pen\},\ \{book,\ pen\}\). Option B (3) is incorrect because it effectively omits the empty subset or counts only non-empty subsets. Exam tip: for small sets either list all subsets to verify or use the formula \(2^{n}\).
A. \({4,8}\subseteq A\) और \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)/\({4,8}\subseteq A\) and \({4,8}\in \mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
(4) और (8) दोनों (A) में हैं इसलिए \({4,8}\subseteq A\) है। इसी कारण यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। / Both (4) and (8) are in (A), so \({4,8}\subseteq A\). Therefore it is an element of (\mathcal{P}(A)).
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में A के सभी उपसमुच्चय एक-एक बार सूचीबद्ध होते हैं। पूरा समुच्चय (A) स्वयं एक उपसमुच्चय है और इसलिए वह केवल एक बार आता है। (A) में 4 घटक होने पर कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, पर यह कुल उपसमुच्चयों की संख्या है न कि किसी विशेष उपसमुच्चय की आवृत्ति। इसलिए सही उत्तर 1 है। प्रश्न-सुझाव: पावर सेट में हर उपसमुच्चय की एक ही नकल होती है — इसकी बार-बार गिनती नहीं होती। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) lists every subset of \(A\) exactly once. The whole set \(A\) is itself a subset and thus appears exactly once. Note that although the total number of subsets is \(2^4=16\), that counts all different subsets, not the multiplicity of any single subset. Hence the answer is 1. Exam tip: distinguish between the number of distinct subsets (\(2^n\)) and how many times a particular subset appears (always once).
({20}) (A) का एक उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) में होगा। सीधे (20) को घात समुच्चय का तत्व न समझें। / ({20}) is a subset of (A), so it will be in (\mathcal{P}(A)). Do not treat direct (20) as an element of the power set.
(A) में (3) तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। परीक्षा में (n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}) याद रखें। / Set (A) has (3) elements so its power set has \(2^3=8\) elements. Remember (n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}) for exams.
({x}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय में सीधे तत्व नहीं बल्कि उपसमुच्चय आते हैं। / ({x}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). A power set contains subsets not direct elements.
पूरक हमेशा किसी दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के संदर्भ में निकाला जाता है। बिना (U) के पूरक स्पष्ट नहीं होता। / A complement is always found with respect to a given universal set. Without (U) the complement is not clear.
पावर सेट की संख्या हमेशा मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या \(n\) पर \(2^{n}\) के रूप में होती है, यानी \(|\mathcal{P}(A)|=2^{n(A)}\)। यहाँ \(2^{n}=16\) दिया है, और \(16=2^{4}\) है, अतः \(n(A)=4\)। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि \(8=2^{3}\) होता, जो कि \(16\) नहीं है। परीक्षा युक्ति: ऐसे प्रश्नों में दी हुई संख्या को आधार 2 की घात में लिखकर सीधे n निकालें (या लागू करें \(n=\log_{2}(\text{size})\))। / The size of a power set of a set with \(n\) elements is \(2^{n}\), i.e. \(|\mathcal{P}(A)|=2^{n(A)}\). Given \(2^{n}=16\) and since \(16=2^{4}\), we get \(n(A)=4\). Option D (8) is incorrect because \(8=2^{3}\), not 16. Exam tip: write the given power-set size as a power of 2 or use \(n=\log_{2}(\text{size})\) to find \(n\) quickly.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({3}) हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{3}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({3}). So the power set is \({\emptyset,{3}}\).
\(\{1,9\})\) में मौजूद दोनों तत्त्व (1 और 9) सेट \(A\) में भी हैं, अतः \(\{1,9\}\subseteq A\)। पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में \(A\) के सभी उपसमुच्चय तत्व के रूप में होते हैं, इसलिए \(\{1,9\}\in \mathcal{P}(A)\) सत्य है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व संख्याएँ हैं न कि उपसमुच्चय; विकल्प C निराधार है क्योंकि युनिवर्सल सेट \(U\) को निर्दिष्ट नहीं किया गया है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(\{1,9\}\) वास्तव में \(A\) का उपसमुच्चय है। परीक्षा-सुझाव: पावर सेट और उपसमुच्चय के बीच फर्क स्पष्ट रखें — उपसमुच्चय होने पर वह पावर सेट का तत्व होता है। / Both elements 1 and 9 of \(\{1,9\}\) are members of \(A\), so \(\{1,9\}\subseteq A\). The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains every subset of \(A\) as an element, therefore \(\{1,9\}\in\mathcal{P}(A)\) is true. Option A is wrong because elements of \(A\) are numbers, not subsets; option C is irrelevant since the universal set \(U\) is not specified; option D is false because \(\{1,9\}\) is indeed a subset of \(A\). Exam tip: remember that being a subset makes a set an element of the power set.
रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय \(\emptyset\) होता है। इसलिए (\mathcal{P}\(\emptyset\)) में (1) तत्व है। / The empty set has only one subset which is \(\emptyset\). Hence (\mathcal{P}\(\emptyset\)) has (1) element.
यहाँ \(A\) के दो तत्व हैं: \(\emptyset\) और \(1\)। इसलिए \(n(A)=2\)। किसी भी समुच्चय के लिए शक्ति समुच्चय (power set) के तत्वों की संख्या की सामान्य सूत्र \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\) है, अतः \(2^{2}=4\)। गलत विकल्पों का स्पष्टीकरण: (B) = 2 चुनने वाले अक्सर \(n(A)\) (तत्वों की संख्या) को ही उत्तर समझ लेते हैं, जबकि प्रश्न शक्ति समुच्चय की संख्या पूछ रहा है; (D) = 8 तब गलत होगा जब कोई त्रुटिवश A में तीन तत्व मान ले (क्योंकि \(2^3=8\))। परीक्षा-सुझाव: पहले स्पष्ट रूप से \(n(A)\) लिखें और फिर हमेशा \(2^{n(A)}\) लागू करें; ध्यान रखें कि \(\emptyset\) यदि A का सदस्य है तो वह भी एक सामान्य तत्व माना जाएगा। / Set \(A\) has two elements: \(\emptyset\) and \(1\), so \(n(A)=2\). The number of subsets (power set size) is given by \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Therefore \(2^{2}=4\). Why the distractors are wrong: option B (2) confuses the count of elements of \(A\) with the count of subsets; option D (8) would be correct only if \(A\) had three elements (since \(2^3=8\)). Quick exam tip: always compute \(n(A)\) first, then use \(2^{n(A)}\); also remember that an occurrence of \(\emptyset\) inside a set is treated as a single element, not as “no element”.
B. चश्मा न पहनने वाले कक्षा के विद्यार्थी/class students not wearing glasses
Explanation
Simple Explanation
पूरक में उसी (U) के अंदर वे तत्व आते हैं जो दिए गए समुच्चय में नहीं हैं। यहां (G') चश्मा न पहनने वाले विद्यार्थियों को दिखाता है। / A complement contains elements inside (U) that are not in the given set. Here (G') means students not wearing glasses.
समुच्चय \(A\) में चार तत्व हैं: \(p,q,r,s\)। प्रत्येक तत्व से केवल एक एकल उपसमुच्चय बनता है (जैसे \(\{p\},\{q\},\{r\},\{s\}\)) इसलिए एक‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या 4 है। विकल्प D (8) भ्रम में डाल सकता है — यह \(2^3\) जैसा कोई संबंध दर्शाता है; जबकि कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होती है, एक‑तत्व वाले ही 4 हैं। परीक्षा सुझाव: किसी सेट के एक‑तत्व उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा सेट के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / Set \(A\) has four elements: \(p,q,r,s\). Each element produces exactly one singleton subset (\(\{p\},\{q\},\{r\},\{s\}\)), so there are 4 singleton subsets. Option D (8) is incorrect — 8 is not the number of singletons (total subsets are \(2^4=16\)). Exam tip: the number of singleton subsets equals the number of elements in the set (n singletons for an n‑element set).
({1,4}) (A) का उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि (4) (A) में नहीं है। इसलिए यह घात समुच्चय में नहीं आएगा। / ({1,4}) is not a subset of (A) because (4) is not in (A). So it will not be in the power set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी लिखें। / A two element set has four subsets. Include \(\emptyset\) and the whole set in the power set.
A में कुल 4 तत्व हैं। किसी भी दो-तत्व वाले उपसमुच्चय की संख्या संयोजन से दी जाती है: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2}=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। विकल्प 4 गलत है — वह \(\binom{4}{1}=4\) के कारण एक-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या है; विकल्प 8 भी गलत है और कभी-कभी गलत तरीके से \(2^{n-1}\) जैसा फॉर्मूला लागू करने पर आता है। परीक्षा टिप: दो-तत्व के लिए सीधे \(nC2=\dfrac{n(n-1)}{2}\) का प्रयोग करें। / Set A has 4 elements. The number of 2-element subsets is given by combinations: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2}=6\). So 6 is correct. Option 4 is incorrect — it equals \(\binom{4}{1}=4\), the number of singletons; option 8 is also incorrect and often arises from misapplying formulas like \(2^{n-1}\). Exam tip: remember the shortcut \(nC2= n(n-1)/2\) for two-element subsets.
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय है इसलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\) होता है। इसे \(A\subseteq A\) से समझें। / Every set is a subset of itself so \(A\in\mathcal{P}(A)\). Understand it from \(A\subseteq A\).
(\mathcal{P}(A)) में उपसमुच्चय होते हैं इसलिए ({2}) सही है। (2) (A) का तत्व है लेकिन घात समुच्चय का तत्व नहीं। / (\mathcal{P}(A)) contains subsets so ({2}) is correct. (2) is an element of (A) but not of the power set.
चार‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या का अर्थ है कि पाँच में से किन चार तत्वों को चुना जा रहा है। यह संयोजन से दिया जाता है: \(\binom{5}{4}=5\)। वैकल्पिक दृष्टिकोण: हर चार‑तत्व वाले उपसमुच्चय के लिए एक तत्व छोड़ा जाता है, इसलिए 5 अलग‑अलग तरीके हैं। निकटवर्ती विक्षेपक 10 है — यह \(\binom{5}{2}=10\) है (दो‑तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या) और इसलिए गलत है। परिक्षा‑टिप: यदि आप \(\binom{n}{r}\) याद नहीं रखते, तो सोचें कि चार चुनना मतलब एक छोड़ना है — चुनने के आसान तरीके गिनना उपयोगी होता है। / The number of four‑element subsets equals the number of ways to choose 4 elements from 5: \(\binom{5}{4}=5\). Equivalently, choosing 4 to include is the same as choosing 1 to exclude, so there are 5 choices. The closest distractor 10 is \(\binom{5}{2}=10\), the number of 2‑element subsets, hence incorrect. Exam tip: use \(\binom{n}{r}\) or think in terms of which elements you leave out to count quickly.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए वह हर घात समुच्चय में तत्व के रूप में आता है। / The empty set is a subset of every set. Therefore it appears as an element in every power set.
पहले परिशिष्ट निकालें: \(A'=U\setminus A=\{2,4,5\}\), इसमें 3 तत्व हैं। किसी समुच्चय S के पावर सेट \(\mathcal{P}(S)\) के तत्वों की संख्या हमेशा \(2^{|S|}\) होती है, अतः \(\mathcal{P}(A')\) में \(2^3=8\) तत्व होंगे। विकल्प (4) गलत है क्योंकि यह तत्वों की संख्या का आधा है; विकल्प (16) गलत है क्योंकि वह \(2^4\) का मान है — यानी किसी ने गलती से परिशिष्ट का आकार 4 मान लिया होगा। परीक्षा-टिप: पहले हमेशा परिशिष्ट \(A'\) की संख्या गिनें, फिर पावर सेट के लिए \(2^{|A'|}\) लगाएँ। / First find the complement: \(A'=U\setminus A=\{2,4,5\}\), which has 3 elements. The number of elements in the power set \(\mathcal{P}(S)\) of any set S is \(2^{|S|}\), so \(\mathcal{P}(A')\) has \(2^3=8\) elements. Option 4 is incorrect (too small); option 16 is incorrect because it equals \(2^4\), implying an incorrect complement size of 4. Exam tip: always count |A'| first, then compute \(2^{|A'|}\).
(A) में दो तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^2=4\) तत्व होंगे। अंदर के कोष्ठकों को देखकर तत्व गिनें। / Set (A) has two elements so its power set has \(2^2=4\) elements. Count elements carefully using brackets.
पहले (A') निकालते हैं जो ({1,4,5}) है। फिर (\mathcal{P}(A')) इसी समुच्चय के उपसमुच्चयों से बनेगा। / First find (A'), which is ({1,4,5}). Then (\mathcal{P}(A')) is made from subsets of this set.
शून्य तत्व वाला केवल \(\emptyset\) होता है। इसलिए किसी भी समुच्चय में ऐसा उपसमुच्चय एक ही होता है। / The only zero element subset is \(\emptyset\). So any set has exactly one such subset.
A. क्योंकि यह (A) का उपसमुच्चय है/because it is a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
({क,ग}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। घात समुच्चय के तत्व उपसमुच्चय होते हैं। / All elements of ({a,c}) are in (A), so it is a subset. Elements of a power set are subsets.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (4) तत्व हैं इसलिए \(2^4=16\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (4) elements so the power set has \(2^4=16\) elements.
(1) को स्थिर रखकर बाकी (2) तत्वों को चुनने या न चुनने के \(2^2=4\) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (4) उपसमुच्चय हैं। / Keep (1) fixed and choose or not choose the remaining (2) elements in \(2^2=4\) ways. So there are (4) such subsets.
(15) को न लेकर बाकी (2) तत्वों से \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में हटे हुए तत्व के बाद बचे तत्व गिनें। / Without (15), the remaining (2) elements form \(2^2=4\) subsets. In exams count the elements left after removing the fixed element.
तीन तत्वों वाले समुच्चय का तीन तत्व वाला उपसमुच्चय केवल वही पूरा समुच्चय होता है। इसलिए संख्या (1) है। / The only three element subset of a three element set is the whole set itself. So the number is (1).
A. \({1}\subseteq A\) और \({1}\in\mathcal{P}(A)\)/\({1}\subseteq A\) and \({1}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({1}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए वह घात समुच्चय का तत्व है। सीधे (1) को (\mathcal{P}(A)) का तत्व न मानें। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of the power set. Do not treat direct (1) as an element of (\mathcal{P}(A)).
पहले (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। फिर (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (n(\mathcal{P}(A))=22=4). Then (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^4=16\) elements.
(2) और (4) को रखना अनिवार्य है और (6) को लेने या न लेने के (2) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (2) उपसमुच्चय हैं। / Keeping (2) and (4) is compulsory and (6) can be taken or not taken in (2) ways. So there are (2) such subsets.
सभी अंक (0) से (9) तक होते हैं और (A) में सम अंक हैं। बचे हुए विषम अंक (1,3,5,7,9) हैं। / All digits are from (0) to (9), and (A) contains even digits. The remaining odd digits are (1,3,5,7,9).
1 को समाहित करना और 4 को न समाहित करना दोनों निश्चित हैं। बचे हुए तत्व 2 और 3 के लिए प्रत्येक के पास होने/न होने के दो-दो विकल्प हैं, इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\) होगी। नज़दीकी भ्रम (विकल्प D = 8): यदि कोई 4 मान लेता है तो वह तीन स्वतंत्र तत्व मान कर \(2^3=8\) गिन सकता है — पर यहाँ 4 अंशित नहीं होना तय है, इसलिए एक विकल्प घट जाता है। परीक्षा टिप: पहले शामिल/बहिष्कृत किए हुए तत्व तय कर लें, फिर शेष तत्वों के सबसमुच्चयों की गिनती करें। / Including 1 and excluding 4 are fixed conditions. The remaining elements 2 and 3 are free, each having 2 choices (in or out), so the number of subsets is \(2^2=4\). Closest distractor (option D = 8) arises from mistakenly treating three elements as free and counting \(2^3=8\), but since 4 is fixed excluded, only two elements are free. Exam tip: fix required inclusions/exclusions first, then count subsets of the remaining elements.
(A) में दो अलग तत्व \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। / (A) has two distinct elements \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=22=4).
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। एक तत्व वाले उपसमुच्चय (4) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of one element subsets is (4).
(A) में (3) तत्व हैं इसलिए घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व होंगे। परीक्षा में \(2^n\) नियम तुरंत लगाएं। / Set (A) has (3) elements so its power set has \(2^3=8\) elements. Use the \(2^n\) rule directly in exams.
({v}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। घात समुच्चय में उपसमुच्चय आते हैं। / ({v}) is a subset of (A) so it is an element of (\mathcal{P}(A)). A power set contains subsets.
घनसमुच्चय (power set) के लिए सूत्र है \(n(\mathcal{P}(A)) = 2^{\,n(A)}\)। यहाँ दिया गया है \(2^{\,n(A)}=64\)। और \(64=2^6\) है, इसलिए \(n(A)=6\)। निकटतम विकर्षक गलत हैं क्योंकि \(2^4=16,\;2^5=32,\;2^8=256\)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी संख्या को देखते ही उसे सामान्य घातों (2,4,8,16,32,64,128…) के साथ मिलाकर जाँचें। / For a set A, the power set size satisfies \(n(\mathcal{P}(A))=2^{\,n(A)}\). Given \(2^{\,n(A)}=64\) and \(64=2^6\), so \(n(A)=6\). The other options are wrong because \(2^4=16,\;2^5=32,\;2^8=256\), none equal 64. Exam tip: quickly memorize common powers of 2 (16, 32, 64, 128, …) to identify the exponent fast on tests.
एक तत्व वाले समुच्चय के उपसमुच्चय \(\emptyset\) और ({9}) होते हैं। इसलिए घात समुच्चय \({\emptyset,{9}}\) है। / A one element set has subsets \(\emptyset\) and ({9}). Hence the power set is \({\emptyset,{9}}\).
यहां \(\emptyset\) भी एक तत्व है इसलिए (A) में कुल (3) तत्व हैं। अतः \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / Here \(\emptyset\) is also one element so (A) has (3) elements. Thus there are \(2^3=8\) subsets.
B. पुस्तकालय की हिंदी न होने वाली पुस्तकें/library books that are not Hindi books
Explanation
Simple Explanation
पूरक उसी (U) के अंदर दिए गए समुच्चय से बाहर के तत्व दिखाता है। यहां (H') हिंदी न होने वाली पुस्तकें हैं। / A complement shows elements inside the same (U) but outside the given set. Here (H') means books that are not Hindi books.
हर तत्व से एक एकल उपसमुच्चय बनता है। पांच तत्व होने पर पांच एक तत्व वाले उपसमुच्चय होंगे। / Each element forms one singleton subset. With five elements there are five one element subsets.
पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) में उन सभी उपसमुच्चयों के तत्व होते हैं जो \(A\) के सब्सेट हों। \(\{2,8\}\) और \(\{4,6\}\) दोनों में केवल ऐसे सदस्य हैं जो \(A\) में मौजूद हैं, इसलिए वे \(\mathcal{P}(A)\) के तत्व हैं। रिक्त समुच्चय \(\emptyset\) हमेशा किसी भी समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, अतः वह भी \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व है। परन्तु \(\{2,10\}\) में अंक \(10\) है जो \(A\) में नहीं है, इसलिए यह \(A\) का उपसमुच्चय नहीं और न ही \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व है। परीक्षा टिप: किसी विकल्प को पावर सेट का सदस्य मानने से पहले उसके सभी तत्वों की जाँच कर लें कि वे मूल समुच्चय में हैं। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). \(\{2,8\}\) and \(\{4,6\}\) consist only of elements from \(A\), so they are in \(\mathcal{P}(A)\). The empty set \(\emptyset\) is a subset of every set, so it is also included. However, \(\{2,10\}\) contains 10, which is not an element of \(A\); hence it is not a subset of \(A\) and not in \(\mathcal{P}(A)\). Exam tip: verify every element of a candidate subset is in the original set before marking it as belonging to the power set.
दो तत्वों वाले समुच्चय के चार उपसमुच्चय होते हैं। घात समुच्चय में \(\emptyset\) और पूरा समुच्चय भी शामिल करें। / A two element set has four subsets. Include \(\emptyset\) and the whole set in the power set.
चार तत्वों में से तीन-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या संयोजन द्वारा दी जाती है: \(\binom{4}{3}=\dfrac{4!}{3!1!}=4\)। इसलिए उत्तर 4 है। विकल्प B (6) गलत है क्योंकि \(\binom{4}{2}=6\) है — यह दो-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या है। विकल्प D (8) इस सेट के किसी अन्य गलत समीकरण (जैसे गलत रूप से \(2^3\) लागू करना) से आता है और लागू नहीं होता। परीक्षात्मक टिप: सीधे सूत्र \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) या समरूपीता का उपयोग करें क्योंकि \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)। / The number of 3-element subsets from 4 elements is given by the combination \(\binom{4}{3}=\dfrac{4!}{3!1!}=4\). Thus the correct answer is 4. Option B (6) is incorrect because \(\binom{4}{2}=6\) counts 2-element subsets, not 3-element ones. Option D (8) is a spurious value (e.g. confusion with \(2^3\)) and does not apply. Exam tip: use \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) or the symmetry \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) to compute quickly.
A. क्योंकि \(A\subseteq A\)/because \(A\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
घातसमुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) का पूर्ण परिभाषा है: यह उन सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है जो \(A\) के हैं। किसी भी समुच्चय के लिए \(A\subseteq A\) सदैव सत्य है (हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है), इसलिए \(A\) स्वयं एक उपसमुच्चय है और इसीलिए \(A\in\mathcal{P}(A)\)। निकटतम विचलक (D) गलत है क्योंकि केवल यह कि \(A\) में तत्व हैं, यह दर्शाता नहीं कि \(A\) \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व होगा —Power set में तत्व समुच्चय होने चाहिए। (C) भी गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व यहाँ संख्याएँ हैं, वे स्वतः उपसमुच्चय नहीं होते। परीक्षा के लिए सुझाव: "Power set = सभी उपसमुच्चय" यह परिभाषा याद रखें और हर समुच्चय का खुद से उपसमुच्चय होना (reflexive) मत भूलें। / By definition the power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). For any set, \(A\subseteq A\) is always true (a set is a subset of itself), so \(A\) is one of the subsets of \(A\) and hence \(A\in\mathcal{P}(A)\). Closest distractor (D) is wrong because having elements does not make the whole set an element of the power set — membership in \(\mathcal{P}(A)\) requires being a subset of \(A\). Option (C) is also incorrect since the elements of \(A\) here are numbers, not subsets. Exam tip: remember the definition "power set = set of all subsets" and that subset relation is reflexive (every set is a subset of itself).
\(\mathcal{P}(A)\) का अर्थ है सभी उपसमुच्चयों का समूह। \(\{7\}\) स्पष्ट रूप से \(A\) का एक उपसमुच्चय है, अतः यह \(\mathcal{P}(A)\) का तत्व होगा। जबकि 7 स्वयं \(A\) का एक साधारण तत्व है, पर वह उपसमुच्चय नहीं है जब तक उसे सेट के रूप में न लिखा जाए (यानी \(\{7\}\) की तरह)। इसलिए केवल \(\{7\}\) सही उत्तर है। निकटतम ग़लत विकल्प (केवल 7) इस भ्रम पर आधारित है कि तत्व और उपसमुच्चय समान हैं—यह गलत है। परीक्षा टिप: ‘‘तत्व’’ और ‘‘उपसमुच्चय’’ के बीच अंतर पर ध्यान दें — एक तत्व को उपसमुच्चय बनाने के लिए उसे ब्रेसेज़ \(\{\ \}\) में लिखना ज़रूरी है। / \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). The singleton \(\{7\}\) is a subset of \(A\), so \(\{7\}\) belongs to \(\mathcal{P}(A)\). The element 7 itself is an element of \(A\) but not a subset of \(A\), so 7 is not in \(\mathcal{P}(A)\). Thus only \(\{7\}\) is correct. The closest distractor (only 7) mistakes an element for a subset. Exam tip: always distinguish between an element x and the singleton set \(\{x\}\) when deciding membership of a power set.
पांच तत्वों में से चार चुनने के (5) तरीके हैं। हर उपसमुच्चय में एक अलग तत्व छूटता है। / There are (5) ways to choose four elements from five. In each subset one different element is left out.
A. क्योंकि \(\emptyset\subseteq A\)/because \(\emptyset\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
गणित में घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) का अर्थ है: A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय। खाली समुच्चय \(\emptyset\) हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, अतः \(\emptyset\) भी \(A\) का उपसमुच्चय है और इसलिए \(\emptyset\in\mathcal{P}(A)\)। नज़दीकी भ्रमात्मक विकल्प \(\emptyset\in A\) गलत है क्योंकि \(A\) के तत्व केवल \(d,e,f\) हैं, न कि \(\emptyset\)। अन्य गलत विकल्प भी इसलिए गलत हैं कि \(\emptyset\) किसी गैर-खाली सेट के बराबर या सार्वभौमिक समुच्चय के बराबर नहीं होता। परीक्षा-सुझाव: हमेशा याद रखें — खाली समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है और घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय आते हैं। / By definition, the power set \(\mathcal{P}(A)\) is the set of all subsets of \(A\). The empty set \(\emptyset\) is a subset of every set, so \(\emptyset\) is one of the subsets of \(A\) and hence an element of \(\mathcal{P}(A)\). The common distractor \(\emptyset\in A\) is incorrect because the elements of \(A\) are \(d,e,f\), not \(\emptyset\). Other wrong choices fail because \(\emptyset\) is not equal to a nonempty \(A\) nor generally equal to the universal set. Exam tip: memorize “\(\emptyset\subseteq S\) for every set \(S\)” and the definition of power set as the collection of all subsets.
पहले (A'={1,3,5,6}) है जिसमें (4) तत्व हैं। इसलिए (\mathcal{P}(A')) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (A'={1,3,5,6}), which has (4) elements. So (\mathcal{P}(A')) has \(2^4=16\) elements.
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में समुच्चयों की संख्या हमेशा मूल समुच्चय के तत्वों की संख्या \(n(A)=k\) के लिए \(2^k\) होती है। यहाँ \(A=\{\{2\},4,6\}\) में तीन तत्व हैं: एक तत्व है समुच्चय \(\{2\}\) और अन्य दो तत्व संख्याएँ 4 और 6 हैं। इसलिये \(n(A)=3\) और \(n(\mathcal{P}(A))=2^3=8\)। निकटतम ग़लत विकल्प (6) इसलिए भ्रमित कर सकता है कि अंदर के सेट \(\{2\}\) के घटक भी गिने जा रहे हों — यह गलत है; \(\{2\}\) यहाँ एक ही तत्व के रूप में गिना जाता है। परीक्षा सुझाव: किसी भी जाँच में यह स्पष्ट कर लें कि कोई आइटम सेट है या उसका सदस्य, क्योंकि सेट-भेदन (element vs subset) से ग़लतियाँ होती हैं। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains \(2^k\) subsets when the original set has \(k\) elements. Here \(A=\{\{2\},4,6\}\) has three elements: the set \(\{2\}\), and the numbers 4 and 6. So \(n(A)=3\) and \(n(\mathcal{P}(A))=2^3=8\). A common mistake leading to option 6 is wrongly counting elements inside the nested set \(\{2\}\) separately; but \(\{2\}\) itself is a single element of \(A\). Exam tip: always distinguish an element that is itself a set from the members of that inner set when counting elements.
पूरक समुच्चय \(A'\) का अर्थ है सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) में से \(A\) के तत्व निकालने पर जो बचता है। यहाँ \(A'=U\setminus A=\{1,2,5,6\}\)। इसलिए \(\mathcal{P}(A')\) उन सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय होगा जो \(\{1,2,5,6\}\) के सदस्य हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि वह मूल समुच्चय \(A\) है, C गलत है क्योंकि वह पूरे \(U\) को दर्शाता है, और D केवल रिक्त समुच्चय है न कि \(A'\) का आधार। परीक्षा संकेत: किसी भी प्रश्न में पूरक लेते समय सीधे \(U\) से \(A\) के तत्व घटा दें। / The complement \(A'\) is \(U\setminus A\), so here \(A'=\{1,2,5,6\}\). The power set \(\mathcal{P}(A')\) consists of all subsets of \(\{1,2,5,6\}\), so option B is correct. Option A is just the original set \(A\), C is the entire universal set \(U\), and D is only the empty set, none of which are the base set whose subsets form \(\mathcal{P}(A')\). Exam tip: compute \(A'\) by removing elements of \(A\) from \(U\) before listing or reasoning about the power set.
किसी भी सेट का पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) सभी उपसमुच्चयों का समूह है और उसमें खाली समुच्चय \(\emptyset\) हमेशा एक ही बार उपस्थित होता है। इसलिए ऐसे शून्य-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या 1 है। सबसे निकटवर्ती भ्रमित करने वाला विकल्प 4 है — वह \(A\) के तत्त्वों की संख्या दर्शाता है, न कि शून्य-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की। परीक्षा सुझाव: याद रखें कि किसी सेट के लिए खाली उपसमुच्चय की संख्या हमेशा 1 और कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है (यहाँ \(n=4\) होने पर कुल 16)। / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains every subset of \(A\), and the empty set \(\emptyset\) is a unique subset that always appears exactly once. Therefore there is 1 zero-element subset. The closest misleading option, 4, is just the number of elements in \(A\), not the count of empty subsets. Exam tip: remember the empty subset always exists (count = 1) and the total number of subsets is \(2^n\); here \(n=4\) so total subsets = 16.
A. क्योंकि यह (A) का उपसमुच्चय है/because it is a subset of (A)
Explanation
Simple Explanation
({क,घ}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय आते हैं। / All elements of ({a,d}) are in (A), so it is a subset. A power set contains all subsets.
जब \(A=\emptyset\) हो तो (A'=U) होता है। यहां (U) में (3) तत्व हैं इसलिए \(2^3=8\) तत्व मिलेंगे। / When \(A=\emptyset\), (A'=U). Here (U) has (3) elements so the power set has \(2^3=8\) elements.
(5) को स्थिर रखकर बाकी (2) तत्वों के लिए \(2^2=4\) विकल्प हैं। इसलिए ऐसे (4) उपसमुच्चय होंगे। / Keep (5) fixed and choose from the remaining (2) elements in \(2^2=4\) ways. So there are (4) such subsets.
(36) को हटाकर बाकी (2) तत्वों से \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। ऐसे प्रश्नों में बचे तत्व गिनें। / After excluding (36), the remaining (2) elements form \(2^2=4\) subsets. Count the remaining elements in such questions.
तीन तत्वों वाले समुच्चय का तीन तत्व वाला उपसमुच्चय केवल पूरा समुच्चय होता है। इसलिए संख्या (1) है। / The only three element subset of a three element set is the whole set. So the number is (1).
A. \({5}\subseteq A\) और \({5}\in\mathcal{P}(A)\)/\({5}\subseteq A\) and \({5}\in\mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
({5}) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए यह घात समुच्चय का तत्व है। सीधे (5) को घात समुच्चय का तत्व न मानें। / ({5}) is a subset of (A), so it is an element of the power set. Do not treat direct (5) as an element of the power set.
पहले (n(\mathcal{P}(A))=22=4) है। फिर (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^4=16\) तत्व होंगे। / First (n(\mathcal{P}(A))=22=4). Then (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^4=16\) elements.
(1) और (9) रखना तय है और (3) को लेने या न लेने के (2) तरीके हैं। इसलिए ऐसे (2) उपसमुच्चय हैं। / Keeping (1) and (9) is fixed and (3) can be taken or not taken in (2) ways. So there are (2) such subsets.
2 को लेना और 3 को न लेना निश्चित है, इसलिए उपसमुच्चयों का चयन केवल शेष तत्वों 1 और 4 के लिए स्वतंत्र है। प्रत्येक शेष तत्व के लिए दो विकल्प हैं (लेना या न लेना), अतः कुल उपसमुच्चय \(2^2=4\) होंगे। विकल्प D (8) गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र तत्व मानकर \(2^3\) गिन रहा है। परीक्षा सुझाव: जब कुछ तत्व शामिल/बहिष्कृत निश्चित हों तो बाकी तत्वों के लिए \(2^{n}\) नियम लागू करें। / Including 2 and excluding 3 are fixed choices, so only the remaining elements 1 and 4 are free to be chosen or not. Each of these has 2 possibilities, giving a total of \(2^2=4\) subsets. Option D (8) is wrong because it wrongly treats three free elements (counting \(2^3\)). Exam tip: fix required inclusions/exclusions first, then use \(2^{n}\) for the remaining n elements.
(A) में तीन अलग तत्व \(\emptyset,{\emptyset},0\) हैं। इसलिए (n(\mathcal{P}(A))=23=8) है। / (A) has three distinct elements \(\emptyset,{\emptyset},0\). Therefore (n(\mathcal{P}(A))=23=8).
चार तत्वों वाले समुच्चय के कुल \(2^4=16\) उपसमुच्चय होते हैं। दो तत्व वाले उपसमुच्चय (6) होते हैं। / A set with four elements has \(2^4=16\) total subsets. The number of two element subsets is (6).
कुल (8) उपसमुच्चय हैं और (a,b) दोनों को न रखने वाले (2) हैं। इसलिए (8-2=6) उपसमुच्चय सही हैं। / There are (8) total subsets and (2) subsets contain neither (a) nor (b). So (8-2=6) subsets are correct.
यूनियन (\(\cup\)) में सभी समुच्चय के अलग-अलग अवयव शामिल किए जाते हैं। यहाँ \(A\) में 1 और 2 हैं, \(B\) में 2 और 3 हैं, \(C\) में 3 और 4 हैं। सभी अलग-अलग अवयव मिलाकर \(\{1,2,3,4\}\) बनता है। विकल्प D में अवयव दोहराए गए हैं — समुच्चय में दोहराव मान्य नहीं है; विकल्प B और C कुछ अवयव गायब करते हैं। परीक्षा-सुझाव: यूनियन चरण-दर-चरण करें और केवल अलग-अलग तत्व लिखें। / Union \((\cup)\) collects every distinct element from the sets. A contributes 1 and 2, B contributes 2 and 3, C contributes 3 and 4; collecting distinct elements gives \(\{1,2,3,4\}\). Option D incorrectly shows repeated entries (sets do not list duplicates); options B and C omit elements. Exam tip: compute union stepwise (e.g. first \(A\cup B\), then union with \(C\)) and list each element only once.
यदि \(A\subseteq B\) है तो इसका अर्थ है कि सेट \(A\) का हर तत्व सेट \(B\) में भी मौजूद है। प्रतिशत का परस्पर सामान्य भाग (intersection) उन तत्वों का सेट होता है जो दोनों सेटों में सामान्य हों। चूँकि \(A\) के सभी तत्व \(B\) में हैं, इसलिए सभी तत्व \(A\) और \(B\) दोनों में ही आते हैं; अतः \(A\cap B= A\)। विकल्प \(B\) गलत है क्योंकि \(B\) में \(A\) के अतिरिक्त भी तत्व हो सकते हैं। \(A\cup B\) भी गलत है क्योंकि यह दोनों का सम्मिलन है और सामान्यतः \(A\) से बड़ा या बराबर होगा। \(B\setminus A\) (या \(B-A\)) तो स्पष्ट रूप से \(A\) के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि इसमें उन तत्वों को रखा जाता है जो \(B\) में हैं पर \(A\) में नहीं। परीक्षण युक्ति: यदि पूछा जाए कि \(A\cap B\) क्या होगा और दिया हो \(A\subseteq B\), तुरंत उत्तर \(A\) याद रखें। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) also belongs to \(B\). The intersection \(A\cap B\) consists of elements common to both sets. Since all elements of \(A\) are in \(B\), every element of \(A\) is in the intersection, so \(A\cap B= A\). Option \(B\) is incorrect because \(B\) may contain additional elements not in \(A\). Option \(A\cup B\) is the union (usually larger than or equal to \(A\)). Option \(B\setminus A\) contains only elements of \(B\) that are not in \(A\), so it cannot equal \(A\). Exam tip: memorize the subset-intersection identity \(A\cap B=A\) whenever \(A\subseteq B\).
पहले \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(A\cap B=\{3,4\}\) है। \((A\cup B)-(A\cap B)\) का अर्थ यूनियन से इंटरसेक्शन के तत्वों को हटाना है, इसलिए बचे हुए तत्व \(\{1,2,5,6\}\) होंगे। विकल्प B केवल इंटरसेक्शन है; विकल्प C पूरी यूनियन है (इंटरसेक्शन नहीं हटाया गया); विकल्प D खाली सेट है और गलत है। परीक्षा‑टिप: इसे सिमेट्रिक डिफरेंस समझें — वे तत्व जो ठीक एक ही सेट में हों। / Compute \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) and \(A\cap B=\{3,4\}\). Subtracting the intersection from the union removes 3 and 4, leaving \(\{1,2,5,6\}\). Option B gives the intersection, C gives the full union (didn't remove the common elements), and D is the empty set. Exam tip: \((A\cup B)-(A\cap B)\) is the symmetric difference — elements that belong to exactly one set.
सेट का अंतर परिभाषा है: \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\)। यहाँ \(blue\) दोनों सेटों में सामान्य है, इसलिए उसे \(A\) से हटा दिया जाएगा। अतः \(A-B=\{red,\;green\}\)। विकल्प B त्रुटिपूर्ण है क्योंकि वह दोनों का समाहार (intersection) \(A\cap B=\{blue\}\) दिखाता है; विकल्प C गलत है क्योंकि \(yellow\) \(A\) में नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि वह दोनों का योग (union) है, अंतर नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी तत्व को निकालने से पहले चेक करें कि वह वास्तव में \(B\) में है या नहीं — केवल सामान्य तत्वों को ही हटाएँ। / Set difference is defined by \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\). Here the only element common to both sets is \(blue\), so remove it from \(A\). Therefore \(A-B=\{red,\;green\}\). Option B is the intersection \(A\cap B=\{blue\}\), not the difference; option C is wrong because \(yellow\) is not an element of \(A\); option D is the union of the sets, not the difference. Exam tip: verify membership of each element in \(B\) before removing it from \(A\) to avoid confusing difference with union or intersection.
समुच्चयों के कार्डिनैलिटी पर शामिल-अपवाद (inclusion–exclusion) सूत्र है: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\)। यहाँ \(8+6-10=4\) आता है, अतः उत्तर 4 है। भ्रामक विकल्पों की जाँच: 2 तब मिल सकता है जब कोई भिन्नता \(|n(A)-n(B)|=2\) को गलत तरीके से अन्तर समझ ले; 14 वह मान है जो ओवरलैप को न घटाने पर समष्टि जोड़ने से मिलता है; 10 संघ (union) का मान है, न कि छेद (intersection)। परीक्षा टिप: जोड़ते समय हमेशा inclusion–exclusion सूत्र याद रखें और जाँचें कि intersection किसी भी सेट के आकार से अधिक नहीं हो सकता (यहाँ अधिकतम 6)। / Use the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\). Substituting gives \(8+6-10=4\), so the intersection has 4 elements. Why other options are wrong: 2 is \(|n(A)-n(B)|\), a different quantity, 14 ignores overlap (sum of sizes), and 10 is the union, not the intersection. Exam tip: apply the inclusion–exclusion formula directly and verify the intersection ≤ min\(n(A),n(B)\) to catch mistakes.
समुच्चयों के काउंट की सामान्य सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(A\cap B=\varnothing\) होने से \(n(A\cap B)=0\) होगा, अतः \(n(A\cup B)=3+5-0=8\)। विकल्प B (5) गलत है क्योंकि वह केवल \(B\) के तत्वों की गिनती है और \(A\) के तत्व जोड़ना भूल गया है। परीक्षा सलाह: किसी भी दो समुच्चयों के यूनियन के लिए ऊपर दिया गया सूत्र याद रखें और सबसे पहले \(n(A\cap B)\) की वैल्यू जाँच लें। / Use the formula for two sets: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Since \(A\cap B=\varnothing\), we have \(n(A\cap B)=0\), so \(n(A\cup B)=3+5-0=8\). Option B (5) is wrong because it counts only the elements of \(B\) and ignores the elements of \(A\). Exam tip: always apply the union formula and evaluate \(n(A\cap B)\) first — if sets are disjoint, simply add their cardinalities.
