Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (72=8n(B))। परीक्षा में पहले गुणन नियम लगाएं। / Since (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), (72=8n(B)). In exams, apply the product rule first.
(n\(A\times B\)=12) और (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)) में (4) अवयव हैं। इसलिए अंतर में (12-4=8) अवयव होंगे। / (n\(A\times B\)=12), and (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)) has (4) elements. So the difference has (12-4=8) elements.
अशून्य समुच्चयों के लिए \(A\times B=B\times A\) तभी होता है जब (A=B)। परीक्षा में खाली समुच्चय की शर्त जरूर देखें। / For non-empty sets, \(A\times B=B\times A\) only when (A=B). In exams, always check the empty-set condition.
शर्त (y=x+2) से (x=1,2) पर ही \(y\in B\) मिलता है। (x=3) पर (y=5) है जो (B) में नहीं है। / The condition (y=x+2) gives \(y\in B\) only for (x=1,2). For (x=3), (y=5), which is not in (B).
यहां \(A=\{-2,2\}\) और \(B=\{2,3\}\), इसलिए (n\(A\times B\)=2\cdot 2=4)। परीक्षा में पहले प्रत्येक समुच्चय के अवयव निकालें। / Here \(A=\{-2,2\}\) and \(B=\{2,3\}\), so (n\(A\times B\)=2\cdot 2=4). In exams, first list each set.
( (4,2) ) में पहला अवयव (4) है जो (A) में नहीं है। परीक्षा में क्रमबद्ध युग्म में पहला स्थान (A) से और दूसरा स्थान (B) से लें। / In ( (4,2) ), the first element (4) is not in (A). In exams, take the first coordinate from (A) and the second from (B).
(\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)), जहां \(A\cap C={2,3}\) और \(B\cap D={b}\)। इसलिए कुल \(2\cdot1=2\) अवयव हैं। / (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)), where \(A\cap C={2,3}\) and \(B\cap D={b}\). So there are \(2\cdot1=2\) elements.
हर \(a\in A\) के लिए \(a\in C\) और हर \(b\in B\) के लिए \(b\in D\), इसलिए \((a,b)\in C\times D\)। परीक्षा में दोनों निर्देशांकों की सदस्यता अलग जांचें। / Every \(a\in A\) lies in (C), and every \(b\in B\) lies in (D), so \((a,b)\in C\times D\). In exams, check membership of both coordinates separately.
\(2\in[1,3]\) और \(4\in(2,5)\), इसलिए \((2,4)\in A\times B\)। परीक्षा में बंद और खुले अंतराल के सिरों को ध्यान से देखें। / \(2\in[1,3]\) and \(4\in(2,5)\), so \((2,4)\in A\times B\). In exams, check endpoints of closed and open intervals carefully.
बराबर निर्देशांक वाले युग्म ((a,a)) रूप के होते हैं और ऐसे युग्मों की संख्या (n(A)) होती है। परीक्षा में इन्हें विकर्ण युग्म समझें। / Pairs with equal coordinates are of the form ((a,a)), and their number is (n(A)). In exams, treat them as diagonal pairs.
कुल युग्म \(7^2=49\) और बराबर निर्देशांक वाले (7) हैं। इसलिए अलग निर्देशांक वाले (49-7=42) हैं। / Total pairs are \(7^2=49\), and equal-coordinate pairs are (7). Hence distinct-coordinate pairs are (49-7=42).
संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है और (n\(A\times B\)=20)। इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^{20}\) है। / A relation is any subset of \(A\times B\), and (n\(A\times B\)=20). Hence the number of relations is \(2^{20}\).
यहां (n\(A\times B\)=3\cdot2=6)। ठीक (2) युग्म चुनने की संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। / Here (n\(A\times B\)=3\cdot2=6). The number of ways to choose exactly (2) pairs is \(\binom{6}{2}=15\).
क्रमबद्ध युग्म बराबर होने पर (2x-1=5) और (y+3=10) होते हैं। इससे (x=3) और (y=7) मिलता है। / Equal ordered pairs give (2x-1=5) and (y+3=10). Thus (x=3) and (y=7).
क्योंकि (a-2-b-2=(a+b)(a-b)), इसलिए मान \(9\cdot1=9\) है। परीक्षा में युग्म बराबरी से सीधे निर्देशांक मिलाएं। / Since (a-2-b-2=(a+b)(a-b)), the value is \(9\cdot1=9\). In exams, match coordinates directly from pair equality.
पहले निर्देशांक (1,2) हैं और दूसरे निर्देशांक (3,4) हैं। इसलिए \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{3,4\}\)। / The first coordinates are (1,2), and the second coordinates are (3,4). Hence \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{3,4\}\).
B. \(A=\varnothing\) या \(B=\varnothing\)/\(A=\varnothing\) or \(B=\varnothing\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन खाली तभी होता है जब कम से कम एक समुच्चय खाली हो। परीक्षा में दोनों के खाली होने की जरूरत नहीं होती। / A Cartesian product is empty when at least one set is empty. In exams, both sets need not be empty.
\(B\cup C={3,4,5}\), इसलिए (n(A\times\(B\cup C\))=2\cdot3=6)। परीक्षा में पहले अंदर का समुच्चय सरल करें। / \(B\cup C={3,4,5}\), so (n(A\times\(B\cup C\))=2\cdot3=6). In exams, simplify the inner set first.
(x=0) पर (3), (x=1) पर (2), और (x=2) पर (1) विकल्प हैं। कुल (3+2+1=6) युग्म मिलते हैं। / For (x=0) there are (3) choices, for (x=1) there are (2), and for (x=2) there is (1). Total pairs are (3+2+1=6).
सही युग्म ((-1,2)), ((0,1)) और ((1,0)) हैं। परीक्षा में (x) चुनकर (y=1-x) जांचें। / The valid pairs are ((-1,2)), ((0,1)), and ((1,0)). In exams, choose (x) and check (y=1-x).
(x=1) से (4), (x=2) से (2), (x=3) से (1), (x=4) से (1) युग्म मिलते हैं। कुल (4+2+1+1=8) है। / For (x=1) there are (4), for (x=2) there are (2), for (x=3) there is (1), and for (x=4) there is (1). Total is (4+2+1+1=8).
कुल (9) युग्म हैं और गुणनफल विषम केवल ((1,3)) तथा ((3,3)) में है। इसलिए सम गुणनफल वाले (9-2=7) हैं। / There are (9) total pairs, and the product is odd only for ((1,3)) and ((3,3)). Hence even-product pairs are (9-2=7).
(x=2) पर (1), (x=4) पर (3), और (x=6) पर (4) विकल्प हैं। कुल (1+3+4=8) नहीं बल्कि (x=6) के लिए चारों (y) सही हैं, अतः कुल (8) है। / For (x=2) there is (1) choice, for (x=4) there are (3), and for (x=6) there are (4). Hence the total is (1+3+4=8), so choose the option (8).
(x=3) के साथ केवल (8) और (x=5) के साथ (6,8) सही हैं। इसलिए कुल (1+2=3) युग्म हैं। / With (x=3), only (8) works, and with (x=5), (6,8) work. So there are (1+2=3) pairs.
(y=1,2,3) देने पर (x=1,3,5) मिलते हैं और ये सभी (A) में हैं। अतः कुल (3) युग्म हैं। / For (y=1,2,3), we get (x=1,3,5), all of which lie in (A). Hence there are (3) pairs.
हर \(x\in A\) के लिए \(2x\in B\), इसलिए ((1,2),(2,4),(4,8),(8,16)) मिलते हैं। कुल (4) युग्म हैं। / For every \(x\in A\), \(2x\in B\), giving ((1,2),(2,4),(4,8),(8,16)). There are (4) pairs.
(x=0,1,2,3) पर (y=0,1,4,9) मिलते हैं और सभी (B) में हैं। इसलिए कुल (4) युग्म हैं। / For (x=0,1,2,3), (y=0,1,4,9), all in (B). Hence there are (4) pairs.
योग सम तब होगा जब दोनों संख्याएं समान समता की हों। विषम-विषम (4) और सम-सम (1) मिलकर कुल (5) युग्म देते हैं। / The sum is even when both numbers have the same parity. Odd-odd gives (4) pairs and even-even gives (1), so total is (5).
(x+y=5) और दोनों निर्देशांक (1) से (4) में होने चाहिए। इसलिए चार युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) मिलते हैं। / (x+y=5), and both coordinates must lie from (1) to (4). Thus the four pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)).
\(B\times A\) में पहला निर्देशांक (B) से और दूसरा (A) से आता है। इसलिए ((1,a)) सही है। / In \(B\times A\), the first coordinate comes from (B) and the second from (A). Hence ((1,a)) is correct.
(\(A\times B\)\times C) का अवयव (((a,b),c)) रूप का होता है। इसलिए (((1,3),5)) सही संरचना है। / An element of (\(A\times B\)\times C) has the form (((a,b),c)). Therefore (((1,3),5)) has the correct structure.
सामान्यतः \(A\times B\neq B\times A\) क्योंकि क्रम बदल जाता है। परीक्षा में ((a,b)) और ((b,a)) को अलग समझें। / Generally \(A\times B\neq B\times A\) because the order changes. In exams, treat ((a,b)) and ((b,a)) as different.
\(A\cap C={2,3}\) और \(B\cap C={3,4}\)। इसलिए अवयवों की संख्या \(2\cdot2=4\) है। / \(A\cap C={2,3}\) and \(B\cap C={3,4}\). Therefore the number of elements is \(2\cdot2=4\).
मान लें (n(B)=m), तब (n(A)=m+2) और (m(m+2)=24)। इससे (m=4), इसलिए (n(A)=6)। / Let (n(B)=m), then (n(A)=m+2) and (m(m+2)=24). This gives (m=4), so (n(A)=6).
(x=1,2,3,4) के लिए क्रमशः (4,3,2,1) विकल्प हैं। कुल (4+3+2+1=10) युग्म मिलते हैं। / For (x=1,2,3,4), the numbers of choices are (4,3,2,1). Total pairs are (4+3+2+1=10).
शर्त (y=x+1) है और युग्म ((0,1),(2,3),(4,5)) हैं। इसलिए कुल (3) युग्म हैं। / The condition is (y=x+1), and the pairs are ((0,1),(2,3),(4,5)). Therefore there are (3) pairs.
विषम (x) मान (1,3,5) हैं और इनके वर्ग (1,9,25) (B) में हैं। इसलिए कुल (3) युग्म हैं। / The odd values of (x) are (1,3,5), and their squares (1,9,25) are in (B). Hence there are (3) pairs.
योग (3,5,7) अभाज्य हो सकते हैं। सही युग्म ((1,2),(1,4),(2,3),(3,2),(3,4)) हैं, इसलिए (5) युग्म हैं। / The prime sums possible are (3,5,7). The valid pairs are ((1,2),(1,4),(2,3),(3,2),(3,4)), so there are (5) pairs.
(x=1) से (4), (x=2) से (4), (x=3) से (1), और (x=4) से (2) युग्म मिलते हैं। कुल (4+4+1+2=11) है। / For (x=1) there are (4), for (x=2) there are (4), for (x=3) there is (1), and for (x=4) there are (2). Total is (11).
कुल (9) युग्म हैं और बराबर निर्देशांक वाले (3) हैं। इसलिए \(x\neq y\) वाले (9-3=6) युग्म हैं। / There are (9) total pairs and (3) equal-coordinate pairs. Hence pairs with \(x\neq y\) are (9-3=6).
(x=2) पर (4,6,10), (x=3) पर (6,15), और (x=5) पर (10,15) सही हैं। कुल (3+2+2=7) नहीं बल्कि ((5,15)) सहित (7) है, इसलिए सही विकल्प (7) होना चाहिए। / For (x=2), (4,6,10) work; for (x=3), (6,15) work; for (x=5), (10,15) work. The total is (3+2+2=7), so the correct option is (7).
(x=1) पर (3,4,5), (x=2) पर (4,5), और (x=3) पर (5) सही हैं। कुल (3+2+1=6) युग्म हैं। / For (x=1), (3,4,5) work; for (x=2), (4,5) work; for (x=3), (5) works. Total is (3+2+1=6).
योग (3) या (6) हो सकता है। सही युग्म ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)) हैं, इसलिए (5) युग्म हैं। / The sum can be (3) or (6). Valid pairs are ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)), so there are (5) pairs.
(x=1,2,3,4) पर (y=1,3,5,7) मिलते हैं और ये सभी (B) में हैं। अतः कुल (4) युग्म हैं। / For (x=1,2,3,4), (y=1,3,5,7), all in (B). Hence there are (4) pairs.
(x=1) पर (4), (x=2) पर (4), और (x=3) पर केवल (6) सही है। कुल (4+4+1=9) है। / For (x=1), (4) values work; for (x=2), (4) values work; and for (x=3), only (6) works. Total is (9).
समीकरण (xy-x-y=0) से ((x-1)(y-1)=1) मिलता है। धनात्मक पूर्णांकों में केवल ((2,2)) सही है, इसलिए संख्या (1) है। / The equation (xy-x-y=0) gives ((x-1)(y-1)=1). Among positive integers, only ((2,2)) works, so the count is (1).
