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क्योंकि \(A\times B\) में \(3\times2=6\) अवयव हैं, इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6=64\) है। परीक्षा में पहले \(A\times B\) के अवयव गिनें। / Since \(A\times B\) has \(3\times2=6\) elements, the number of relations is \(2^6=64\). In exams, count the elements of \(A\times B\) first.
शर्त (a+2=b) से ordered pairs ((1,3)) और ((2,4)) मिलते हैं। इसलिए प्रांत ({1,2}) है। / The condition (a+2=b) gives the ordered pairs ((1,3)) and ((2,4)). Therefore the domain is ({1,2}).
प्रांत में सभी प्रथम घटक आते हैं, इसलिए ({2,4,6}) मिलेगा। परीक्षा में ordered pair का पहला स्थान देखें। / The domain contains all first components, so it is ({2,4,6}). In exams, look at the first place in each ordered pair.
सभी ((a,a)) अवयव मौजूद हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। सममिति के लिए ((2,1)) भी चाहिए था। / All ((a,a)) elements are present, so the relation is reflexive. For symmetry, ((2,1)) would also be needed.
हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी है, इसलिए संबंध सममित है। प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) भी चाहिए। / For every ((a,b)), ((b,a)) is also present, so the relation is symmetric. For reflexivity, ((1,1),(2,2),(3,3)) are also needed.
A. ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3))/From ((1,2)) and ((2,3)) to ((1,3))
Explanation
Simple Explanation
संक्रामिता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। यहां ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है। / Transitivity needs ((a,b)) and ((b,c)) to imply ((a,c)). Here ((1,2)) and ((2,3)) give ((1,3)).
सभी ((a,a)) मौजूद हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। इसलिए यह प्रतिवर्ती और सममित है। / All ((a,a)) are present and ((2,1)) is present with ((1,2)). So it is reflexive and symmetric.
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी/Reflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(a\le a\) सत्य है और \(a\le b,\ b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है। यह सामान्यतः सममित नहीं है। / Since \(a\le a\) is true and \(a\le b,\ b\le c\) gives \(a\le c\). It is generally not symmetric.
(a-b) का सम होना प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण देता है। इसलिए यह समतुल्य संबंध है। / The evenness of (a-b) gives reflexive, symmetric, and transitive properties. Hence it is an equivalence relation.
क्योंकि (3) संख्या (1) को विभाजित नहीं करती। विकल्प जांचते समय पहले विभाज्यता की दिशा देखें। / Since (3) does not divide (1). While checking options, first notice the direction of divisibility.
व्युत्क्रम संबंध में हर ordered pair के घटक उलट जाते हैं। इसलिए ((1,2)) से ((2,1)) और ((2,3)) से ((3,2)) मिलेगा। / In the inverse relation, the components of each ordered pair are reversed. Thus ((1,2)) gives ((2,1)) and ((2,3)) gives ((3,2)).
संक्रामिता में बीच वाला घटक समान हो तो ((a,c)) चाहिए। इसलिए ((1,7)) आवश्यक है। / In transitivity, when the middle component is common, ((a,c)) is required. Therefore ((1,7)) is necessary.
प्रतिवर्ती संबंध में समुच्चय के प्रत्येक अवयव के लिए संबंधित क्रमित युग्म होना आवश्यक है। इसलिए \((1,1),(2,2),(3,3)\) अनिवार्य हैं और न्यूनतम संख्या 3 है। विकल्प 1 और 2 में सभी अवयवों के लिए स्व-संबंध नहीं बनते, जबकि 9 पूरे \(A\times A\) के युग्मों की संख्या है, न्यूनतम संख्या नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(n\) अवयवों वाले समुच्चय पर प्रतिवर्ती संबंध में कम-से-कम \(n\) युग्म होते हैं। / A reflexive relation must contain a self-related ordered pair \((a,a)\) for every element \(a\) of the set. Thus, \((1,1),(2,2),(3,3)\) are compulsory, giving a minimum of 3 ordered pairs. One or two pairs cannot cover all three elements, while 9 is the total number of pairs in \(A\times A\), not the minimum. Exam tip: a reflexive relation on an \(n\)-element set contains at least \(n\) ordered pairs.
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और (4) diagonal युग्म अनिवार्य हैं। शेष (12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / \(A\times A\) has (16) pairs and (4) diagonal pairs are compulsory. The remaining (12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).
रिक्त संबंध में सममिति की शर्त का विरोध करने वाला कोई युग्म नहीं है। लेकिन यह प्रतिवर्ती नहीं है क्योंकि ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं। / The empty relation has no pair that violates symmetry. But it is not reflexive because ((1,1),(2,2),(3,3)) are absent.
समुच्चय \(A\) से \(B\) तक संबंध की परिभाषा \(A\times B\) के किसी भी उपसमुच्चय के रूप में दी जाती है। इसलिए विकल्प A सही है। हर संबंध फलन नहीं होता, क्योंकि फलन में \(A\) के प्रत्येक अवयव की \(B\) में ठीक एक प्रतिछवि होनी चाहिए। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि सर्वसम संबंध सामान्यतः उसी समुच्चय पर परिभाषित होता है। परीक्षा-युक्ति: संबंध के लिए ‘कोई भी उपसमुच्चय’, जबकि फलन के लिए ‘प्रत्येक अवयव की ठीक एक प्रतिछवि’ याद रखें। / A relation from set \(A\) to set \(B\) is defined as any subset of \(A\times B\), so option A is correct. Not every relation is a function: a function must assign exactly one image in \(B\) to each element of \(A\). Option D is incorrect because an identity relation is generally defined on the same set. Exam tip: remember ‘any subset’ for a relation and ‘exactly one image for every element’ for a function.
A. \(p\in A\) और \(q\in B\)/\(p\in A\) and \(q\in B\)
Explanation
Simple Explanation
कार्टेशियन गुणन में पहला घटक पहले समुच्चय से और दूसरा घटक दूसरे समुच्चय से आता है। इसलिए \(p\in A\) और \(q\in B\) है। / In a Cartesian product, the first component comes from the first set and the second from the second set. Therefore \(p\in A\) and \(q\in B\).
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि (a+b) विषम है तो (b+a) भी विषम है, इसलिए सममित है। लेकिन (a+a) सम होता है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric. But (a+a) is even, so it is not reflexive.
A. प्रतिवर्ती और संक्रामी/Reflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
((1,1)) और ((2,2)) होने से यह प्रतिवर्ती है। ((1,2)) के कारण कोई संक्रामिता भंग नहीं होती, इसलिए यह संक्रामी भी है। / It is reflexive because ((1,1)) and ((2,2)) are present. The pair ((1,2)) causes no violation of transitivity, so it is also transitive.
A. यह सममित है लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/It is symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममित है। लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so it is symmetric. But ((1,1)) and ((2,2)) are absent, so it is not reflexive.
A. क्योंकि \((1,3)\) अनुपस्थित है/Because \((1,3)\) is absent
Explanation
Simple Explanation
संक्रामिता के लिए यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\) भी होना चाहिए। यहाँ \((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) हैं, इसलिए \((1,3)\) भी R में होना चाहिए; लेकिन \((1,3)\) अनुपस्थित है। अतः R संक्रामी नहीं है। ध्यान रखें कि \((1,1),(2,2),(3,3)\) जैसे युग्म इस कमी को पूरा नहीं करते। / For transitivity, whenever \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), the pair \((a,c)\) must also belong to R. Here, \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), so \((1,3)\) must be in R; however, it is absent. Therefore, R is not transitive. Exam tip: diagonal pairs such as \((1,1),(2,2),(3,3)\) do not compensate for a missing required pair.
(1) से \( \pmod{3}\) में समान शेष देने वाली संख्याएं (1) और (4) हैं। इसलिए वर्ग ({1,4}) है। / The numbers with the same remainder as (1) modulo (3) are (1) and (4). Hence the class is ({1,4}).
दिए गए समुच्चय में सभी अवयव अनऋण हैं, इसलिए \(a^2=b^2\) से (a=b) मिलता है। इसलिए केवल (5) diagonal युग्म हैं। / All elements in the given set are non-negative, so \(a^2=b^2\) gives (a=b). Therefore only (5) diagonal pairs exist.
A. (R) प्रतिवर्ती और संक्रामी है/(R) is reflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
हर (a) अपने को विभाजित करता है और \(a\mid b,\ b\mid c\) से \(a\mid c\) मिलता है। इसलिए यह प्रतिवर्ती और संक्रामी है। / Every (a) divides itself and \(a\mid b,\ b\mid c\) imply \(a\mid c\). Hence it is reflexive and transitive.
A. यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है/It is reflexive, symmetric, and transitive
Explanation
Simple Explanation
यह सर्वसम संबंध है, इसलिए तीनों गुण रखता है। ऐसे संबंध को समतुल्य भी कहा जा सकता है। / It is the identity relation, so it has all three properties. Such a relation is also an equivalence relation.
A. प्रतिवर्ती, सममित, संक्रामी/Reflexive, symmetric, transitive
Explanation
Simple Explanation
समतुल्य संबंध की परिभाषा में प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी तीनों गुण आते हैं। परीक्षा में इन तीनों को अलग-अलग जांचें। / The definition of equivalence relation includes reflexive, symmetric, and transitive properties. In exams, check all three separately.
युग्म \((4,2)\) के लिए \(a+b=4+2=6\) है। संबंध \(R\) में वही युग्म शामिल हैं जिनके लिए \(a+b\le 5\) हो, लेकिन \(6\le 5\) असत्य है। इसलिए \((4,2)\notin R\)। विकल्प B में असमानता की शर्त उलटी समझी गई है। परीक्षा-युक्ति: किसी युग्म की सदस्यता जाँचने के लिए उसके दोनों घटकों को दिए गए संबंध की शर्त में सीधे रखें। / For the ordered pair \((4,2)\), \(a+b=4+2=6\). The relation \(R\) contains only those ordered pairs for which \(a+b\le 5\), but \(6\le 5\) is false. Therefore, \((4,2)\notin R\). Option B incorrectly treats the inequality condition as satisfied. Exam tip: To test whether an ordered pair belongs to a relation, substitute its two components directly into the defining condition.
A. सममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1) भी है, इसलिए सममित है। लेकिन (|a-a|=0), इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / If (|a-b|=1), then (|b-a|=1) too, so it is symmetric. But (|a-a|=0), so it is not reflexive.
प्रतिवर्ती होने के लिए ((1,1)) और ((2,2)) दोनों चाहिए। ((1,1)) पहले से है, इसलिए ((2,2)) जोड़ना होगा। / To be reflexive, both ((1,1)) and ((2,2)) are needed. ((1,1)) is already present, so ((2,2)) must be added.
अधिकतम संबंध पूरा \(A\times B\) हो सकता है। इसलिए अधिकतम युग्म \(2\times5=10\) होंगे। / The maximum relation can be the whole \(A\times B\). Therefore the maximum number of pairs is \(2\times5=10\).
A. सार्वत्रिक और समतुल्य/Universal and equivalence
Explanation
Simple Explanation
यह \(A\times A\) के सभी युग्म रखता है, इसलिए सार्वत्रिक है। यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी भी है। / It contains all pairs of \(A\times A\), so it is universal. It is also reflexive, symmetric, and transitive.
A. \((5,3)\in R\) नहीं हो सकता/\((5,3)\in R\) cannot occur
Explanation
Simple Explanation
प्रतिसममित संबंध में अलग-अलग (a) और (b) के लिए दोनों ((a,b)) और ((b,a)) साथ नहीं हो सकते। क्योंकि \(3\ne5\), ((5,3)) नहीं हो सकता। / In an antisymmetric relation, for distinct (a) and (b), both ((a,b)) and ((b,a)) cannot occur together. Since \(3\ne5\), ((5,3)) cannot occur.
A. यह प्रतिवर्ती और प्रतिसममित है/It is reflexive and antisymmetric
Explanation
Simple Explanation
सभी diagonal युग्म हैं, इसलिए यह प्रतिवर्ती है। ((2,1)) नहीं है, इसलिए ((1,2)) से प्रतिसममिति नहीं टूटती। / All diagonal pairs are present, so it is reflexive. Since ((2,1)) is absent, ((1,2)) does not break antisymmetry.
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric, and transitive
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(a\ge a\) सत्य है, और \(a\ge b,\ b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है। साथ ही \(a\ge b\) और \(b\ge a\) से (a=b) होता है। / Because \(a\ge a\) is true, and \(a\ge b,\ b\ge c\) imply \(a\ge c\). Also \(a\ge b\) and \(b\ge a\) imply (a=b).
