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A. (A) के हर तत्व का (B) में ठीक एक प्रतिबिंब हो/Each element of (A) has exactly one image in (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन में (A) के प्रत्येक तत्व से (B) का ठीक एक तत्व जुड़ता है। परीक्षा में ठीक एक शब्द पर ध्यान दें। / In a function each element of (A) is related to exactly one element of (B). In exams focus on the phrase exactly one.
फलन में समुच्चय \(A\) के प्रत्येक अवयव की \(B\) में ठीक एक प्रतिमा होनी चाहिए। विकल्प A में 1 की प्रतिमा 3 और 2 की प्रतिमा 4 है, इसलिए यह फलन है। विकल्प B में 1 की दो प्रतिमाएँ हैं, जबकि विकल्प C में 1 की कोई प्रतिमा नहीं है और विकल्प D में 2 की दो प्रतिमाएँ हैं। परीक्षा-युक्ति: ordered pairs के पहले अवयवों में domain के प्रत्येक अवयव का ठीक एक बार आना जाँचें। / For a function, every element of \(A\) must have exactly one image in \(B\). In option A, 1 maps to 3 and 2 maps to 4, so it is a function. In option B, 1 has two images; in option C, 1 has no image; and in option D, 2 has two images. Exam tip: Check that every element of the domain appears exactly once as the first component of an ordered pair.
A. क्योंकि (1) के दो प्रतिबिंब हैं/Because (1) has two images
Explanation
Simple Explanation
एक ही प्रथम अवयव (1) दो अलग द्वितीय अवयवों से जुड़ा है। ऐसी स्थिति फलन नहीं बनाती। / The same first component (1) is related to two different second components. Such a relation is not a function.
(a), (b), और (c) में से हर एक का ठीक एक प्रतिबिंब है। दो अलग तत्वों का समान प्रतिबिंब होना फलन में मान्य है। / Each of (a), (b), and (c) has exactly one image. Two different elements may have the same image in a function.
A. प्रत्येक इनपुट का ठीक एक आउटपुट होता है/Every input has exactly one output
Explanation
Simple Explanation
फलन में डोमेन के प्रत्येक तत्व (इनपुट) के लिए सह-डोमेन में ठीक एक निश्चित तत्व (आउटपुट) होना अनिवार्य है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B और C एक-एक (injective) फलन की अतिरिक्त शर्तें हैं, हर फलन की नहीं; अलग-अलग इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है। विकल्प D गलत है, क्योंकि डोमेन का कोई भी इनपुट बिना संबद्ध आउटपुट के नहीं छोड़ा जा सकता। परीक्षा-युक्ति: फलन पहचानने के लिए देखें कि प्रत्येक इनपुट से ठीक एक तीर निकल रहा हो। / For a function, every element of the domain (input) must be associated with exactly one element of the codomain (output), so statement A is always true. Statements B and C describe additional one-to-one behavior, which is not required for every function; different inputs may have the same output. Statement D is false because no input in the domain can be left without an associated output. Exam tip: To test a mapping, check that exactly one arrow starts from each input.
फलन \(f:A\to B\) में \(A\) उन सभी प्रारम्भिक अवयवों का समुच्चय है जिन पर फलन परिभाषित होता है, इसलिए इसे प्रांत (Domain) कहते हैं। \(B\) सहप्रांत होता है, जबकि फलन के वास्तविक मानों का समुच्चय परिसर (Range) कहलाता है और वह सहप्रांत का उपसमुच्चय हो सकता है। परीक्षा में \(f:A\to B\) लिखे होने पर पहले समुच्चय को प्रांत और दूसरे को सहप्रांत पहचानें। / In the function \(f:A\to B\), \(A\) is the set of all input elements on which the function is defined, so it is called the domain. \(B\) is the codomain, while the set of actual output values is the range, which may be a subset of the codomain. In an exam, identify the first set in \(f:A\to B\) as the domain and the second as the codomain.
फलन \(f:A\to B\) में \(A\) प्रांत (domain) और \(B\) सहप्रांत (codomain) होता है। फलन के वास्तविक मानों का समुच्चय परास (range) कहलाता है और वह सहप्रांत का उपसमुच्चय हो सकता है। परीक्षा-युक्ति: तीर के बाद लिखा समुच्चय सहप्रांत होता है। / In the function \(f:A\to B\), \(A\) is the domain and \(B\) is the codomain. The set of actual output values is the range, which may be a subset of the codomain. Exam tip: the set written after the arrow is the codomain.
परिसर में केवल प्राप्त मान आते हैं इसलिए (5) और (6) हैं। दोहराए गए मान को एक बार लिखते हैं। / The range contains only the obtained values, so it is (5) and (6). A repeated value is written once.
किसी फलन को दर्शाने वाले क्रमित युग्मों में प्रथम अवयवों का समुच्चय प्रांत कहलाता है। यहाँ प्रथम अवयव 2, 3 और 4 हैं, इसलिए प्रांत \(\{2,3,4\}\) है। विकल्प B सह-प्रांत/परास से संबंधित है, क्योंकि उसमें द्वितीय अवयव दिए गए हैं। परीक्षा सुझाव: क्रमित युग्म \((x,y)\) में x-अवयवों से प्रांत और y-अवयवों से परास पहचानें। / The domain of a function represented by ordered pairs is the set of their first components. Here, the first components are 2, 3, and 4, so the domain is \(\{2,3,4\}\). Option B lists the second components, which form the range. Exam tip: in an ordered pair \((x,y)\), the x-values form the domain and the y-values form the range.
चूँकि \(2\) दिए गए प्रांत \(\{1,2,3\}\) का सदस्य है, इसलिए फलन में \(x=2\) रखने पर \(f(2)=2+2=4\) प्राप्त होता है। विकल्प B में केवल 3 लेने से स्थिरांक 2 जुड़ना छूट जाता है। परीक्षा में फलन का मान निकालते समय दिए गए इनपुट को सीधे \(x\) के स्थान पर रखें। / Since \(2\) belongs to the given domain \(\{1,2,3\}\), substitute \(x=2\) in the rule: \(f(2)=2+2=4\). Option B incorrectly omits the added constant 2. Exam tip: to find a function value, replace \(x\) directly with the given input.
फलन के नियम \(g(x)=2x\) में \(x=3\) रखने पर \(g(3)=2\times3=6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 6 है। विकल्प 3 केवल इनपुट मान है, फलन का मान नहीं। परीक्षा में किसी फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए इनपुट को नियम में सीधे प्रतिस्थापित करें। / Using the rule \(g(x)=2x\), substitute \(x=3\): \(g(3)=2\times3=6\). Therefore, 6 is correct. The value 3 is the input, not the output of the function. Exam tip: to evaluate a function, replace its variable with the given input and simplify.
A. प्रत्येक प्रांत तत्व से केवल एक तीर निकले/Only one arrow leaves each domain element
Explanation
Simple Explanation
फलन में हर प्रांत तत्व से ठीक एक तीर निकलना चाहिए। सहप्रांत के हर तत्व पर तीर आना आवश्यक नहीं। / In a function exactly one arrow must leave every domain element. It is not necessary that every codomain element receives an arrow.
A के प्रत्येक तत्व का B में ठीक एक प्रतिबिंब है: 1 का a, 2 का a और 3 का b। इसलिए यह फलन है। 1 और 2 का एक ही प्रतिबिंब a होना कोई दोष नहीं है; इससे फलन एक-एक नहीं रहता, बल्कि यह बहु-एक फलन है। परीक्षा में याद रखें: फलन के लिए प्रांत के प्रत्येक तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना आवश्यक है। / Each element of A has exactly one image in B: 1 maps to a, 2 maps to a, and 3 maps to b. Therefore, the relation is a function. The fact that 1 and 2 have the same image does not violate the definition; it only means the function is many-one, not one-one. Exam tip: for a function, every domain element must have exactly one image.
A. क्योंकि 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है/Because 3 has no image
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत A के प्रत्येक तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना आवश्यक है। यहाँ 1 का प्रतिबिंब 2 और 2 का प्रतिबिंब 3 है, लेकिन 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है। इसलिए R, A से A में फलन नहीं है। विकल्प B गलत है, क्योंकि 1 का केवल एक ही प्रतिबिंब 2 है। परीक्षा-युक्ति: फलन जाँचते समय पहले प्रांत के हर तत्व की उपस्थिति देखें और फिर उसके प्रतिबिंबों की संख्या जाँचें। / For a relation to be a function, every element of the domain A must have exactly one image. Here, 1 maps to 2 and 2 maps to 3, but 3 has no image. Therefore, R is not a function from A to A. Option B is incorrect because 1 has only one image, namely 2. Exam tip: To test a function, check that every domain element appears exactly once as the first component of an ordered pair.
A. हर फलन एक संबंध है/Every function is a relation
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष प्रकार है। हर संबंध फलन नहीं होता क्योंकि शर्तें अतिरिक्त हैं। / A function is a special type of relation. Every relation is not a function because extra conditions are required.
फलन के क्रमित युग्म (a,b) में a इनपुट और b उसका मान होता है। यहाँ (1,2) में 1 का संगत मान 2 है, इसलिए f(1)=2। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए इनपुट को क्रमित युग्म के प्रथम अवयव के रूप में खोजें और उसका दूसरा अवयव लिखें। / In an ordered pair (a,b) of a function, a is the input and b is its corresponding value. Here, the pair (1,2) shows that f(1)=2. Exam tip: To find a function value, locate the given input as the first component of an ordered pair and read the second component.
क्रमित युग्म (0,1) में पहला घटक 0, फलन का आगत है और दूसरा घटक 1, उसका प्रतिचित्र है। इसलिए h(0) = 1। परीक्षा में h(a) ज्ञात करने के लिए उस क्रमित युग्म (a,b) को खोजें, जिसका पहला घटक a हो; दूसरे घटक b को उत्तर चुनें। / In the ordered pair (0,1), the first component 0 is the input and the second component 1 is its image. Therefore, h(0) = 1. Exam tip: To find h(a), locate the ordered pair (a,b) whose first component is a; the second component is the answer.
फलन में परिभाषा-समुच्चय के प्रत्येक अवयव का केवल एक ही प्रतिबिंब होना चाहिए। विकल्प A में 1 के दो अलग-अलग प्रतिबिंब 5 और 6 हैं, इसलिए यह फलन नहीं है। अन्य विकल्पों में 1 और 2, दोनों का केवल एक-एक प्रतिबिंब है। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध के फलन होने की जाँच करते समय पहले अवयव को दोहराकर देखें। / In a function, every element of the domain must have exactly one image. In option A, the input 1 has two different images, 5 and 6, so the relation is not a function. In the other options, both 1 and 2 have exactly one image each. Exam tip: To test a relation quickly, check whether any first coordinate is paired with more than one second coordinate.
(2) और (4) दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। बाकी विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार आया है। / Both (2) and (4) have exactly one image. In the other options an input is missing or repeated with different images.
स्थिर फलन में प्रांत के प्रत्येक तत्व का प्रतिचित्र या फलन-मान समान होता है; अर्थात सभी तत्व सहप्रांत के एक ही निश्चित तत्व से सम्बद्ध होते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B अलग-अलग फलन-मान दर्शाता है, जो स्थिर फलन की विशेषता नहीं है। परीक्षा में याद रखें: स्थिर फलन का ग्राफ एक क्षैतिज रेखा होता है। / In a constant function, every domain element has the same image or function value; therefore, all domain elements are associated with one fixed element of the codomain. Hence, option A is correct. Option B represents different function values, which is not the defining property of a constant function. Exam tip: the graph of a constant function is a horizontal line.
हर इनपुट पर फलन का मान (7) है इसलिए यह स्थिर फलन है। स्थिर फलन में सभी प्रतिबिंब समान होते हैं। / The function value is (7) for every input, so it is a constant function. In a constant function all images are the same.
तत्समक फलन की परिभाषा के अनुसार \(I_A(x)=x\) होता है। इसलिए समुच्चय \(A\) का प्रत्येक तत्व स्वयं उसी का प्रतिबिंब होता है। विकल्प \(0\) या \(1\) केवल विशेष स्थितियों में संभव हो सकते हैं, जबकि सामान्यतः प्रतिबिंब \(x\) ही रहता है। परीक्षा में याद रखें: identity function में input और output समान होते हैं। / By definition, an identity function satisfies \(I_A(x)=x\). Thus, every element of the set \(A\) is mapped to itself. The image is not necessarily \(0\) or \(1\); it remains the input element \(x\). Exam tip: in an identity function, input and output are always the same.
तत्समक फलन में समुच्चय A का प्रत्येक तत्व स्वयं पर प्रतिचित्रित होता है, अर्थात f(x) = x। इसलिए इसके सभी क्रमित युग्म (x, x) के रूप में होंगे और सही उत्तर {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} है। विकल्प B में तत्व चक्रीय रूप से बदलते हैं, जबकि C और D में सभी तत्व स्वयं पर प्रतिचित्रित नहीं होते। परीक्षा-युक्ति: तत्समक फलन पहचानने के लिए जाँचें कि प्रत्येक क्रमित युग्म में पहला और दूसरा घटक समान हैं। / In an identity function, every element of A maps to itself, so f(x) = x. Hence all ordered pairs must be of the form (x, x), giving {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. In option B the elements map cyclically, while options C and D do not map every element to itself. Exam tip: for an identity function, check that the two entries in every ordered pair are equal.
A. क्रमित युग्म ((x,f(x)))/Ordered pairs ((x,f(x)))
Explanation
Simple Explanation
फलन का ग्राफ सभी ((x,f(x))) युग्मों से बनता है। इसमें पहला अवयव इनपुट और दूसरा आउटपुट होता है। / The graph of a function is made of all pairs ((x,f(x))). The first component is input and the second is output.
किसी फलन का ग्राफ उसके सभी क्रमित युग्मों (x,f(x)) का समुच्चय होता है। यहाँ f(1)=12=1, f(2)=22=4 और f(3)=32=9 हैं, इसलिए ग्राफ {(1,1),(2,4),(3,9)} होगा। विकल्प C पहचान फलन y=x का ग्राफ है, जबकि विकल्प B में f(3)=9 के स्थान पर 6 दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक दिए गए x के लिए पहले f(x) निकालकर क्रमित युग्म बनाइए। / The graph of a function is the set of all ordered pairs (x,f(x)). Here, f(1)=12=1, f(2)=22=4, and f(3)=32=9, so the graph is {(1,1),(2,4),(3,9)}. Option C represents the identity function y=x, while option B gives 6 instead of the correct value 9 for x=3. Exam tip: calculate f(x) for every element of the domain before forming the ordered pairs.
समुच्चय \(A\) के प्रत्येक अवयव पर फलन का नियम \(f(x)=x-1\) लागू करें: \(f(2)=1\), \(f(3)=2\) और \(f(4)=3\)। इसलिए \(f(A)=\{1,2,3\}\)। विकल्प B मूल समुच्चय है, जबकि वह फलन से प्राप्त प्रतिबिंबित मानों का समुच्चय नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय का फलन-प्रतिबिंब ज्ञात करने के लिए उसके प्रत्येक अवयव की छवि निकालें। / Apply the rule \(f(x)=x-1\) to every element of \(A\): \(f(2)=1\), \(f(3)=2\), and \(f(4)=3\). Hence, \(f(A)=\{1,2,3\}\). Option B is only the original set, not the set of images produced by the function. Exam tip: To find the image of a set, apply the function to each of its elements and collect the resulting values.
विकल्प A में x = 2 के साथ y = 5 और y = 6, दो अलग-अलग मान जुड़े हैं। इसलिए यह फलन की मूल शर्त—प्रत्येक इनपुट का केवल एक आउटपुट होना—पूरी नहीं करता। विकल्प B में अलग-अलग x मानों का एक ही y मान होना अनुमत है, इसलिए वह फलन है। परीक्षा-युक्ति: फलन जाँचने के लिए देखें कि कोई भी x मान दो अलग-अलग y मानों के साथ न जुड़ा हो। / In option A, the input x = 2 is associated with two different outputs, y = 5 and y = 6. Thus, it violates the defining condition of a function: every input must have exactly one output. In option B, different x-values share the same y-value, which is allowed, so it is a function. Exam tip: check whether any x-value is paired with more than one y-value.
(A) से (B) में संबंध हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। फलन उसी संबंध का विशेष रूप है। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). A function is a special form of such a relation.
फलन में प्रांत (A) के हर तत्व के लिए एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या (|A|=2) है। / A function has one ordered pair for each element of the domain (A). Hence the number of pairs is (|A|=2).
फलन में प्रांत (domain) के प्रत्येक तत्व के साथ सहप्रांत (codomain) का ठीक एक तत्व संबद्ध होता है। इसलिए 4 प्रांत तत्वों के लिए 4 क्रमित युग्म होंगे। सहप्रांत में तत्वों की संख्या इस प्रश्न के उत्तर को प्रभावित नहीं करती। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन के क्रमित युग्मों की संख्या उसके प्रांत के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / In a function, each element of the domain is associated with exactly one element of the codomain. Thus, 4 domain elements produce 4 ordered pairs. The number of elements in the codomain does not affect this answer. Exam tip: The number of ordered pairs in a function equals the number of elements in its domain.
हर तत्व (p) और (q) के लिए (2) विकल्प हैं इसलिए कुल \(2^2=4\) फलन हैं। गिनती में \(|B|^{|A|}\) प्रयोग करें। / Each element (p) and (q) has (2) choices, so total functions are \(2^2=4\). Use \(|B|^{|A|}\) for counting.
फलन में समुच्चय (A) के प्रत्येक तत्व की छवि समुच्चय (B) के किसी एक तत्व के रूप में चुनी जाती है। इसलिए (A) के 3 तत्वों में से प्रत्येक के लिए 2 विकल्प होंगे और कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=2^3=8\) होगी। \(3^2\) में घातें उलटे क्रम में हैं। परीक्षा-टिप: (m) तत्वों वाले समुच्चय से (n) तत्वों वाले समुच्चय में फलनों की संख्या हमेशा \(n^m\) होती है। / For a function, the image of each element of set (A) is chosen from set (B). Thus, each of the 3 elements of (A) has 2 choices, giving \(|B|^{|A|}=2^3=8\) functions. The expression \(3^2\) reverses the base and exponent. Exam tip: The number of functions from an (m)-element set to an (n)-element set is always \(n^m\).
यदि \(|A|=m\) और \(|B|=n\), तो \(A\) से \(B\) में फलनों की संख्या \(n^m\) होती है। यहाँ \(A\) के प्रत्येक 2 तत्व के लिए \(B\) के 3 तत्वों में से कोई एक चुना जा सकता है, इसलिए कुल संख्या \(3^2=9\) है। \(2^3\) में आधार और घात की भूमिकाएँ उलट दी गई हैं। परीक्षा-युक्ति: फलनों की संख्या के लिए हमेशा \(|B|^{|A|}\) लगाएँ। / If \(|A|=m\) and \(|B|=n\), the number of functions from \(A\) to \(B\) is \(n^m\). Each of the 2 elements of \(A\) can be mapped independently to any of the 3 elements of \(B\), giving \(3^2=9\) functions. \(2^3\) is incorrect because it reverses the roles of the domain and codomain. Exam tip: use \(|B|^{|A|}\) for the number of functions from \(A\) to \(B\).
दो अलग इनपुट (1) और (2) एक ही आउटपुट (a) से जुड़ते हैं। फिर भी हर इनपुट का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Two different inputs (1) and (2) map to the same output (a). Still each input has exactly one image.
A. एक इनपुट के दो अलग-अलग आउटपुट हो सकते हैं/One input can have two different outputs
Explanation
Simple Explanation
फलन में डोमेन के प्रत्येक इनपुट से कोडोमेन में ठीक एक आउटपुट जुड़ा होता है। इसलिए एक ही इनपुट के दो अलग-अलग आउटपुट नहीं हो सकते, अतः कथन A गलत है। इसके विपरीत, दो अलग-अलग इनपुट का एक ही आउटपुट हो सकता है; इसे many-to-one स्थिति कहते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन की पहचान के लिए याद रखें—हर इनपुट का केवल एक आउटपुट। / In a function, each input in the domain is associated with exactly one output in the codomain. Therefore, the same input cannot have two different outputs, so statement A is false. However, two different inputs may have the same output; this is a many-to-one situation. Exam tip: to test whether a relation is a function, check that every input has exactly one output.
फलन के क्रमित युग्म \((c,2)\) में पहला घटक \(c\) है और दूसरा घटक उसका प्रतिबिंब या फलन-मान है। इसलिए \(f(c)=2\)। विकल्प 3, \(b\) का फलन-मान है, जबकि \(a\) और \(c\) इनपुट हैं। परीक्षा-युक्ति: \(f(x)\) ज्ञात करने के लिए उस युग्म को खोजें जिसका पहला घटक \(x\) हो। / In the ordered pair \((c,2)\), the first component is the input \(c\), and the second component is its image or function value. Therefore, \(f(c)=2\). The value 3 is the image of \(b\), while \(a\) and \(c\) are inputs. Exam tip: To find \(f(x)\), locate the ordered pair whose first component is \(x\).
\(f(1)\) निकालने के लिए \(x=1\) रखें: \(f(1)=3\times1+1=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प B में केवल \(3\times1\) लिया गया है और \(+1\) छोड़ दिया गया है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में दिए गए फलन में \(x\) के स्थान पर मान रखकर पहले गुणा, फिर जोड़ करें। / To find \(f(1)\), substitute \(x=1\) in the function: \(f(1)=3\times1+1=4\). Therefore, 4 is correct. Option B results from calculating only \(3\times1\) and omitting \(+1\). In such questions, substitute the given input carefully and follow multiplication before addition.
फलन में x के स्थान पर 2 रखने पर 8f(2)=22+1=4+1=59 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 5 है। विकल्प 4 में केवल 8\(2^2\)9 लिया गया है और 3 में जोड़ के बजाय घटाव जैसा विचार किया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले घात निकालें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substitute 2 for x in the function: 8f(2)=22+1=4+1=59. Therefore, 5 is correct. Option 4 results from taking only 8\(2^2\)9, while 3 reflects an incorrect operation. Exam tip: evaluate the exponent before performing addition or subtraction.
\(f(0)\) ज्ञात करने के लिए दिए गए फलन में \(x=0\) रखें: \(f(0)=0+5=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। विकल्प B केवल इनपुट \(x=0\) है, फलन का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का मान निकालते समय दिए गए इनपुट को \(x\) के स्थान पर रखें। / To find \(f(0)\), substitute \(x=0\) in the given function: \(f(0)=0+5=5\). Therefore, the correct answer is 5. Option B is only the input \(x=0\), not the value of the function. Exam tip: Always substitute the given input in place of \(x\) when evaluating a function.
फलन में परिभाषा-समुच्चय \(A\) के प्रत्येक तत्व की \(B\) में ठीक एक प्रतिच्छवि होनी चाहिए। विकल्प A में 1, 2 और 3 प्रत्येक एक बार आते हैं और उनकी प्रतिच्छवियाँ क्रमशः 4, 5 और 4 हैं। विकल्प B में 3 की कोई प्रतिच्छवि नहीं है, जबकि C में 2 की दो प्रतिच्छवियाँ हैं और D में 1 की दो प्रतिच्छवियाँ हैं। परीक्षा-युक्ति: डोमेन के हर तत्व को ठीक एक बार जाँचें। / For a function, every element of the domain \(A\) must have exactly one image in \(B\). In option A, 1, 2, and 3 each occur once, with images 4, 5, and 4 respectively. In option B, 3 has no image; in C, 2 has two images; and in D, 1 has two images. Exam tip: check that every domain element appears exactly once as the first component.
यदि \(f:A\to B\) एक फलन है, तो \(A\) उसका प्रांत (domain) और \(B\) सहप्रांत (codomain) होता है। इसलिए प्रत्येक \(x\in A\) का फलन मान \(f(x)\), \(B\) का तत्व होता है। \(A\) में इनपुट \(x\) होता है, जबकि आउटपुट \(f(x)\) सहप्रांत में जाता है। परीक्षा-युक्ति: \(f:A\to B\) में तीर के बाद लिखा समुच्चय फलन मानों का सहप्रांत होता है। / In \(f:A\to B\), \(A\) is the domain and \(B\) is the codomain. Therefore, for every \(x\in A\), the function value \(f(x)\) belongs to \(B\). The set \(A\) contains the inputs, not necessarily the outputs, so option B is incorrect. Exam tip: in \(f:A\to B\), the set written after the arrow is the codomain of the function values.
क्योंकि \(x\), फलन के प्रांत \(A\) का तत्व है, इसलिए यह फलन का इनपुट या स्वतंत्र चर कहलाता है। इसका फलन के माध्यम से प्राप्त प्रतिबिंब \(f(x)\) आउटपुट होता है। सहप्रांत \(B\) होता है, जबकि परास \(f(A)\) के वास्तविक मानों का समुच्चय होता है। परीक्षा में याद रखें: प्रांत से लिया गया तत्व इनपुट और उसका प्रतिबिंब आउटपुट होता है। / Since \(x\) is an element of the domain \(A\), it is the input, or independent variable, of the function. Its image \(f(x)\) is the output. The codomain is \(B\), whereas the range is the set of actual values \(f(A)\). Exam tip: an element taken from the domain is the input, and its image is the output.
फलन में प्रत्येक इनपुट का केवल एक ही आउटपुट हो सकता है। यहाँ दोनों क्रमित युग्मों का पहला अवयव \(a\) समान है, इसलिए उनके दूसरे अवयव भी समान होने चाहिए और \(b=c\) होगा। विकल्प D गलत है क्योंकि वह एक ही इनपुट के दो अलग आउटपुट दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: फलन की जाँच करते समय समान प्रथम अवयव वाले युग्मों के द्वितीय अवयव अवश्य मिलाएँ। / A function can assign only one output to a given input. Since both ordered pairs have the same first component \(a\), their second components must be equal; hence \(b=c\). Option D is incorrect because it represents two different outputs for the same input. Exam tip: To test whether a relation is a function, check that repeated first components never have different second components.
A. प्रत्येक x के लिए केवल एक f(x) निर्धारित होता है/For every x, exactly one f(x) is defined
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत के प्रत्येक x का सहप्रांत में ठीक एक प्रतिबिंब f(x) होना चाहिए। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B अद्वितीयता का उल्लंघन करता है, जबकि विकल्प C दर्शाता है कि प्रांत का कोई तत्व अप्रतिबिंबित है। विकल्प D फलन की आवश्यक शर्त नहीं, बल्कि एक-एक फलन (injective function) से संबंधित विचार है। परीक्षा-युक्ति: फलन जाँचते समय देखें कि प्रत्येक input का केवल एक output हो। / In a function, every x in the domain must have exactly one corresponding value f(x) in the codomain, so option A is correct. Option B violates uniqueness, while option C leaves a domain element without an image. Option D is not required for a function; it relates to an injective function, where distinct inputs have distinct outputs. Exam tip: check that each input has one and only one output.
हर प्रांत तत्व के लिए (B) में केवल (0) एक ही विकल्प है। इसलिए कुल फलन \(1^3=1\) है। / For each domain element, (B) has only one choice (0). Hence the total number of functions is \(1^3=1\).
किसी फलन में परिभाषा-क्षेत्र के प्रत्येक अवयव की एक छवि होनी चाहिए। यहाँ \(A\) रिक्त है, इसलिए किसी अवयव के लिए छवि चुनने की आवश्यकता नहीं है और एकमात्र रिक्त फलन प्राप्त होता है। सूत्र \(|B|^{|A|}=2^0=1\) से भी यही परिणाम मिलता है। परीक्षा में याद रखें: रिक्त समुच्चय से किसी भी अशून्य समुच्चय में ठीक एक फलन होता है; उत्तर 0 नहीं होता। / In a function, every element of the domain must have exactly one image. Since \(A\) is empty, there are no elements whose images need to be chosen, so exactly one empty function exists. The counting formula also gives \(|B|^{|A|}=2^0=1\). Exam tip: there is exactly one function from the empty set to any non-empty set, not zero.
समुच्चय A में केवल एक तत्व 1 है। इस तत्व की B के तीनों तत्वों—2, 3 या 4—में से किसी एक से छवि बनाई जा सकती है। इसलिए फलनों की कुल संख्या 3 है, अर्थात् 31 = 3। विकल्प 1 केवल एक निश्चित फलन को दर्शाता है, जबकि यहाँ तीन संभावित फलन हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि परिभाषा-क्षेत्र में n तत्व और सह-परिभाषा-क्षेत्र में m तत्व हों, तो फलनों की संख्या m^n होती है। / Set A has only one element, 1. Its image can be any one of the three elements of B: 2, 3, or 4. Hence, the total number of functions is 3, that is, 31 = 3. Option 1 would represent only one particular function, not all possible functions. Exam tip: If the domain has n elements and the codomain has m elements, the number of functions is m^n.
प्रत्येक इनपुट 1, 2 और 3 का प्रतिबिंब 0 है। चूँकि सभी इनपुट के लिए आउटपुट समान है, इसलिए यह स्थिर फलन है। यह तत्समक फलन नहीं है, क्योंकि तत्समक फलन में प्रत्येक इनपुट का आउटपुट स्वयं वही इनपुट होता है। परीक्षा-युक्ति: सभी ordered pairs में दूसरे घटक समान हों, तो फलन स्थिर होता है। / The images of all inputs 1, 2, and 3 are 0. Since every input has the same output, the relation is a constant function. It is not an identity function because an identity function maps each input to itself. Exam tip: If the second components of all ordered pairs are equal, the function is constant.
फलन में परिभाषा-समुच्चय के प्रत्येक तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होना चाहिए। विकल्प A में 1 का प्रतिबिंब a और 2 का प्रतिबिंब b है, इसलिए दोनों तत्वों के लिए एक-एक प्रतिबिंब मिलता है। विकल्प B में 2 का कोई प्रतिबिंब नहीं है, जबकि विकल्प C और D में एक ही तत्व के दो प्रतिबिंब हैं। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्मों में प्रथम अवयवों को देखकर जाँचें कि परिभाषा-समुच्चय का हर तत्व ठीक एक बार आया है। / A function must assign exactly one image to every element of its domain. In option A, 1 is mapped to a and 2 is mapped to b, so both elements of A have exactly one image. In option B, 2 has no image, while in options C and D, one element has two images. Exam tip: Check the first components of the ordered pairs to verify that every domain element appears exactly once.
A. क्योंकि इसमें हर प्रांत तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होता है/Because every domain element has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध है लेकिन उस पर ठीक एक प्रतिबिंब की अतिरिक्त शर्त लगती है। इसलिए इसे विशेष संबंध कहते हैं। / A function is a relation with the extra condition of exactly one image. Hence it is called a special relation.
