Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(6x-2-7x-3=(3x+1)(2x-3)), so the roots are \(-\frac{1}{3}\) and \(\frac{3}{2}\). In exams, solve both linear factors separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=\frac{3}{2},-\frac{1}{3}\). (6x-2-7x-3=(3x+1)(2x-3)), so the roots are \(-\frac{1}{3}\) and \(\frac{3}{2}\). In exams, solve both linear factors separately.
Step 3
Exam Tip
(6x-2-7x-3=(3x+1)(2x-3)), इसलिए मूल \(-\frac{1}{3}\) और \(\frac{3}{2}\) हैं। परीक्षा में दोनों रैखिक गुणनखंड अलग-अलग हल करें।
Here (ac=72) and (-9+(-8)=-17), so the correct split is (-9x-8x). In exams, check both sum (b) and product (ac).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(12x^2-9x-8x+6=0\). Here (ac=72) and (-9+(-8)=-17), so the correct split is (-9x-8x). In exams, check both sum (b) and product (ac).
Step 3
Exam Tip
यहां (ac=72) और (-9+(-8)=-17), इसलिए सही विभाजन (-9x-8x) है। परीक्षा में योग (b) और गुणनफल (ac) दोनों जांचें।
(12x-2-17x+6=(3x-2)(4x-3)), so the roots are \(\frac{2}{3}\) and \(\frac{3}{4}\). In exams, write fractional roots in simplest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=\frac{2}{3},\frac{3}{4}\). (12x-2-17x+6=(3x-2)(4x-3)), so the roots are \(\frac{2}{3}\) and \(\frac{3}{4}\). In exams, write fractional roots in simplest form.
Step 3
Exam Tip
(12x-2-17x+6=(3x-2)(4x-3)), इसलिए मूल \(\frac{2}{3}\) और \(\frac{3}{4}\) हैं। परीक्षा में भिन्न मूलों को सरल रूप में लिखें।
For equal roots, (D=0), so (4(k+1)2-4k-2=0) gives (2k+1=0). In exams, write (D) first in parameter questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(k=-\frac{1}{2}\). For equal roots, (D=0), so (4(k+1)2-4k-2=0) gives (2k+1=0). In exams, write (D) first in parameter questions.
Step 3
Exam Tip
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (4(k+1)2-4k-2=0) से (2k+1=0) मिलता है। परीक्षा में पैरामीटर वाले प्रश्नों में पहले (D) लिखें।
First we get \(x^2-\frac{10}{3}x+1=0\), then (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{16}{9}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{16}{9}). First we get \(x^2-\frac{10}{3}x+1=0\), then (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{16}{9}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
Step 3
Exam Tip
पहले \(x^2-\frac{10}{3}x+1=0\) बनता है और फिर (\left\(x-\frac{5}{3}\right\)2=\frac{16}{9}) मिलता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें।
(3x-2-10x+3=(3x-1)(x-3)), so the roots are \(\frac{1}{3}\) and (3). In exams, you may verify by completing square or factoring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=3,\frac{1}{3}\). (3x-2-10x+3=(3x-1)(x-3)), so the roots are \(\frac{1}{3}\) and (3). In exams, you may verify by completing square or factoring.
Step 3
Exam Tip
(3x-2-10x+3=(3x-1)(x-3)), इसलिए मूल \(\frac{1}{3}\) और (3) हैं। परीक्षा में पूर्ण वर्ग या गुणनखंड दोनों से जांच सकते हैं।
The roots of the first equation are \(2,\frac{1}{2}\), and the roots of the second are \(2,\frac{2}{3}\). In exams, solve both equations separately for common root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=2). The roots of the first equation are \(2,\frac{1}{2}\), and the roots of the second are \(2,\frac{2}{3}\). In exams, solve both equations separately for common root.
Step 3
Exam Tip
पहले समीकरण के मूल \(2,\frac{1}{2}\) और दूसरे के मूल \(2,\frac{2}{3}\) हैं। परीक्षा में समान मूल के लिए दोनों समीकरण अलग हल करें।
Since (3=\(\sqrt{3}\)2) and the middle term is \(2\sqrt{3}x\), it is (\(x+\sqrt{3}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(x+\sqrt{3}\)2=0). Since (3=\(\sqrt{3}\)2) and the middle term is \(2\sqrt{3}x\), it is (\(x+\sqrt{3}\)2). In exams, identify perfect squares even with irrational coefficients.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (3=\(\sqrt{3}\)2) और मध्य पद \(2\sqrt{3}x\) है, इसलिए यह (\(x+\sqrt{3}\)2) है। परीक्षा में अपरिमेय गुणांक में भी पूर्ण वर्ग पहचानें।
Since (x-4=\(x^2\)2=y-2), the new equation is \(y^2-5y+4=0\). In exams, substitution can simplify difficult forms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y^2-5y+4=0\). Since (x-4=\(x^2\)2=y-2), the new equation is \(y^2-5y+4=0\). In exams, substitution can simplify difficult forms.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (x-4=\(x^2\)2=y-2), इसलिए नया समीकरण \(y^2-5y+4=0\) है। परीक्षा में प्रतिस्थापन से कठिन रूप सरल हो सकता है।
Multiplying both sides by (2x) gives \(2+2x^2=5x\), that is \(2x^2-5x+2=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2x^2-5x+2=0\). Multiplying both sides by (2x) gives \(2+2x^2=5x\), that is \(2x^2-5x+2=0\). In exams, remember the condition \(x\neq0\).
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्षों को (2x) से गुणा करने पर \(2+2x^2=5x\), यानी \(2x^2-5x+2=0\) मिलता है। परीक्षा में \(x\neq0\) शर्त याद रखें।
(2x-2-5x+2=(2x-1)(x-2)), so \(x=\frac{1}{2}\) and (2). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=2,\frac{1}{2}\). (2x-2-5x+2=(2x-1)(x-2)), so \(x=\frac{1}{2}\) and (2). In exams, check whether obtained roots are valid in the original equation.
Step 3
Exam Tip
(2x-2-5x+2=(2x-1)(x-2)), इसलिए \(x=\frac{1}{2}\) और (2) हैं। परीक्षा में प्राप्त हल मूल समीकरण में मान्य हैं या नहीं जांचें।
Cross multiplication gives ((x+1)2=6x), so \(x^2+2x+1=6x\), and the correct form is \(x^2-4x+1=0\). In exams, cross multiply very carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2+2x-5=0\). Cross multiplication gives ((x+1)2=6x), so \(x^2+2x+1=6x\), and the correct form is \(x^2-4x+1=0\). In exams, cross multiply very carefully.
Step 3
Exam Tip
क्रॉस गुणा करने पर ((x+1)2=6x), इसलिए \(x^2+2x+1=6x\) और \(x^2-4x+1=0\) नहीं बल्कि जांच करने पर सही रूप ((x+1)2=6x) से \(x^2-4x+1=0\) बनता है। परीक्षा में क्रॉस गुणा बहुत सावधानी से करें।
The sum of roots is \(-\frac{p}{3}\), so \(-\frac{p}{3}=-5\) gives (p=15). In exams, remember the sum formula \(-\frac{b}{a}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (15). The sum of roots is \(-\frac{p}{3}\), so \(-\frac{p}{3}=-5\) gives (p=15). In exams, remember the sum formula \(-\frac{b}{a}\).
Step 3
Exam Tip
मूलों का योग \(-\frac{p}{3}\) है, इसलिए \(-\frac{p}{3}=-5\) से (p=15) है। परीक्षा में योग का सूत्र \(-\frac{b}{a}\) याद रखें।
The product of roots is \(\frac{p}{4}\), so \(\frac{p}{4}=\frac{3}{2}\) gives (p=6). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (6). The product of roots is \(\frac{p}{4}\), so \(\frac{p}{4}=\frac{3}{2}\) gives (p=6). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
Step 3
Exam Tip
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{4}\) है, इसलिए \(\frac{p}{4}=\frac{3}{2}\) से (p=6) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं।
\(\alpha+\beta=11\) and \(\alpha\beta=30\), so (\alpha-2+\beta-2=(11)2-2(30)=61). In exams, remember the identity (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (61). \(\alpha+\beta=11\) and \(\alpha\beta=30\), so (\alpha-2+\beta-2=(11)2-2(30)=61). In exams, remember the identity (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta).
Step 3
Exam Tip
\(\alpha+\beta=11\) और \(\alpha\beta=30\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=(11)2-2(30)=61) है। परीक्षा में पहचान (\(\alpha+\beta\)2-2\alpha\beta) याद रखें।
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{7}{10}\). In exams, first write sum and product for reciprocal questions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \( \frac{7}{10}\). \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{7}{10}\). In exams, first write sum and product for reciprocal questions.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{7}{10}\) होता है। परीक्षा में reciprocal वाले प्रश्न में पहले योग और गुणनफल लिखें।
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{9}{2}\right\)2-8=\frac{65}{4}). In exams, use this identity for square of difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \( \frac{65}{4}\). (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{9}{2}\right\)2-8=\frac{65}{4}). In exams, use this identity for square of difference.
Step 3
Exam Tip
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=\left\(\frac{9}{2}\right\)2-8=\frac{65}{4}) है। परीक्षा में अंतर का वर्ग सीधे इस पहचान से निकालें।
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-8\), so the value is (-16). In exams, factor the expression first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (-16). (\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), where \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-8\), so the value is (-16). In exams, factor the expression first.
Step 3
Exam Tip
(\alpha-2\beta+\alpha\beta-2=\alpha\beta\(\alpha+\beta\)), जहां \(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-8\), इसलिए मान (-16) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को पहले factor करें।
Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=9\) and the sum is (-3r), so \(p=3r=\frac{9}{\sqrt{2}}\). In exams, assume the roots and form equations carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3\sqrt{2}\). Let the roots be (-r) and (-2r), then \(2r^2=9\) and the sum is (-3r), so \(p=3r=\frac{9}{\sqrt{2}}\). In exams, assume the roots and form equations carefully.
Step 3
Exam Tip
मूलों को (-r) और (-2r) मानें, तो \(2r^2=9\) और योग (-3r) है, इसलिए \(p=3r=3\sqrt{\frac{9}{2}}\) नहीं बल्कि \(r=\frac{3}{\sqrt{2}}\), अतः \(p=\frac{9}{\sqrt{2}}\) होता है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में मानकर समीकरण बनाएं।
\(\frac{9}{\sqrt{2}}\) simplifies to \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\). In exams, do not forget to rationalize the denominator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \( \frac{9\sqrt{2}}{2}\). \(\frac{9}{\sqrt{2}}\) simplifies to \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\). In exams, do not forget to rationalize the denominator.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{9}{\sqrt{2}}\) को सरल करने पर \(\frac{9\sqrt{2}}{2}\) मिलता है। परीक्षा में हर को परिमेय बनाना न भूलें।
The square of the difference is \(D/a^2=5\), so the difference is \(\sqrt{5}\). In exams, the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{5}\). The square of the difference is \(D/a^2=5\), so the difference is \(\sqrt{5}\). In exams, the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\).
Step 3
Exam Tip
अंतर का वर्ग \(D/a^2=5\) है, इसलिए अंतर \(\sqrt{5}\) होगा। परीक्षा में मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}\) से मिलता है।
Here (D=(-4)2-4(2)(5)=-24<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वास्तविक मूल नहीं हैं / There are no real roots. Here (D=(-4)2-4(2)(5)=-24<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
Step 3
Exam Tip
यहां (D=(-4)2-4(2)(5)=-24<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ no real roots है।
(2x-2-4x+5=2(x-1)2+3), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows no real roots.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2(x-1)2+3=0). (2x-2-4x+5=2(x-1)2+3), so it cannot be zero for real (x). In exams, completed square form also shows no real roots.
Step 3
Exam Tip
(2x-2-4x+5=2(x-1)2+3), इसलिए यह वास्तविक (x) के लिए शून्य नहीं हो सकता। परीक्षा में पूर्ण वर्ग रूप से भी no real roots दिखता है।
The roots are (1,5), so new roots are (2,6), and the equation is ((x-2)(x-6)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-8x+12=0\). The roots are (1,5), so new roots are (2,6), and the equation is ((x-2)(x-6)=0). In exams, form the new roots and then the new equation.
Step 3
Exam Tip
मूल (1,5) हैं, इसलिए नए मूल (2,6) होंगे और समीकरण ((x-2)(x-6)=0) है। परीक्षा में नए मूल बनाकर नया समीकरण लिखें।
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\), so the value is \(\frac{64-30}{15}=\frac{34}{15}\). In exams, convert expressions into sum and product.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \( \frac{34}{15}\). \(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), where \(\alpha+\beta=8\) and \(\alpha\beta=15\), so the value is \(\frac{64-30}{15}=\frac{34}{15}\). In exams, convert expressions into sum and product.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}\), जहां \(\alpha+\beta=8\) और \(\alpha\beta=15\), इसलिए मान \(\frac{64-30}{15}=\frac{34}{15}\) है। परीक्षा में अभिव्यक्ति को योग और गुणनफल में बदलें।
((x-2)(x-5)=x-2-7x+10), so \(x^2-7x+10=6\) gives \(x^2-7x+4=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2-7x+4=0\). ((x-2)(x-5)=x-2-7x+10), so \(x^2-7x+10=6\) gives \(x^2-7x+4=0\). In exams, bring all terms to one side after expansion.
Step 3
Exam Tip
((x-2)(x-5)=x-2-7x+10), इसलिए \(x^2-7x+10=6\) से \(x^2-7x+4=0\) मिलता है। परीक्षा में विस्तार के बाद सभी पद एक तरफ लाएं।
Here (D=(-7)2-4(1)(4)=33), so \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\). Here (D=(-7)2-4(1)(4)=33), so \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\). In exams, finding (D) correctly is important.
Step 3
Exam Tip
यहां (D=(-7)2-4(1)(4)=33), इसलिए \(x=\frac{7\pm\sqrt{33}}{2}\) है। परीक्षा में (D) को सही निकालना जरूरी है।
First \(x^2+4x+\frac{1}{2}=0\) is obtained, then adding (4) gives ((x+2)2=\frac{7}{2}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((x+2)2=\frac{7}{2}). First \(x^2+4x+\frac{1}{2}=0\) is obtained, then adding (4) gives ((x+2)2=\frac{7}{2}). In exams, divide by (a) first when \(a\neq1\).
Step 3
Exam Tip
पहले \(x^2+4x+\frac{1}{2}=0\) मिलता है, फिर (4) जोड़ने पर ((x+2)2=\frac{7}{2}) बनता है। परीक्षा में \(a\neq1\) हो तो पहले (a) से भाग दें।
Since ((x+2)2=\frac{7}{2}), \(x=-2\pm\sqrt{\frac{7}{2}}=-2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\). In exams, write the square root in simplified form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=-2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\). Since ((x+2)2=\frac{7}{2}), \(x=-2\pm\sqrt{\frac{7}{2}}=-2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\). In exams, write the square root in simplified form.
Step 3
Exam Tip
((x+2)2=\frac{7}{2}), इसलिए \(x=-2\pm\sqrt{\frac{7}{2}}=-2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}\) है। परीक्षा में वर्गमूल को सरल रूप में लिखें।
