किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं?
In which proof are both (p) and (q) found divisible by (5)?
#sqrt5 proof
#divisibility
#class 10
A \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{2}\)
C \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{3}\)
D \(\sqrt{25}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{25}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में / In the proof of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{5}\), we get \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं। / This proves both (p) and (q) are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
साझा गुणनखंड (5) सहअभाज्य शर्त को तोड़ता है। / The common factor (5) breaks the coprime condition.
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निम्न में से कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण के क्रम में पहले आता है?
Which statement comes first in the proof sequence of \(\sqrt{2}\)?
#proof sequence
#sqrt2
#class 10
A \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानते हैं / Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)
B (q) सम है / (q) is even
C (p) सम है / (p) is even
D (p) और (q) दोनों सम हैं / Both (p) and (q) are even
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानते हैं / Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)
Step 1
Concept
प्रमाण की शुरुआत परिमेय मानकर होती है। / The proof begins by assuming rationality.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। / So first we write \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
बाद के चरणों में (p) और (q) के सम होने का निष्कर्ष आता है। / Conclusions about (p) and (q) being even come later.
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निम्न में से कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण के क्रम में अंतिम के पास आता है?
Which statement comes near the end of the proof sequence of \(\sqrt{3}\)?
#proof order
#sqrt3
#class 10
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
B \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) मानते हैं / Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)
C दोनों ओर वर्ग करते हैं / Square both sides
D \(p^2=3q^2\) मिलता है / We get \(p^2=3q^2\)
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
पहले परिमेय मान्यता और वर्ग करने के चरण आते हैं। / The rational assumption and squaring steps come first.
Step 2
Why this answer is correct
अंत के पास (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / Near the end, both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसी से सहअभाज्य शर्त के विरुद्ध विरोधाभास बनता है। / This creates a contradiction against the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन सा चरण गलत है?
Which step is wrong in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#common mistake
#sqrt5 proof
#class 10
A \(p^2=5q^2\) से (p=5q) लिखना / Writing (p=5q) from \(p^2=5q^2\)
B \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानना / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\)
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D \(p^2\) (5) से विभाज्य है कहना / Saying \(p^2\) is divisible by (5)
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Correct Answer
A. \(p^2=5q^2\) से (p=5q) लिखना / Writing (p=5q) from \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से यह मिलता है कि \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), we get that \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे सीधे (p=5q) नहीं लिख सकते। / We cannot directly write (p=5q).
Step 3
Exam Tip
सही कदम है कि (p) (5) से विभाज्य है, फिर (p=5k) लिखें। / The correct step is to say (p) is divisible by (5), then write (p=5k).
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) और (q) किस प्रकार की संख्याएं मानी जाती हैं?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), what type of numbers are (p) and (q) taken to be?
#coprime integers
#rational form
#class 10
A पूर्णांक और सहअभाज्य / Integers and coprime
B अपरिमेय और बराबर / Irrational and equal
C दशमलव और ऋणात्मक / Decimals and negative
D केवल प्राकृतिक और बराबर / Only natural and equal
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Correct Answer
A. पूर्णांक और सहअभाज्य / Integers and coprime
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as the ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप में वे सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, those integers are coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (p) और (q) पूर्णांक और सहअभाज्य लिखे जाते हैं। / Therefore (p) and (q) are taken as integers and coprime.
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यदि \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने पर \(p^2=nq^2\) मिलता है, तो (n=5) होने पर कौन सा प्रमाण शुरू होगा?
If assuming \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=nq^2\), which proof begins when (n=5)?
#general pattern
#sqrt5 proof
#class 10
A \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता का प्रमाण / Proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
B \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का प्रमाण / Proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
C \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता का प्रमाण / Proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)
D \(\sqrt{25}\) की अपरिमेयता का प्रमाण / Proof of irrationality of \(\sqrt{25}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता का प्रमाण / Proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
(n=5) रखने पर संख्या \(\sqrt{5}\) बनती है। / Putting (n=5) gives the number \(\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) मिलेगा। / Squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
इसी से \(\sqrt{5}\) का अपरिमेयता प्रमाण आगे बढ़ता है। / This starts the irrationality proof of \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय कौन सा तथ्य सही तरह से प्रयोग होता है?
Which fact is used correctly while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 fact
#even square
#class 10
A यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
B यदि (p) सम है, तो (p) विषम है / If (p) is even, then (p) is odd
C यदि \(p^2\) सम है, तो (q) शून्य है / If \(p^2\) is even, then (q) is zero
D यदि (p) सम है, तो (p=1) / If (p) is even, then (p=1)
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Correct Answer
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
सही नियम से (p) भी सम होगा। / By the correct rule, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
फिर (p=2k) लिखकर (q) के लिए भी यही परिणाम मिलता है। / Then writing (p=2k) gives the same result for (q).
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\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (3) और (5) का कौन सा गुण काम आता है?
Which property of (3) and (5) is useful in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime numbers
#sqrt3 sqrt5 proof
#class 10
A दोनों अभाज्य संख्याएं हैं / Both are prime numbers
B दोनों पूर्ण वर्ग हैं / Both are perfect squares
C दोनों सम संख्याएं हैं / Both are even numbers
D दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
A. दोनों अभाज्य संख्याएं हैं / Both are prime numbers
Step 1
Concept
(3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। / (3) and (5) are prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य गुणनखंड अगर किसी वर्ग को विभाजित करे, तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है। / If a prime factor divides a square, it also divides the original number.
Step 3
Exam Tip
इसी गुण से साझा गुणनखंड वाला विरोधाभास बनता है। / This property creates the common-factor contradiction.
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परीक्षा में \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) या \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता लिखते समय सबसे सुरक्षित अंतिम वाक्य कौन सा है?
In an exam, what is the safest final sentence while writing the irrationality proof of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), or \(\sqrt{5}\)?
#exam writing
#irrationality proof
#class 10
A यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence the given number is irrational
B यह संख्या हमेशा पूर्णांक है / This number is always an integer
C यह संख्या शून्य के बराबर है / This number is equal to zero
D यह प्रमाण पूरा नहीं हुआ / This proof is not complete
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Correct Answer
A. यह हमारी मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है / This contradicts our assumption, hence the given number is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास आता है। / The rational assumption leads to a contradiction in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
जब मान्यता गलत निकलती है, तो दी गई संख्या अपरिमेय सिद्ध होती है। / When the assumption is false, the given number is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
अंतिम वाक्य में विरोधाभास और निष्कर्ष दोनों साफ लिखें। / In the final sentence, clearly write both the contradiction and the conclusion.
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\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने पर (p) और (q) को सहअभाज्य लिखने का मुख्य कारण क्या है?
When assuming \(\sqrt{2}\) to be rational, what is the main reason for writing (p) and (q) as coprime?
#sqrt2 proof
#coprime
#irrationality
#class 10
A ताकि भिन्न \(\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में रहे / So that the fraction \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
B ताकि (p) और (q) दोनों शून्य हो जाएं / So that both (p) and (q) become zero
C ताकि \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध हो जाए / So that \(\sqrt{2}=2\) is proved
D ताकि (p) और (q) अपरिमेय बन जाएं / So that (p) and (q) become irrational
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Correct Answer
A. ताकि भिन्न \(\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में रहे / So that the fraction \(\frac{p}{q}\) is in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के सबसे सरल रूप में लिखा जाता है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे सरल रूप में (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / In lowest form, (p) and (q) have no common factor except (1).
Step 3
Exam Tip
बाद में दोनों सम मिलना इसी बात से विरोधाभास बनाता है। / Later, finding both even creates the contradiction.
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