\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानने के बाद अगला सही कदम क्या है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\), after assuming \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\), what is the next correct step?
#sqrt2 proof
#squaring
#irrationality
#class 10
A दोनों ओर वर्ग करना / Square both sides
B दोनों ओर (2) जोड़ना / Add (2) to both sides
C दोनों ओर (b) घटाना / Subtract (b) from both sides
D सीधे (a=b) लिखना / Directly write (a=b)
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Correct Answer
A. दोनों ओर वर्ग करना / Square both sides
Step 1
Concept
प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) मानते हैं। / In the proof, we assume \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
वर्गमूल हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग करते हैं। / To remove the square root, we square both sides.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में वर्ग करने का चरण छोड़े बिना लिखें। / In exams, do not skip the squaring step.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) है, जहां (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो (b) के बारे में कौन सी शर्त जरूरी है?
If \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), where (a) and (b) are coprime, which condition about (b) is necessary?
#rational form
#denominator
#sqrt3
#class 10
A \(b\neq 0\)
B (b=0)
C \(b=\sqrt{3}\)
D (b) अपरिमेय है / (b) is irrational
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Correct Answer
A. \(b\neq 0\)
Step 1
Concept
किसी भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। / The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{a}{b}\) लिखते समय \(b\neq 0\) जरूरी है। / So while writing \(\frac{a}{b}\), the condition \(b\neq 0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या का रूप लिखते समय यह शर्त साथ लिखें। / Write this condition when expressing a rational number.
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\(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) लिखने पर (m) और (n) को सहअभाज्य क्यों लिया जाता है?
Why are (m) and (n) taken as coprime when \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\)?
#sqrt5 proof
#coprime
#rational form
#class 10
A क्योंकि भिन्न को सरलतम रूप में लिया जाता है / Because the fraction is taken in lowest form
B क्योंकि दोनों सदैव शून्य होते हैं / Because both are always zero
C क्योंकि दोनों अपरिमेय होते हैं / Because both are irrational
D क्योंकि दोनों बराबर होने चाहिए / Because both must be equal
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Correct Answer
A. क्योंकि भिन्न को सरलतम रूप में लिया जाता है / Because the fraction is taken in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखा जाता है। / A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में उसे सरलतम रूप में लेते हैं, इसलिए (m) और (n) सहअभाज्य होते हैं। / In the proof, it is taken in lowest form, so (m) and (n) are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलने पर यही बात विरोधाभास देती है। / Later, finding a common factor gives the contradiction.
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यदि \(a^2=2b^2\), तो \(a^2\) किस संख्या से निश्चित रूप से विभाज्य है?
If \(a^2=2b^2\), by which number is \(a^2\) definitely divisible?
#divisibility
#sqrt2 proof
#class 10
A (2)
B (3)
C (5)
D (7)
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Step 1
Concept
समीकरण में दाईं ओर \(2b^2\) है। / The right side of the equation is \(2b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a^2\) में (2) गुणनखंड है और वह (2) से विभाज्य है। / So \(a^2\) has factor (2) and is divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड देखकर विभाज्यता का निष्कर्ष लें। / Use the factor to decide divisibility.
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यदि \(a^2=3b^2\), तो \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a) के बारे में क्या निष्कर्ष लिया जाता है?
If \(a^2=3b^2\), what conclusion about (a) is taken in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#class 10
A (a) (3) से विभाज्य है / (a) is divisible by (3)
B (a) (2) से विभाज्य है / (a) is divisible by (2)
C (a=1) है / (a=1)
D (a) शून्य है / (a) is zero
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Correct Answer
A. (a) (3) से विभाज्य है / (a) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) से \(a^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग से मूल संख्या पर आने वाला यह नियम याद रखें। / Remember this rule from square to original number.
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यदि \(a^2=5b^2\), तो (a) को किस रूप में लिखा जा सकता है?
If \(a^2=5b^2\), in which form can (a) be written?
#sqrt5 proof
#divisibility
#class 10
A (a=5k), जहां (k) पूर्णांक है / (a=5k), where (k) is an integer
B (a=2k), जहां (k) पूर्णांक है / (a=2k), where (k) is an integer
C (a=k+5)
D \(a=\frac{1}{5k}\)
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Correct Answer
A. (a=5k), जहां (k) पूर्णांक है / (a=5k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से \(a^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य है और (a=5k) लिखा जा सकता है। / Therefore (a) is also divisible by (5), so (a=5k).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता मिलने पर संख्या को उसी गुणनखंड के रूप में लिखें। / After divisibility, write the number using that factor.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (a=2k) रखने पर \(a^2\) का सही मान क्या होगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (a=2k), what is the correct value of \(a^2\)?
#algebra step
#sqrt2 proof
#class 10
A \(4k^2\)
B \(2k^2\)
C (2k)
D \(k^2+2\)
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Correct Answer
A. \(4k^2\)
Step 1
Concept
(a=2k) दिया है। / We have (a=2k).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर (a-2 =(2k)2 =4k-2 ) मिलता है। / Squaring gives (a-2 =(2k)2 =4k-2 ).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का भी वर्ग करना न भूलें। / Do not forget to square the coefficient also.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) रखने पर \(a^2\) का सही मान क्या है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (a=3k), what is the correct value of \(a^2\)?
#sqrt3 proof
#squaring
#class 10
A \(9k^2\)
B \(3k^2\)
C \(6k^2\)
D \(k^2+3\)
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Correct Answer
A. \(9k^2\)
Step 1
Concept
(a=3k) है। / (a=3k).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर ((3k)2 =9k-2 ) मिलता है। / Squaring gives ((3k)2 =9k-2 ).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यह बीजगणितीय चरण ध्यान से लिखें। / Write this algebraic step carefully in the proof of \(\sqrt{3}\).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a=5k) रखने पर \(a^2\) का सही मान क्या है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (a=5k), what is the correct value of \(a^2\)?
#sqrt5 proof
#algebra
#class 10
A \(25k^2\)
B \(5k^2\)
C \(10k^2\)
D \(k^2+5\)
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Correct Answer
A. \(25k^2\)
Step 1
Concept
(a=5k) लिखते हैं। / We write (a=5k).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर (a-2 =(5k)2 =25k-2 )। / Squaring gives (a-2 =(5k)2 =25k-2 ).
Step 3
Exam Tip
छोटे बीजगणितीय कदमों में गलती से पूरा प्रमाण बिगड़ सकता है। / A small algebra mistake can spoil the whole proof.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में दोनों (a) और (b) सम मिलना क्यों समस्या है?
Why is it a problem if both (a) and (b) are found even in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#common factor
#sqrt2 proof
#class 10
A क्योंकि तब दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because then both have (2) as a common factor
B क्योंकि तब दोनों शून्य होंगे / Because then both will be zero
C क्योंकि तब दोनों अपरिमेय होंगे / Because then both will be irrational
D क्योंकि तब दोनों ऋणात्मक होंगे / Because then both will be negative
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Correct Answer
A. क्योंकि तब दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगा / Because then both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / If both (a) and (b) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। / This contradicts the coprime condition.
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