किस कारण से \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) को सीधे पूर्णांक नहीं माना जा सकता?
Why can \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) not be directly treated as integers?
#perfect square
#irrational roots
#class 10
A क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं / Because (2), (3), and (5) are not perfect squares
B क्योंकि ये सभी शून्य हैं / Because all of them are zero
C क्योंकि ये सभी ऋणात्मक हैं / Because all of them are negative
D क्योंकि ये दशमलव में नहीं लिखे जा सकते / Because they cannot be written in decimal form
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Correct Answer
A. क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं / Because (2), (3), and (5) are not perfect squares
Step 1
Concept
पूर्ण वर्गों के वर्गमूल पूर्णांक होते हैं। / Square roots of perfect squares are integers.
Step 2
Why this answer is correct
(2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / (2), (3), and (5) are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इनके वर्गमूलों के लिए अपरिमेयता का प्रमाण पढ़ाया जाता है। / That is why irrationality proofs are studied for their square roots.
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कौन सा वर्गमूल इस अध्याय की अपरिमेयता सिद्धि का उदाहरण नहीं है क्योंकि वह परिमेय है?
Which square root is not an example of irrationality proof in this chapter because it is rational?
#rational square root
#perfect square
#class 10
A \(\sqrt{9}\)
B \(\sqrt{2}\)
C \(\sqrt{3}\)
D \(\sqrt{5}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{9}\)
Step 1
Concept
(9) पूर्ण वर्ग है। / (9) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{9}=3\), जो परिमेय है। / \(\sqrt{9}=3\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग के वर्गमूल को अपरिमेय सिद्ध करने की जरूरत नहीं होती। / A square root of a perfect square does not need an irrationality proof.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो उसे किस प्रकार के रूप में लिखा जा सकता था?
If \(\sqrt{2}\) were rational, in what type of form could it be written?
#rational definition
#sqrt2 proof
#class 10
A दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में / As a ratio of two integers
B केवल दशमलव अनुमान के रूप में / Only as a decimal estimate
C केवल प्राकृतिक संख्या के रूप में / Only as a natural number
D किसी रेखा की लंबाई के रूप में ही / Only as a line length
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Correct Answer
A. दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में / As a ratio of two integers
Step 1
Concept
परिमेय संख्या की पहचान है कि वह दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जा सके। / A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परिमेय मानते ही \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) लिखा जाता है। / So after assuming rationality, we write \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
परिमेयता की परिभाषा प्रमाण की शुरुआत बनती है। / The definition of rationality starts the proof.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), तो वर्ग करने पर बाईं ओर क्या बनेगा?
If \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), what will the left side become after squaring?
#squaring
#sqrt5 proof
#class 10
A (5)
B \(\sqrt{5}\)
C (25)
D \(\frac{5}{2}\)
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Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) का वर्ग (5) होता है। / The square of \(\sqrt{5}\) is (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों ओर वर्ग करने पर बाईं ओर (5) मिलेगा। / So after squaring both sides, the left side becomes (5).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल और वर्ग एक-दूसरे को हटाते हैं। / A square root and square cancel each other.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), तो वर्ग करने पर दाईं ओर क्या बनेगा?
If \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\), what will the right side become after squaring?
#fraction square
#sqrt3 proof
#class 10
A \(\frac{a^2}{b^2}\)
B \(\frac{a}{b^2}\)
C \(\frac{a^2}{b}\)
D \(\frac{3a}{b}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{a^2}{b^2}\)
Step 1
Concept
भिन्न का वर्ग करते समय अंश और हर दोनों का वर्ग होता है। / While squaring a fraction, both numerator and denominator are squared.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (\left\(\frac{a}{b}\right\)2 =\frac{a-2 }{b-2 })। / Therefore (\left\(\frac{a}{b}\right\)2 =\frac{a-2 }{b-2 }).
Step 3
Exam Tip
भिन्न के वर्ग में केवल अंश का वर्ग करना गलती है। / Squaring only the numerator is a mistake.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप में लेने का सही परिणाम बताता है?
Which option gives the correct result of taking \(\frac{a}{b}\) in lowest form in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#lowest form
#gcd
#coprime
#class 10
A (a) और (b) का महत्तम समापवर्तक (1) है / The greatest common divisor of (a) and (b) is (1)
B (a) और (b) दोनों शून्य हैं / Both (a) and (b) are zero
C (a=b) है / (a=b)
D (a) और (b) दोनों अपरिमेय हैं / Both (a) and (b) are irrational
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Correct Answer
A. (a) और (b) का महत्तम समापवर्तक (1) है / The greatest common divisor of (a) and (b) is (1)
Step 1
Concept
सरलतम रूप में भिन्न के अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, the numerator and denominator of a fraction are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि उनका महत्तम समापवर्तक (1) है। / This means their greatest common divisor is (1).
Step 3
Exam Tip
यही शर्त साझा गुणनखंड मिलने पर टूटती है। / This condition breaks when a common factor is found.
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यदि \(\sqrt{3}\) परिमेय मानने से (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं, तो सही निष्कर्ष क्या है?
If assuming \(\sqrt{3}\) rational makes both (a) and (b) divisible by (3), what is the correct conclusion?
#sqrt3 conclusion
#contradiction
#class 10
A आरंभिक मान्यता गलत है / The initial assumption is false
B \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
C (a) और (b) सहअभाज्य हैं / (a) and (b) are coprime
D (3) पूर्ण वर्ग है / (3) is a perfect square
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Correct Answer
A. आरंभिक मान्यता गलत है / The initial assumption is false
Step 1
Concept
शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / At the beginning, (a) and (b) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (3) से विभाज्य मिलना इस बात के विपरीत है। / Finding both divisible by (3) contradicts this.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानना गलत है। / Therefore assuming \(\sqrt{3}\) rational is false.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण को पूरा करता है?
Which statement completes the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 conclusion
#proof completion
#class 10
A अतः \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / Therefore \(\sqrt{5}\) is an integer
C अतः \(\sqrt{5}=25\) / Therefore \(\sqrt{5}=25\)
D अतः (5) परिमेय नहीं है / Therefore (5) is not rational
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Correct Answer
A. अतः \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता से (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / The rational assumption makes both (a) and (b) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
यह सहअभाज्य होने की शर्त से टकराता है। / This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए निष्कर्ष है कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / Therefore the conclusion is that \(\sqrt{5}\) is irrational.
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कौन सा नियम \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में बार-बार उपयोग होता है?
Which rule is repeatedly used in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#even square
#sqrt2 proof
#rule
#class 10
A यदि किसी संख्या का वर्ग सम है, तो संख्या सम है / If the square of a number is even, the number is even
B यदि संख्या सम है, तो वह अभाज्य है / If a number is even, it is prime
C यदि वर्ग सम है, तो संख्या शून्य है / If the square is even, the number is zero
D यदि संख्या सम है, तो वह अपरिमेय है / If a number is even, it is irrational
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Correct Answer
A. यदि किसी संख्या का वर्ग सम है, तो संख्या सम है / If the square of a number is even, the number is even
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) से \(a^2\) सम मिलता है। / From \(a^2=2b^2\), \(a^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
नियम से (a) सम मिलता है और आगे (b) भी सम मिलता है। / By the rule, (a) is even, and later (b) is also even.
Step 3
Exam Tip
इस नियम को स्पष्ट रूप से समझना जरूरी है। / Understanding this rule clearly is important.
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कौन सा नियम \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में समान रूप से उपयोगी है?
Which rule is equally useful in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#prime divisor
#proof rule
#class 10
A यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it also divides the original number
B हर वर्गमूल परिमेय होता है / Every square root is rational
C हर भिन्न अपरिमेय होती है / Every fraction is irrational
D यदि संख्या धनात्मक है, तो वह पूर्ण वर्ग है / If a number is positive, it is a perfect square
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Correct Answer
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करती है, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
(3) और (5) दोनों अभाज्य हैं। / (3) and (5) are both prime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ये \(a^2\) को विभाजित करते हैं, तो (a) को भी विभाजित करेंगे। / If they divide \(a^2\), they also divide (a).
Step 3
Exam Tip
यही नियम साझा गुणनखंड तक ले जाता है। / This rule leads to the common factor.
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