\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (a=2k) रखने के बाद \(4k^2=2b^2\) से क्या मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after putting (a=2k), what follows from \(4k^2=2b^2\)?
#sqrt2 proof
#substitution
#simplification
#class 10
A \(b^2=2k^2\)
B \(b^2=4k^2\)
C (b=k)
D (b=0)
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Correct Answer
A. \(b^2=2k^2\)
Step 1
Concept
\(4k^2=2b^2\) के दोनों ओर (2) से भाग करें। / Divide both sides of \(4k^2=2b^2\) by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(2k^2=b^2\), अर्थात \(b^2=2k^2\) मिलता है। / This gives \(2k^2=b^2\), that is \(b^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे चरण में दोनों ओर समान संख्या से भाग करें। / In such steps, divide both sides by the same number.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(9k^2=3b^2\) से क्या सही निष्कर्ष मिलता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), what correct conclusion follows from \(9k^2=3b^2\)?
#sqrt3 proof
#algebra simplification
#class 10
A \(b^2=3k^2\)
B \(b^2=9k^2\)
C (b=3)
D \(b=k^2\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(b^2=3k^2\)
Step 1
Concept
\(9k^2=3b^2\) में दोनों ओर (3) से भाग करें। / Divide both sides of \(9k^2=3b^2\) by (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(3k^2=b^2\) मिलेगा, यानी \(b^2=3k^2\)। / We get \(3k^2=b^2\), that is \(b^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
फिर (b) के (3) से विभाज्य होने का निष्कर्ष लें। / Then conclude that (b) is divisible by (3).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(25k^2=5b^2\) से क्या सही निष्कर्ष मिलता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), what correct conclusion follows from \(25k^2=5b^2\)?
#sqrt5 proof
#simplification
#class 10
A \(b^2=5k^2\)
B \(b^2=25k^2\)
C (b=5)
D (b=k+5)
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Correct Answer
A. \(b^2=5k^2\)
Step 1
Concept
\(25k^2=5b^2\) के दोनों ओर (5) से भाग करें। / Divide both sides of \(25k^2=5b^2\) by (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(5k^2=b^2\), यानी \(b^2=5k^2\) मिलेगा। / We get \(5k^2=b^2\), that is \(b^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (b) के (5) से विभाज्य होने की राह मिलती है। / This helps show that (b) is divisible by (5).
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किस स्थिति में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप नहीं कहा जा सकता?
In which situation can \(\frac{a}{b}\) not be called lowest form?
#lowest form
#coprime
#fraction
#class 10
A जब (a) और (b) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा हो / When (a) and (b) have a common factor other than (1)
B जब \(b\neq 0\) हो / When \(b\neq 0\)
C जब (a) पूर्णांक हो / When (a) is an integer
D जब (b) पूर्णांक हो / When (b) is an integer
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Correct Answer
A. जब (a) और (b) का कोई साझा गुणनखंड (1) के अलावा हो / When (a) and (b) have a common factor other than (1)
Step 1
Concept
सरलतम रूप का अर्थ है कि अंश और हर सहअभाज्य हों। / Lowest form means numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (1) के अलावा साझा गुणनखंड हो, तो भिन्न और सरल हो सकती है। / If there is a common factor other than (1), the fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
यही बात अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास बनती है। / This becomes the contradiction in irrationality proofs.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में कौन सी बात अंत में असंभव सिद्ध होती है?
In the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\), what becomes impossible at the end?
#common contradiction
#irrationality proof
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड होना / The numerator and denominator of a lowest-form fraction having a common factor
B \(\sqrt{2}\) का वर्ग (2) होना / The square of \(\sqrt{2}\) being (2)
C (3) और (5) का अभाज्य होना / (3) and (5) being prime
D भिन्न का हर शून्य न होना / The denominator of a fraction not being zero
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड होना / The numerator and denominator of a lowest-form fraction having a common factor
Step 1
Concept
शुरुआत में भिन्न को सरलतम रूप में लेते हैं। / At the beginning, the fraction is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में साझा गुणनखंड मिल जाता है। / At the end, a common factor is found in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है, इसलिए विरोधाभास बनता है। / This is impossible for a lowest-form fraction, so a contradiction occurs.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण की सही शुरुआत है?
Which option is the correct beginning of the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#beginning
#class 10
A मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{3}\) is rational
B मान लें \(\sqrt{3}=3\) है / Assume \(\sqrt{3}=3\)
C मान लें (3=0) है / Assume (3=0)
D मान लें \(\sqrt{3}\) पूर्ण वर्ग है / Assume \(\sqrt{3}\) is a perfect square
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Correct Answer
A. मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए विपरीत मान्यता लेते हैं। / To prove irrationality, we take the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पहले \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानते हैं। / So first we assume \(\sqrt{3}\) is rational.
Step 3
Exam Tip
फिर उसे \(\frac{a}{b}\) के सरलतम रूप में लिखते हैं। / Then we write it as \(\frac{a}{b}\) in lowest form.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में सही मध्य चरण है?
Which option is a correct middle step in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#middle step
#class 10
A \(a^2=5b^2\) से (a) (5) से विभाज्य है / From \(a^2=5b^2\), (a) is divisible by (5)
B \(a^2=5b^2\) से (a=5b) है / From \(a^2=5b^2\), (a=5b)
C \(a^2=5b^2\) से (b=0) है / From \(a^2=5b^2\), (b=0)
D \(a^2=5b^2\) से \(\sqrt{5}=5\) है / From \(a^2=5b^2\), \(\sqrt{5}=5\)
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Correct Answer
A. \(a^2=5b^2\) से (a) (5) से विभाज्य है / From \(a^2=5b^2\), (a) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से \(a^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य है। / Since (5) is prime, (a) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यही सही मध्य चरण है, सीधे (a=5b) नहीं। / This is the correct middle step, not directly (a=5b).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि (a) और (b) दोनों सम हैं, तो उनका कम से कम कौन सा साझा गुणनखंड है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if both (a) and (b) are even, what is at least one common factor of them?
#even common factor
#sqrt2
#class 10
A (2)
B (3)
C (5)
D (7)
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Step 1
Concept
सम संख्या हमेशा (2) से विभाज्य होती है। / An even number is always divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सम हैं, इसलिए (2) दोनों का साझा गुणनखंड है। / Both are even, so (2) is their common factor.
Step 3
Exam Tip
साझा गुणनखंड मिलना सरलतम रूप की शर्त से टकराता है। / Finding a common factor contradicts the lowest-form condition.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि (a=3k) और (b=3l) मिल जाएं, तो (a) और (b) के बारे में क्या कहा जाएगा?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if (a=3k) and (b=3l), what can be said about (a) and (b)?
#sqrt3 proof
#common factor
#class 10
A दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
B दोनों सहअभाज्य ही हैं / Both are definitely coprime
C दोनों शून्य हैं / Both are zero
D दोनों अपरिमेय हैं / Both are irrational
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Correct Answer
A. दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Both have (3) as a common factor
Step 1
Concept
(a=3k) का अर्थ है (a) (3) से विभाज्य है। / (a=3k) means (a) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(b=3l) का अर्थ है (b) भी (3) से विभाज्य है। / (b=3l) means (b) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। / So both have (3) as a common factor.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (a=5k) और (b=5l) जैसे परिणाम क्यों विरोधाभास हैं?
Why are results like (a=5k) and (b=5l) a contradiction in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#contradiction
#class 10
A क्योंकि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य माने गए थे / Because (a) and (b) were assumed coprime in lowest form
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (k) हमेशा शून्य है / Because (k) is always zero
D क्योंकि (l) अपरिमेय है / Because (l) is irrational
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Correct Answer
A. क्योंकि (a) और (b) सरलतम रूप में सहअभाज्य माने गए थे / Because (a) and (b) were assumed coprime in lowest form
Step 1
Concept
(a=5k) और (b=5l) का मतलब दोनों (5) से विभाज्य हैं। / (a=5k) and (b=5l) mean both are divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन शुरुआत में (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे। / But (a) and (b) were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह परिणाम विरोधाभास देता है। / Hence this result gives a contradiction.
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