\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में यदि (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो कौन सी बात टूटती है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if both (a) and (b) are found divisible by (3), which condition is broken?
#sqrt3 proof
#coprime
#contradiction
#class 10
A सहअभाज्य होने की शर्त / The condition of being coprime
B धनात्मक होने की शर्त / The condition of being positive
C पूर्ण वर्ग होने की शर्त / The condition of being a perfect square
D बराबर होने की शर्त / The condition of being equal
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Correct Answer
A. सहअभाज्य होने की शर्त / The condition of being coprime
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
(a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हों तो साझा गुणनखंड (3) है। / If both (a) and (b) are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
यही प्रमाण का विरोधाभास है। / This is the contradiction in the proof.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य मिलना क्या दिखाता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), what does finding both (a) and (b) divisible by (5) show?
#sqrt5 proof
#contradiction
#coprime
#class 10
A वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / They cannot be coprime
B वे दोनों परिमेय नहीं हैं / They both are not rational
C वे दोनों वर्गमूल हैं / They both are square roots
D वे दोनों (5) के बराबर हैं / They both equal (5)
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Correct Answer
A. वे सहअभाज्य नहीं हो सकते / They cannot be coprime
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य हैं तो दोनों में (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), both have (5) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में ऐसा नहीं हो सकता। / This cannot happen for coprime numbers.
Step 3
Exam Tip
इसी से आरंभिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है। / Thus the initial rational assumption becomes false.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की सिद्धि के लिए सही क्रम दिखाता है?
Which statement shows the correct order for the proof of \(\sqrt{2}\)?
#proof order
#sqrt2
#class 10
A परिमेय मानना, वर्ग करना, समता से विरोधाभास पाना / Assume rational, square, get contradiction through evenness
B पहले निष्कर्ष लिखना, फिर मान्यता लेना / Write conclusion first, then take assumption
C सिर्फ दशमलव मान लिखना / Write only decimal value
D मूल संख्या को (2) मानना / Take the root value as (2)
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Correct Answer
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, समता से विरोधाभास पाना / Assume rational, square, get contradiction through evenness
Step 1
Concept
पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। / First assume \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वर्ग करके \(a^2=2b^2\) से समता के निष्कर्ष लेते हैं। / Then square and use \(a^2=2b^2\) to get evenness results.
Step 3
Exam Tip
अंत में सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। / Finally, the coprime condition gives a contradiction.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में \(a^2=3b^2\) से सीधे कौन सा गलत निष्कर्ष नहीं लेना चाहिए?
In the proof of \(\sqrt{3}\), which wrong conclusion should not be taken directly from \(a^2=3b^2\)?
#common mistake
#sqrt3 proof
#class 10
A (a=3b)
B \(a^2\) (3) से विभाज्य है / \(a^2\) is divisible by (3)
C (a) (3) से विभाज्य है / (a) is divisible by (3)
D (a=3k) लिखा जा सकता है / (a=3k) can be written
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Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) से \(a^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (a) (3) से विभाज्य है और (a=3k) लिखते हैं। / Then (a) is divisible by (3), so (a=3k).
Step 3
Exam Tip
इस समीकरण से सीधे (a=3b) लिखना गलत है। / Directly writing (a=3b) from the equation is wrong.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से कौन सा सही पहला निष्कर्ष मिलता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), what is the correct first conclusion from \(a^2=5b^2\)?
#sqrt5 proof
#first step
#class 10
A \(a^2\) (5) से विभाज्य है / \(a^2\) is divisible by (5)
B (b=5) है / (b=5)
C (a=b) है / (a=b)
D (a) शून्य है / (a) is zero
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Correct Answer
A. \(a^2\) (5) से विभाज्य है / \(a^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
समीकरण में दाईं ओर \(5b^2\) है। / The right side of the equation is \(5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए बाईं ओर \(a^2\) भी (5) से विभाज्य होगा। / Therefore the left side \(a^2\) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर मूल संख्या की। / First write divisibility of the square, then of the original number.
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कौन सा कथन विरोधाभास विधि को सही ढंग से समझाता है?
Which statement correctly explains the method of contradiction?
#method of contradiction
#proof
#class 10
A जिस बात को सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाते हैं / We assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
B बिना मान्यता के केवल उत्तर लिखते हैं / We write only the answer without any assumption
C केवल अनुमान लगाते हैं / We only make a guess
D हर बार दशमलव निकालते हैं / We always find the decimal
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Correct Answer
A. जिस बात को सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाते हैं / We assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction, we take the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उससे असंभव बात मिलती है, तो मूल कथन सही सिद्ध होता है। / If it leads to an impossible result, the original statement is proved true.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता के प्रमाणों में यह विधि बहुत उपयोगी है। / This method is very useful in irrationality proofs.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (a) सम होने पर (a=2k) लिखते हैं। यहां (k) कैसा होता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), when (a) is even, we write (a=2k). What type of number is (k)?
#even number
#integer
#sqrt2 proof
#class 10
A पूर्णांक / Integer
B अपरिमेय संख्या / Irrational number
C वर्गमूल / Square root
D शून्य ही / Only zero
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Correct Answer
A. पूर्णांक / Integer
Step 1
Concept
सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। / An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a=2k) में (k) पूर्णांक होता है। / So in (a=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
ऐसे रूपों में (k) का प्रकार साफ लिखना अच्छा होता है। / It is good to mention the type of (k) in such forms.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) लिखने का आधार क्या है?
What is the basis for writing (a=3k) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#divisibility form
#class 10
A (a) (3) से विभाज्य है / (a) is divisible by (3)
B (a) (2) से विभाज्य है / (a) is divisible by (2)
C (a=3) है / (a=3)
D (a) अपरिमेय है / (a) is irrational
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Correct Answer
A. (a) (3) से विभाज्य है / (a) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) से (a) (3) से विभाज्य मिलता है। / From \(a^2=3b^2\), (a) is found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) से विभाज्य संख्या को (3k) के रूप में लिखा जाता है। / A number divisible by (3) is written as (3k).
Step 3
Exam Tip
यह रूप आगे (b) की विभाज्यता दिखाने में मदद करता है। / This form helps show divisibility of (b) later.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (a=5k) लिखने के बाद अगला उद्देश्य क्या होता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after writing (a=5k), what is the next aim?
#sqrt5 proof
#next step
#class 10
A (b) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना / To show that (b) is also divisible by (5)
B (a) शून्य है यह दिखाना / To show that (a) is zero
C (b=1) है यह दिखाना / To show that (b=1)
D \(\sqrt{5}=5\) है यह दिखाना / To show that \(\sqrt{5}=5\)
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Correct Answer
A. (b) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना / To show that (b) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
पहले (a) (5) से विभाज्य मिलता है। / First, (a) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(a=5k) को समीकरण में रखने पर (b) के लिए भी (5) से विभाज्यता मिलेगी। / Substituting (a=5k) gives divisibility by (5) for (b) too.
Step 3
Exam Tip
दोनों में साझा गुणनखंड मिलना ही विरोधाभास है। / Getting a common factor in both is the contradiction.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में विरोधाभास को सही भाषा में बताता है?
Which option states the contradiction in the proof of \(\sqrt{2}\) correctly?
#sqrt2 contradiction
#exam language
#class 10
A (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक है, इसलिए विरोधाभास है / \(\sqrt{2}\) is positive, so there is a contradiction
C (a) और (b) बराबर हैं, इसलिए विरोधाभास है / (a) and (b) are equal, so there is a contradiction
D \(\sqrt{2}\) का वर्ग (2) है, इसलिए विरोधाभास है / The square of \(\sqrt{2}\) is (2), so there is a contradiction
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Correct Answer
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले / (a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even
Step 1
Concept
शुरुआत में \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप मानते हैं। / At the beginning, \(\frac{a}{b}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण में (a) और (b) दोनों सम मिलते हैं। / The proof shows both (a) and (b) are even.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य होकर दोनों सम होना असंभव है। / Being coprime and both even is impossible.
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