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Mathematics Proof of irrationality of √2, √3, √5 MCQ Questions for Class 10

Practice focused topic-wise MCQs with answers and explanations for quick revision and exam preparation.

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Proof of irrationality of √2, √3, √5 Practice Questions

Showing 21-30 of 600 questions.

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Question 21/600 Easy Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 16

यदि (p) (5) से विभाज्य है, तो (p) का सही रूप कौन सा है?

If (p) is divisible by (5), which is the correct form of (p)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. (p=5k), जहां (k) पूर्णांक है(p=5k), where (k) is an integer

Step 1

Concept

(5) से विभाज्य संख्या में (5) गुणनखंड होता है। / A number divisible by (5) has (5) as a factor.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (p=5k) लिखा जा सकता है। / So (p) can be written as (p=5k).

Step 3

Exam Tip

इस रूप को मूल समीकरण में रखने से (q) के लिए भी समान निष्कर्ष मिलता है। / Substituting this form in the original equation gives the same conclusion for (q).

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Question 22/600 Easy Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 16

(p=5k) को \(p^2=5q^2\) में रखने पर क्या मिलेगा?

What is obtained by putting (p=5k) in \(p^2=5q^2\)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. \(q^2=5k^2\), इसलिए (q) (5) से विभाज्य है\(q^2=5k^2\), so (q) is divisible by (5)

Step 1

Concept

(p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होता है। / If (p=5k), then \(p^2=25k^2\).

Step 2

Why this answer is correct

\(25k^2=5q^2\) से \(q^2=5k^2\), इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य है। / From \(25k^2=5q^2\), we get \(q^2=5k^2\), so (q) is also divisible by (5).

Step 3

Exam Tip

साझा गुणनखंड मिलने से विरोधाभास बनता है। / Getting a common factor creates the contradiction.

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Question 23/600 Easy Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 16

\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में कौन सा विरोधाभास आता है?

Which contradiction appears in the proof of \(\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैंBoth (p) and (q) are found divisible by (5)

Step 1

Concept

(p) और (q) को सहअभाज्य मानकर चले थे। / We started by taking (p) and (q) as coprime.

Step 2

Why this answer is correct

प्रमाण में दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / The proof shows both are divisible by (5).

Step 3

Exam Tip

दो सहअभाज्य संख्याओं में (5) साझा गुणनखंड नहीं हो सकता, इसलिए विरोधाभास है। / Two coprime numbers cannot have (5) as a common factor, so this is a contradiction.

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Question 24/600 Easy Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 16

\(\sqrt{5}\) के लिए सही अंतिम निष्कर्ष कौन सा है?

What is the correct final conclusion for \(\sqrt{5}\)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है\(\sqrt{5}\) is irrational

Step 1

Concept

परिमेय मानने पर (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। / Assuming rationality makes both (p) and (q) divisible by (5).

Step 2

Why this answer is correct

यह सहअभाज्य होने की शर्त के विरुद्ध है। / This contradicts the coprime condition.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। / Hence \(\sqrt{5}\) is irrational.

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Question 25/600 Easy Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 16

\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में कौन सी विधि सामान्य है?

Which method is common in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. विरोधाभास विधिMethod of contradiction

Step 1

Concept

तीनों प्रमाणों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं। / In all three proofs, the number is first assumed rational.

Step 2

Why this answer is correct

फिर साझा गुणनखंड मिलने से विरोधाभास आता है। / Then a contradiction appears through a common factor.

Step 3

Exam Tip

इस प्रकार की सिद्धि को विरोधाभास विधि कहते हैं। / This type of proof is called the method of contradiction.

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Question 26/600 Easy Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 16

प्रमाण में (p) और (q) को सहअभाज्य क्यों माना जाता है?

Why are (p) and (q) assumed to be coprime in the proof?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. क्योंकि परिमेय संख्या को सबसे सरल रूप में लिखा जाता हैBecause a rational number is written in its simplest form

Step 1

Concept

परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में सबसे सरल रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\) in its simplest form.

Step 2

Why this answer is correct

सबसे सरल रूप में (p) और (q) का साझा गुणनखंड (1) ही होता है। / In simplest form, (p) and (q) have only (1) as a common factor.

Step 3

Exam Tip

बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Getting another common factor later contradicts this condition.

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Question 27/600 Easy Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 16

विरोधाभास विधि में यदि मान्यता गलत सिद्ध हो जाए, तो मूल कथन के बारे में क्या कहा जाता है?

In the method of contradiction, if the assumption is proved false, what is said about the original statement?

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Correct Answer

A. मूल कथन सही हैThe original statement is true

Step 1

Concept

विरोधाभास विधि में उलटी बात मानकर चलते हैं। / In contradiction, we assume the opposite statement.

Step 2

Why this answer is correct

यदि उलटी बात असंभव निकलती है, तो मूल कथन सही माना जाता है। / If the opposite becomes impossible, the original statement is true.

Step 3

Exam Tip

यही कारण है कि परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है। / That is why breaking the rational assumption proves irrationality.

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Question 28/600 Easy Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 16

कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में उपयोगी है?

Which statement is useful in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?

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Correct Answer

A. यदि \(a^2\) किसी अभाज्य संख्या (r) से विभाज्य है, तो (a) भी (r) से विभाज्य हैIf \(a^2\) is divisible by a prime (r), then (a) is also divisible by (r)

Step 1

Concept

(3) और (5) अभाज्य संख्याएं हैं। / (3) and (5) are prime numbers.

Step 2

Why this answer is correct

किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड हो तो मूल संख्या में भी वह गुणनखंड होता है। / If a prime factor divides a square, it also divides the original number.

Step 3

Exam Tip

इसी से (p) और (q) में साझा गुणनखंड सिद्ध होता है। / This helps prove a common factor in (p) and (q).

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Question 29/600 Easy Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 16

\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(q\neq 0\) क्यों जरूरी है?

Why is \(q\neq 0\) necessary in the proof of \(\sqrt{2}\)?

Explanation opens after your attempt
Correct Answer

A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकताBecause the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero

Step 1

Concept

परिमेय संख्या \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखी जाती है। / A rational number is written in the form \(\frac{p}{q}\).

Step 2

Why this answer is correct

किसी भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। / The denominator of a fraction cannot be zero.

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रमाण में \(q\neq 0\) लिखना आवश्यक है। / Therefore \(q\neq 0\) must be written in the proof.

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Question 30/600 Easy Mathematics Real Numbers Proof of irrationality of √2, √3, √5 Class 10 Level 16

यदि (p) और (q) दोनों सम हों, तो वे सहअभाज्य क्यों नहीं हो सकते?

If (p) and (q) are both even, why can they not be coprime?

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Correct Answer

A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड होगाBecause both will have (2) as a common factor

Step 1

Concept

सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).

Step 2

Why this answer is correct

यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.

Step 3

Exam Tip

सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड (1) के अलावा नहीं होता। / Coprime numbers do not have a common factor other than (1).

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