sequences and progressions MCQ Questions for Class 9
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समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर गुणा सार्वांतर के बराबर होता है। अतः \(a_{12}-a_5=(12-5)d\)। इसलिए \(72-30=7d\), अर्थात \(42=7d\), जिससे \(d=6\) मिलता है। विकल्प 7 क्रमांकों के अंतर को सीधे उत्तर मान लेने की सामान्य गलती है। परीक्षा टिप: \(a_n=a+(n-1)d\) का प्रयोग करते समय पदों के क्रमांक ध्यान से लिखें। / In an AP, the difference between two terms equals the difference in their positions multiplied by the common difference: \(a_{12}-a_5=(12-5)d\). Thus, \(72-30=7d\), so \(42=7d\) and \(d=6\). Choosing 7 would confuse the difference in term positions with the common difference. Exam tip: when using \(a_n=a+(n-1)d\), track the term numbers carefully.
यहाँ प्रथम पद \(a=14\) और सार्वांतर \(d=5\) है। \(a_n=a+(n-1)d\) से \(a_9=14+8\times5=54\) तथा \(a_{11}=14+10\times5=64\) प्राप्त होता है। अतः \(a_9+a_{11}=54+64=118\)। 124 का विकल्प तब आ सकता है जब \(a_{11}\) की गणना में पदों की संख्या गलत गिनी जाए। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \((n-1)d\) लगाएँ। / Here, the first term is \(a=14\) and the common difference is \(d=5\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(a_9=14+8\times5=54\) and \(a_{11}=14+10\times5=64\). Therefore, \(a_9+a_{11}=54+64=118\). Option 124 may result from incorrectly counting the number of differences for \(a_{11}\). Exam tip: always use \((n-1)d\) for the \(n\)th term.
यहाँ \(S_4\), पहले चार पदों का योग है। अतः \(S_4=3+8+13+18=42\)। इसलिए सही उत्तर 42 है। 40 प्राप्त करने पर किसी पद को गलत जोड़ने की संभावना होती है। परीक्षा टिप: कम पद हों तो सीधे जोड़ें; वैकल्पिक रूप से \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का प्रयोग करें। / Here, \(S_4\) denotes the sum of the first four terms. Thus, \(S_4=3+8+13+18=42\). Therefore, 42 is correct. Getting 40 usually indicates an addition error in one of the terms. Exam tip: for a few terms, add directly; alternatively, use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\).
यहाँ प्रथम पद \(a=30\) और सार्वांतर \(d=-3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। शून्य पद के लिए \(30+(n-1)(-3)=0\) रखने पर \(30-3n+3=0\), अतः \(n=11\) मिलता है। इसलिए ग्यारहवाँ पद शून्य है। दसवाँ पद \(3\) है, इसलिए वह शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए हमेशा \(a_n\) में दिया गया मान रखकर \(n\) हल करें। / Here, the first term is \(a=30\) and the common difference is \(d=-3\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). For the term to be zero, \(30+(n-1)(-3)=0\). This gives \(30-3n+3=0\), so \(n=11\). Hence, the eleventh term is zero. The tenth term is \(3\), not zero. Exam tip: To find a term number in an AP, substitute the given term value in \(a_n\) and solve for \(n\).
समांतर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_2=a+d=12\) तथा \(a_6=a+5d=32\)। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(4d=20\), इसलिए \(d=5\)। अब \(a+d=12\) में \(d=5\) रखने पर \(a=7\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 7 है। 6 निकट का विकल्प हो सकता है, पर वह \(a+d\) के मान से पहले पद को अलग किए बिना लिया गया मान है। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो उनके समीकरण घटाकर पहले \(d\) ज्ञात करें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_2=a+d=12\) and \(a_6=a+5d=32\). Subtracting the equations gives \(4d=20\), so \(d=5\). Substituting \(d=5\) into \(a+d=12\) gives \(a=7\). Therefore, the correct answer is 7. Option 6 may seem close, but it does not satisfy the first-term calculation from \(a+d=12\). Exam tip: when two terms are given, subtract their equations first to find \(d\).
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=17\) और सार्वांतर \(d=24-17=7\) है। \(n\)वाँ पद \(a+(n-1)d\) होता है। अतः \(17+(n-1)\times7=80\) से \((n-1)\times7=63\), इसलिए \(n=10\)। अतः 80 दसवाँ पद है। नौवाँ पद 73 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद को सीधे \(a+(n-1)d\) के बराबर रखें। / Here, the first term is \(a=17\) and the common difference is \(d=24-17=7\). The \(n\)th term is \(a+(n-1)d\). Thus, \(17+(n-1)\times7=80\), so \((n-1)\times7=63\) and hence \(n=10\). Therefore, 80 is the 10th term. The 9th term is 73, so it is not correct. Exam tip: To find a term number, equate the given value directly to \(a+(n-1)d\).
समांतर श्रेणी के लिए सूत्र है: \(a_n=a+(n-1)d\)। यहाँ \(a=14\), \(a_{15}=84\) है, इसलिए \(84=14+(15-1)d=14+14d\)। अतः \(70=14d\), इसलिए \(d=5\)। विकल्प 4 लेने पर पंद्रहवाँ पद \(14+14\times4=70\) होगा, जो 84 नहीं है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के सूत्र में \(n-1\) अवश्य लें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a+(n-1)d\). Here, \(a=14\) and \(a_{15}=84\), so \(84=14+(15-1)d=14+14d\). Thus, \(70=14d\), giving \(d=5\). If the common difference were 4, the fifteenth term would be \(14+14\times4=70\), not 84. Exam tip: always use \(n-1\), not \(n\), in the nth-term formula.
समांतर श्रेणी का सूत्र है: \(a_n=a_1+(n-1)d\)। अतः \(a_6=17+(6-1)d\), यानी \(47=17+5d\)। इसलिए \(5d=30\) और \(d=6\)। यहाँ पहले और छठे पद के बीच 5 अंतराल होते हैं, 6 नहीं। परीक्षा टिप: \(a_n\) के लिए हमेशा \((n-1)d\) का प्रयोग करें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_6=17+(6-1)d\), so \(47=17+5d\). Hence, \(5d=30\) and \(d=6\). There are 5 gaps between the first and sixth terms, not 6. Exam tip: always use \((n-1)d\) in the formula for \(a_n\).
दिया है कि \(a_n=18-4n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=18-4(3)=18-12=6\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 6 है। 8 प्राप्त करना \(4\times3\) के स्थान पर गलत गणना करने से हो सकता है। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करते समय \(n\) का मान पूरे व्यंजक में सावधानी से रखें। / Given \(a_n=18-4n\), substitute \(n=3\): \(a_3=18-4(3)=18-12=6\). Hence, 6 is the correct option. A value such as 8 can result from an incorrect calculation of \(4\times3\). Exam tip: while finding a term, substitute the value of \(n\) carefully into the complete expression.
समांतर श्रेणी में सार्व अंतर d प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर होता है। यहाँ d = 15 - 6 = 9 है। जाँच के लिए 24 - 15 = 9 भी मिलता है, इसलिए सही उत्तर 9 है। 15 प्रथम पद नहीं, बल्कि दूसरा पद है। परीक्षा टिप: d ज्ञात करने के लिए हमेशा अगला पद − पिछला पद करें। / In an arithmetic progression, the common difference d is the difference between consecutive terms. Here, d = 15 - 6 = 9. Checking further, 24 - 15 = 9 as well, so the correct answer is 9. The number 15 is the second term, not the common difference. Exam tip: find d by subtracting the previous term from the next term.
समांतर श्रेणी में दूसरा पद = पहला पद + सार्व अंतर। अतः दूसरा पद = 22 + (-6) = 16। 18 प्राप्त करना 22 में से 4 घटाने के कारण गलत है; यहाँ दिया गया अंतर 6 है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक सार्व अंतर होने पर पदों का मान घटता है। / In an arithmetic progression, the second term equals the first term plus the common difference. Thus, the second term is 22 + (-6) = 16. Getting 18 would mean subtracting 4 from 22, but the given difference is 6. Exam tip: a negative common difference means that successive terms decrease.
इस श्रेणी में पहला पद \(a=9\) और सार्वांतर \(d=13-9=4\) है। अतः \(a_n=a+(n-1)d=9+4(n-1)=4n+5\)। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C में \(n=1\) रखने पर पहला पद \(-1\) मिलता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: पहले पद और सार्वांतर को पहचानकर सीधे \(a_n=a+(n-1)d\) सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=9\) and the common difference is \(d=13-9=4\). Thus, \(a_n=a+(n-1)d=9+4(n-1)=4n+5\). Therefore, option B is correct. In option C, putting \(n=1\) gives the first term as \(-1\), not 9. Exam tip: identify the first term and common difference, then apply \(a_n=a+(n-1)d\) directly.
इस समानांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=27\) तथा सार्वांतर \(d=30-27=3\) है। सामान्य पद का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_n=27+(n-1)\times3=3n+24\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(n=1\) रखने पर 30 मिलता है, जबकि पहला पद 27 होना चाहिए। परीक्षा में सूत्र लगाने के बाद \(n=1\) रखकर प्रथम पद अवश्य जाँचें। / For this arithmetic progression, the first term is \(a=27\) and the common difference is \(d=30-27=3\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(a_n=27+(n-1)\times3=3n+24\). Hence, option A is correct. In option C, putting \(n=1\) gives 30, not the first term 27. Exam tip: always test a general term with \(n=1\) to verify the first term.
समानांतर श्रेणी का समान अंतर किसी पद में से उसके ठीक पहले वाले पद को घटाकर मिलता है। यहाँ प्रत्येक क्रमागत पद के लिए \(3-3=0\) है, इसलिए समान अंतर \(0\) है। \(3\) पद का मान है, समान अंतर नहीं। परीक्षा टिप: दो क्रमागत पदों का अंतर निकालकर समान अंतर जाँचें। / The common difference of an arithmetic progression is found by subtracting a term from the next term. Here, for every pair of consecutive terms, \(3-3=0\); therefore, the common difference is \(0\). The number \(3\) is the value of each term, not the common difference. Exam tip: subtract any term from its next term to check the common difference.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=70\) और सार्वांतर \(d=62-70=-8\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(14=70+(n-1)(-8)\) से \(n-1=7\), इसलिए \(n=8\)। इसलिए 14, 8वाँ पद है। 7वाँ पद 22 होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: घटती समांतर श्रेणी में सार्वांतर ऋणात्मक लेना न भूलें। / Here, the first term is \(a=70\) and the common difference is \(d=62-70=-8\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(14=70+(n-1)(-8)\) gives \(n-1=7\), so \(n=8\). Therefore, 14 is the 8th term. The 7th term is 22, so it is a close but incorrect option. Exam tip: use a negative common difference for a decreasing AP.
इस समानांतर श्रेढ़ी में प्रथम पद \(a=16\) और सार्वांतर \(d=5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(16+(n-1)\times5=56\) से \(n-1=8\), इसलिए \(n=9\)। इसलिए 56, 9वाँ पद है। निकटतम विकल्प 8वाँ पद नहीं है, क्योंकि 8वाँ पद \(16+7\times5=51\) होगा। परीक्षा टिप: किसी दिए गए पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n=a+(n-1)d\) लिखें। / Here, the first term is \(a=16\) and the common difference is \(d=5\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). So, \(16+(n-1)\times5=56\) gives \(n-1=8\), hence \(n=9\). Therefore, 56 is the 9th term. The close distractor, the 8th term, is incorrect because the 8th term is \(16+7\times5=51\). Exam tip: To find the position of a given term in an AP, start with \(a_n=a+(n-1)d\).
समांतर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में सार्वांतर d जोड़कर प्राप्त होता है। यहाँ पहला पद 4 है और d = 9 है: 4, 4+9 = 13, 13+9 = 22, 22+9 = 31। इसलिए सही उत्तर (4, 13, 22, 31) है। विकल्प C में पहला पद 9 लिया गया है, जबकि पहला पद 4 होना चाहिए। परीक्षा टिप: पद लिखते समय हर दो क्रमागत पदों का अंतर d के बराबर जाँचें। / In an arithmetic progression, each new term is obtained by adding the common difference d to the preceding term. Here, the first term is 4 and d = 9: 4, 4+9 = 13, 13+9 = 22, 22+9 = 31. Therefore, (4, 13, 22, 31) is correct. In option C, 9 is incorrectly taken as the first term instead of 4. Exam tip: check that the difference between every pair of consecutive terms equals d.
समांतर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। चौथे पद के लिए \(a_4=15+(4-1)\times4=15+12=27\)। इसलिए सही उत्तर \(27\) है। \(31\) पाँचवाँ पद होगा, क्योंकि उसमें चार बार सार्वांतर जोड़ना पड़ता है। परीक्षा टिप: चौथे पद के लिए प्रथम पद में \(3d\) जोड़ें। / The \(n\)th term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). For the fourth term, \(a_4=15+(4-1)\times4=15+12=27\). Hence, \(27\) is correct. \(31\) would be the fifth term because it requires adding the common difference four times. Exam tip: for the fourth term, add \(3d\) to the first term.
समानांतर श्रेढ़ी में दूसरा पद
\(a_2=a_1+d\) होता है। अतः \(a_1=a_2-d=13-4=9\)। इसलिए सही उत्तर 9 है। 8 प्राप्त करना घटाव में त्रुटि के कारण होगा। परीक्षा टिप: पहला पद ज्ञात करने के लिए दिए गए अगले पद से समान अंतर घटाएँ। / In an arithmetic progression, the second term is \(a_2=a_1+d\). Hence, \(a_1=a_2-d=13-4=9\). Therefore, the correct answer is 9. Choosing 8 would result from an incorrect subtraction. Exam tip: To find the first term from the next term, subtract the common difference.
दिया है \(a_n=30-5n\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=30-5(4)=30-20=10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 10 है। 15 प्राप्त करना गलत होगा, क्योंकि \(5\times4=20\) होता है, 15 नहीं। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए \(n\) का मान सूत्र में सावधानी से रखें। / Given \(a_n=30-5n\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=30-5(4)=30-20=10\). Therefore, 10 is the correct option. Getting 15 would be incorrect because \(5\times4=20\), not 15. Exam tip: To find a particular term, substitute the given value of \(n\) carefully in the formula.
समांतर श्रेणी में सार्वांतर d = दूसरा पद − पहला पद होता है। यहाँ d = 7 − 3 = 4 है। 11 − 7 भी 4 आता है, इसलिए अंतर समान है। 3 पहला पद है, सार्वांतर नहीं। परीक्षा टिप: d ज्ञात करने के लिए लगातार दो पदों का अंतर लें। / In an arithmetic progression, the common difference d equals the second term minus the first term. Here, d = 7 − 3 = 4. Also, 11 − 7 = 4, confirming that the difference is constant. The number 3 is the first term, not the common difference. Exam tip: subtract any term from the next consecutive term to find d.
यहाँ n=4 रखने पर, \(a_4=4^3+3(4^2)-2=64+48-2=110\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 110 है। 108 निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन उसमें \(3\times 4^2=48\) का सही मान लेने पर भी अंतिम गणना पूरी नहीं होती। परीक्षा टिप: घातों का मान पहले निकालें, फिर गुणा और जोड़-घटाव करें। / Substitute n=4: \(a_4=4^3+3(4^2)-2=64+48-2=110\). Therefore, 110 is the correct option. A nearby distractor such as 108 results from an incorrect final calculation; \(3\times4^2\) must be evaluated as 48. Exam tip: calculate powers first, then perform multiplication and addition or subtraction.
दिया है, \(a_n=4n^2+5n-6\)। अतः \(a_3=4(3)^2+5(3)-6=45\) और \(a_5=4(5)^2+5(5)-6=119\)। इसलिए \(a_3+a_5=45+119=164\)। 162 जैसा निकट विकल्प जोड़ या गुणा में छोटी त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा में पहले प्रत्येक पद में \(n\) का मान अलग-अलग रखकर निकालें, फिर उनका योग करें। / Given \(a_n=4n^2+5n-6\), \(a_3=4(3)^2+5(3)-6=45\) and \(a_5=4(5)^2+5(5)-6=119\). Therefore, \(a_3+a_5=45+119=164\). A nearby value such as 162 can result from a small addition or multiplication error. Exam tip: substitute each value of \(n\) separately before adding the terms.
दिया है कि \(a_n=2n^2+7n-4\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=2(6)^2+7(6)-4=2\times36+42-4=72+42-4=110\)। इसलिए सही उत्तर 110 है। 108 प्राप्त हो सकता है यदि \(7\times6\) की गणना में त्रुटि हो जाए। परीक्षा टिप: पद का मान निकालते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें और घात वाले भाग की गणना पहले करें। / Given \(a_n=2n^2+7n-4\), substitute \(n=6\): \(a_6=2(6)^2+7(6)-4=2\times36+42-4=72+42-4=110\). Therefore, the correct answer is 110. The value 108 may result from an error while calculating \(7\times6\). Exam tip: substitute the term number carefully and evaluate the power term first.
पहला ऋणात्मक पद पाने के लिए \(15-3n<0\) होना चाहिए। इससे \(n>5\) मिलता है, अतः सबसे छोटा पूर्णांक \(n=6\) है। वास्तव में \(a_5=15-3(5)=0\), जो ऋणात्मक नहीं है, जबकि \(a_6=15-3(6)=-3\) है। इसलिए छठा पद पहला ऋणात्मक पद है। परीक्षा टिप: ‘पहला’ पद पूछे जाने पर असमानता को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा प्राकृतिक संख्या मान लें। / For a term to be negative, \(15-3n<0\). This gives \(n>5\), so the smallest integer value is \(n=6\). In fact, \(a_5=15-3(5)=0\), which is not negative, whereas \(a_6=15-3(6)=-3\). Hence, the sixth term is the first negative term. Exam tip: when asked for the first such term, choose the smallest natural-number index satisfying the inequality.
दिया है कि \(a_n=mn-4\)। इसलिए n=6 रखने पर \(a_6=6m-4\) होगा। अब (6m-4=50), अतः (6m=54) और (m=9)। इसलिए सही विकल्प 9 है। उदाहरण के लिए, m=8 लेने पर \(a_6=44\) मिलेगा, जो 50 नहीं है। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद का मान दिया हो तो सामान्य पद के नियम में उसी पद का सूचकांक रखें। / Given \(a_n=mn-4\), put n=6 to get \(a_6=6m-4\). Thus, (6m-4=50), so (6m=54) and (m=9). Hence, 9 is the correct option. For example, if m=8, then \(a_6=44\), not 50. Exam tip: When a particular term is given, substitute its index in the general-term rule.
तीसरा पद ज्ञात करने के लिए नियम में n=3 रखें: \(a_3=5^3-3=125-3=122\)। इसलिए सही उत्तर 122 है। 125 केवल \(5^3\) का मान है; इसमें से 3 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पद संख्या रखने के बाद घात और अन्य संक्रियाओं को क्रम से हल करें। / To find the third term, substitute n=3 in the rule: \(a_3=5^3-3=125-3=122\). Therefore, 122 is correct. The value 125 is only \(5^3\); 3 must also be subtracted. Exam tip: Substitute the term number into the general rule first, then evaluate powers and remaining operations in order.
दिया है कि \(a_n=2^n+n+1\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2^5+5+1=32+5+1=38\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 38 है। 37 प्राप्त करना सामान्यतः \(+1\) को छोड़ देने से होता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान हर स्थान पर रखें, फिर घात का मान निकालें। / Given \(a_n=2^n+n+1\), substitute \(n=5\): \(a_5=2^5+5+1=32+5+1=38\). Hence, 38 is the correct option. A value of 37 would result from incorrectly omitting the final \(+1\). Exam tip: substitute the value of \(n\) in every part of the rule before simplifying the exponent.
समांतर अनुक्रम में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a_4=a_1+3(5)=18\), अतः \(a_1=3\)। इसलिए \(a_n=3+(n-1)5=5n-2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(a_4=22\) आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दिए गए किसी पद \(a_k\) से \(a_1=a_k-(k-1)d\) निकालकर सामान्य पद जाँचें। / For an arithmetic sequence, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Here, \(a_4=a_1+3(5)=18\), so \(a_1=3\). Hence \(a_n=3+(n-1)5=5n-2\), making option A correct. In option B, \(a_4=22\), so it cannot be correct. Exam tip: when a term \(a_k\) is given, first find \(a_1=a_k-(k-1)d\), then form the general term.
दिया है \(a_n=n^3-1\)। \(a_n=124\) रखने पर \(n^3-1=124\), अतः \(n^3=125=5^3\)। इसलिए \(n=5\) और \(a_5=124\) होगा। \(a_4=63\) होता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(n^3-1\) वाले प्रश्न में पहले 1 जोड़कर पूर्ण घन पहचानें। / Given \(a_n=n^3-1\), set \(a_n=124\). Then \(n^3-1=124\), so \(n^3=125=5^3\). Hence \(n=5\), and therefore \(a_5=124\). The close distractor \(a_4\) is incorrect because \(a_4=63\). Exam tip: for expressions of the form \(n^3-1\), add 1 first and identify the perfect cube.
