sequences and progressions MCQ Questions for Class 9
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यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है: 6, 18, 54, 162, 486। अतः 486 पाँचवाँ पद है। छठा पद 1458 होगा, इसलिए छठा पद वाला विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर उनकी स्थिति 1 से गिनें। / This is a geometric sequence in which each term is 3 times the preceding term: 6, 18, 54, 162, 486. Therefore, 486 is the fifth term. The sixth term would be 1458, so the sixth-term option is incorrect. Exam tip: Write the terms in order and count their positions starting from 1.
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=6^n\) है। अतः \(n=2\) रखने पर \(a_2=6^2=36\) प्राप्त होता है। \(216\), \(6^3\) का मान है, इसलिए वह \(a_3\) होगा, \(a_2\) नहीं। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले दिए गए सूचकांक के स्थान पर \(n\) का मान रखें। / The nth term is \(a_n=6^n\). Substituting \(n=2\), we get \(a_2=6^2=36\). Note that \(216=6^3\), so it is \(a_3\), not \(a_2\). Exam tip: first substitute the required term number for \(n\) before evaluating the power.
इस गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 3 और सार्व अनुपात 2 है। पहले 5 पद 3, 6, 12, 24, 48 हैं, अतः उनका योग 93 है। सूत्र से भी, \(S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93\)। 90 केवल पहले चार पदों का योग है। परीक्षा टिप: पहले पदों की संख्या के अनुसार अंतिम पद तक श्रेणी लिखकर जाँच करें। / The first term of this GP is 3 and its common ratio is 2. Its first five terms are 3, 6, 12, 24, and 48, whose sum is 93. Using the formula, \(S_5=\frac{3(2^5-1)}{2-1}=93\). The value 90 is the sum of only the first four terms. Exam tip: List the required number of terms before adding to avoid missing the last term.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 3 है। पहले 5 पद हैं: 2, 6, 18, 54, 162। इनका योग 2+6+18+54+162=242 है। अतः सही उत्तर 242 है। विकल्प 200 सही नहीं है, क्योंकि वह इन पाँचों पदों के वास्तविक योग के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी के लिए \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\), जब \(r\ne1\), का प्रयोग भी किया जा सकता है। / This is a geometric progression with first term 2 and common ratio 3. Its first 5 terms are 2, 6, 18, 54, and 162. Their sum is 2+6+18+54+162=242. Therefore, 242 is the correct answer. Option 200 is incorrect because it is not the sum of these five terms. Exam tip: You may also use \(S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) when \(r\ne1\).
दिया है \(a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=16\left(\frac{1}{2}\right)^{4-1}=16\left(\frac{1}{2}\right)^3=16\times\frac{1}{8}=2\)। इसलिए सही उत्तर \(2\) है। \(4\) तब मिलता यदि घात \(2\) ली जाती, जबकि यहाँ घात \(n-1=3\) है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में सूचकांक रखने के बाद पहले \(n-1\) को अलग से जाँच लें। / Given \(a_n=16\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). Substituting \(n=4\), \(a_4=16\left(\frac{1}{2}\right)^{4-1}=16\left(\frac{1}{2}\right)^3=16\times\frac{1}{8}=2\). Hence, the correct answer is \(2\). The value \(4\) would result from using exponent \(2\), but here \(n-1=3\). Exam tip: after substituting the term number, check the exponent \(n-1\) separately.
दिया है कि \(a_n=4^n\)। अतः \(n=3\) रखने पर \(a_3=4^3=4\times4\times4=64\) प्राप्त होता है। \(16\), \(4^2\) का मान है, इसलिए वह \(a_3\) के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद निकालते समय दिए गए सूचकांक का मान घात में सही रखें। / Given \(a_n=4^n\). Substituting \(n=3\), we get \(a_3=4^3=4\times4\times4=64\). The value \(16\) is \(4^2\), so it does not represent \(a_3\). Exam tip: when finding a term, substitute the given index correctly in the exponent.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करके मिलता है। यहाँ पहला पद 3 है और r = 6 है: 3, 3×6 = 18, 18×6 = 108, 108×6 = 648। इसलिए सही क्रम (3, 18, 108, 648) है। विकल्प A में 6 से नहीं, 2 से गुणा किया गया है। परीक्षा टिप: पहले पद a को लिखकर हर अगले पद के लिए r से गुणा करें। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the preceding term by the common ratio. Here, the first term is 3 and r = 6: 3, 3×6 = 18, 18×6 = 108, and 108×6 = 648. Therefore, (3, 18, 108, 648) is correct. In option A, the terms are multiplied by 2, not by 6. Exam tip: Write the first term first, then multiply each successive term by r.
तीसरे पद के लिए \(n=3\) रखें: \(a_3=9\left(\frac{1}{3}\right)^{3-1}=9\left(\frac{1}{3}\right)^2=9\times\frac{1}{9}=1\)। \(3\) विकल्प तब मिलता है जब घात को गलती से 1 लिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में पद संख्या रखने के बाद पहले \(n-1\) की गणना करें। / For the third term, substitute \(n=3\): \(a_3=9\left(\frac{1}{3}\right)^{3-1}=9\left(\frac{1}{3}\right)^2=9\times\frac{1}{9}=1\). The option \(3\) results from incorrectly using the exponent as 1. Exam tip: after substituting the term number in \(a_n\), calculate \(n-1\) first.
गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य पद
\(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः
\(a_4=4r^3=108\), इसलिए
\(r^3=27\) और
\(r=3\)। विकल्प 2 लेने पर चौथा पद
\(4\times2^3=32\) आता है, 108 नहीं। परीक्षा टिप:
\(a_m\) से
\(a_n\) तक अनुपात की घात हमेशा
\(n-m\) होती है। / The general term of a GP is
\(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus,
\(a_4=4r^3=108\), so
\(r^3=27\) and
\(r=3\). If the ratio were 2, the fourth term would be
\(4\times2^3=32\), not 108. Exam tip: from
\(a_m\) to
\(a_n\), the exponent of the ratio is
\(n-m\).
समांतर श्रेणी में
\(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_5=14+4\times6=38\) और \(a_{11}=14+10\times6=74\)। इसलिए \(a_5+a_{11}=38+74=112\) है। 116 तब मिलता यदि किसी पद की गणना में अंतर \(d\) को गलत संख्या में जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद के लिए हमेशा \((n-1)d\) प्रयोग करें। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_5=14+4\times6=38\) and \(a_{11}=14+10\times6=74\). Therefore, \(a_5+a_{11}=38+74=112\). A value such as 116 can result from adding the common difference an incorrect number of times. Exam tip: always use \((n-1)d\) for the \(n\)th term.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a_1+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_{14}-a_5=9d=81-18=63\), इसलिए \(d=7\)। अब \(a_5=a_1+4d\) से \(18=a_1+28\), इसलिए \(a_1=-10\)। \(-8\) लेने पर पाँचवाँ पद \(20\) आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो दिए गए पदों का अंतर लेकर पहले \(d\) निकालना सबसे तेज तरीका है। / For an arithmetic progression, \(a_n=a_1+(n-1)d\). Thus, \(a_{14}-a_5=9d=81-18=63\), so \(d=7\). Now, from \(a_5=a_1+4d\), we get \(18=a_1+28\), hence \(a_1=-10\). If \(-8\) were used, the fifth term would be \(20\), so it is not correct. Exam tip: subtract the given terms first to find \(d\) quickly.
समांतर श्रेणी के लगातार तीन पदों में मध्य पद, पहले और तीसरे पद का औसत होता है। अतः \(2(6x+1)=(4x-3)+(9x-2)\)। इससे \(12x+2=13x-5\), इसलिए \(x=7\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। उदाहरण के लिए \(x=6\) रखने पर दोनों क्रमागत अंतर बराबर नहीं आते। परीक्षा टिप: तीन लगातार AP पदों के लिए सीधे \(2b=a+c\) का प्रयोग करें। / For three consecutive terms of an arithmetic progression, the middle term is the average of the first and third terms. Hence, \(2(6x+1)=(4x-3)+(9x-2)\). This gives \(12x+2=13x-5\), so \(x=7\). Therefore, option C is correct. For example, if \(x=6\), the two consecutive differences are not equal. Exam tip: for three consecutive AP terms, directly use \(2b=a+c\).
समांतर श्रेणी के लगातार तीन पदों में मध्य पद का दोगुना, पहले और तीसरे पदों के योग के बराबर होता है। अतः \(2(2p+5)=(p+2)+(4p+1)\)। इससे \(4p+10=5p+3\), इसलिए \(p=7\)। विकल्प 5 लेने पर तीनों पदों के बीच समान अंतर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: तीन लगातार AP पदों के लिए सीधे \(2b=a+c\) का प्रयोग करें। / For three consecutive terms of an arithmetic progression, twice the middle term equals the sum of the first and third terms. Thus, \(2(2p+5)=(p+2)+(4p+1)\). This gives \(4p+10=5p+3\), so \(p=7\). If 5 is substituted, the three terms do not have a common difference. Exam tip: for three consecutive AP terms, use \(2b=a+c\) directly.
यहाँ प्रथम पद \(a=24\) और सार्वांतर \(d=19-24=-5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(24+(n-1)(-5)=-11\) से \(24-5n+5=-11\), यानी \(29-5n=-11\)। इसलिए \(n=8\) प्राप्त होता है। अतः \((-11)\) आठवाँ पद है। सातवाँ पद \((-6)\) होता है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: घटती AP में सार्वांतर का चिह्न ऋणात्मक अवश्य रखें। / Here, the first term is \(a=24\) and the common difference is \(d=19-24=-5\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(24+(n-1)(-5)=-11\). Thus, \(29-5n=-11\), which gives \(n=8\). Therefore, \((-11)\) is the eighth term. The seventh term is \((-6)\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: In a decreasing AP, make sure to use a negative common difference.
यहाँ प्रथम पद \(a=27\) और सार्वांतर \(d=35-27=8\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(123=27+(n-1)8\), इसलिए \((n-1)8=96\), \(n-1=12\) और \(n=13\)। विकल्प 12 इसलिए गलत है क्योंकि वह \(n-1\) का मान है, पद संख्या \(n\) नहीं। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करते समय अंत में \(n-1\) में 1 अवश्य जोड़ें। / Here, the first term is \(a=27\) and the common difference is \(d=35-27=8\). The nth term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(123=27+(n-1)8\), so \((n-1)8=96\), \(n-1=12\), and \(n=13\). Option 12 is incorrect because it is the value of \(n-1\), not the term number \(n\). Exam tip: when finding the term number, remember to add 1 after calculating \(n-1\).
यहाँ प्रथम पद \(a=84\) और सार्वांतर \(d=75-84=-9\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(12=84+(n-1)(-9)\) से \(n-1=8\), इसलिए \(n=9\)। इसलिए 12 नौवाँ पद है। दसवाँ पद 3 होगा, इसलिए वह निकटतम विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: घटती समांतर श्रेणी में सार्वांतर का चिह्न ऋणात्मक रखना न भूलें। / Here, the first term is \(a=84\) and the common difference is \(d=75-84=-9\). Using \(a_n=a+(n-1)d\), we get \(12=84+(n-1)(-9)\). Thus, \(n-1=8\), so \(n=9\). Therefore, 12 is the ninth term. The tenth term is 3, so the closest distractor is not correct. Exam tip: always use a negative common difference for a decreasing AP.
यहाँ प्रथम पद \(a=18\) और सार्वांतर \(d=25-18=7\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(18+(n-1)\times7=123\) से \((n-1)\times7=105\), इसलिए \(n-1=15\) और \(n=16\)। इसलिए 123 सोलहवाँ पद है। पंद्रहवाँ पद \(18+14\times7=116\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या निकालते समय \(n-1\) में 1 जोड़ना न भूलें। / Here, the first term is \(a=18\) and the common difference is \(d=25-18=7\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). So, \(18+(n-1)\times7=123\), giving \((n-1)\times7=105\). Hence \(n-1=15\) and \(n=16\). Therefore, 123 is the 16th term. The 15th term is \(18+14\times7=116\), so it is not correct. Exam tip: after finding \(n-1\), remember to add 1 to get the term number.
समांतर श्रेणी में \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_2=a+d=16\) और \(a_9=a+8d=65\)। दोनों समीकरणों को घटाने पर \(7d=49\), इसलिए \(d=7\)। अब \(a+d=16\) में \(d=7\) रखने पर \(a=9\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 9 है। 8 केवल सामान्य अंतर \(d\) निकालने के बाद गलत प्रतिस्थापन से आ सकता है। परीक्षा टिप: दो दिए गए पदों के समीकरण बनाकर उन्हें घटाएँ, इससे \(d\) जल्दी निकलता है। / For an arithmetic progression, \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_2=a+d=16\) and \(a_9=a+8d=65\). Subtracting the two equations gives \(7d=49\), so \(d=7\). Substituting this into \(a+d=16\) gives \(a=9\). Therefore, the correct answer is 9. Option 8 can result from an incorrect substitution after finding the common difference. Exam tip: form equations for the given terms and subtract them first to find \(d\) quickly.
यहाँ प्रथम पद \(a=23\) और सार्वांतर \(d=31-23=8\) है। \(n\)वाँ पद \(a+(n-1)d\) होता है। अतः \(23+(n-1)\times 8=111\) से \((n-1)=11\), इसलिए \(n=12\)। अतः 111 बारहवाँ पद है। ग्यारहवाँ पद \(23+10\times8=103\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(a\) और \(d\) पहचानकर दिए गए पद को \(a_n\) के बराबर रखें। / Here, the first term is \(a=23\) and the common difference is \(d=31-23=8\). The \(n\)th term is \(a+(n-1)d\). Thus, \(23+(n-1)\times 8=111\) gives \((n-1)=11\), so \(n=12\). Therefore, 111 is the 12th term. The 11th term is \(23+10\times8=103\), so it is not correct. Exam tip: identify \(a\) and \(d\) first, then equate the given value to \(a_n\).
समांतर श्रेणी का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) है। अतः \(a_8=15+(8-1)d=15+7d\)। दिया है \(a_8=71\), इसलिए \(71=15+7d\), अर्थात \(7d=56\) और \(d=8\)। \(7\) लेने की गलती न करें; \(a_8\) तक पहुँचने के लिए प्रथम पद के बाद सात समान अंतर जुड़ते हैं। परीक्षा टिप: हमेशा \(a_n\) के साथ \((n-1)\) लिखकर ही मान रखें। / Use the AP formula \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(a_8=15+(8-1)d=15+7d\). Since \(a_8=71\), \(71=15+7d\), so \(7d=56\) and \(d=8\). Do not choose \(7\): there are seven common differences from the first term to the eighth term. Exam tip: write \((n-1)\) explicitly before substituting values in the AP formula.
समांतर श्रेणी में nवाँ पद का सूत्र \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। यहाँ \(a=21\), \(a_{18}=106\) है, इसलिए \(106=21+17d\)। अतः \(17d=85\) और \(d=5\)। विकल्प 4 लेने पर अठारहवाँ पद \(21+17\times4=89\) आता, जो 106 नहीं है। परीक्षा टिप: nवें पद के लिए पदों के बीच अंतर \(n-1\) बार होता है, n बार नहीं। / The nth-term formula of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Here, \(a=21\) and \(a_{18}=106\), so \(106=21+17d\). Thus, \(17d=85\), giving \(d=5\). If the common difference were 4, the eighteenth term would be \(21+17\times4=89\), not 106. Exam tip: from the first term to the nth term, the common difference is added \(n-1\) times, not n times.
समांतर श्रेणी में लगातार तीन पदों के लिए मध्य पद का दोगुना, पहले और तीसरे पद के योग के बराबर होता है। अतः \(2(5x-2)=(3x+1)+(8x-8)\)। इससे \(10x-4=11x-7\), इसलिए \(x=3\)। जाँच करने पर पद \(10,13,16\) मिलते हैं, जिनका सार्वांतर \(3\) है। परीक्षा टिप: तीन लगातार पद दिए हों तो सीधे \(2b=a+c\) का प्रयोग करें। / For three consecutive terms of an arithmetic progression, twice the middle term equals the sum of the first and third terms. Thus, \(2(5x-2)=(3x+1)+(8x-8)\). This gives \(10x-4=11x-7\), so \(x=3\). On checking, the terms are \(10,13,16\), with common difference \(3\). Exam tip: for three consecutive AP terms, use \(2b=a+c\) directly.
समांतर श्रेणी में \(a_{14}-a_6=(14-6)d\) होता है। अतः \(61-21=8d\), यानी \(40=8d\), इसलिए \(d=5\)। विकल्प \(4\) लेने पर 8 पदों का अंतर \(32\) होता, जबकि यहाँ पदों का अंतर \(40\) है। परीक्षा टिप: दो पदों को घटाते समय उनके सूचकांकों का अंतर भी अवश्य लें। / For an arithmetic progression, \(a_{14}-a_6=(14-6)d\). Thus, \(61-21=8d\), so \(40=8d\) and hence \(d=5\). If \(d=4\), the difference across 8 term positions would be \(32\), not \(40\). Exam tip: When subtracting two AP terms, also subtract their term numbers.
समांतर श्रेणी में दो पदों का अंतर उनके क्रमांकों के अंतर गुणा सार्वांतर के बराबर होता है। अतः \(a_{13}-a_4=(13-4)d\), यानी \(77-23=9d\)। इसलिए \(54=9d\) और \(d=6\) है। विकल्प 5 लेने पर 9 पदों का अंतर 45 आता, जो दिए गए अंतर 54 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: दो पदों को घटाते समय उनके क्रमांकों का अंतर भी सही लें। / In an arithmetic progression, the difference between two terms equals the difference in their positions multiplied by the common difference. Thus, \(a_{13}-a_4=(13-4)d\), so \(77-23=9d\). Hence, \(54=9d\) and \(d=6\). If 5 were used, the difference across 9 positions would be 45, not the given difference of 54. Exam tip: subtract the term positions carefully as well as the terms.
यहाँ \(S_4\), पहले चार पदों का योग है: \(S_4=6+13+20+27=66\)। अतः सही उत्तर 66 है। 70 एक संभावित गलती है, जो अंतिम पद 27 को गलत पढ़ने या जोड़ में त्रुटि से मिल सकता है। परीक्षा टिप: कम पदों के लिए सीधे जोड़ें; वैकल्पिक रूप से \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\) का प्रयोग करें। / Here, \(S_4\) denotes the sum of the first four terms: \(S_4=6+13+20+27=66\). Therefore, the correct answer is 66. A value such as 70 can result from misreading the last term or making an addition error. Exam tip: for a small number of terms, add directly; alternatively, use \(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]\).
यहाँ प्रथम पद \(a=6\), सार्वांतर \(d=4\) और अंतिम पद \(l=50\) है। सूत्र \(l=a+(n-1)d\) में मान रखने पर \(50=6+(n-1)4\), इसलिए \(n-1=11\) और \(n=12\)। अतः 50 तक कुल 12 पद हैं। 11 पद लेने पर अंतिम पद 46 होगा, 50 नहीं। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए अंतिम पद को \(a+(n-1)d\) के बराबर रखें। / Here, the first term is \(a=6\), the common difference is \(d=4\), and the last term is \(l=50\). Using \(l=a+(n-1)d\), we get \(50=6+(n-1)4\), so \(n-1=11\) and \(n=12\). Therefore, there are 12 terms up to 50. With 11 terms, the last term would be 46, not 50. Exam tip: To find the number of terms, equate the last term to \(a+(n-1)d\).
यहाँ प्रथम पद \(a=45\) और सार्वांतर \(d=-5\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होगा। अतः \(45+(n-1)(-5)=0\) से \(n-1=9\), इसलिए \(n=10\)। नौवाँ पद \(5\) है, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले \(a_n\) का सूत्र लिखकर उसे दिए गए मान के बराबर रखें। / Here, the first term is \(a=45\) and the common difference is \(d=-5\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(45+(n-1)(-5)=0\) gives \(n-1=9\), so \(n=10\). The ninth term is \(5\), not zero. Exam tip: To find the position of a specified term, write the formula for \(a_n\) and equate it to the given value.
समांतर श्रेणी में दूसरा पद
\(a_2=a+d=14\) और आठवाँ पद
\(a_8=a+7d=50\) होता है। दोनों समीकरणों को घटाने पर
\(6d=36\), अतः
\(d=6\)। इसलिए
\(a=14-6=8\)। अतः पहला पद 8 है। विकल्प 6 अंतर है, पहला पद नहीं। परीक्षा टिप: दो पद दिए हों तो उनके पद-संख्या के अंतर से
\(d\) निकालना सुविधाजनक होता है। / In an arithmetic progression, the second term is
\(a_2=a+d=14\) and the eighth term is
\(a_8=a+7d=50\). Subtracting the equations gives
\(6d=36\), so
\(d=6\). Hence,
\(a=14-6=8\). Therefore, the first term is 8. Option 6 is the common difference, not the first term. Exam tip: when two terms are given, subtract their equations to find
\(d\) quickly.
समांतर श्रेणी के लगातार तीन पदों में बीच का पद पहले और तीसरे पद के औसत के बराबर होता है। अतः \(2(a+8)=a+(3a-4)\)। इससे \(2a+16=4a-4\), इसलिए \(2a=20\) और \(a=10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प 12 लेने पर तीनों पदों के बीच समान अंतर नहीं मिलेगा। परीक्षा टिप: लगातार तीन AP पदों के लिए सीधे \(2\times\text{मध्य पद}=\text{पहला पद}+\text{तीसरा पद}\) का प्रयोग करें। / For three consecutive terms of an arithmetic progression, twice the middle term equals the sum of the first and third terms. Thus, \(2(a+8)=a+(3a-4)\). This gives \(2a+16=4a-4\), so \(2a=20\) and hence \(a=10\). Therefore, option B is correct. If \(a=12\), the differences between the three terms are not equal. Exam tip: for three consecutive AP terms, use \(2\times\text{middle term}=\text{first term}+\text{third term}\).
यहाँ प्रथम पद \(a=13\) और सार्वांतर \(d=10-13=-3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(13+(n-1)(-3)=-8\) से \(-3(n-1)=-21\), इसलिए \(n-1=7\) और \(n=8\)। इसलिए \(-8\), आठवाँ पद है। नौवाँ पद \(-11\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(d\) का ऋणात्मक चिन्ह सही लिखें, फिर \(a_n\) का सूत्र लगाएँ। / Here, the first term is \(a=13\) and the common difference is \(d=10-13=-3\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Thus, \(13+(n-1)(-3)=-8\), giving \(-3(n-1)=-21\). Hence \(n-1=7\) and \(n=8\). Therefore, \(-8\) is the eighth term. The ninth term would be \(-11\), so it is not correct. Exam tip: write the negative common difference carefully before applying the \(n\)th-term formula.
