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यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 18 और सार्व अंतर 2 है। 6वाँ पद = 18 + (6 - 1) × 2 = 28। 30 लेने पर 6 के बजाय 7वीं पंक्ति का मान मिलता है। परीक्षा में पद संख्या से 1 घटाना न भूलें। / This is an AP with first term 18 and common difference 2. The 6th term is 18 + (6 - 1) × 2 = 28. Choosing 30 gives the 7th-row value instead. Exam tip: always use n - 1 in the nth-term formula.
हर बार (5) जोड़ा जा रहा है, इसलिए अगला पद (27+5=32) है। परीक्षा में पहले सार्व अंतर पहचानें। / (5) is added each time, so the next term is (27+5=32). In exams, identify the common difference first.
समांतर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पाने के लिए पिछले पद में सार्व अंतर जोड़ा जाता है। इसलिए दूसरा पद = 6 + 7 = 13 है। 14 तब मिलता यदि 7 को दो बार जोड़ा जाता। परीक्षा टिप: याद रखें, दूसरा पद सदैव a + d होता है। / In an arithmetic progression, each next term is obtained by adding the common difference to the previous term. Therefore, the second term is 6 + 7 = 13. The value 14 would result from adding 7 twice. Exam tip: remember that the second term is always a + d.
हर पद में (5) घट रहा है, इसलिए सार्व अंतर (-5) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लिखें। / Each term decreases by (5), so the common difference is (-5). In exams, write the difference as negative for a decreasing progression.
A. हाँ, सार्व अंतर (6) है/Yes, common difference is (6)
Explanation
Simple Explanation
सभी लगातार पदों का अंतर (6) है। परीक्षा में समांतर श्रेणी के लिए समान अंतर जाँचें। / All consecutive terms have difference (6). In exams, check equal differences for an arithmetic progression.
C. क्रमागत पदों के अंतर समान नहीं हैं/The differences between consecutive terms are not equal
Explanation
Simple Explanation
दिए गए अनुक्रम में क्रमागत अंतरों के मान हैं: \(5-2=3\), \(10-5=5\) और \(17-10=7\)। ये अंतर समान नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। केवल पदों का बढ़ना समांतर श्रेणी होने के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: समांतर श्रेणी पहचानने के लिए हमेशा लगातार दो पदों का अंतर जाँचें। / For the given sequence, the consecutive differences are \(5-2=3\), \(10-5=5\), and \(17-10=7\). Since these differences are not equal, it is not an arithmetic progression. Merely having increasing terms does not make a sequence an arithmetic progression. Exam tip: always check the difference between consecutive terms to identify an AP.
अनुक्रम का पहला लिखा हुआ पद (18) है। परीक्षा में पहला पद (a) सीधे पहले पद से लें। / The first written term of the sequence is (18). In exams, take the first term (a) directly from the sequence.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। तीसरे पद के लिए \(a_3=8+(3-1)\times3=8+6=14\) होगा। 11 केवल दूसरा पद है, क्योंकि उसमें अंतर केवल एक बार जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: तीसरे पद के लिए प्रथम पद में \(2d\) जोड़ें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_3=8+(3-1)\times3=8+6=14\). Option 11 is only the second term because the common difference is added once. Exam tip: for the third term, add \(2d\) to the first term.
सार्व अंतर (-3) है, इसलिए अगला पद (22-3=19) है। परीक्षा में घटते पदों में ऋणात्मक अंतर लगाएँ। / The common difference is (-3), so the next term is (22-3=19). In exams, apply the negative difference in decreasing terms.
सार्व अंतर (4) है, इसलिए पाँचवाँ पद (21+4=25) है। परीक्षा में पदों को क्रम से आगे बढ़ाएँ। / The common difference is (4), so the fifth term is (21+4=25). In exams, extend the terms in order.
(17) और (23) का अंतर (6) है, इसलिए रिक्त पद (17-6=11) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी अंतर लगाएँ। / The difference between (17) and (23) is (6), so the missing term is (17-6=11). In exams, apply the difference backward too.
यह (6) के गुणजों की श्रेणी है, इसलिए \(a_n=6n\) है। परीक्षा में गुणजों वाली श्रेणी को (kn) से पहचानें। / This is a sequence of multiples of (6), so \(a_n=6n\). In exams, identify multiple-based progressions as (kn).
दिया है \(a_n=4n+2\)। पाँचवाँ पद पाने के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=4\times5+2=20+2=22\)। अतः सही उत्तर \(22\) है। \(20\) तब मिलता है जब \(+2\) को छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: किसी भी \(a_n\) में पद संख्या को \(n\) के स्थान पर सावधानी से रखें। / Given \(a_n=4n+2\). To find the fifth term, substitute \(n=5\): \(a_5=4\times5+2=20+2=22\). Hence, the correct answer is \(22\). The value \(20\) results if the \(+2\) is omitted. Exam tip: substitute the term number carefully for \(n\) in the nth-term formula.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=7\) तथा सार्वांतर \(d=11-7=4\) है। इसलिए \(a_n=a+(n-1)d=7+4(n-1)=4n+3\)। अतः सही विकल्प \(a_n=4n+3\) है। विकल्प \(a_n=4n-3\) रखने पर पहला पद \(1\) मिलता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में \(n=1\) रखने पर प्रथम पद अवश्य जाँचें। / For this arithmetic progression, the first term is \(a=7\) and the common difference is \(d=11-7=4\). Thus, \(a_n=a+(n-1)d=7+4(n-1)=4n+3\). Hence, \(a_n=4n+3\) is correct. In \(a_n=4n-3\), the first term is \(1\), so it cannot represent the given progression. Exam tip: substitute \(n=1\) to check whether a general term gives the first term.
समांतर श्रेणी में दूसरा पद = पहला पद + सार्व अंतर होता है। अतः दूसरा पद = \(16+(-4)=12\)। 14 प्राप्त करना 4 को गलत प्रकार से घटाने या जोड़ने की त्रुटि है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक सार्व अंतर होने पर अगले पद पहले पद से छोटे होते हैं। / In an arithmetic progression, the second term equals the first term plus the common difference. Thus, \(16+(-4)=12\). Getting 14 would result from an incorrect operation with the common difference. Exam tip: when the common difference is negative, each next term is smaller than the preceding term.
C. क्योंकि क्रमागत पदों के अंतर समान नहीं हैं/Because the differences between consecutive terms are not equal
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी में प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर समान होना चाहिए। यहाँ अंतर हैं: \(6-3=3\), \(12-6=6\) और \(24-12=12\)। ये अंतर समान नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। केवल पदों का बढ़ना या 3 के गुणज होना समांतर श्रेणी होने के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम को समांतर श्रेणी जाँचने के लिए पहले दो या तीन क्रमागत अंतर निकालें। / In an arithmetic progression, the difference between every pair of consecutive terms must be the same. Here the differences are \(6-3=3\), \(12-6=6\), and \(24-12=12\). Since these differences are unequal, the sequence is not an arithmetic progression. Merely increasing terms or terms that are multiples of 3 do not make a sequence an AP. Exam tip: Find two or three consecutive differences to check whether a sequence is an AP.
समांतर श्रेणी में सार्व अंतर \(d\) दो क्रमागत पदों का अंतर होता है। यहाँ \(d=10-4=6\) है; जाँच के लिए \(16-10=6\) भी मिलता है। \(10\) दूसरा पद है, सार्व अंतर नहीं। परीक्षा टिप: \(d=a_2-a_1\) लेकर उत्तर को अगले दो पदों से जाँचें। / In an arithmetic progression, the common difference \(d\) is the difference between consecutive terms. Here, \(d=10-4=6\); it is confirmed by \(16-10=6\). \(10\) is the second term, not the common difference. Exam tip: use \(d=a_2-a_1\) and verify it with the next pair of terms.
समांतर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। चौथे पद के लिए \(a_4=15+(4-1)\times4=15+12=27\)। इसलिए सही उत्तर \(27\) है। \(31\) पाँचवाँ पद होगा, क्योंकि उसमें चार बार सार्वांतर जोड़ना पड़ता है। परीक्षा टिप: चौथे पद के लिए प्रथम पद में \(3d\) जोड़ें। / The \(n\)th term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). For the fourth term, \(a_4=15+(4-1)\times4=15+12=27\). Hence, \(27\) is correct. \(31\) would be the fifth term because it requires adding the common difference four times. Exam tip: for the fourth term, add \(3d\) to the first term.
अंतर (-5) है, इसलिए पद (50,45,40,35,30,25) हैं। परीक्षा में पहला पद भी गिनें। / The difference is (-5), so the terms are (50,45,40,35,30,25). In exams, include the first term while counting.
पद (2,8,14,20,26,32) हैं, इसलिए (32) छठा पद है। परीक्षा में क्रम से पद लिखकर जाँचें। / The terms are (2,8,14,20,26,32), so (32) is the sixth term. In exams, list terms in order to check.
(n=1,2,3) रखने पर (7,10,13) मिलते हैं। परीक्षा में पहले तीन पदों के लिए छोटे (n) मान रखें। / Putting (n=1,2,3) gives (7,10,13). In exams, use small (n) values for the first three terms.
पहला पद (10) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n+5\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (10) and the difference is (5), so \(a_n=5n+5\). In exams, find the constant part from the first term.
सार्व अंतर (7) है, इसलिए अगला पद (20+7=27) है। परीक्षा में रिक्त पद के लिए समान अंतर जारी रखें। / The common difference is (7), so the next term is (20+7=27). In exams, continue the same difference for the blank term.
लगातार पदों का अंतर (15-19=-4) है। परीक्षा में घटती श्रेणी का अंतर ऋणात्मक लिखें। / The difference of consecutive terms is (15-19=-4). In exams, write the difference as negative for a decreasing progression.
(a=21) और (d=6), इसलिए \(a_8=21+7\times6=63\) है। परीक्षा में (n)वें पद के लिए (a+(n-1)d) लगाएँ। / (a=21) and (d=6), so \(a_8=21+7\times6=63\). In exams, use (a+(n-1)d) for the (n)th term.
A. हाँ, सार्व अंतर (14) है/Yes, common difference is (14)
Explanation
Simple Explanation
हर लगातार पद का अंतर (14) है। परीक्षा में समान अंतर दिखे तो समांतर श्रेणी मानें। / Each consecutive term differs by (14). In exams, if equal difference appears, treat it as an arithmetic progression.
समांतर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद में सार्वांतर d जोड़कर प्राप्त होता है। यहाँ पहला पद 4 है और d = 9 है: 4, 4+9 = 13, 13+9 = 22, 22+9 = 31। इसलिए सही उत्तर (4, 13, 22, 31) है। विकल्प C में पहला पद 9 लिया गया है, जबकि पहला पद 4 होना चाहिए। परीक्षा टिप: पद लिखते समय हर दो क्रमागत पदों का अंतर d के बराबर जाँचें। / In an arithmetic progression, each new term is obtained by adding the common difference d to the preceding term. Here, the first term is 4 and d = 9: 4, 4+9 = 13, 13+9 = 22, 22+9 = 31. Therefore, (4, 13, 22, 31) is correct. In option C, 9 is incorrectly taken as the first term instead of 4. Exam tip: check that the difference between every pair of consecutive terms equals d.
(n=1) पर (36) और (n=2) पर (30) मिलता है, इसलिए \(a_n=42-6n\) है। परीक्षा में घटते नियम को पहले पद से जाँचें। / At (n=1) it gives (36), and at (n=2) it gives (30), so \(a_n=42-6n\). In exams, check a decreasing rule with the first term.
दिया है कि \(a_n=42-6n\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=42-6(5)=42-30=12\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 12 है। 14 प्राप्त करने के लिए घटाव में त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर गुणा और घटाव क्रम से करें। / Given \(a_n=42-6n\). Substituting \(n=5\), we get \(a_5=42-6(5)=42-30=12\). Therefore, 12 is the correct option. Getting 14 would result from an error in subtraction. Exam tip: substitute the value of \(n\) first, then perform multiplication and subtraction in order.
समांतर श्रेणी में पहला पद \(a\) होता है। यहाँ पहला पद \(5\) है, इसलिए \(a=5\)। सार्वांतर \(d\) लगातार दो पदों का अंतर है: \(14-5=9\) (और \(23-14=9\))। अतः \(d=9\)। विकल्प \(a=9,\ d=5\) में पहले पद और अंतर को आपस में बदल दिया गया है। परीक्षा टिप: \(d\) ज्ञात करने के लिए हमेशा दूसरे पद में से पहला पद घटाएँ। / In an arithmetic progression, \(a\) is the first term. Here, the first term is \(5\), so \(a=5\). The common difference \(d\) is the difference between consecutive terms: \(14-5=9\) (also \(23-14=9\)). Therefore, \(d=9\). The option \(a=9,\ d=5\) incorrectly interchanges the first term and the common difference. Exam tip: find \(d\) by subtracting the first term from the second term.
A. क्रमागत पदों का अंतर समान रहता है/The difference between consecutive terms is constant
Explanation
Simple Explanation
AP में \(d=a_{n+1}-a_n\) हर क्रमागत पद-युग्म के लिए स्थिर होता है, इसलिए विकल्प A सही है। स्थिर अनुपात GP का गुण है। परीक्षा में दो क्रमागत अंतरों की जाँच करें। / In an AP, \(d=a_{n+1}-a_n\) remains the same for every pair of consecutive terms, so A is correct. A constant ratio is a GP property. Exam tip: compare two consecutive differences.
यह एक समान्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 6 और सार्वांतर 4 है। पद क्रमशः 6, 10, 14, 18, 22, 26 हैं; अतः 26 छठा पद है। पाँचवाँ पद 22 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों को लिखते समय प्रथम पद को पद संख्या 1 मानें। / This is an arithmetic progression with first term 6 and common difference 4. Its terms are 6, 10, 14, 18, 22, 26; therefore, 26 is the sixth term. The fifth term is 22, so it is not correct. Exam tip: count the first term as term number 1.
समांतर श्रेणी में सार्व अंतर \(d=a_2-a_1\) होता है। अतः \(d=19-11=8\), इसलिए सही विकल्प \(8\) है। \(9\) लेने पर दूसरा पद \(11+9=20\) मिलता, जो दिया गया पद नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार दो पद दिए हों तो बाद वाले पद में से पहले वाले पद को घटाएँ। / In an arithmetic progression, the common difference is \(d=a_2-a_1\). Therefore, \(d=19-11=8\), so \(8\) is correct. If the difference were \(9\), the second term would be \(11+9=20\), not the given term. Exam tip: when two consecutive terms are given, subtract the earlier term from the later term.
सार्व अंतर (7) है, इसलिए अगला पद (43+7=50) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अंतर जोड़ें। / The common difference is (7), so the next term is (43+7=50). In exams, add the difference to the last known term.
सार्व अंतर (-10) है, इसलिए पाँचवाँ पद (80) है। परीक्षा में घटते पदों में सही दिशा में गिनें। / The common difference is (-10), so the fifth term is (80). In exams, count in the correct direction for decreasing terms.
दूसरे पद और पहले पद का अंतर ((y+6)-y=6) है। परीक्षा में बीजीय पदों में भी घटाव करें। / The difference between the second and first terms is ((y+6)-y=6). In exams, subtract even with algebraic terms.
लगातार पद समान हैं, इसलिए अंतर (8-8=0) है। परीक्षा में स्थिर श्रेणी भी समांतर श्रेणी हो सकती है। / Consecutive terms are equal, so the difference is (8-8=0). In exams, a constant sequence can also be an arithmetic progression.
सार्व अंतर (0) होने पर सभी पद (12) रहेंगे। परीक्षा में (d=0) का मतलब स्थिर श्रेणी है। / When the common difference is (0), all terms remain (12). In exams, (d=0) means a constant sequence.
(15) और (21) का अंतर (6) है, इसलिए रिक्त पद (15-6=9) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सार्व अंतर लगाएँ। / The difference between (15) and (21) is (6), so the missing term is (15-6=9). In exams, apply the common difference backward too.
रैखिक नियम \(a_n=7n-1\) में (n) का गुणांक (7) ही अंतर है। परीक्षा में (kn+c) में (k) को (d) मानें। / In the linear rule \(a_n=7n-1\), the coefficient of (n) is the difference (7). In exams, take (k) as (d) in (kn+c).
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद 16 और सार्वांतर 4 है। छठा पद 16 के बाद पाँच बार 4 जोड़ने पर मिलेगा: \(a_6=16+5\times4=36\)। 32 पाँचवाँ पद है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद ज्ञात करते समय \(a_n=a+(n-1)d\) में \(n-1\) अवश्य लें। / The first term of this AP is 16 and the common difference is 4. The sixth term is obtained by adding 4 five times after 16: \(a_6=16+5\times4=36\). Note that 32 is the fifth term, so it is a close but incorrect option. Exam tip: use \(a_n=a+(n-1)d\), taking care to use \(n-1\).
समांतर श्रेणी में प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर समान होता है। विकल्प A में अंतर 7−3=4, 11−7=4 और 15−11=4 है, इसलिए यह समांतर श्रेणी है। विकल्प B में पदों का अनुपात 2 है, अंतर समान नहीं। परीक्षा टिप: लगातार दो अंतरों को जाँचें। / In an arithmetic progression, the difference between consecutive terms remains constant. In option A, 7−3=4, 11−7=4, and 15−11=4, so it is an AP. Option B has a constant ratio of 2, not a constant difference. Exam tip: check at least two consecutive differences.
यह एक समांतर श्रेणी है, जहाँ प्रथम पद 12 और सार्व अंतर 3 है। सातवाँ पद: \(a_7=12+(7-1)\times3=30\)। 27 में केवल पाँच अंतर जोड़े गए हैं। परीक्षा टिप: पद संख्या से हमेशा 1 घटाएँ। / This is an arithmetic progression with first term 12 and common difference 3. The seventh term is \(a_7=12+(7-1)\times3=30\). Getting 27 means adding the difference only five times. Exam tip: use \(n-1\) gaps, not \(n\).
यह (9) के गुणजों की श्रेणी है, इसलिए दसवाँ पद (90) है। परीक्षा में गुणजों को जल्दी पहचानें। / This is a sequence of multiples of (9), so the tenth term is (90). In exams, identify multiples quickly.
दिया है कि \(a_n=15-3n\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=15-3(4)=15-12=3\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 3 है। 6 प्राप्त करना एक संभावित गलती है, यदि \(3\times4\) का गुणन सही न किया जाए। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें और फिर गणना करें। / Given \(a_n=15-3n\), substitute \(n=4\): \(a_4=15-3(4)=15-12=3\). Therefore, 3 is correct. A value such as 6 may result from an incorrect multiplication of \(3\times4\). Exam tip: substitute the term number first, then simplify step by step.
(n=1) पर (12) और (n=2) पर (9) मिलता है, इसलिए \(a_n=15-3n\) है। परीक्षा में पहला पद जाँचकर नियम चुनें। / At (n=1) it gives (12), and at (n=2) it gives (9), so \(a_n=15-3n\). In exams, choose the rule after checking the first term.
बीच का पद (8) और (20) का औसत है, इसलिए \(x=\frac{8+20}{2}=14\) है। परीक्षा में तीन पदों वाली श्रेणी में मध्य पद का औसत लें। / The middle term is the average of (8) and (20), so \(x=\frac{8+20}{2}=14\). In exams, take the average for the middle term in three-term progressions.
इस समांतर श्रेणी में प्रथम पद \(a=20\) और सार्वांतर \(d=26-20=6\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः \(a_7=20+(7-1)\times6=20+36=56\)। 54 प्राप्त करना एक सामान्य गलती है, क्योंकि इसमें छठा अंतर जोड़ने के बजाय गलत गणना हो जाती है। परीक्षा टिप: सातवें पद के लिए प्रथम पद में \(7-1=6\) बार सार्वांतर जोड़ें। / Here, the first term is \(a=20\) and the common difference is \(d=26-20=6\). The \(n\)th term is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_7=20+(7-1)\times6=20+36=56\). Getting 54 is a common calculation error; the common difference must be added six times to the first term. Exam tip: for the seventh term, use \(7-1=6\) common differences.
पहला पद (9) है और हर बार (5) जुड़ रहा है। परीक्षा में पहला पद और अंतर दोनों मिलाएँ। / The first term is (9), and (5) is added each time. In exams, match both the first term and the difference.
समांतर श्रेणी का nवाँ पद \(a_n=a+(n-1)d\) होता है। अतः छठा पद \(a_6=11+(6-1)\times6=11+30=41\) होगा। विकल्प 37 में केवल \(4d\) जोड़ा गया है, जबकि छठे पद तक पहुँचने के लिए प्रथम पद में \(5d\) जोड़ना होता है। परीक्षा टिप: nवें पद के सूत्र में \(n-1\) लिखना न भूलें। / The nth term of an arithmetic progression is \(a_n=a+(n-1)d\). Therefore, \(a_6=11+(6-1)\times6=11+30=41\). Option 37 would result from adding only \(4d\), but reaching the sixth term requires adding \(5d\) to the first term. Exam tip: remember to use \(n-1\) in the nth-term formula.
