Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(x=3) रखने पर (18-21+k=0) इसलिए (k=3) मिलता है। ऐसे प्रश्नों में दिए हुए मूल को सीधे समीकरण में रखें। / Putting (x=3) gives (18-21+k=0), so (k=3). In such questions substitute the given root directly into the equation.
दोनों मूल (7) होने पर ((x-7)2=0) मिलता है जो \(x^2-14x+49=0\) है। दोहराए मूल से पूर्ण वर्ग बनाएं। / With both roots (7) we get ((x-7)2=0) which is \(x^2-14x+49=0\). Form a perfect square from repeated roots.
(x-2+5x=x(x+5)) इसलिए (x=0) एक मूल है। अचर पद (0) हो तो शून्य मूल की संभावना देखें। / (x-2+5x=x(x+5)) so (x=0) is one root. If the constant term is (0) check for a zero root.
(2x-2-5x+3=(2x-3)(x-1)) इसलिए मूल \(\frac{3}{2}\) और (1) हैं। गुणांक वाले गुणनखंडों में सावधानी रखें। / (2x-2-5x+3=(2x-3)(x-1)) so the roots are \(\frac{3}{2}\) and (1). Be careful with factors that contain coefficients.
यदि मूल (r) और \(\frac{1}{r}\) हों तो गुणनफल (1) होता है। व्युत्क्रम मूलों में गुणनफल तुरंत (1) याद रखें। / If the roots are (r) and \(\frac{1}{r}\) their product is (1). For reciprocal roots remember the product is (1).
दूसरा मूल \(\frac{12}{3}=4\) होगा। गुणनफल वाले प्रश्न में दिए मूल से भाग दें। / The other root is \(\frac{12}{3}=4\). In product questions divide by the given root.
\(x^2=16\) से \(x=\pm4\) मिलता है। वर्ग समीकरण में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मूल देखें। / From \(x^2=16\) we get \(x=\pm4\). In a square equation check both positive and negative roots.
(x-2+2x-8=(x+4)(x-2)) इसलिए मूल (-4) और (2) हैं। गुणनखंड के चिन्ह उलटकर मूल मिलते हैं। / (x-2+2x-8=(x+4)(x-2)) so the roots are (-4) and (2). Roots have opposite signs to the factor constants.
क्योंकि \(x^2\ge 0\) होता है इसलिए \(x^2+4\) कभी (0) नहीं बनता। इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है। / Because \(x^2\ge 0\) so \(x^2+4\) never becomes (0). Therefore it has no real root.
मूल (2) होने पर संबंधित गुणनखंड (x-2) होता है। मूल (r) के लिए गुणनखंड (x-r) याद रखें। / If the root is (2) the corresponding factor is (x-2). For root (r) remember the factor (x-r).
(x-2-3x+2=(x-1)(x-2)) इसलिए मूल (1) और (2) हैं। छोटे अंकों में गुणनखंडन तेज रहता है। / (x-2-3x+2=(x-1)(x-2)) so the roots are (1) and (2). For small numbers factorisation is faster.
(x=1) रखने पर (2-3+m=0) इसलिए (m=1)। मूल दिया हो तो समीकरण में सीधा प्रतिस्थापन करें। / Putting (x=1) gives (2-3+m=0) so (m=1). When a root is given substitute directly in the equation.
\(मानक रूप (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है इसलिए \(x^2-6x+8=0\)। योग वाले पद का चिन्ह बदलता है। \(/ The standard form is (x^2-(\)sum)x+product\(=0) so (x^2-6x+8=0). The sign of the sum term changes.\)
शून्य गुणनफल नियम से (x-2=0) या (x+7=0) होगा। इसलिए मूल (2) और (-7) हैं। / By the zero product rule (x-2=0) or (x+7=0). Hence the roots are (2) and (-7).
\(x^2-16=0\) के मूल (4) और (-4) हैं। (0) रखने पर समीकरण संतुष्ट नहीं होता। / The roots of \(x^2-16=0\) are (4) and (-4). Substituting (0) does not satisfy the equation.
(x-2-10x+25=(x-5)2) इसलिए दोहराया मूल (5) है। पूर्ण वर्ग पहचानना समय बचाता है। / (x-2-10x+25=(x-5)2) so the repeated root is (5). Recognising a perfect square saves time.
(3x-2-12x=3x(x-4)) इसलिए मूल (0) और (4) हैं। सामान्य गुणनखंड पहले बाहर निकालें। / (3x-2-12x=3x(x-4)) so the roots are (0) and (4). Take out the common factor first.
(x-2+6x+9=(x+3)2) इसलिए दोनों मूल (-3) हैं। पूर्ण वर्ग में मूल का चिन्ह उल्टा होता है। / (x-2+6x+9=(x+3)2) so both roots are (-3). In a perfect square the root sign is opposite.
(x=-2) रखने पर (4-2k+4=0) इसलिए (k=4)। ऋणात्मक मूल रखते समय चिन्ह सावधानी से लगाएं। / Putting (x=-2) gives (4-2k+4=0) so (k=4). Be careful with signs while substituting a negative root.
(x=0) रखने पर समीकरण (c=0) बनता है। इसलिए शून्य मूल के लिए अचर पद शून्य होना चाहिए। / Putting (x=0) makes the equation (c=0). So for a zero root the constant term must be zero.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) है इसलिए \(\frac{-2}{2}=-1\)। पहले (a) और (c) पहचानें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}\) so \(\frac{-2}{2}=-1\). Identify (a) and (c) first.
मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) है इसलिए यहां (-7) होगा। गुणनखंड न बनाकर भी यह जल्दी निकलता है। / The sum of roots is \(-\frac{b}{a}\) so here it is (-7). This can be found quickly without factorising.
मूल (4) और (-1) होने पर ((x-4)(x+1)=0) मिलता है। इसे खोलने पर \(x^2-3x-4=0\) है। / With roots (4) and (-1) we get ((x-4)(x+1)=0). Expanding it gives \(x^2-3x-4=0\).
(x-2-2x=x(x-2)) इसलिए मूल (0) और (2) हैं। विकल्पों में मौजूद मूल को चुनें। / (x-2-2x=x(x-2)) so the roots are (0) and (2). Choose the root that appears in the options.
\(5x^2=0\) से \(x^2=0\) मिलता है इसलिए मूल (0) दो बार आता है। शून्य मूल में भी गुणनखंड देखें। / From \(5x^2=0\) we get \(x^2=0\) so the root (0) occurs twice. For a zero root also check the factor.
(x=3) रखने पर (9+3p-6=0) इसलिए (p=-1)। पैरामीटर के लिए मूल को सीधे रखें। / Putting (x=3) gives (9+3p-6=0) so (p=-1). For a parameter question substitute the root directly.
गुणनखंड (x-a) होने पर (x=a) रखने से मान (0) होता है। इसलिए (a) मूल है। / If (x-a) is a factor then substituting (x=a) makes the value (0). So (a) is a root.
C. एक धनात्मक और एक ऋणात्मक/One positive and one negative
Explanation
Simple Explanation
ऋणात्मक गुणनफल तभी मिलता है जब एक मूल धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक हो। \(\alpha\beta<0\) संकेतों की जांच का छोटा संकेत है। / A negative product occurs when one root is positive and the other is negative. \(\alpha\beta<0\) is a quick sign check.
