Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान मान दिखाना काफी है। / To prove not one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5})। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5}).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में उपयुक्त जोड़ी खोजना अवकलज से भी तेज हो सकता है। / In such questions, finding a smart pair can be faster than using derivatives.
समान प्रतिबिंब मानकर हल करें। / Assume equal images and solve.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\) करने पर सरल करने से \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\), simplification gives \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक भिन्नात्मक फलन में क्रॉस गुणा करते समय प्रांत की मनाही याद रखें। / In linear fractional functions remember the excluded domain value while cross multiplying.
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))/(f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
भिन्न वाले फलन में समान मानों की जांच करें। / For a rational function check repeated values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों पर समान मान मिलने से एक-एकता नहीं रहती। / Same value at two different inputs destroys injectivity.
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))/(f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
समान प्रतिबिंब खोजकर एक-एकता की जांच की जा सकती है। / Injectivity can be checked by finding repeated images.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}) है, जबकि \(2\neq \frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न रूप देखकर तुरंत एक-एक न मानें। / Do not assume a rational expression is one-one without testing.
एकैकीता जाँचने के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। / To check one-one nature, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\) से ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)) मिलेगा, सरल करने पर (2a=2b), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{a-1}{a+1}=\frac{b-1}{b+1}\), we get ((a-1)(b+1)=(b-1)(a+1)); simplifying gives (2a=2b), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में हर को शून्य करने वाले मान को क्षेत्र से बाहर रखना जरूरी है। / In rational functions, remember to exclude the value that makes the denominator zero.
\(x\geq0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो बढ़ता है। / For \(x\geq0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर (f(x)=\frac{x}{1-x}), जो भी बढ़ता है और ऋणात्मक छवियाँ देता है। / For (x<0), (f(x)=\frac{x}{1-x}), which is also increasing and gives negative images.
Step 3
Exam Tip
दोनों भागों के परास अलग दिशा में हैं और हर भाग एकैकी है, इसलिए फलन एकैकी है। / The two pieces have separated ranges and each piece is one-one, so the function is one-one.
\(\frac{2a+3}{a-1}=\frac{2b+3}{b-1}\) से विस्तार करने पर (2ab-2a+3b-3=2ab-2b+3a-3), इसलिए (5b=5a)। / From \(\frac{2a+3}{a-1}=\frac{2b+3}{b-1}\), expanding gives (2ab-2a+3b-3=2ab-2b+3a-3), hence (5b=5a).
Step 3
Exam Tip
(a=b) मिलने से फलन एकैकी सिद्ध होता है। / Since (a=b), the function is one-one.
(f(a)=f(b)) मानने पर \(\frac{a+1}{a-2}=\frac{b+1}{b-2}\) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a+1}{a-2}=\frac{b+1}{b-2}\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणा करने पर ((a+1)(b-2)=(b+1)(a-2)) और सरल करने पर (a=b) मिलता है। / Cross-multiplication gives ((a+1)(b-2)=(b+1)(a-2)), and simplification gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलनों में हर को शून्य करने वाले मान को हटाकर एकैकीपन जाँचें। / For rational functions, remove denominator-zero values before testing one-one.
(f(a)=f(b)) मानने पर \(\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}\) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a}{a+1}=\frac{b}{b+1}\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणा करने पर (a(b+1)=b(a+1)) यानी (ab+a=ab+b), इसलिए (a=b)। / Cross-multiplication gives (a(b+1)=b(a+1)), so (ab+a=ab+b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में हर को शून्य करने वाले मान को प्रांत से हटाकर जाँच करें। / In rational functions, remove the denominator-zero value from the domain before checking one-one.
(f^{-1}(5)) का अर्थ है वह आगत (x), जिसके लिए (f(x)=5) हो। / (f^{-1}(5)) means the input (x) for which (f(x)=5).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2x+3}{x-1}=5\) से (2x+3=5x-5), इसलिए (3x=8)। / From \(\frac{2x+3}{x-1}=5\), we get (2x+3=5x-5), so (3x=8).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{8}{3}\); प्रतिलोम मान निकालते समय पहले मूल फलन में लक्ष्य मान रखकर हल करें। / Hence \(x=\frac{8}{3}\); for inverse values, set the original function equal to the target value and solve.
(x=0) पर मान \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), the value is \(\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
(|x|) बढ़ने पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं लेता, इसलिए परास \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है। / As (|x|) increases, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\)).
\(y=\frac{x}{1+x^2}\) मानें। / Put \(y=\frac{x}{1+x^2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(yx^2-x+y=0\) को (x) में द्विघात मानकर विविक्तकर \(\geq0\) रखें। / Treat \(yx^2-x+y=0\) as a quadratic in (x) and require its discriminant to be non-negative.
Step 3
Exam Tip
\(1-4y^2\geq0\) से \(-\frac{1}{2}\leq y\leq\frac{1}{2}\) मिलता है। / From \(1-4y^2\geq0\), we get \(-\frac{1}{2}\leq y\leq\frac{1}{2}\).
\(x\neq1\) होने पर \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) बनता है। / For \(x\neq1\), \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\).
Step 3
Exam Tip
काटने से पहले जिस मान पर हर शून्य है, उसे प्रांत से हटाना नहीं भूलें। / Even after cancellation, the value making the original denominator zero must be excluded.
\(x^2\geq0\), इसलिए फलन का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता। / Since \(x^2\geq0\), the function value cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर मान (0) मिलता है और बड़े (|x|) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। / At (x=0), the value is (0), and for large (|x|), it approaches (1) but never equals (1).
Step 3
Exam Tip
सीमा के पास जाने और वास्तव में मान लेने में अंतर रखें। / Distinguish between approaching a value and attaining it.
यदि \(f:\mathbb{R}-\left{-\frac{1}{2}\right}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{3x-4}{2x+1}) से परिभाषित किया गया है, तो कौन सा वास्तविक मान (f) के परास में नहीं आएगा?
\(y=\frac{3x-4}{2x+1}\) मानकर (x) को (y) के रूप में निकालें। / Put \(y=\frac{3x-4}{2x+1}\) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
(y(2x+1)=3x-4), इसलिए (x(2y-3)=-(y+4))। / (y(2x+1)=3x-4), so (x(2y-3)=-(y+4)).
Step 3
Exam Tip
(2y-3=0) होने पर (x) नहीं मिलेगा, इसलिए \(\frac{3}{2}\) परास में नहीं आएगा। / If (2y-3=0), (x) is not obtained; hence \(\frac{3}{2}\) is not in the range.
