यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{2}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x-2 -4}{x-2}), तो (f) की एकैकीता पर सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{2}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x-2 -4}{x-2}), what is the correct conclusion about the one-one nature of (f)?
#one-one-function
#rational-simplification
#injective
#domain
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C परिभाषित नहीं है क्योंकि हर जगह हर शून्य है / It is undefined because denominator is zero everywhere
D स्थिर है / It is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x\neq 2\) पर \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\) हो जाता है। / For \(x\neq 2\), \(\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\).
Step 2
Why this answer is correct
(x+2) में (x) का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए समान छवि से समान आगत मिलेगा। / In (x+2), the coefficient of (x) is non-zero, so equal images give equal inputs.
Step 3
Exam Tip
सरलीकरण करते समय हटाए गए बिंदु को क्षेत्र से बाहर ही रखें। / While simplifying, keep the removed point outside the domain.
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फलन \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\), (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) के लिए सही कथन क्या है?
What is the correct statement for \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\), (f(x)=\frac{2x+3}{x-1})?
#one-one-function
#rational-function
#injective
#algebraic-test
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (x=1) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) मानें। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2a+3}{a-1}=\frac{2b+3}{b-1}\) से विस्तार करने पर (2ab-2a+3b-3=2ab-2b+3a-3), इसलिए (5b=5a)। / From \(\frac{2a+3}{a-1}=\frac{2b+3}{b-1}\), expanding gives (2ab-2a+3b-3=2ab-2b+3a-3), hence (5b=5a).
Step 3
Exam Tip
(a=b) मिलने से फलन एकैकी सिद्ध होता है। / Since (a=b), the function is one-one.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x+\frac{1}{x}), तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x+\frac{1}{x}), choose the correct option for (f).
#one-one-function
#restricted-domain
#reciprocal
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D फलन नहीं है / It is not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(x\geq 1\) पर जैसे-जैसे (x) बढ़ता है, \(x+\frac{1}{x}\) भी बढ़ता है। / For \(x\geq 1\), as (x) increases, \(x+\frac{1}{x}\) also increases.
Step 2
Why this answer is correct
इस क्षेत्र में (x) और \(\frac{1}{x}\) वाले दो अलग मान समान छवि नहीं बनाते। / In this domain, two different values do not form the same image through (x) and \(\frac{1}{x}\).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग क्षेत्र पर एकैकी बन सकता है। / The same formula can become one-one on a restricted domain.
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फलन (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x+\frac{1}{x}) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Which statement is correct about (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x+\frac{1}{x})?
#one-one-function
#reciprocal
#non-injective
#counterexample
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर फलन है / It is a constant function
D केवल प्राकृतिक संख्याओं पर परिभाषित है / It is defined only on natural numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
समान छवि के लिए दो अलग धनात्मक मान देखें। / Look for two different positive values with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), जबकि \(2\neq \frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), while \(2\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
\(x+\frac{1}{x}\) जैसे फलन में (x) और \(\frac{1}{x}\) की भूमिका ध्यान दें। / In functions like \(x+\frac{1}{x}\), notice the roles of (x) and \(\frac{1}{x}\).
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x), तो (f) के लिए सही उत्तर चुनिए।
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\ln x), choose the correct answer for (f).
#one-one-function
#logarithm
#injective
#domain
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (x=1) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(\ln x\) अपने क्षेत्र (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\ln x\) is increasing on its domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\ln a=\ln b\), तो (a=b) होगा। / If \(\ln a=\ln b\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन की बढ़ती प्रकृति याद रखें। / Remember the increasing nature of the logarithmic function.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x-x) के लिए सही विकल्प क्या है?
What is the correct option for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x-x)?
#one-one-function
#derivative-test
#exponential
#non-injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल पूर्णांक क्षेत्र पर फलन है / It is a function only on integer domain
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(f'(x)=e^x-1) है जो (x<0) पर ऋणात्मक और (x>0) पर धनात्मक होता है। / (f'(x)=e^x-1), which is negative for (x<0) and positive for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
फलन पहले घटता और फिर बढ़ता है, इसलिए पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। / The function decreases first and then increases, so it is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
यदि फलन दिशा बदलता है तो समान छवि की संभावना रहती है। / If a function changes direction, equal images may occur.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x+x), तो (f) की एकैकीता के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=e^x+x), which statement about the one-one nature of (f) is correct?
#one-one-function
#exponential
#monotonic
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल (x=0) पर एकैकी है / It is one-one only at (x=0)
D स्थिर है / It is constant
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
\(e^x\) बढ़ता है और (x) भी बढ़ता है। / \(e^x\) is increasing and (x) is also increasing.
Step 2
Why this answer is correct
दो बढ़ते हुए भागों का योग भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग आगत समान छवि नहीं देंगे। / The sum of two increasing parts is increasing, so two different inputs cannot have the same image.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में फलन की बढ़ने की प्रकृति जल्दी पहचानें। / In such questions, quickly identify the increasing nature of the function.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -2x+4) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -2x+4).
#one-one-function
#non-injective
#quadratic
#complete-square
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल शून्य छवि देता है / It gives only zero image
D हर जगह रैखिक है / It is linear everywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x-1)2 +3) है। / (f(x)=(x-1)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=4) और (f(2)=4), जबकि \(0\neq 2\)। / (f(0)=4) and (f(2)=4), while \(0\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
पूरे वास्तविक क्षेत्र पर वर्ग फलन के दोनों ओर समान छवि मिल सकती है। / On the whole real domain, both sides of a quadratic may give the same image.
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यदि (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -2x+4), तो (f) कैसा है?
If (f:\(-\infty,1]\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -2x+4), what is (f)?
#one-one-function
#restricted-domain
#parabola
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D परिभाषित नहीं है / It is not defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x-1)2 +3) है। / (f(x)=(x-1)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
क्षेत्र \(x\leq 1\) पर केंद्र (1) के बाएँ भाग में वर्ग फलन एक दिशा में चलता है। / On the domain \(x\leq 1\), the left side of the parabola moves in one direction.
Step 3
Exam Tip
परवलय के केवल एक भाग को लेने पर एकैकीता मिल सकती है। / Taking only one side of a parabola can make the function one-one.
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फलन \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -2x+4) के लिए सही कथन क्या है?
What is the correct statement for \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x-2 -2x+4)?
#one-one-function
#restricted-domain
#quadratic
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर फलन है / It is constant
D केवल (x=1) पर परिभाषित है / It is defined only at (x=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x-1)2 +3) लिखा जा सकता है। / We can write (f(x)=(x-1)2 +3).
Step 2
Why this answer is correct
क्षेत्र \([1,\infty\)) पर ((x-1)2 ) बढ़ता है, इसलिए समान छवि समान आगत से ही मिलेगी। / On \([1,\infty\)), ((x-1)2 ) increases, so equal images occur only for equal inputs.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन में क्षेत्र का एक तरफ सीमित होना ध्यान से देखें। / For a quadratic function, carefully check whether the domain is restricted to one side.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x), तो (f) के बारे में सही विकल्प कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x), which option is correct about (f)?
#one-one-function
#non-injective
#cubic
#counterexample
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल पूर्णांकों पर परिभाषित है / It is defined only on integers
D हर जगह घटता है / It is decreasing everywhere
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
एकैकीता को असत्य करने के लिए अलग आगतों की समान छवि खोजें। / To disprove one-one nature, find different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=0), जबकि \(0\neq \sqrt{3}\)। / (f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=0), while \(0\neq \sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में समान छवि मिलते ही एकैकीता नहीं रहती। / Once a polynomial gives the same image for different inputs, it is not one-one.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +3x+5) के लिए सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement for the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 +3x+5).
#one-one-function
#injective
#monotonic
#cubic
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C केवल धनात्मक संख्याओं पर एकैकी है / It is one-one only on positive numbers
D स्थिर फलन है / It is a constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(a>b) मानने पर \(a^3>b^3\) और (3a>3b) होता है। / If (a>b), then \(a^3>b^3\) and (3a>3b).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a^3+3a+5>b^3+3b+5\), अर्थात अलग आगत अलग छवि देंगे। / Hence \(a^3+3a+5>b^3+3b+5\), so different inputs give different images.
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए फलन को पहचानना एकैकीता के कठिन प्रश्नों में बहुत उपयोगी है। / Recognising an increasing function is very useful in hard one-one questions.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) और (f(x)=e^x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=e^x), choose the correct statement about (f).
#exponential-function
#one-one-function
#increasing-function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
घातीय फलन में (x) बढ़ने पर \(e^x\) भी लगातार बढ़ता है। / The exponential function \(e^x\) increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(e^a=e^b\), तो समान आधार के कारण (a=b) होगा। / If \(e^a=e^b\), then the same base gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में लगातार बढ़ने वाला फलन अलग आगतों को अलग प्रतिबिंब देता है, इसलिए वह एकैकी होता है। / In exams, a strictly increasing function gives different images for different inputs, so it is one-one.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x-2 -2x+1) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प है।
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 -2x+1), choose the correct option about (f).
#quadratic-restriction
#one-one-function
#domain
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D डोमेन खाली है / Domain is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
(x-2 -2x+1=(x-1)2 ) है। / (x-2 -2x+1=(x-1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
डोमेन \(x\geq 1\) होने से \(x-1\geq 0\), इसलिए वर्ग बढ़ता है। / Since the domain is \(x\geq 1\), \(x-1\geq 0\), so the square increases.
Step 3
Exam Tip
शिखर से दाईं ओर वर्गीय फलन एकैकी होता है। / A quadratic is one-one on one side of its vertex.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=\sqrt{x}) है, तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x}), what is (f)?
#square-root
#one-one-function
#increasing
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ ऋणात्मक संख्याओं पर है / Only on negative numbers
D नियत फलन है / Constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) अपने डोमेन \([0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x}\) is increasing on its domain \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), तो वर्ग करने पर (a=b)। / If \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), squaring gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए फलन में अलग आगतों के मान अलग होते हैं। / An increasing function gives different values for different inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-5 ) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 ), choose the correct option about (f).
#odd-power
#one-one-function
#real-domain
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D केवल सम फलन है / Only even function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(x^5\) विषम घात वाला फलन है और पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है। / \(x^5\) is an odd-power function and increases on \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^5=b^5\) होने पर (a=b) मिलता है। / If \(a^5=b^5\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं पर विषम घात वाले मूल रूप सामान्यतः एकैकी होते हैं। / Basic odd-power functions are generally one-one on real numbers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sqrt[3]{x}) है, तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt[3]{x}), what is (f)?
#cube-root
#one-one-function
#real-function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल \(x\geq 0\) पर परिभाषित है / Defined only for \(x\geq 0\)
D नियत फलन है / Constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। / The cube root is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), तो दोनों ओर घन करने पर (a=b)। / If \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), cubing both sides gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन बढ़ता है, इसलिए एकैकी होता है। / The cube-root function is increasing, so it is one-one.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5,6,7\}\) है, तो \(f:A\to B\) को (f(1)=4), (f(2)=6), (f(3)=7) से दिया गया है। (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5,6,7\}\), \(f:A\to B\) is given by (f(1)=4), (f(2)=6), (f(3)=7). What is (f)?
#finite-mapping
#one-one-function
#codomain
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D नियत फलन है / Constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
डोमेन के हर तत्व का एक प्रतिबिंब दिया गया है। / Each element of the domain has one image.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (4), (6), (7) अलग-अलग हैं। / The images (4), (6), and (7) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सहडोमेन में कोई तत्व छूट जाए तो भी एकैकीपन पर असर नहीं पड़ता। / Some codomain elements may be unused without affecting one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) और (f(n)=n+4) है, तो (f) का एकैकीपन क्या होगा?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=n+4), what is the one-one nature of (f)?
#natural-numbers
#one-one-function
#linear
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D केवल (n=4) पर परिभाषित है / Defined only at (n=4)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(m)=f(n))। / Assume (f(m)=f(n)).
Step 2
Why this answer is correct
(m+4=n+4), इसलिए (m=n)। / (m+4=n+4), so (m=n).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर हर अलग संख्या में समान संख्या जोड़ने से अंतर बना रहता है। / Adding the same number to different natural numbers preserves their difference.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 +2) है, तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +2), choose the correct option for (f).
#cubic-function
#translation
#one-one-function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल सम फलन है / Only even function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3+2=b^3+2\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / From \(a^3+2=b^3+2\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
किसी एकैकी फलन में समान संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता। / Adding a constant to a one-one function does not change one-one nature.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 ), choose the correct statement about (f).
#restricted-domain
#square-function
#one-one-function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
इस डोमेन में केवल \(x\geq 0\) लिए जाते हैं। / In this domain, only \(x\geq 0\) is allowed.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2=b^2\) और \(a,b\geq 0\), तो (a=b) ही होगा। / If \(a^2=b^2\) and \(a,b\geq 0\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
डोमेन बदलने से वही सूत्र एकैकी भी बन सकता है। / Changing the domain can make the same formula one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 ) है, तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 ), choose the correct option for (f).
#cubic-function
#one-one-function
#increasing-function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक मानों पर परिभाषित है / Defined only for positive values
D नियत फलन है / Constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^3=b^3\), जिससे वास्तविक संख्याओं में (a=b) मिलता है। / Then \(a^3=b^3\), which gives (a=b) for real numbers.
Step 3
Exam Tip
घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है, इसलिए वह एकैकी होता है। / The cube function is increasing on \(\mathbb{R}\), so it is one-one.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(f:A\to A\) को (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(f:A\to A\) is defined by (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), what is (f)?
#finite-set
#function-mapping
#one-one-function
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
दिए गए तीनों आगतों के प्रतिबिंब देखें। / Check the images of all three inputs.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (2), (3), (1) हैं और कोई मान दोहराया नहीं गया। / The images are (2), (3), and (1), with no repetition.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में एकैकी जांचने के लिए प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति देखें। / For finite sets, check repetition in images to test one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5) है, तो यह फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5), what type of function is it?
#constant-function
#one-one-function
#class-12-math
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल व्युत्क्रमणीय है / Only invertible
D केवल सर्वत्र शून्य है / Only zero everywhere
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
नियत फलन हर आगत को एक ही मान देता है। / A constant function gives the same value for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=5) और (f(2)=5), लेकिन \(1\neq 2\)। / (f(1)=5) and (f(2)=5), but \(1\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
यदि दो अलग आगतों का प्रतिबिंब समान मिले, तो फलन एकैकी नहीं होता। / If two different inputs have the same image, the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=3x-7) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-7), choose the correct statement about (f).
#one-one-function
#linear-function
#relations-functions
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल नियत फलन है / Only constant function
D परिभाषित नहीं है / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
एकैकी जांचने के लिए मान लेते हैं कि (f(a)=f(b))। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (3a-7=3b-7), इसलिए (a=b) मिलता है। / Then (3a-7=3b-7), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq 0\) हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq 0\) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -6x+10), तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -6x+10), is (f) one-one or not?
#relations-functions
#one-one-function
#quadratic
#complete-square
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C रैखिक है / It is linear
D स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / It is not one-one
Step 1
Concept
(x-2 -6x+10=(x-3)2 +1)। / (x-2 -6x+10=(x-3)2 +1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2) और (f(4)=2), जबकि \(2\neq 4\)। / (f(2)=2) and (f(4)=2), while \(2\neq 4\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग रूप में केंद्र के दोनों ओर समान दूरी वाले मान जाँचें। / In square form, check values equally distant from the center.
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फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 +n) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n-3 +n).
#relations-functions
#one-one-function
#integers
#cubic-plus-linear
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल सम पूर्णांकों पर परिभाषित है / Defined only for even integers
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
मान लें (a>b) जहाँ (a,b) पूर्णांक हैं। / Let (a>b), where (a,b) are integers.
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3>b^3\) और (a>b), इसलिए \(a^3+a>b^3+b\)। / Then \(a^3>b^3\) and (a>b), so \(a^3+a>b^3+b\).
Step 3
Exam Tip
फलन बढ़ता है इसलिए अलग पूर्णांक अलग छवि देंगे। / The function increases, so different integers give different images.
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यदि किसी फलन (f) के लिए (f(3)=8) और (f(5)=8), तो कौन-सा निष्कर्ष निश्चित है?
If for a function (f), (f(3)=8) and (f(5)=8), which conclusion is certain?
#relations-functions
#one-one-function
#concept-test
#same-image
A (f) एकैकी है / (f) is one-one
B (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
C (f) स्थिर ही होगा / (f) must be constant
D (f) परिभाषित नहीं है / (f) is not defined
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Correct Answer
B. (f) एकैकी नहीं है / (f) is not one-one
Step 1
Concept
(3) और (5) अलग-अलग आगत हैं। / (3) and (5) are different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों की छवि (8) है। / Both have image (8).
Step 3
Exam Tip
अलग आगतों की समान छवि एकैकीता के विरुद्ध सीधा प्रमाण है। / The same image for different inputs is direct proof against one-one nature.
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निम्न में से कौन-सा उदाहरण एकैकी फलन नहीं दर्शाता?
Which of the following examples does not represent a one-one function?
#relations-functions
#one-one-function
#mapping
#finite-example
A \(1\mapsto 2, 2\mapsto 3, 3\mapsto 4\)
B \(1\mapsto 4, 2\mapsto 5, 3\mapsto 6\)
C \(1\mapsto 2, 2\mapsto 2, 3\mapsto 5\)
D \(1\mapsto 6, 2\mapsto 7, 3\mapsto 8\)
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Correct Answer
C. \(1\mapsto 2, 2\mapsto 2, 3\mapsto 5\)
Step 1
Concept
हर विकल्प में छवियों को देखें। / Look at the images in each option.
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प (C) में (1) और (2) दोनों की छवि (2) है। / In option (C), both (1) and (2) have image (2).
Step 3
Exam Tip
छवि के दोहराव से एकैकीता समाप्त हो जाती है। / Repetition of an image destroys one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{3x-2}{5}), तो (f) के बारे में सही उत्तर क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{3x-2}{5}), what is the correct answer about (f)?
#relations-functions
#one-one-function
#linear-fraction
#injective
A एकैकी है / It is one-one
B एकैकी नहीं है / It is not one-one
C स्थिर है / It is constant
D केवल (x=2) पर परिभाषित है / Defined only at (x=2)
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Correct Answer
A. एकैकी है / It is one-one
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) लिखें। / Write (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3a-2}{5}=\frac{3b-2}{5}\) से (3a-2=3b-2) और (a=b)। / From \(\frac{3a-2}{5}=\frac{3b-2}{5}\), we get (3a-2=3b-2), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्न में लिखा रैखिक फलन भी एकैकी होता है यदि (x) का गुणांक शून्य नहीं हो। / A linear function written as a fraction is also one-one if the coefficient of (x) is non-zero.
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