Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(y=80-5x\) में x की प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर y निश्चित रूप से 5 घटता है, इसलिए यह रैखिक क्षय है। विकल्प B में ढाल धनात्मक है, अतः वृद्धि होगी। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय की ढाल ऋणात्मक होती है। / In \(y=80-5x\), every increase of 1 in x decreases y by a constant 5, so it shows linear decay. Option B has a positive slope and represents growth. Exam tip: linear decay always has a negative coefficient of x.
अंतर निकालें: (B(t)-A(t))=(30+5t)-(18+2t)=12+3t। यहाँ 3t का गुणांक बताता है कि t में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 3 बढ़ता है। इसलिए विकल्प A सही है। 12 प्रारम्भिक अंतर है, वृद्धि की दर नहीं; अतः विकल्प D गलत है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर लेते समय स्थिर पदों और t के गुणांकों को अलग-अलग घटाएँ। / Find the difference: (B(t)-A(t))=(30+5t)-(18+2t)=12+3t. The coefficient of t is 3, so the difference increases by 3 for every increase of 1 in t. Therefore, option A is correct. The value 12 is the initial difference, not the rate of increase, so option D is incorrect. Exam tip: when subtracting linear expressions, subtract the constant terms and the coefficients of t separately.
यहां (R(0)=50) सीधे आरंभिक मान है। अंतर से (m=9) मिलता है पर (R(0)) नहीं बदलता। / Here (R(0)=50) is directly the initial value. The difference gives (m=9), but (R(0)) does not change.
दिया गया समीकरण \(y=18+(k-2)x\) है, जिसमें \(x\) का गुणांक या ढाल \(k-2\) है। रेखीय वृद्धि के लिए ढाल धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(k-2>0\)। अतः \(k>2\) होगा। \(k=2\) पर \(y=18\) स्थिर रहता है, इसलिए वृद्धि नहीं होती। परीक्षा टिप: रेखीय समीकरण \(y=mx+c\) में वृद्धि के लिए \(m>0\) जाँचें। / In \(y=18+(k-2)x\), the coefficient of \(x\), or slope, is \(k-2\). For linear growth, the slope must be positive, so \(k-2>0\). Hence, \(k>2\). When \(k=2\), \(y=18\) is constant, not increasing. Exam tip: in \(y=mx+c\), check \(m>0\) for linear growth.
दिया है \(L(t)=2t+11\)। इसलिए \(L(3t)=2(3t)+11=6t+11\)। अब \(L(3t)-L(t)=(6t+11)-(2t+11)=4t\)। \(6t\) केवल \(L(3t)\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: पहले फलन में \(3t\) प्रतिस्थापित करें, फिर कोष्ठक लगाकर दोनों व्यंजकों का घटाव करें। / Given \(L(t)=2t+11\), we get \(L(3t)=2(3t)+11=6t+11\). Therefore, \(L(3t)-L(t)=(6t+11)-(2t+11)=4t\). \(6t\) is part of the value of \(L(3t)\), not the difference. Exam tip: substitute \(3t\) into the function first, then subtract the two expressions using brackets.
दिया है \(y=15+3x\) और शर्त है कि \(y=6x\)। अतः \(15+3x=6x\)। दोनों पक्षों से \(3x\) घटाने पर \(15=3x\), इसलिए \(x=5\)। \(x=6\) रखने पर \(y=33\) मिलता है, जबकि \(6x=36\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसी शर्त वाले प्रश्न में \(y\) के दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर \(x\) हल करें। / Given \(y=15+3x\), the required condition is \(y=6x\). Therefore, \(15+3x=6x\). Subtracting \(3x\) from both sides gives \(15=3x\), so \(x=5\). For \(x=6\), \(y=33\), whereas \(6x=36\), so it is not correct. Exam tip: In such questions, equate the two expressions for \(y\) and then solve for \(x\).
दिया है कि \(P(n)=a+12n\)। \(n=3\) रखने पर \(a+12(3)=86\), अर्थात \(a+36=86\) और \(a=50\)। इसलिए \(P(8)=50+12(8)=50+96=146\)। विकल्प 158 में वृद्धि को गलत रूप से लिया गया है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से अचर पद \(a\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित \(n\) रखें। / Given \(P(n)=a+12n\). Putting \(n=3\), we get \(a+12(3)=86\), so \(a+36=86\) and \(a=50\). Therefore, \(P(8)=50+12(8)=50+96=146\). The option 158 results from using an incorrect increase. Exam tip: first find the constant term \(a\) from the given value, then substitute the required \(n\).
दिया है कि \(F(2)=F(5)-18\), अर्थात \(F(5)-F(2)=18\)। रैखिक फलन \(F(t)=20+rt\) के लिए \(F(5)-F(2)=(20+5r)-(20+2r)=3r\)। इसलिए \(3r=18\), अतः \(r=6\)। विकल्प 5 लेने पर अंतर केवल 15 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दो फलन-मानों का अंतर लेने पर स्थिर पद 20 कट जाता है। / Given \(F(2)=F(5)-18\), we get \(F(5)-F(2)=18\). For the linear function \(F(t)=20+rt\), \(F(5)-F(2)=(20+5r)-(20+2r)=3r\). Hence \(3r=18\), so \(r=6\). If \(r=5\), the difference would be only 15, so it is not correct. Exam tip: when subtracting two values of a linear function, the constant term 20 cancels out.
शर्त है कि \(M(t)=N(t)+10\)। अतः \(35+5t=65-3t+10\), यानी \(35+5t=75-3t\)। इससे \(8t=40\) और \(t=5\) प्राप्त होता है। \(t=4\) पर दोनों का अंतर केवल \(2\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: “से 10 अधिक” को हमेशा \(M=N+10\) के रूप में लिखें। / The required condition is \(M(t)=N(t)+10\). So, \(35+5t=65-3t+10\), or \(35+5t=75-3t\). This gives \(8t=40\), hence \(t=5\). At \(t=4\), the difference is only \(2\), so it is not correct. Exam tip: translate “10 more than” as \(M=N+10\).
प्रति चरण 4 की वृद्धि होने पर रैखिक व्यंजक का रूप \(y=a+4x\) होगा। शर्त \(y(3)=29\) रखने पर \(a+4(3)=29\), अतः \(a=17\) मिलता है। इसलिए \(y=17+4x\) सही है। विकल्प B में \(y(3)=41\) आता है, जबकि विकल्प C में \(y\) बढ़ने के बजाय घटता है। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\) का मान हर विकल्प में रखकर शर्त तुरंत जाँचें। / An increase of 4 per step means the linear expression must have the form \(y=a+4x\). Using \(y(3)=29\), we get \(a+4(3)=29\), so \(a=17\). Hence, \(y=17+4x\) is correct. In option B, \(y(3)=41\), while option C represents a decrease rather than an increase. Exam tip: Substitute the given value of \(x\) into each option to check the condition quickly.
दिया है P(t)=p+6t। पहले P(3)=50 रखने पर p+18=50, इसलिए p=32 मिलता है। अब P(s)=80 के लिए 32+6s=80, अतः 6s=48 और s=8। विकल्प 7 लेने पर P(7)=32+42=74 होगा, 80 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से अज्ञात स्थिरांक p निकालें, फिर दूसरे मान में उसे प्रतिस्थापित करें। / Given P(t)=p+6t, substitute P(3)=50 first: p+18=50, so p=32. Now use P(s)=80: 32+6s=80, giving 6s=48 and s=8. If s were 7, then P(7)=32+42=74, not 80. Exam tip: find the unknown constant p from one condition before using the second condition.
रैखिक बहुपद में \(b\), \(x\) के प्रति परिवर्तन की दर है। \(b<0\) होने पर \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि से \(P(x)\) घटता है, इसलिए यह क्षय है। \(b=0\) स्थिर राशि दर्शाता है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In a linear polynomial, \(b\) is the rate of change with respect to \(x\). If \(b<0\), \(P(x)\) decreases for every increase of 1 in \(x\), so it represents decay. \(b=0\) represents a constant quantity. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\).
दिया है \(A(x)=12+5x\)। अतः \(A(x+4)=12+5(x+4)\) और \(A(x-1)=12+5(x-1)\)। इसलिए \(A(x+4)-A(x-1)=5[(x+4)-(x-1)]=5\times5=25\)। विकल्प \(20\) लेने पर केवल \(4\) की वृद्धि गिनी जाएगी, जबकि दोनों इनपुटों का वास्तविक अंतर \(5\) है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन \(mx+c\) में नियत पद \(c\) अंतर लेते समय कट जाता है। / Given \(A(x)=12+5x\), we have \(A(x+4)=12+5(x+4)\) and \(A(x-1)=12+5(x-1)\). Hence, \(A(x+4)-A(x-1)=5[(x+4)-(x-1)]=5\times5=25\). Choosing \(20\) would count only an increase of \(4\), whereas the actual difference between the two inputs is \(5\). Exam tip: for a linear function \(mx+c\), the constant term \(c\) cancels when taking a difference.
दिया है कि \(C(t)=18+kt\)। इसलिए \(C(5)=18+5k\) और \(C(2)=18+2k\)। अतः \(C(5)-C(2)=(18+5k)-(18+2k)=3k\)। चूँकि यह अंतर 21 है, इसलिए \(3k=21\), जिससे \(k=7\) मिलता है। विकल्प 21 अंतर का मान है, \(k\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दो मानों का अंतर लेने पर स्थिर पद कट जाता है। / Given \(C(t)=18+kt\), we have \(C(5)=18+5k\) and \(C(2)=18+2k\). Therefore, \(C(5)-C(2)=(18+5k)-(18+2k)=3k\). Since this difference is 21, \(3k=21\), so \(k=7\). Option 21 is the given difference, not the value of \(k\). Exam tip: when subtracting two values of a linear expression, the constant term cancels out.
\(b\), \(x\) का गुणांक है और \(x\) में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) का परिवर्तन बताता है। \(b>0\) होने पर \(y\) बढ़ता है। \(b<0\) क्षय दर्शाता है। परीक्षा टिप: वृद्धि/क्षय के लिए \(b\) का चिन्ह देखें, \(a\) का नहीं। / \(b\) is the coefficient of \(x\), so it gives the change in \(y\) for every 1-unit increase in \(x\). If \(b>0\), \(y\) grows; \(b<0\) indicates decay. Exam tip: check the sign of \(b\), not the constant \(a\).
बराबरी के लिए \(P(t)=Q(t)\) रखें: \(40+4t=100-6t\)। दोनों पक्षों में \(6t\) जोड़ने पर \(40+10t=100\), अतः \(10t=60\) और \(t=6\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। \(t=5\) पर \(P(t)=60\) और \(Q(t)=70\) होते हैं, इसलिए वे बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर \(t\) वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / For equality, set \(P(t)=Q(t)\): \(40+4t=100-6t\). Adding \(6t\) to both sides gives \(40+10t=100\), so \(10t=60\) and \(t=6\). Hence, option C is correct. At \(t=5\), \(P(t)=60\) and \(Q(t)=70\), so they are not equal. Exam tip: equate the two expressions first, then collect all terms containing \(t\) on one side.
A. हर घंटे राशि में समान निश्चित मात्रा की कमी होती है/The quantity decreases by the same fixed amount every hour.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में प्रत्येक समान समयांतराल पर परिवर्तन समान होता है, इसलिए अंतर स्थिर रहता है। समान प्रतिशत की कमी घातांकीय क्षय है। परीक्षा में क्रमागत मानों के अंतर जाँचें। / In linear decay, the change over each equal time interval is constant, so successive differences are equal. A fixed percentage decrease is exponential decay. Exam tip: check consecutive differences.
A. समान समयांतरालों में राशि की वृद्धि समान होती है।/The quantity increases by an equal amount in equal time intervals.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक वृद्धि में प्रत्येक समान समयांतराल पर परिवर्तन स्थिर होता है, इसलिए उसका मॉडल y = mt + c जैसा होता है। समान गुणक से बढ़ना घातांकीय वृद्धि है। परीक्षा टिप: स्थिर अंतर दिखे तो रैखिक मॉडल चुनें। / In linear growth, the change over each equal time interval is constant, so its model has the form y = mt + c. Growth by a constant factor is exponential, not linear. Exam tip: look for a constant difference to identify linear growth.
(x) में परिवर्तन (7-2=5) है और वृद्धि दर (10) है। इसलिए कुल वृद्धि \(10\times5=50\) है। / The change in (x) is (7-2=5) and the growth rate is (10). Therefore the total increase is \(10\times5=50\).
दिया है कि \(F(t)=26+rt\) और \(F(4)=58\)। अतः \(26+4r=58\), जिससे \(4r=32\) और \(r=8\) मिलता है। अब \(F(9)=26+8\times9=26+72=98\)। इसलिए सही विकल्प 98 है। 90 प्राप्त हो सकता है यदि \(r\) या \(9r\) की गणना में त्रुटि हो। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान को समीकरण में रखकर अज्ञात गुणांक ज्ञात करें, फिर मांगा गया मान निकालें। / Given \(F(t)=26+rt\) and \(F(4)=58\), we get \(26+4r=58\). Thus, \(4r=32\) and \(r=8\). Now \(F(9)=26+8\times9=26+72=98\). Therefore, 98 is the correct option. A value such as 90 can result from an error while finding \(r\) or calculating \(9r\). Exam tip: first substitute the given function value to find the unknown coefficient, then evaluate the required value.
यहाँ (x) में वृद्धि (14-4=10) है। समीकरण में (x) का गुणांक (5) है, इसलिए (y) में परिवर्तन (5×10=50) होगा। जाँच के लिए, (x=4) पर (y=80) और (x=14) पर (y=130) है; अतः (y) (50) बढ़ता है। (60) स्थिर पद है, लेकिन वह परिवर्तन को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण (y=mx+c) में परिवर्तन के लिए (Δy=mΔx) का प्रयोग करें। / The increase in (x) is (14-4=10). The coefficient of (x) is (5), so the change in (y) is (5×10=50). Checking directly, (y=80) at (x=4) and (y=130) at (x=14); hence (y) increases by (50). The constant term (60) affects the starting value, not the change. Exam tip: for a linear equation (y=mx+c), use (Δy=mΔx).
A. यह न वृद्धि है, न क्षय; y स्थिर रहता है/It is neither growth nor decay; y remains constant
Explanation
Simple Explanation
यहाँ k, x का गुणांक अर्थात रेखा का ढाल है। k=0 रखने पर y=32 मिलता है, इसलिए x बदलने पर भी y का मान नहीं बदलता। अतः यह न वृद्धि है, न क्षय, बल्कि एक स्थिर फलन है। क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक, अर्थात k<0, होना चाहिए। परीक्षा टिप: रेखीय व्यंजक y=a+kx में k का चिह्न वृद्धि, क्षय या स्थिरता बताता है। / Here, k is the coefficient of x, or the slope of the line. Substituting k=0 gives y=32, so y does not change when x changes. Therefore, it is neither growth nor decay; it is a constant function. For decay, the slope must be negative, i.e., k<0. Exam tip: In y=a+kx, the sign of k tells whether the quantity grows, decays, or remains constant.
दिए गए समीकरण में x=6 रखने पर y=9+3.5(6)=9+21=30 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 30 है। विकल्प 27 केवल 9+3.5×5 लेने पर आता है, इसलिए x=6 के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: मान रखने के बाद पहले गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substitute x=6 in the given equation: y=9+3.5(6)=9+21=30. Therefore, the correct answer is 30. Option 27 would result from using 9+3.5×5, so it is not correct for x=6. Exam tip: After substitution, perform multiplication before addition or subtraction.
दिया है \(D(d)=4+1.5d\)। \(d=8\) रखने पर \(D(8)=4+1.5\times8=4+12=16\) जीबी मिलता है। इसलिए सही उत्तर 16 है। 14 केवल वृद्धि वाला भाग है और इसमें प्रारम्भिक 4 जीबी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दिए गए मान को हर जगह प्रतिस्थापित करके गुणा पहले करें। / Given \(D(d)=4+1.5d\). Substituting \(d=8\), we get \(D(8)=4+1.5\times8=4+12=16\) GB. Therefore, 16 is correct. The value 14 does not include the fixed initial 4 GB and is not the total. Exam tip: Substitute the given value in every term of a linear expression, then multiply before adding.
रैखिक व्यंजक \(y=a+bx\) में \(a=y(0)\) होता है और \(b\), \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\) का परिवर्तन बताता है। यहाँ \(y(0)=18\) तथा वृद्धि 7 है, इसलिए \(y=18+7x\) होगा। \(y=7+18x\) में प्रारम्भिक मान 7 और वृद्धि 18 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर नियत पद तुरंत जाँच लें। / In a linear expression \(y=a+bx\), \(a=y(0)\), while \(b\) gives the change in \(y\) for every increase of 1 in \(x\). Here, \(y(0)=18\) and the increase is 7, so \(y=18+7x\). In \(y=7+18x\), the initial value is 7 and the rate of increase is 18, so it is not correct. Exam tip: Substitute \(x=0\) to check the constant term quickly.
\(T(t)=102\) रखने पर \(54+6t=102\) मिलता है। अतः \(6t=48\), इसलिए \(t=8\)। इसलिए सही विकल्प C है। उदाहरण के लिए, \(t=7\) पर \(T(t)=54+42=96\) होगा, 102 नहीं। परीक्षा टिप: पहले लक्ष्य मान को फलन के बराबर रखें, फिर चर वाले पद को अलग करके हल करें। / Putting \(T(t)=102\) gives \(54+6t=102\). Hence, \(6t=48\), so \(t=8\). Therefore, option C is correct. For example, at \(t=7\), \(T(t)=54+42=96\), not 102. Exam tip: equate the function to the target value first, then isolate and solve for the variable.
दिया है कि \(M(t)=m+8t\)। \(t=2\) रखने पर \(M(2)=m+16=44\), इसलिए \(m=28\)। अब \(t=7\) रखने पर \(M(7)=28+8\times7=28+56=84\)। अतः सही उत्तर 84 है। 76 तब मिलता यदि वृद्धि को गलत तरीके से गिना जाए। परीक्षा टिप: पहले दी हुई शर्त से अज्ञात स्थिरांक \(m\) ज्ञात करें, फिर मांगा गया \(t\) रखें। / Given \(M(t)=m+8t\). Substituting \(t=2\), \(M(2)=m+16=44\), so \(m=28\). Now, at \(t=7\), \(M(7)=28+8\times7=28+56=84\). Therefore, 84 is the correct answer. The value 76 can result from incorrectly counting the increase. Exam tip: first use the given condition to find the unknown constant \(m\), then substitute the required value of \(t\).
रेखीय वृद्धि के लिए दर धनात्मक और आरंभिक मान (24) चाहिए। (y=24+7x) दोनों शर्तें पूरी करता है। / Linear growth needs a positive rate and initial value (24). (y=24+7x) satisfies both conditions.
A. हर घंटे टंकी में पानी की मात्रा 5 लीटर कम होती है।
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में किसी राशि में बराबर समयांतराल पर एक निश्चित मात्रा की कमी होती है। हर घंटे 5 लीटर कम होना इसी नियम का पालन करता है। आधी होना घातांकीय क्षय है। परीक्षा टिप: “निश्चित मात्रा” रैखिक परिवर्तन की पहचान है। / In linear decay, a quantity decreases by a fixed amount in equal time intervals. Losing 5 litres every hour follows this pattern. Becoming half each hour is exponential decay. Exam tip: look for a fixed difference, not a fixed ratio.
\(b\), \(x\) के प्रति इकाई परिवर्तन की दर या ढाल है। \(b<0\) होने पर \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि से \(Q(x)\) घटता है, इसलिए यह क्षय है। \(b=0\) स्थिर राशि दिखाता है। परीक्षा टिप: वृद्धि/क्षय पहचानने के लिए ढाल का चिह्न देखें। / The coefficient \(b\) is the rate of change, or slope, per unit increase in \(x\). If \(b<0\), \(Q(x)\) decreases as \(x\) rises, so it represents decay. In contrast, \(b=0\) represents a constant quantity. Exam tip: use the sign of the slope to identify growth or decay.
