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दिया है कि \(A(t)=a+9t\)। \(t=3\) रखने पर \(A(3)=a+9\times3=a+27\) होगा। क्योंकि \(A(3)=57\), इसलिए \(a+27=57\), अतः \(a=30\)। विकल्प 27 वृद्धि का मान है, आरंभिक मान \(a\) नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए फलन में पहले निर्दिष्ट \(t\) का मान रखकर समीकरण बनाइए। / Given \(A(t)=a+9t\), substitute \(t=3\): \(A(3)=a+9\times3=a+27\). Since \(A(3)=57\), we get \(a+27=57\), so \(a=30\). Option 27 is the amount added over 3 time units, not the initial value \(a\). Exam tip: substitute the specified value of \(t\) first, then solve the resulting equation.
\(y=42-5x\) में x का गुणांक \(-5\) स्थिर है, इसलिए x बढ़ने पर y हर बार समान मात्रा से घटता है। \(x^2\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(y=42-5x\), the coefficient of x is the constant \(-5\), so y falls by an equal amount each time x increases. A relation containing \(x^2\) is not linear. Exam tip: for linear decay, look for x to power 1 with a negative coefficient.
\(y=40-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में हर 1 की वृद्धि पर y 3 घटता है। \(40+3x\) वृद्धि दिखाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक और स्थिर होता है। / In \(y=40-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so y falls by 3 for every increase of 1 in x. \(40+3x\) represents growth, not decay. Exam tip: linear decay has a constant negative coefficient of x.
रैखिक नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(b\) प्रति चरण परिवर्तन है। यहाँ \(a=42\) तथा \(b=+5\) है, इसलिए नियम \(y=42+5x\) होगा। विकल्प A में \(-5\) होने से मान बढ़ने के बजाय घटता है। परीक्षा टिप: आरंभिक मान के लिए नियत पद और वृद्धि/ह्रास के लिए \(x\) का गुणांक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value and \(b\) is the change per step. Here, \(a=42\) and \(b=+5\), so the rule is \(y=42+5x\). In option A, \(-5\) represents decay rather than growth. Exam tip: identify the constant term for the initial value and the coefficient of \(x\) for the rate of change.
दिया है कि बचत राशि \(S(m)=400+60m\) है। \(S(m)=760\) रखने पर \(400+60m=760\) मिलता है। अतः \(60m=360\), इसलिए \(m=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 महीने है। 5 महीने बाद राशि \(700\) रुपये होगी, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में किसी निश्चित राशि के लिए पहले \(S(m)\) को उस राशि के बराबर रखें। / The savings model is \(S(m)=400+60m\). Put \(S(m)=760\): \(400+60m=760\). Thus, \(60m=360\), so \(m=6\). Therefore, the amount will be ₹760 after 6 months. After 5 months, the amount would be ₹700, so that option is incorrect. Exam tip: To find the time for a given value in a linear model, equate the model to the target value first.
\(P(n)=72-5n\) में n का गुणांक −5 है, इसलिए n में 1 बढ़ने पर P का परिवर्तन −5 होता है। \(72-5n^2\) में n² होने से ह्रास रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में चर की घात 1 होती है। / In \(P(n)=72-5n\), the coefficient of n is −5, so increasing n by 1 changes P by −5. \(72-5n^2\) is not linear because it contains n². Exam tip: a linear expression has the variable to power 1.
दिया है: \(H(t)=30+6t\)। \(t=5\) रखने पर \(H(5)=30+6(5)=30+30=60\) cm। इसलिए सही उत्तर 60 cm है। 66 cm तब मिलता यदि \(30+6\times6\) किया जाता, पर यहाँ \(t=5\) है। परीक्षा टिप: मान रखने के बाद गुणा पहले करें, फिर जोड़ें। / Given \(H(t)=30+6t\). Substituting \(t=5\), \(H(5)=30+6(5)=30+30=60\) cm. Therefore, 60 cm is correct. 66 cm would result from using \(t=6\), but the given value is \(t=5\). Exam tip: after substitution, perform multiplication before addition.
\(20-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y 3 इकाई घटता है। \(7x+4\) वृद्धि दिखाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(20-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so y falls by 3 units for every increase of 1 in x. \(7x+4\) represents growth. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of x.
दिया है: \(y=42+3x\)। \(x=6\) रखने पर \(y=42+3(6)=42+18=60\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 60 है। 48 केवल \(42+6\) करने पर मिलेगा, जिसमें 3 से गुणा करना छूट जाता है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में मान रखने के बाद पहले गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(y=42+3x\), substitute \(x=6\): \(y=42+3(6)=42+18=60\). Hence, 60 is correct. The value 48 results from doing \(42+6\) and incorrectly omitting multiplication by 3. Exam tip: after substitution in a linear expression, perform multiplication before addition or subtraction.
आरंभिक संख्या 5 है, इसलिए यह स्थिर पद होगा। प्रत्येक चरण में 6 की वृद्धि होती है, अतः \(x\) चरणों में वृद्धि \(6x\) होगी। इसलिए नियम \(y=5+6x\) है। \(y=6+5x\) में आरंभिक मान और वृद्धि दर आपस में बदल गए हैं। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में स्थिर पद आरंभिक मान और \(x\) का गुणांक प्रति चरण परिवर्तन दर्शाता है। / The initial number is 5, so it is the constant term. Since the number rises by 6 at each step, the total increase after \(x\) steps is \(6x\). Hence, the rule is \(y=5+6x\). In \(y=6+5x\), the initial value and the rate of increase are interchanged. Exam tip: in a linear rule, the constant term is the starting value and the coefficient of \(x\) is the change per step.
दिया है H(t)=36+4t। t=10 रखने पर H(10)=36+4(10)=36+40=76 प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। 72 केवल 36 और 36 को जोड़ने से मिलेगा, जबकि 4t में t=10 रखने पर 40 आता है। परीक्षा में पहले चर के स्थान पर मान रखें और फिर गुणा करें। / Given H(t)=36+4t, substitute t=10: H(10)=36+4(10)=36+40=76. Therefore, option B is correct. The value 72 would result from incorrectly adding 36 and 36; here, 4t becomes 4×10=40. In exams, substitute the input value first and then simplify carefully.
\(P=15+4t\) में \(t\) का घात 1 है और 4 स्थिर वृद्धि-दर है; इसलिए हर एक समय-इकाई पर \(P\) 4 बढ़ता है। \(15t^2\) की वृद्धि-दर बदलती है। परीक्षा टिप: रेखीय संबंध का रूप \(a+bt\) पहचानें। / In \(P=15+4t\), the power of \(t\) is 1 and 4 is the constant growth rate, so \(P\) rises by 4 per time unit. \(15t^2\) has a changing rate. Exam tip: identify linear forms as \(a+bt\).
समीकरण \(y=29+kt\) में \(k\), \(t\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की दर या ढाल है। रेखीय वृद्धि के लिए \(t\) बढ़ने पर \(y\) भी बढ़ना चाहिए, इसलिए \(k\) धनात्मक होना आवश्यक है। \(k<0\) होने पर रेखीय ह्रास होता है और \(k=0\) होने पर \(y\) स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: रेखीय रूप \(y=a+bt\) में वृद्धि के लिए \(b>0\) याद रखें। / In \(y=29+kt\), \(k\) is the rate of change, or slope, of \(y\) with respect to \(t\). For linear growth, \(y\) must increase as \(t\) increases, so \(k\) must be positive. If \(k<0\), the relation shows linear decay, while \(k=0\) gives a constant value of \(y\). Exam tip: in \(y=a+bt\), growth requires \(b>0\).
t=0 रखने पर P(0)=a+7(0)=a प्राप्त होता है। दिया है कि P(0)=31, इसलिए a=31। 7 वृद्धि की दर है, प्रारम्भिक मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में t=0 पर मान हमेशा a होता है। / Substitute t=0: P(0)=a+7(0)=a. Since P(0)=31, a=31. The number 7 is the rate of increase, not the initial value. Exam tip: in a linear expression a+bt, the value at t=0 is always a.
\(y=20-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x के प्रत्येक 1 बढ़ने पर y 2 घटता है। यह स्थिर दर वाला रैखिक ह्रास है। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में x की घात 1 होती है। / In \(y=20-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so y falls by 2 for every increase of 1 in x. This is linear decay at a constant rate. Exam tip: a linear rule has x to the power 1.
यहाँ \(X(6)=18+8\times6=66\) और \(X(0)=18\) है। अतः अंतर \(66-18=48\) होगा। विकल्प 66, \(X(6)\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bt\) में \(t\) के दो मानों के बीच अंतर निकालते समय स्थिर पद \(a\) कट जाता है। / Here, \(X(6)=18+8\times6=66\) and \(X(0)=18\). Therefore, the difference is \(66-18=48\). Option 66 is the value of \(X(6)\), not the difference. Exam tip: when finding the difference between two values of a linear expression \(a+bt\), the constant term \(a\) cancels out.
दिया है कि U(t)=9t+14। t=7 रखने पर U(7)=9×7+14=63+14=77 मिलता है। इसलिए सही विकल्प 77 है। 63 केवल 9×7 का मान है; इसमें स्थिर पद 14 अभी जोड़ा नहीं गया है। परीक्षा टिप: किसी फलन का मान निकालते समय पहले चर के स्थान पर दिया गया मान रखें, फिर गणना के क्रम का पालन करें। / Given U(t)=9t+14, substitute t=7: U(7)=9×7+14=63+14=77. Hence, 77 is the correct option. The value 63 is only 9×7 and does not include the constant term 14. Exam tip: To evaluate a function, substitute the given input first and then follow the order of operations.
समीकरण y=19+7x रेखीय रूप में है और x का गुणांक 7 धनात्मक है। अतः x के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर y, 7 इकाई बढ़ता है; इसलिए यह रेखीय वृद्धि है। रेखीय क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। परीक्षा टिप: y=a+bx में b का चिह्न वृद्धि या क्षय बताता है। / The equation y=19+7x is linear, and the coefficient of x is +7. Thus, when x increases by 1 unit, y increases by 7 units, so it represents linear growth. In linear decay, the coefficient of x would be negative. Exam tip: In y=a+bx, the sign of b indicates growth or decay.
दिया है E(t)=21+11t। अतः E(4)=21+11×4=65 और E(5)=21+11×5=76। इसलिए अंतर 76−65=11 है। 21 स्थिर पद है, जबकि लगातार t-मानों के बीच परिवर्तन 11 के गुणांक से निर्धारित होता है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में लगातार दो मानों का अंतर हमेशा b होता है। / Given E(t)=21+11t, E(4)=21+11×4=65 and E(5)=21+11×5=76. Therefore, the difference is 76−65=11. The constant term 21 does not affect the change between consecutive values; it is determined by the coefficient 11. Exam tip: in a linear expression a+bt, the difference between consecutive values is always b.
आरंभिक राशि 12 है, इसलिए नियम का स्थिर पद 12 होगा। हर चरण में 5 की वृद्धि होने पर x का गुणांक +5 होगा। अतः नियम \(y=12+5x\) है। \(y=12-5x\) में राशि घटती है, इसलिए वह वृद्धि को नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में आरंभिक मान स्थिर पद और प्रति चरण परिवर्तन x का गुणांक होता है। / The starting quantity is 12, so the constant term must be 12. Since the quantity increases by 5 at each step, the coefficient of x is +5. Therefore, the rule is \(y=12+5x\). In \(y=12-5x\), the quantity decreases, so it does not represent growth. Exam tip: In a linear rule, the starting value is the constant term and the change per step is the coefficient of x.
रेखीय व्यंजक के रूप में \(Z(t)=a+bt\) में \(t\) का गुणांक \(b\) वृद्धि दर दर्शाता है। यहाँ \(t\) का गुणांक \(9\) है, इसलिए वृद्धि दर 9 है। \(16\) प्रारम्भिक मान है, वृद्धि दर नहीं। परीक्षा टिप: रेखीय फलन में चर के साथ गुणा हो रही संख्या को पहचानें। / In a linear expression \(Z(t)=a+bt\), the coefficient \(b\) of \(t\) represents the growth rate. Here, the coefficient of \(t\) is \(9\), so the growth rate is 9. The number \(16\) is the initial value, not the growth rate. Exam tip: In a linear function, identify the number multiplying the variable.
रैखिक नियम का सामान्य रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(b\) वृद्धि दर है। \(y=33+4x\) में नियत पद \(33\) है और \(x\) का गुणांक \(+4\) है, इसलिए यह सही नियम है। \(y=33-4x\) में आरंभिक मान 33 तो है, लेकिन \(-4\) कमी दर दर्शाता है, वृद्धि दर नहीं। परीक्षा टिप: आरंभिक मान के लिए \(x=0\) रखें और वृद्धि/कमी दर के लिए \(x\) का गुणांक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value and \(b\) is the growth rate. In \(y=33+4x\), the constant term is \(33\) and the coefficient of \(x\) is \(+4\), so it is the correct rule. Although \(y=33-4x\) starts at 33, its rate is \(-4\), which represents decay rather than growth. Exam tip: put \(x=0\) to identify the initial value, and check the coefficient of \(x\) for the growth or decay rate.
x के स्थान पर 6 रखने पर M(6)=25+5(6)=25+30=55 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 55 है। 30 केवल 5×6 का मान है; इसमें स्थिर पद 25 जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा में मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर संख्या रखकर गुणा पहले करें, फिर जोड़ें। / Substitute 6 for x: M(6)=25+5(6)=25+30=55. Therefore, 55 is the correct option. The value 30 is only 5×6; the constant term 25 must also be added. In exams, substitute the given value first, then multiply before adding.
दिया है, \(Q(w)=30+8w\)। \(w=5\) रखने पर \(Q(5)=30+8\times5=30+40=70\)। अतः विद्यार्थी ने 70 प्रश्न हल किए होंगे। विकल्प 40 केवल \(8\times5\) है; इसमें प्रारम्भिक 30 प्रश्न शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में चर का मान रखने के बाद गुणा पहले करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(Q(w)=30+8w\). Substituting \(w=5\), \(Q(5)=30+8\times5=30+40=70\). Therefore, the student will have solved 70 questions. Option 40 represents only \(8\times5\) and misses the initial 30 questions. Exam tip: after substituting a value in a linear expression, multiply first and then add or subtract.
दिया गया व्यंजक \(C(d)=17+2d\) है। इसमें \(d\) का गुणांक \(2\) है, इसलिए \(d\) में \(1\) की वृद्धि करने पर \(C(d)\) में \(2\times1=2\) की वृद्धि होगी। \(17\) स्थिर पद है; यह वृद्धि की दर को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bd\) में प्रति इकाई परिवर्तन \(d\) के गुणांक \(b\) के बराबर होता है। / The expression is \(C(d)=17+2d\). The coefficient of \(d\) is \(2\), so when \(d\) increases by \(1\), \(C(d)\) increases by \(2\times1=2\). The constant term \(17\) does not affect the rate of increase. Exam tip: in a linear expression \(a+bd\), the change per unit increase in \(d\) is the coefficient \(b\).
नियम \(y=18+6x\) में \(x\) का गुणांक \(+6\) है। इसलिए \(x\) के प्रत्येक 1 बढ़ने पर \(y\) 6 बढ़ता है; अतः समान वृद्धि 6 प्रति चरण है। \(y=18-6x\) में 6 प्रति चरण की कमी होती है, जबकि \(y=x^2+6\) में वृद्धि समान नहीं रहती। परीक्षा टिप: रैखिक नियम \(y=a+bx\) में \(b\) प्रति चरण परिवर्तन बताता है। / In \(y=18+6x\), the coefficient of \(x\) is \(+6\). Therefore, whenever \(x\) increases by 1, \(y\) increases by 6, giving equal growth of 6 per step. In \(y=18-6x\), there is a decrease of 6 per step, while \(y=x^2+6\) does not have a constant rate of growth. Exam tip: In a linear rule \(y=a+bx\), \(b\) gives the change per step.
आरंभिक मान वह मान है जो स्वतंत्र चर के शून्य होने पर मिलता है। यहाँ \(n=0\) रखने पर \(A(0)=22+4(0)=22\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर 22 है। 4 वृद्धि की दर (प्रति \(n\) वृद्धि) है, जबकि 26, \(n=1\) पर प्राप्त मान है। परीक्षा टिप: रेखीय नियम \(a+bn\) में आरंभिक मान स्थिर पद \(a\) होता है। / The initial value is the value when the independent variable is zero. Putting \(n=0\), we get \(A(0)=22+4(0)=22\), so 22 is correct. Here, 4 is the rate of increase per unit of \(n\), while 26 is the value at \(n=1\). Exam tip: In a linear rule \(a+bn\), the initial value is the constant term \(a\).
यहाँ H(d)=15+3d में d का गुणांक +3 है। d के प्रत्येक एकक बढ़ने पर पौधे की ऊंचाई 3 सेमी बढ़ती है, इसलिए यह रैखिक वृद्धि है। रैखिक क्षय में d का गुणांक ऋणात्मक होता, जैसे 15-3d। परीक्षा टिप: y=a+bx में b>0 हो तो वृद्धि और b<0 हो तो क्षय होता है। / In H(d)=15+3d, the coefficient of d is +3. For every one-unit increase in d, the plant’s height increases by 3 cm, so it represents linear growth. Linear decay would have a negative coefficient of d, such as 15-3d. Exam tip: in y=a+bx, b>0 indicates growth and b<0 indicates decay.
(x) में परिवर्तन (6-1=5) है और वृद्धि दर (8) है। इसलिए कुल वृद्धि \(8\times5=40\) है। / The change in (x) is (6-1=5) and the growth rate is (8). Therefore the total increase is \(8\times5=40\).
दिया है कि \(F(t)=20+rt\) और \(F(3)=41\)। अतः \(20+3r=41\), इसलिए \(3r=21\) तथा \(r=7\)। अब \(F(7)=20+7\times7=69\) होगा। विकल्प 62 तब मिलता यदि वृद्धि-दर या \(t\) का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फलन-मान से \(r\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(t\) रखिए। / Given \(F(t)=20+rt\) and \(F(3)=41\), we get \(20+3r=41\). Thus, \(3r=21\) and \(r=7\). Now \(F(7)=20+7\times7=69\). The value 62 would result from using an incorrect rate or value of \(t\). Exam tip: first find \(r\) from the given function value, then substitute the required \(t\).
