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सदस्यों की संख्या 72 रखने पर \(45+3w=72\) मिलता है। अतः \(3w=27\), इसलिए \(w=9\)। \(w=8\) रखने पर सदस्य \(45+24=69\) होंगे, 72 नहीं। परीक्षा टिप: पहले लक्ष्य मान को फलन के बराबर रखकर चर के लिए हल करें। / Set the number of members equal to 72: \(45+3w=72\). Thus, \(3w=27\), so \(w=9\). If \(w=8\), the number of members would be \(45+24=69\), not 72. Exam tip: equate the function to the target value first, then solve for the variable.
A. यह वृद्धि नहीं है; यह स्थिर फलन है/It is not growth; it is a constant function
Explanation
Simple Explanation
जब k=0 होता है, तब y=25+0x=25 प्राप्त होता है। x बदलने पर भी y का मान नहीं बदलता, इसलिए यह स्थिर फलन है, वृद्धि नहीं। रेखीय वृद्धि के लिए k>0 होना चाहिए; जबकि k<0 होने पर रेखीय क्षय होता है। परीक्षा टिप: y=a+kx में k ढाल (rate of change) है—उसका चिह्न वृद्धि या क्षय बताता है। / When k=0, y=25+0x=25. The value of y does not change as x changes, so this is a constant function, not growth. Linear growth requires k>0, whereas k<0 represents linear decay. Exam tip: In y=a+kx, k is the slope or rate of change; its sign indicates growth or decay.
दिया गया संबंध रैखिक है: \(y=55+3x\)। \(x\) के मानों का अंतर \(9-2=7\) है। क्योंकि \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\) में 3 की वृद्धि होती है, इसलिए \(y\) का अंतर \(3\times7=21\) होगा। 18 लेने पर \(x\) का अंतर 6 मान लिया जाता है, जो सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bx\) में दो \(y\)-मानों का अंतर सीधे \(b\times\) \(x\)-मानों के अंतर से निकाल सकते हैं। / The relation is linear: \(y=55+3x\). The difference between the two \(x\)-values is \(9-2=7\). Since \(y\) increases by 3 for every increase of 1 in \(x\), the difference in \(y\) is \(3\times7=21\). Option 18 would result from incorrectly taking the difference in \(x\) as 6. Exam tip: for a linear expression \(a+bx\), the difference between two \(y\)-values is \(b\) times the difference between the corresponding \(x\)-values.
रेखीय रूप \(y=b+mx\) में \(b=y(0)\) होता है और \(m\), \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) का परिवर्तन बताता है। यहाँ \(y(0)=14\), इसलिए नियत पद 14 है; तथा \(y\) हर बार 6 बढ़ता है, इसलिए गुणांक 6 होगा। अतः \(y=14+6x\) सही है। \(y=6+14x\) में वृद्धि दर 14 है, जबकि \(y=14-6x\) में \(y\) बढ़ने के बजाय 6 घटता है। परीक्षा टिप: पहले \(x=0\) रखकर प्रारम्भिक मान जाँचें, फिर \(x\) का गुणांक देखें। / In the linear form \(y=b+mx\), \(b=y(0)\), while \(m\) gives the change in \(y\) when \(x\) increases by 1. Here, \(y(0)=14\), so the constant term is 14; and \(y\) increases by 6 each time, so the coefficient is 6. Therefore, \(y=14+6x\) is correct. In \(y=6+14x\), the growth rate is 14, while \(y=14-6x\) represents a decrease of 6. Exam tip: substitute \(x=0\) to check the initial value, then check the coefficient of \(x\).
दिया है f(x)=18+4x। अतः f(x+3)=18+4(x+3)=18+4x+12। इसलिए f(x+3)-f(x)=(18+4x+12)-(18+4x)=12। विकल्प 4 केवल x के गुणांक को दर्शाता है, जबकि x में 3 की वृद्धि के लिए परिवर्तन 4×3=12 होगा। परीक्षा टिप: रैखिक फलन ax+b में x को h से बढ़ाने पर फलन का अंतर ah होता है। / Given f(x)=18+4x, we get f(x+3)=18+4(x+3)=18+4x+12. Therefore, f(x+3)-f(x)=(18+4x+12)-(18+4x)=12. Option 4 is only the coefficient of x; for an increase of 3 in x, the change is 4×3=12. Exam tip: For a linear function ax+b, increasing x by h changes the function by ah.
दिया है \(T(t)=42+3t\) और चाहिए \(T(t)=72\)। इसलिए \(42+3t=72\), अतः \(3t=30\) और \(t=10\)। इसलिए सही विकल्प \(t=10\) है। निकटतम विकल्प \(t=9\) रखने पर \(T(9)=42+27=69\) मिलता है, 72 नहीं। परीक्षा टिप: लक्ष्य मान को फलन के स्थान पर रखकर बने रैखिक समीकरण को हल करें। / Given \(T(t)=42+3t\), set the target value equal to 72: \(42+3t=72\). Thus, \(3t=30\), so \(t=10\). Therefore, \(t=10\) is correct. The closest distractor, \(t=9\), gives \(T(9)=42+27=69\), not 72. Exam tip: Substitute the required output value into the function and solve the resulting linear equation.
B. मॉडल B का मान बड़ा है/The value of model B is greater
Explanation
Simple Explanation
t=6 रखने पर A(6)=15+4×6=39 और B(6)=35+2×6=47 मिलता है। चूँकि 47, 39 से बड़ा है, इसलिए मॉडल B का मान बड़ा है। मॉडल A की वृद्धि-दर अधिक है, लेकिन t=6 पर उसका प्रारम्भिक मान कम होने के कारण वह B से आगे नहीं निकलता। परीक्षा टिप: दोनों व्यंजकों में t का वही मान रखकर प्राप्त संख्याओं की सीधे तुलना करें। / Substituting t=6 gives A(6)=15+4×6=39 and B(6)=35+2×6=47. Since 47 is greater than 39, the value of model B is greater. Although model A has a higher growth rate, its lower initial value means that it has not overtaken B at t=6. Exam tip: substitute the same value of t into both expressions and compare the resulting numbers directly.
दिया है \(y=30+kx\)। \(x=4\) और \(y=54\) रखने पर \(54=30+4k\) मिलता है। अतः \(4k=24\), इसलिए \(k=6\)। विकल्प \(24\) केवल \(4k\) का मान है, \(k\) का नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में अज्ञात गुणांक निकालने के लिए दिए गए \(x\) और \(y\) मानों को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें। / Given \(y=30+kx\), substitute \(x=4\) and \(y=54\): \(54=30+4k\). Thus, \(4k=24\), so \(k=6\). Option \(24\) is the value of \(4k\), not of \(k\). Exam tip: To find an unknown coefficient in a linear expression, substitute the given values of \(x\) and \(y\) first.
दिया है कि \(M(3)=39\)। \(t=3\) से \(t=8\) तक 5 इकाइयों की वृद्धि होती है और \(M(t)\) की वृद्धि-दर 6 प्रति इकाई है। अतः कुल वृद्धि \(5\times6=30\) होगी। इसलिए \(M(8)=39+30=69\)। विकल्प 72 तब मिलता यदि वृद्धि 33 मान ली जाए, जो दी गई वृद्धि-दर के अनुसार सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो मानों के बीच परिवर्तन = वृद्धि-दर × इनपुट का परिवर्तन। / Given \(M(3)=39\), moving from \(t=3\) to \(t=8\) increases the input by 5. Since \(M(t)\) grows at a rate of 6 per unit, the total increase is \(5\times6=30\). Therefore, \(M(8)=39+30=69\). Option 72 would require an increase of 33, which does not match the given rate. Exam tip: for a linear function, change in output = rate × change in input.
रेखीय वृद्धि के लिए गुणांक धनात्मक और आरंभिक मान (16) चाहिए। (y=16+6x) दोनों शर्तें पूरी करता है। / For linear growth the coefficient must be positive and the initial value must be (16). (y=16+6x) satisfies both.
रैखिक मॉडल \(L(h)=36-3h\) में \(h\) का गुणांक परिवर्तन की दर बताता है। ऋणात्मक चिन्ह कमी दर्शाता है, इसलिए लंबाई प्रति घंटे 3 सेमी घटती है। \(36\) प्रारम्भिक लंबाई है। परीक्षा में ढाल का चिन्ह अवश्य देखें। / In \(L(h)=36-3h\), the coefficient of \(h\) is the rate of change. Its negative sign shows decay, so the candle loses 3 cm each hour. The value 36 is the initial length. Exam tip: always check the sign of the slope.
\(N(t)=120-8t\) में \(t\) का गुणांक \(-8\) है, इसलिए हर एक समय-इकाई पर मात्रा 8 से घटती है। A रैखिक वृद्धि है; रैखिक ह्रास में चर का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(N(t)=120-8t\), the coefficient of \(t\) is \(-8\), so the quantity decreases by 8 for every unit of time. Option A shows growth; for linear decay, check for a negative variable coefficient.
दिया है कि \(A(t)=a+7t\)। \(t=4\) रखने पर \(A(4)=a+7(4)=a+28\) होगा। चूँकि \(A(4)=50\), इसलिए \(a+28=50\), अतः \(a=22\)। विकल्प 28, \(4\) समय इकाइयों में हुई वृद्धि है, आरंभिक मान \(a\) नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए \(t\) का मान फलन में रखें, फिर प्राप्त रैखिक समीकरण हल करें। / Given \(A(t)=a+7t\). Substituting \(t=4\) gives \(A(4)=a+7(4)=a+28\). Since \(A(4)=50\), we get \(a+28=50\), so \(a=22\). Option 28 is the increase over 4 time units, not the initial value \(a\). Exam tip: Substitute the given value of \(t\) first, then solve the resulting linear equation.
रैखिक नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(b\) प्रति चरण परिवर्तन है। यहाँ \(a=28\) तथा वृद्धि \(b=9\) है, इसलिए नियम \(y=28+9x\) होगा। \(y=28-9x\) में प्रति चरण 9 की कमी होती है, इसलिए वह वृद्धि का नियम नहीं है। परीक्षा टिप: आरंभिक मान के लिए \(x=0\) रखें; सही नियम में तब \(y=28\) मिलना चाहिए। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value and \(b\) is the change per step. Here, \(a=28\) and the growth is \(b=9\), so the rule is \(y=28+9x\). In \(y=28-9x\), the value decreases by 9 each step, so it represents decay, not growth. Exam tip: put \(x=0\); the correct rule must give \(y=28\).
राशि 620 रुपये होने के लिए समीकरण 300+40m=620 होगा। अतः 40m=320, इसलिए m=8। इसलिए 8 महीनों बाद राशि 620 रुपये होगी। 7 महीने लेने पर राशि 580 रुपये ही होगी, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दिए गए लक्ष्य मान को रखकर चर का मान हल करें। / For the amount to become 620 rupees, form the equation 300+40m=620. Thus, 40m=320, so m=8. Therefore, the amount will be 620 rupees after 8 months. With 7 months, the amount would be only 580 rupees, so it is not correct. Exam tip: Substitute the target value in a linear expression and solve for the variable.
\(75-4x\) में x का गुणांक \(-4\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर राशि 4 इकाई घटती है। \(75+4x\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(75-4x\), the coefficient of x is \(-4\), so the quantity falls by 4 units for every increase of 1 in x. \(75+4x\) shows linear growth. Exam tip: for linear decay, look for a negative coefficient of x.
दिया है
\(H(t)=24+5t\)। अतः \(t=4\) रखने पर \(H(4)=24+5(4)=24+20=44\) cm मिलता है। इसलिए सही उत्तर 44 cm है। 49 cm तब आता यदि गुणा या जोड़ में गलती की जाए। परीक्षा टिप: किसी रैखिक व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए चर के स्थान पर दिया गया मान रखकर क्रम से गणना करें। / Given \(H(t)=24+5t\). Substituting \(t=4\), \(H(4)=24+5(4)=24+20=44\) cm. Therefore, 44 cm is correct. The value 49 cm would result from an error in multiplication or addition. Exam tip: To evaluate a linear expression, substitute the given value for the variable and calculate step by step.
दिया है कि F(t)=18+rt और F(2)=30। अतः 18+2r=30, जिससे 2r=12 और r=6 मिलता है। अब F(5)=18+6×5=48। इसलिए सही उत्तर 48 है। 42 तब मिल सकता है जब t=4 लिया जाए, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से r ज्ञात करें, फिर उसी सूत्र में आवश्यक t रखें। / Given F(t)=18+rt and F(2)=30, we get 18+2r=30. Thus, 2r=12 and r=6. Now, F(5)=18+6×5=48. Therefore, 48 is the correct answer. The value 42 would result from using t=4, so it is not correct here. Exam tip: first find r from the given function value, then substitute the required value of t.
रेखीय वृद्धि के लिए (x) का गुणांक धनात्मक और शून्य से अलग होना चाहिए। (y=18+2x) सही है। / For linear growth, the coefficient of (x) must be positive and nonzero. (y=18+2x) is correct.
यहाँ x में वृद्धि 11 - 1 = 10 है। समीकरण y = 2x + 30 में x का गुणांक 2 है, इसलिए y में परिवर्तन 2 × 10 = 20 होगा। अतः y 20 बढ़ेगा। 30 स्थिर पद है; यह y का प्रारम्भिक मान बदलता है, वृद्धि की मात्रा नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण y = mx + c में कुल परिवर्तन ज्ञात करने के लिए m को x के परिवर्तन से गुणा करें। / Here, the increase in x is 11 - 1 = 10. In y = 2x + 30, the coefficient of x is 2, so the change in y is 2 × 10 = 20. Therefore, y increases by 20. The constant term 30 changes the starting value of y, not the amount of increase. Exam tip: In a linear equation y = mx + c, multiply the change in x by m to find the change in y.
50 सदस्य होने पर समीकरण 32+2w=50 बनेगा। अतः 2w=18 और w=9। इसलिए 9 सप्ताह बाद सदस्यों की संख्या 50 होगी। 8 सप्ताह पर संख्या 32+2(8)=48 होगी, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दी गई संख्या को लक्ष्य संख्या के बराबर रखकर चर का मान ज्ञात करें। / For 50 members, form the equation 32+2w=50. Thus, 2w=18 and w=9. Therefore, the number of members will be 50 after 9 weeks. At 8 weeks, the number is 32+2(8)=48, so it is not correct. Exam tip: Equate the given expression to the target value before solving for the variable.
A. यह स्थिर है, वृद्धि नहीं है/It is constant, not growth
Explanation
Simple Explanation
जब (k=0) होता है, तब (y=18+0x=18) मिलता है। अतः x बदलने पर y का मान नहीं बदलता, इसलिए यह स्थिर फलन है और इसमें वृद्धि नहीं होती। क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक, अर्थात (k<0), होनी चाहिए। परीक्षा टिप: (y=a+kx) में k का चिन्ह देखकर वृद्धि, क्षय या स्थिरता पहचानें। / When (k=0), we get (y=18+0x=18). Thus, y does not change as x changes, so the function is constant and there is no growth. Decay would require a negative slope, i.e., (k<0). Exam tip: In (y=a+kx), use the sign of k to identify growth, decay, or a constant value.
दिए गए व्यंजक में x के स्थान पर 4 रखें: y=5+2.5(4)=5+10=15। इसलिए सही उत्तर 15 है। 12.5 केवल 2.5×5 के बराबर है; यह x=4 रखने से नहीं मिलता। परीक्षा में पहले गुणा करें, फिर स्थिर पद जोड़ें। / Substitute 4 for x in the given expression: y=5+2.5(4)=5+10=15. Therefore, the correct answer is 15. The value 12.5 is not obtained when x=4; it results from an incorrect multiplication. In exams, multiply first and then add the constant term.
रैखिक रूप \(y=mx+c\) में \(m\), \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) में होने वाला परिवर्तन बताता है। यहाँ हर बार 4 की वृद्धि चाहिए, इसलिए \(m=4\)। साथ ही \(y(0)=9\) होने से \(c=9\) होगा। अतः सही समीकरण \(y=9+4x\) है। विकल्प C में परिवर्तन की दर \(-4\) है, इसलिए उसमें \(y\) घटता है। परीक्षा टिप: \(y(0)\) जाँचने के लिए समीकरण में \(x=0\) रखें। / In the linear form \(y=mx+c\), \(m\) gives the change in \(y\) when \(x\) increases by 1. Since \(y\) must increase by 4 each time, \(m=4\). Also, \(y(0)=9\) gives \(c=9\). Therefore, the correct equation is \(y=9+4x\). In option C, the rate is \(-4\), so \(y\) decreases instead. Exam tip: To check \(y(0)\), substitute \(x=0\) in the equation.
दिया है \(T(t)=30+2t\) और \(T(t)=46\)। अतः \(30+2t=46\), इसलिए \(2t=16\) तथा \(t=8\)। इसलिए सही विकल्प \(t=8\) है। \(t=6\) रखने पर \(T(t)=42\) मिलता है, 46 नहीं। परीक्षा टिप: पहले लक्ष्य मान को फलन के बराबर रखें, फिर \(t\) के लिए रैखिक समीकरण हल करें। / Given \(T(t)=30+2t\) and \(T(t)=46\), set \(30+2t=46\). This gives \(2t=16\), so \(t=8\). Therefore, \(t=8\) is correct. For example, substituting \(t=6\) gives \(T(t)=42\), not 46. Exam tip: equate the function to the required target value first, then solve the linear equation for \(t\).
\(t=5\) रखने पर \(A(5)=10+3(5)=25\) और \(B(5)=25+5=30\) मिलता है। चूँकि \(30>25\), इसलिए \(B(5)>A(5)\) सही है। \(A(5)=B(5)\) गलत है, क्योंकि दोनों मानों में 5 का अंतर है। परीक्षा टिप: तुलना करने से पहले दोनों व्यंजकों में दिए गए \(t\) का मान अलग-अलग रखकर सरल करें। / Substituting \(t=5\), we get \(A(5)=10+3(5)=25\) and \(B(5)=25+5=30\). Since \(30>25\), \(B(5)>A(5)\) is correct. \(A(5)=B(5)\) is incorrect because the values differ by 5. Exam tip: Substitute the given value of \(t\) into each expression separately before comparing them.
दिया है कि \(M(t)=m+5t\)। \(t=2\) रखने पर \(M(2)=m+10=25\), इसलिए \(m=15\)। अब \(t=6\) रखने पर \(M(6)=15+5\times6=45\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 45 है। 40 निकट का विकल्प हो सकता है, पर वह वृद्धि को केवल \(5\times5\) मान लेने से आता है; \(t=2\) से \(t=6\) तक वृद्धि \(5\times4=20\) है। परीक्षा टिप: पहले दी हुई शर्त से अज्ञात नियतांक \(m\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक मान रखें। / Given \(M(t)=m+5t\). Substituting \(t=2\), we get \(M(2)=m+10=25\), so \(m=15\). Now, for \(t=6\), \(M(6)=15+5\times6=45\). Hence, 45 is correct. The nearby option 40 can result from incorrectly counting the growth; from \(t=2\) to \(t=6\), the increase is \(5\times4=20\). Exam tip: first use the given condition to find the unknown constant \(m\), then substitute the required value.
रेखीय वृद्धि के लिए गुणांक धनात्मक और आरंभिक मान (12) चाहिए। (y=12+5x) दोनों शर्तें पूरी करता है। / For linear growth the coefficient must be positive and the initial value must be (12). (y=12+5x) satisfies both.
\(P(t)=12+3t\) में \(t\) का गुणांक \(+3\) है, इसलिए समय की प्रत्येक इकाई पर राशि 3 से बढ़ती है। विकल्प B रैखिक है, पर ऋणात्मक गुणांक के कारण क्षय दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक वृद्धि के लिए \(t\) की घात 1 और गुणांक धनात्मक देखें। / In \(P(t)=12+3t\), the coefficient of \(t\) is \(+3\), so the quantity increases by 3 for every unit of time. Option B is linear but shows decay because its coefficient is negative. Exam tip: for linear growth, the power of \(t\) must be 1 and its coefficient must be positive.
\(120-8t\) में \(t\) की घात 1 है और उसका गुणांक \(-8\) है, इसलिए मात्रा हर समय-इकाई में 8 घटती है। \(120+8t\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में चर का गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(120-8t\), the highest power of \(t\) is 1 and its coefficient is \(-8\), so the quantity decreases by 8 per time unit. \(120+8t\) shows growth. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of the variable.
