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\(y=12-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए प्रत्येक 1 इकाई x बढ़ने पर y 2 इकाई घटता है। विकल्प B में वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास के लिए x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए। / In \(y=12-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so y falls by 2 units for every 1-unit rise in x. Option B represents growth. Exam tip: linear decay has x to power 1 with a negative coefficient.
रैखिक नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(b\) प्रति चरण परिवर्तन है। यहाँ आरंभिक मान 35 तथा वृद्धि 6 है, इसलिए नियम \(y=35+6x\) होगा। विकल्प B में 6 घट रहा है, इसलिए वह क्षय दर्शाता है। परीक्षा टिप: आरंभिक मान पहचानने के लिए \(x=0\) रखने पर मिलने वाला \(y\)-मान देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value and \(b\) is the change per step. Here, the initial value is 35 and the growth is 6, so the rule is \(y=35+6x\). In option B, 6 is subtracted, so it represents decay. Exam tip: put \(x=0\) to identify the initial value.
राशि 500 रुपये होने के लिए S(m)=500 रखें: 200+50m=500। अतः 50m=300 और m=6 प्राप्त होता है। इसलिए 6 महीने बाद राशि 500 रुपये होगी। 5 महीने में राशि 450 रुपये ही होगी, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में मांगी गई राशि को S(m) के बराबर रखकर m के लिए हल करें। / To make the amount ₹500, put S(m)=500: 200+50m=500. Thus, 50m=300, so m=6. Therefore, the amount becomes ₹500 after 6 months. After 5 months, the amount is only ₹450, so it is a close but incorrect option. Exam tip: Set the given linear expression equal to the required amount and solve for m.
\(P(n)=40-3n\) में \(n\) का घात 1 है और उसका गुणांक \(-3\) है, इसलिए हर 1 इकाई बढ़ने पर राशि 3 से घटती है। \(40-3n^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में चर का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(P(n)=40-3n\), the power of \(n\) is 1 and its coefficient is \(-3\), so the quantity decreases by 3 for every one-unit increase. \(40-3n^2\) is not linear. Exam tip: linear decay has degree 1 with a negative variable coefficient.
दिया है: \(H(t)=18+4t\)। \(t=5\) रखने पर \(H(5)=18+4(5)=18+20=38\) cm मिलता है। इसलिए सही उत्तर 38 cm है। 32 cm पाने के लिए वृद्धि वाले पद \(4t\) की गणना गलत होगी। परीक्षा टिप: किसी फलन का मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दिया गया मान रखकर गणना करें। / Given \(H(t)=18+4t\). Substituting \(t=5\), \(H(5)=18+4(5)=18+20=38\) cm. Hence, 38 cm is correct. Getting 32 cm would mean calculating the growth term \(4t\) incorrectly. Exam tip: To find a function value, substitute the given value for the variable and then simplify.
\(y=12-3x\) में \(x\) के गुणांक \(-3\) स्थिर है, इसलिए \(x\) की हर 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई घटता है। \(12-3x^2\) में कमी स्थिर नहीं होती। परीक्षा टिप: ऋणात्मक स्थिर ढाल रैखिक क्षय बताती है। / In \(y=12-3x\), the constant coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) falls by 3 for every 1-unit rise in \(x\). In \(12-3x^2\), the rate of decrease is not constant. Exam tip: a negative constant slope indicates linear decay.
रैखिक बहुपद का रूप \(a+bx\) होता है। यहाँ \(b=-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर मान 3 घटता है। \(12-3x^2\) क्षय दिखाता है, पर वह रैखिक नहीं है। परीक्षा में x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक जाँचें। / A linear polynomial has the form \(a+bx\). Here \(b=-3\), so the value decreases by 3 for every increase of 1 in x. \(12-3x^2\) also decreases but is not linear. In exams, check that the power of x is 1 and its coefficient is negative.
दिया है y=28+5x। x=4 रखने पर y=28+5(4)=28+20=48 प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 48 है। विकल्प 52 तब मिलता यदि 28 में 24 जोड़ा जाता, पर 5×4 का मान 20 होता है। परीक्षा टिप: मान ज्ञात करने के लिए चर के स्थान पर दिया गया मान रखकर गुणा पहले करें। / Given y=28+5x, substitute x=4: y=28+5(4)=28+20=48. Therefore, 48 is correct. Option 52 would result from incorrectly treating 5×4 as 24, whereas it equals 20. Exam tip: Substitute the given value for the variable and perform multiplication before addition.
शुरुआत में, अर्थात \(x=0\) पर, संख्या \(2\) है। प्रत्येक चरण में \(3\) जुड़ता है, इसलिए \(x\) चरणों में कुल वृद्धि \(3x\) होगी। अतः नियम \(y=2+3x\) है। \(y=2-3x\) घटाव दर्शाता है, जबकि \(y=3x-2\) में प्रारंभिक मान \(-2\) हो जाता है। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में प्रारंभिक मान स्थिर पद और प्रति-चरण परिवर्तन \(x\) का गुणांक होता है। / At the start, that is, when \(x=0\), the number is \(2\). Since \(3\) is added at every step, the total increase after \(x\) steps is \(3x\). Therefore, the rule is \(y=2+3x\). The expression \(y=2-3x\) represents decay, while \(y=3x-2\) has an initial value of \(-2\). Exam tip: in a linear rule, the constant term is the starting value and the coefficient of \(x\) is the change per step.
दिया है कि H(t)=32+2t। H(10) ज्ञात करने के लिए t के स्थान पर 10 रखें: H(10)=32+2(10)=32+20=52। इसलिए सही उत्तर 52 है। 42 केवल 32+10 करने पर मिलेगा, जिसमें 2×10 का गुणन छूट जाता है। परीक्षा टिप: फलन का मान निकालते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर सभी संक्रियाएँ क्रम से करें। / Given H(t)=32+2t, substitute 10 for t: H(10)=32+2(10)=32+20=52. Therefore, 52 is the correct answer. The value 42 would result from adding 10 to 32 and incorrectly missing the multiplication 2×10. Exam tip: To evaluate a function, replace the variable with the given value and then perform the operations in order.
समीकरण \(y=15+kt\) में \(k\), \(t\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की स्थिर दर (ढाल) है। रेखीय वृद्धि के लिए \(t\) बढ़ने पर \(y\) भी बढ़ना चाहिए, इसलिए \(k>0\) होना आवश्यक है। \(k<0\) होने पर रेखीय ह्रास होता है और \(k=0\) होने पर \(y\) स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: \(y=a+bt\) में \(b\) का चिह्न वृद्धि या ह्रास बताता है। / In \(y=15+kt\), \(k\) is the constant rate of change (slope) of \(y\) with respect to \(t\). For linear growth, \(y\) must increase as \(t\) increases, so \(k>0\) is necessary. If \(k<0\), the relation shows linear decay, while \(k=0\) makes \(y\) constant. Exam tip: in \(y=a+bt\), the sign of \(b\) tells whether there is growth or decay.
B. प्रत्येक 1 इकाई x बढ़ने पर y में 3 की वृद्धि होती है/For every increase of 1 in x, y increases by 3
Explanation
Simple Explanation
नियम (y=3x+10) में x का गुणांक 3 है। इसका अर्थ है कि x में प्रत्येक 1 इकाई की वृद्धि पर y का मान 3 इकाई बढ़ता है। 10 स्थिर पद है, जो x=0 पर आरंभिक मान बताता है; इसलिए 10 को वृद्धि दर मानना गलत है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप y=mx+c में m परिवर्तन की दर और c आरंभिक मान होता है। / In the rule (y=3x+10), the coefficient of x is 3. It means that y increases by 3 units for every 1-unit increase in x. The number 10 is the constant term and gives the initial value when x=0, so it is not the rate of increase. Exam tip: in the linear form y=mx+c, m is the rate of change and c is the initial value.
यहाँ \(X(4)=8+6\times4=32\) और \(X(0)=8\) है। इसलिए अंतर \(32-8=24\) होगा। विकल्प 32, \(X(4)\) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bt\) में \(t\) के परिवर्तन को गुणांक \(b\) से गुणा करके अंतर जल्दी निकाला जा सकता है। / Here, \(X(4)=8+6\times4=32\) and \(X(0)=8\). Therefore, the difference is \(32-8=24\). Option 32 is the value of \(X(4)\), not the difference. Exam tip: In a linear expression \(a+bt\), multiply the change in \(t\) by the coefficient \(b\) to find the change in the value quickly.
दिया है: \(U(t)=5t+15\)। \(t=7\) रखने पर \(U(7)=5\times7+15=35+15=50\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 50 है। 45 प्राप्त करना गलत है, क्योंकि \(5\times7=35\) में 15 जोड़ने पर 50 होता है। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर पहले गुणा करें, फिर जोड़ें। / Given \(U(t)=5t+15\). Substituting \(t=7\), \(U(7)=5\times7+15=35+15=50\). Therefore, 50 is correct. Getting 45 is incorrect because adding 15 to \(5\times7=35\) gives 50. Exam tip: To find a function value, substitute the given number for the variable, then follow the order of operations.
समीकरण y=11+2x में x का गुणांक 2 है, जो धनात्मक है। इसलिए x के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर y 2 इकाई बढ़ता है; अतः यह रैखिक वृद्धि दर्शाता है। रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। परीक्षा टिप: y=mx+c में m का चिन्ह वृद्धि या क्षय बताता है। / In y=11+2x, the coefficient of x is 2, which is positive. Thus, when x increases by 1 unit, y increases by 2 units, so the equation represents linear growth. In linear decay, the coefficient of x would be negative. Exam tip: In y=mx+c, the sign of m indicates growth or decay.
\(P(t)=45-3t\) में \(t\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए हर एक समय-इकाई पर राशि 3 घटती है। \(45+3t\) वृद्धि दिखाता है, जबकि \(t^2\) वाली कमी समान दर की नहीं होती। परीक्षा टिप: रैखिक कमी में चर का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(P(t)=45-3t\), the coefficient of \(t\) is \(-3\), so the quantity decreases by 3 for each one-unit increase in time. \(45+3t\) shows growth, while a \(t^2\) term does not give a constant rate. Exam tip: linear decay has degree 1 and a negative variable coefficient.
यहाँ E(2)=10+8(2)=26 तथा E(3)=10+8(3)=34 है। अतः दोनों मानों का अंतर 34-26=8 है। 16 जैसी त्रुटि तब हो सकती है जब 8t में t के दो अलग मानों को जोड़ दिया जाए, जबकि यहाँ केवल एक इकाई की वृद्धि है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में लगातार मानों का अंतर हमेशा b होता है। / Here, E(2)=10+8(2)=26 and E(3)=10+8(3)=34. Therefore, the difference is 34-26=8. A value such as 16 may result from incorrectly adding the two values of t in 8t; here t increases by only one unit. Exam tip: in a linear expression a+bt, the difference between consecutive values is always b.
शुरुआती राशि 22 है, इसलिए जब \(x=0\) हो तो \(y=22\) होना चाहिए। प्रत्येक चरण में 4 की वृद्धि होने पर \(x\) का गुणांक \(+4\) होगा। अतः नियम \(y=22+4x\) है। विकल्प C में शुरुआती मान और वृद्धि दर आपस में बदल गए हैं। परीक्षा टिप: रैखिक नियम \(y=a+bx\) में \(a\) शुरुआती मान तथा \(b\) प्रति चरण परिवर्तन होता है। / The starting quantity is 22, so when \(x=0\), the value of \(y\) must be 22. Since it increases by 4 at every step, the coefficient of \(x\) is \(+4\). Therefore, the rule is \(y=22+4x\). In option C, the initial value and the rate of increase have been interchanged. Exam tip: in \(y=a+bx\), \(a\) is the initial value and \(b\) is the change per step.
रैखिक व्यंजक Z(t)=7+11t में t का गुणांक 11 है। t में प्रत्येक 1 इकाई की वृद्धि पर Z का मान 11 इकाई बढ़ता है, इसलिए वृद्धि दर 11 है। 7 प्रारम्भिक मान है, वृद्धि दर नहीं। परीक्षा टिप: at+b के रूप में लिखे रैखिक व्यंजक में t का गुणांक वृद्धि या ह्रास की दर बताता है। / In the linear expression Z(t)=7+11t, the coefficient of t is 11. For every increase of 1 unit in t, Z increases by 11 units, so the growth rate is 11. The number 7 is the initial value, not the growth rate. Exam tip: In a linear expression of the form at+b, the coefficient of t gives the rate of growth or decay.
दिया है: \(F(t)=13+4t\)। \(t=0\) रखने पर \(F(0)=13+4(0)=13\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 13 है। 4 वृद्धि की दर (\(t\) का गुणांक) है, प्रारंभिक मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bt\) में \(t=0\) पर मान हमेशा स्थिर पद \(a\) होता है। / Given \(F(t)=13+4t\), substitute \(t=0\): \(F(0)=13+4(0)=13\). Therefore, the correct answer is 13. The number 4 is the rate of growth (the coefficient of \(t\)), not the initial value. Exam tip: In a linear expression \(a+bt\), the value at \(t=0\) is always the constant term \(a\).
रैखिक नियम का सामान्य रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(b\) वृद्धि या ह्रास की दर है। \(y=18+6x\) में नियत पद \(18\) है तथा \(x\) का गुणांक \(+6\) है, इसलिए यह वृद्धि दर्शाता है। विकल्प B में \(-6\) होने से ह्रास होता है। परीक्षा टिप: आरंभिक मान के लिए नियत पद और दर के लिए \(x\) का गुणांक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value and \(b\) is the rate of growth or decay. In \(y=18+6x\), the constant term is \(18\) and the coefficient of \(x\) is \(+6\), so it represents growth. Option B has \(-6\), which represents decay. Exam tip: identify the constant term for the initial value and the coefficient of \(x\) for the rate.
x के स्थान पर 6 रखने पर M(6)=18+2(6)=18+12=30 प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प B सही है। 36 प्राप्त करने के लिए 18 और 12 को गलत तरीके से गुणा करना पड़ेगा। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर दी गई संख्या रखें, फिर गणना के क्रम का पालन करें। / Substitute 6 for x: M(6)=18+2(6)=18+12=30. Therefore, option B is correct. Getting 36 would require incorrectly multiplying 18 and 12. Exam tip: When evaluating a function, substitute the given value for the variable first and then follow the order of operations.
दिए गए व्यंजक में \(w=4\) रखने पर \(Q(4)=20+10\times4=20+40=60\) प्राप्त होता है। इसलिए अभ्यास प्रश्नों की संख्या 60 होगी। 40 केवल \(10\times4\) है; इसमें प्रारम्भिक 20 प्रश्न जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक व्यंजक का मान ज्ञात करते समय चर का मान रखकर गुणा पहले करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substitute \(w=4\) into the expression: \(Q(4)=20+10\times4=20+40=60\). Therefore, the number of practice questions is 60. The value 40 represents only \(10\times4\); the initial 20 questions must also be added. Exam tip: When evaluating a linear expression, substitute the variable value, multiply first, and then add or subtract.
यहाँ C(d)=25+5d में d का गुणांक 5 है। d में 1 की वृद्धि करने पर 5d वाला पद 5 बढ़ता है, इसलिए C(d) भी 5 बढ़ता है। 25 स्थिर पद है, इसलिए d बदलने पर उसमें कोई परिवर्तन नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bd में b, चर में 1 इकाई परिवर्तन पर मान का परिवर्तन बताता है। / In C(d)=25+5d, the coefficient of d is 5. When d increases by 1, the term 5d increases by 5, so C(d) also increases by 5. The constant term 25 does not change when d changes. Exam tip: In a linear expression a+bd, b gives the change in the value for a 1-unit change in the variable.
नियम \(y=14+9x\) में \(x\) का गुणांक \(+9\) है। इसलिए \(x\) में 1 की वृद्धि होने पर \(y\) हर बार 9 बढ़ता है। \(y=30-9x\) में 9 की कमी होती है, जबकि \(y=x^2+9\) में वृद्धि समान नहीं रहती। परीक्षा टिप: रैखिक नियम \(y=a+bx\) में प्रति चरण परिवर्तन \(x\) का गुणांक \(b\) होता है। / In \(y=14+9x\), the coefficient of \(x\) is \(+9\). Therefore, whenever \(x\) increases by 1, \(y\) increases by 9 each time. In \(y=30-9x\), the value decreases by 9, while in \(y=x^2+9\), the increase is not constant. Exam tip: In a linear rule \(y=a+bx\), the coefficient \(b\) gives the change per step.
आरंभिक मान वह मान है जो स्वतंत्र चर के 0 होने पर प्राप्त होता है। यहाँ \(n=0\) रखने पर \(P(0)=40+6(0)=40\) मिलता है, इसलिए सही उत्तर 40 है। संख्या 6 वृद्धि की दर (ढलान) है, आरंभिक मान नहीं। परीक्षा टिप: \(a+bn\) के रूप में लिखे नियम में स्थिर पद \(a\) आरंभिक मान होता है। / The initial value is the value obtained when the independent variable is 0. Substituting \(n=0\), we get \(P(0)=40+6(0)=40\), so 40 is correct. The number 6 is the rate of increase (slope), not the initial value. Exam tip: In a rule of the form \(a+bn\), the constant term \(a\) is the initial value.
\(y=80-3t\) में \(t\) के गुणांक \(-3\) का अर्थ है कि हर इकाई समय पर राशि 3 से घटती है, इसलिए यह रैखिक क्षय है। \(0.9^t\) घातीय क्षय है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(a+bt\) पहचानें। / In \(y=80-3t\), the coefficient \(-3\) means the quantity falls by 3 in every time unit, so it is linear decay. \(0.9^t\) represents exponential decay. Exam tip: identify linear relations in the form \(a+bt\).
समीकरण \(y=10+kt\) में \(k\), \(t\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की दर या ढाल है। रेखीय वृद्धि के लिए \(t\) बढ़ने पर \(y\) भी बढ़ना चाहिए, इसलिए \(k>0\) होना आवश्यक है। \(k<0\) होने पर रेखीय क्षय होता है और \(k=0\) होने पर \(y\) स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: \(y=a+mt\) में \(m\) का चिह्न वृद्धि या क्षय बताता है। / In \(y=10+kt\), \(k\) is the rate of change, or slope, of \(y\) with respect to \(t\). For linear growth, \(y\) must increase as \(t\) increases, so \(k>0\) is necessary. If \(k<0\), the relation shows linear decay, while \(k=0\) makes \(y\) constant. Exam tip: In \(y=a+mt\), the sign of \(m\) indicates growth or decay.
(t=0) रखने पर (P(0)=a+3(0)=a) मिलता है। दिया है कि (P(0)=12), इसलिए (a=12) होगा। विकल्प 3 वृद्धि की दर है, प्रारम्भिक मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक (a+bt) में (t=0) रखने पर प्रारम्भिक मान सीधे (a) होता है। / Substituting (t=0) gives (P(0)=a+3(0)=a). Since (P(0)=12) is given, (a=12). The number 3 is the rate of increase, not the initial value. Exam tip: In a linear expression (a+bt), putting (t=0) directly gives the initial value (a).
B. x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y में 2 की वृद्धि होती है/For every increase of 1 in x, y increases by 2
Explanation
Simple Explanation
नियम y=2x+7 में x का गुणांक 2 है। इसका अर्थ है कि x के 1 बढ़ने पर y का मान 2 बढ़ता है। 7 स्थिर पद है, जो x=0 होने पर y का आरंभिक मान बताता है; इसलिए विकल्प A गुणांक का नहीं, स्थिर पद का अर्थ बताता है। परीक्षा टिप: रैखिक नियम y=mx+c में m परिवर्तन की दर (ढाल) और c आरंभिक मान होता है। / In the rule y=2x+7, the coefficient of x is 2. It means that y increases by 2 when x increases by 1. The number 7 is the constant term and gives the initial value of y when x=0, so option A describes the constant term, not the coefficient of x. Exam tip: In a linear rule y=mx+c, m is the rate of change (slope) and c is the initial value.
