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दिया है \(I(t)=3t+12\)। \(t=6\) रखने पर \(I(6)=3\times6+12=18+12=30\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 30 है। 24 केवल \(3\times6+6\) जैसी गलत गणना से आ सकता है। परीक्षा टिप: मान ज्ञात करने के लिए चर के स्थान पर दिया गया मान रखकर पहले गुणा करें, फिर जोड़ें। / Given \(I(t)=3t+12\), substitute \(t=6\): \(I(6)=3\times6+12=18+12=30\). Therefore, 30 is the correct option. The value 24 may result from an incorrect addition after multiplication. Exam tip: substitute the given value for the variable, then follow the order of operations.
समीकरण y=14+6x में x का गुणांक 6 है, जो धनात्मक है। अतः x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y में 6 की वृद्धि होती है; इसलिए यह रेखीय वृद्धि है। रेखीय क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। परीक्षा टिप: y=a+bx में b का चिन्ह वृद्धि या क्षय बताता है। / In y=14+6x, the coefficient of x is 6, which is positive. Thus, for every increase of 1 in x, y increases by 6, so it represents linear growth. In linear decay, the coefficient of x would be negative. Exam tip: In y=a+bx, the sign of b tells whether there is growth or decay.
A. समय के साथ समान दर से कमी/A uniform decrease with time
Explanation
Simple Explanation
यह रैखिक क्षय है, क्योंकि \(t\) को 1 बढ़ाने पर \(N\) में \(-b\) का निश्चित परिवर्तन होता है। इसलिए मात्रा हर इकाई समय में \(b\) से घटती है। विकल्प D में दर बदलती है, जो रैखिक मॉडल नहीं है। परीक्षा टिप: \(t\) का ऋणात्मक गुणांक क्षय दिखाता है। / This represents linear decay because increasing \(t\) by 1 changes \(N\) by the fixed amount \(-b\). Thus, the quantity decreases by \(b\) per time unit. Option D has a changing rate, so it is not linear. Exam tip: a negative coefficient of \(t\) indicates decay.
रेखीय समीकरण \(y=a+bx\) में \(b\), \(x\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की दर या ढाल है। रेखीय वृद्धि में \(x\) बढ़ने पर \(y\) भी बढ़ता है, इसलिए \(b>0\) होता है। \(b<0\) रेखीय ह्रास को दर्शाता है और \(b=0\) होने पर \(y\) स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: वृद्धि के लिए ढाल धनात्मक और ह्रास के लिए ढाल ऋणात्मक याद रखें। / In \(y=a+bx\), \(b\) is the rate of change (slope) of \(y\) with respect to \(x\). In linear growth, \(y\) increases as \(x\) increases, so \(b>0\). A negative \(b\) represents linear decay, while \(b=0\) gives a constant value of \(y\). Exam tip: growth has a positive slope; decay has a negative slope.
दिया है \(E(t)=11+3t\)। अतः \(E(2)=11+3(2)=17\) और \(E(3)=11+3(3)=20\)। इसलिए अंतर \(20-17=3\) है। विकल्प 6 तब मिलता यदि \(t\) के मान में 2 की वृद्धि होती, जबकि यहाँ 2 से 3 तक वृद्धि केवल 1 है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bt\) में लगातार मानों का अंतर हमेशा \(b\) होता है। / Given \(E(t)=11+3t\), we get \(E(2)=11+3(2)=17\) and \(E(3)=11+3(3)=20\). Therefore, the difference is \(20-17=3\). The value 6 would arise if \(t\) increased by 2, but here it increases only from 2 to 3. Exam tip: in a linear expression \(a+bt\), the difference between consecutive values is always \(b\).
शुरू में, अर्थात \(d=0\) पर, पौधे की ऊँचाई \(10\) सेमी है। हर दिन \(2\) सेमी की वृद्धि होती है, इसलिए \(d\) दिनों बाद ऊँचाई \(h(d)=10+2d\) होगी। विकल्प B में ऊँचाई घट रही है, इसलिए वह वृद्धि की स्थिति को नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में स्थिर पद प्रारंभिक मान और \(d\) का गुणांक प्रतिदिन परिवर्तन दर्शाता है। / At the start, that is, when \(d=0\), the plant’s height is \(10\) cm. Since it increases by \(2\) cm per day, its height after \(d\) days is \(h(d)=10+2d\). Option B represents a decrease in height, so it does not model growth. Exam tip: in a linear rule, the constant term is the initial value and the coefficient of \(d\) is the change per day.
A. बाएँ से दाएँ ऊपर की ओर/Upward from left to right
Explanation
Simple Explanation
रेखीय वृद्धि में स्वतंत्र चर बढ़ने पर मान एक स्थिर धनात्मक दर से बढ़ता है। इसलिए रेखा का ढाल धनात्मक होता है और ग्राफ बाएँ से दाएँ ऊपर की ओर जाता है। बाएँ से दाएँ नीचे जाने वाला ग्राफ रेखीय ह्रास को दर्शाता है। परीक्षा टिप: धनात्मक ढाल का अर्थ है कि रेखा दाईं ओर जाते हुए ऊपर उठती है। / In linear growth, the value increases at a constant positive rate as the independent variable increases. Therefore, the line has a positive slope and rises from left to right. A line that falls from left to right represents linear decay. Exam tip: a positive slope means the line rises as you move to the right.
A. एक पौधे की ऊँचाई हर सप्ताह 3 सेमी बढ़ती है/A plant’s height increases by 3 cm every week
Explanation
Simple Explanation
रैखिक वृद्धि में समान समयांतरालों में मात्रा एक निश्चित अंतर से बढ़ती है। यहाँ हर सप्ताह 3 सेमी की वृद्धि स्थिर है। दोगुना होना घातीय वृद्धि है। परीक्षा टिप: “स्थिर अंतर” रैखिकता का संकेत है। / In linear growth, a quantity increases by a fixed difference over equal time intervals. Here it rises by 3 cm each week. Doubling indicates exponential growth. Exam tip: look for a constant difference, not a constant ratio.
समीकरण \(y=7+3x\) में \(x\) का गुणांक \(3\) है। इसलिए \(x\) के हर 1 बढ़ने पर \(y\) में समान रूप से 3 की वृद्धि होती है। \(y=7-3x\) में 3 की कमी होती है, जबकि \(y=7+x\) में वृद्धि केवल 1 प्रति चरण है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण \(y=a+bx\) में \(b\) प्रति चरण परिवर्तन बताता है। / In \(y=7+3x\), the coefficient of \(x\) is \(3\). Therefore, when \(x\) increases by 1, \(y\) increases by 3 each time. In \(y=7-3x\), the value decreases by 3, while \(y=7+x\) grows by only 1 per step. Exam tip: in a linear equation \(y=a+bx\), \(b\) gives the change per step.
आरंभिक मान नियतांक पद (25) है और दर (x) का गुणांक (4) है। इसलिए (y=25+4x) सही है। / The initial value is the constant term (25), and the rate is the coefficient (4). So (y=25+4x) is correct.
रैखिक व्यंजक में वृद्धि दर t के गुणांक के बराबर होती है। (G(t)=5+9t) में t का गुणांक 9 है, इसलिए वृद्धि दर 9 है। 5 प्रारम्भिक मान है, वृद्धि दर नहीं। परीक्षा टिप: at+b के रूप में लिखे व्यंजक में t का गुणांक a वृद्धि दर बताता है। / In a linear expression, the growth rate is the coefficient of t. In (G(t)=5+9t), the coefficient of t is 9, so the growth rate is 9. The number 5 is the initial value, not the growth rate. Exam tip: in an expression of the form at+b, a is the growth rate.
दिया है \(P(n)=200+25n\)। \(n=2\) रखने पर \(P(2)=200+25(2)=200+50=250\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 250 है। 225 प्राप्त करने के लिए वृद्धि को केवल एक बार जोड़ना पड़ेगा, जबकि \(n=2\) पर 25 की वृद्धि दो बार जुड़ती है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का मान निकालते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर पहले गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(P(n)=200+25n\), substitute \(n=2\): \(P(2)=200+25(2)=200+50=250\). Hence, 250 is correct. The value 225 would result from adding the increase only once, but at \(n=2\), the increase of 25 is counted twice. Exam tip: To evaluate a polynomial, substitute the given value, multiply first, and then add or subtract.
दिए गए व्यंजक में \(w=3\) रखने पर \(N(3)=30+5(3)=30+15=45\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 45 है। 40 तब मिलता यदि \(w=2\) होता, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए चर का मान सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Substitute \(w=3\) in the given expression: \(N(3)=30+5(3)=30+15=45\). Therefore, the correct answer is 45. The value 40 would be obtained for \(w=2\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: To evaluate an expression, substitute the given value of the variable carefully.
यहाँ A(t)=12+4t में t का गुणांक 4 है। अतः t में 1 की वृद्धि होने पर A(t) में 4×1=4 की वृद्धि होगी। 12 स्थिर पद है, इसलिए यह वृद्धि की दर को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में प्रति 1 इकाई परिवर्तन b के बराबर होता है। / In A(t)=12+4t, the coefficient of t is 4. Therefore, when t increases by 1, A(t) increases by 4×1=4. The constant term 12 does not affect the rate of increase. Exam tip: In a linear expression a+bt, the change per 1 unit is b.
रेखीय नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है। जब \(b\) धनात्मक हो, तो \(x\) बढ़ने पर \(y\) भी स्थिर दर से बढ़ता है। \(y=12+5x\) में \(x\) का गुणांक \(5\) धनात्मक है, इसलिए यह रेखीय वृद्धि दर्शाता है। \(y=30-2x\) रेखीय है, लेकिन उसका ऋणात्मक गुणांक क्षय दर्शाता है; \(y=x^2+1\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रेखीय वृद्धि पहचानने के लिए \(x\) के गुणांक का चिह्न देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\). When \(b\) is positive, \(y\) increases at a constant rate as \(x\) increases. In \(y=12+5x\), the coefficient of \(x\) is \(5\), so it represents linear growth. \(y=30-2x\) is linear but represents decay because its coefficient is negative, while \(y=x^2+1\) is not linear. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\) to identify linear growth.
B. प्रत्येक चरण में 8 पुस्तकों की वृद्धि/An increase of 8 books at each step
Explanation
Simple Explanation
व्यंजक \(B(n)=100+8n\) में \(n\) का गुणांक 8 है। यह बताता है कि \(n\) के हर 1 बढ़ने पर पुस्तकों की संख्या 8 बढ़ती है। 100 स्थिर पद है, इसलिए वह आरंभिक पुस्तकों की संख्या बताता है, वृद्धि की दर नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a+bn\) में \(b\), \(n\) के प्रति इकाई परिवर्तन की दर बताता है। / In \(B(n)=100+8n\), the coefficient of \(n\) is 8. It means that the number of books increases by 8 whenever \(n\) increases by 1. The constant term 100 gives the initial number of books, not the growth rate. Exam tip: in a linear expression \(a+bn\), \(b\) represents the rate of change per unit of \(n\).
आरंभिक मान वह मान होता है जो स्वतंत्र चर के 0 होने पर मिलता है। यहाँ d=0 रखने पर C(0)=15+2(0)=15 प्राप्त होता है, इसलिए सही उत्तर 15 है। 2, d का गुणांक है, जो प्रति इकाई वृद्धि की दर बताता है, आरंभिक मान नहीं। परीक्षा टिप: y=a+bx के रूप में a हमेशा आरंभिक मान होता है। / The initial value is the value when the independent variable is 0. Here, putting d=0 gives C(0)=15+2(0)=15, so the correct answer is 15. The number 2 is the coefficient of d; it represents the rate of increase per unit, not the initial value. Exam tip: in the form y=a+bx, a is the initial value.
यहाँ t का गुणांक 3 है, जो धनात्मक है। इसलिए t में प्रत्येक 1 इकाई की वृद्धि पर पौधे की ऊँचाई 3 सेमी बढ़ती है; अतः यह रैखिक वृद्धि है। रैखिक क्षय में t का गुणांक ऋणात्मक होता, जैसे 20-3t। परीक्षा टिप: y=a+bt में b का चिह्न वृद्धि या क्षय बताता है। / The coefficient of t is 3, which is positive. Therefore, for every increase of 1 unit in t, the plant’s height increases by 3 cm, so this is linear growth. In linear decay, the coefficient of t would be negative, such as 20-3t. Exam tip: In y=a+bt, the sign of b indicates growth or decay.
