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दिया है, \(Z(x)=b-7x\)। अतः \(Z(2)=b-14\) और \(Z(6)=b-42\) होगा। इसलिए \((b-14)+(b-42)=128\), अर्थात \(2b-56=128\)। इससे \(2b=184\) और \(b=92\) मिलता है। विकल्प 96 लेने पर योग 136 आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए दोनों \(x\)-मानों को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Z(x)=b-7x\), we get \(Z(2)=b-14\) and \(Z(6)=b-42\). Hence, \((b-14)+(b-42)=128\), so \(2b-56=128\). Therefore, \(2b=184\) and \(b=92\). If 96 were used, the sum would be 136, so it is not correct. Exam tip: Substitute each given \(x\)-value into the function separately before adding the results.
दिया है: V(y)=c-1800y। पहले V(3)=24600 रखने पर c-1800(3)=24600, अर्थात c-5400=24600। इसलिए c=30000। अब V(8)=30000-1800(8)=30000-14400=15600। अतः सही उत्तर 15600 है। 17400 मान 8 वर्षों के बजाय 7 वर्षों का मूल्य दर्शाता है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से अज्ञात स्थिरांक c ज्ञात करें, फिर अपेक्षित y का मान रखें। / Given V(y)=c-1800y, substitute V(3)=24600: c-1800(3)=24600, so c-5400=24600 and c=30000. Now, V(8)=30000-1800(8)=30000-14400=15600. Therefore, 15600 is correct. The value 17400 would correspond to 7 years, not 8 years. Exam tip: first find the unknown constant c from the given value, then substitute the required value of y.
दिया है कि \(G(2)=G(9)+56\), अतः \(G(2)-G(9)=56\)। अब \(G(2)=150-2r\) और \(G(9)=150-9r\) रखने पर \((150-2r)-(150-9r)=7r\) मिलता है। इसलिए \(7r=56\), जिससे \(r=8\) है। \(r=7\) लेने पर अंतर केवल \(49\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक फलनों में दो समयों के मानों का अंतर लेकर स्थिर पद हट जाता है। / Given \(G(2)=G(9)+56\), we have \(G(2)-G(9)=56\). Substituting \(G(2)=150-2r\) and \(G(9)=150-9r\) gives \((150-2r)-(150-9r)=7r\). Hence, \(7r=56\), so \(r=8\). If \(r=7\), the difference would be only \(49\), so it is not correct. Exam tip: In linear functions, subtracting values at two inputs eliminates the constant term.
प्रति चरण 9 की कमी का अर्थ है कि \(x\) का गुणांक \(-9\) होगा। इसलिए समीकरण \(y=a-9x\) मानते हैं। शर्त \(y(6)=58\) रखने पर \(a-9(6)=58\), अतः \(a=112\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प \(y=112-9x\) है। विकल्प A में ढाल तो \(-9\) है, लेकिन \(y(6)=4\) आता है, 58 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\)-मान को हर विकल्प में रखकर शर्त जल्दी जाँची जा सकती है। / A decrease of 9 per step means that the coefficient of \(x\) must be \(-9\). So write the equation as \(y=a-9x\). Using \(y(6)=58\), we get \(a-9(6)=58\), hence \(a=112\). Therefore, \(y=112-9x\) is correct. Option A has slope \(-9\), but it gives \(y(6)=4\), not 58. Exam tip: substitute the given \(x\)-value into each option to check the condition quickly.
दिया है \(R(t)=r-7t\)। \(R(3)=112\) रखने पर \(r-7(3)=112\), अतः \(r=133\)। अब \(R(s)=63\) से \(133-7s=63\), इसलिए \(7s=70\) और \(s=10\)। विकल्प \(9\) लेने पर मान \(70\) आता है, \(63\) नहीं। परीक्षा टिप: पहले ज्ञात समय का मान रखकर नियतांक \(r\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान से चर हल करें। / Given \(R(t)=r-7t\), substitute \(R(3)=112\): \(r-7(3)=112\), so \(r=133\). Next, \(R(s)=63\) gives \(133-7s=63\), hence \(7s=70\) and \(s=10\). If \(s=9\), the model gives \(70\), not \(63\). Exam tip: first find the constant \(r\) using the known time, then use the second condition to solve for the variable.
A. समान समयांतरालों में \(P\) की कमी समान होती है/\(P\) decreases by equal amounts in equal time intervals
Explanation
Simple Explanation
\(P(t)=a-bt\) की ढाल \(-b\) स्थिर और ऋणात्मक है, इसलिए हर समान समयांतराल में कमी समान रहती है। बदलती ढाल वाला वक्र रैखिक क्षय नहीं है। परीक्षा टिप: \(-b\) को स्थिर क्षय-दर पहचानें। / The slope of \(P(t)=a-bt\) is the constant negative value \(-b\), so equal time intervals produce equal decreases. A changing slope indicates non-linear decay. Exam tip: identify \(-b\) as the constant decay rate.
\(24-3x\) एक रैखिक बहुपद है और x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में 1 की वृद्धि पर मान 3 से घटता है। जाँचें: \(P(x+1)-P(x)=-3\)। \(24-3x^2\) में कमी की दर स्थिर नहीं होती। परीक्षा में घात 1 और ऋणात्मक गुणांक पहचानें। / \(24-3x\) is linear, and its coefficient of x is \(-3\); therefore, the value falls by 3 for each one-unit increase in x. Check: \(P(x+1)-P(x)=-3\). In \(24-3x^2\), the rate of decrease is not constant. Exam tip: look for degree 1 with a negative coefficient.
दिया है \(D(t)=160-kt\)। अतः \(D(4)=160-4k\) और \(D(11)=160-11k\)। इसलिए \(D(4)-D(11)=(160-4k)-(160-11k)=7k\)। चूँकि यह अंतर \(63\) है, इसलिए \(7k=63\), जिससे \(k=9\) मिलता है। \(k=8\) लेने पर अंतर \(56\) आता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों फलन मान लिखकर घटाने पर स्थिर पद अक्सर कट जाते हैं। / Given \(D(t)=160-kt\), we have \(D(4)=160-4k\) and \(D(11)=160-11k\). Therefore, \(D(4)-D(11)=(160-4k)-(160-11k)=7k\). Since this difference is \(63\), \(7k=63\), so \(k=9\). For example, \(k=8\) would give a difference of \(56\), not \(63\). Exam tip: Write the two function values separately before subtracting; the constant terms often cancel.
A. ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा/A straight line with negative slope
Explanation
Simple Explanation
रेखीय क्षय में प्रत्येक इकाई बढ़ने पर मात्रा समान दर से घटती है, इसलिए ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा होता है। जैसे, \(p(x)=a-bx\), जहाँ \(b>0\)। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक ऋणात्मक हो तो क्षय पहचानें। / In linear decay, the quantity decreases by an equal amount for each unit increase, so its graph is a straight line with negative slope. For example, \(p(x)=a-bx\), where \(b>0\). Exam tip: a negative coefficient of \(x\) indicates decay.
\(18-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर राशि 3 इकाई घटती है। \(18+3x\) बढ़ोतरी दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद में x की घात 1 होती है। / In \(18-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so the quantity falls by 3 units for every 1-unit rise in x. \(18+3x\) shows growth instead. Exam tip: a linear polynomial has x to the power 1.
\(P(t)=120-5t\) में \(t\) का गुणांक स्थिर ऋणात्मक \(-5\) है, इसलिए हर 1 इकाई समय पर राशि 5 घटती है। \(120-5t^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में चर की घात 1 होती है। / In \(P(t)=120-5t\), the constant negative coefficient \(-5\) means the quantity falls by 5 for each unit of time. \(120-5t^2\) is not linear because the variable has power 2. Exam tip: check that the variable’s power is 1.
\(y=18-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y 2 घटता है। B में वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक और घात 1 होनी चाहिए। / In \(y=18-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so y falls by 2 for every increase of 1 in x. Option B represents growth. Exam tip: linear decay has a negative x-coefficient and degree 1.
दिया है: (g(x)=b-8x)। पहले (g(4)=91) रखें: (b-8(4)=91), अर्थात (b-32=91)। इसलिए (b=123)। अब (x=10) रखने पर (g(10)=123-8(10)=123-80=43) मिलता है। अतः सही उत्तर 43 है। 51 जैसे विकल्प में घटाव की गणना गलत हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले अज्ञात नियतांक b ज्ञात करें, फिर मांगे गए x का मान फलन में रखें। / Given (g(x)=b-8x), first use (g(4)=91): (b-8(4)=91), so (b-32=91). Hence, (b=123). Now substitute (x=10): (g(10)=123-8(10)=123-80=43). Therefore, 43 is correct. A choice such as 51 can result from an arithmetic error in subtraction. Exam tip: find the unknown constant first, then substitute the required value of x.
\(Q(t)=Q_0-rt\) में प्रत्येक इकाई समय पर मात्रा \(r\) से समान रूप से घटती है, इसलिए यह प्रथम घात का रैखिक क्षय है। \(Q_0+rt\) वृद्धि दर्शाता है, जबकि \(e^{-rt}\) घातांकीय क्षय है। परीक्षा टिप: स्थिर परिवर्तन दर वाला संबंध रैखिक होता है। / In \(Q(t)=Q_0-rt\), the quantity decreases by the same amount \(r\) in every unit of time, so it is a first-degree linear decay model. \(Q_0+rt\) shows growth, while \(e^{-rt}\) shows exponential decay. Exam tip: a constant rate of change indicates a linear relation.
A. हर समान समय-अंतराल में \(P\) 7 इकाई घटता है/\(P\) decreases by 7 units in every equal time interval
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में समान समय-अंतरालों पर परिवर्तन स्थिर होता है। यहाँ हर बार कमी \(-7\) है, इसलिए ढाल स्थिर है और मॉडल \(P=a-7t\) के रूप का होगा। 10% वाली कमी प्रतिशत पर आधारित होती है, इसलिए रैखिक नहीं होती। परीक्षा टिप: बराबर प्रथम अंतर जाँचें। / In linear decay, the change over equal time intervals is constant. Here the change is always \(-7\), so the slope is fixed and the model has the form \(P=a-7t\). A 10% decrease depends on the current value, so it is not linear. Exam tip: check for equal first differences.
यहाँ \(x\) का परिवर्तन \(8-3=5\) है। समीकरण \(y=160-bx\) में \(x\) के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर \(y\), \(b\) इकाई घटता है। इसलिए कुल कमी \(5b\) होगी। दिया है \(5b=45\), अतः \(b=45/5=9\)। इसलिए सही विकल्प \(9\) है। \(15\) लेने पर कुल कमी \(5\times15=75\) होती, जो दी गई कमी नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में कुल परिवर्तन = प्रति इकाई परिवर्तन × \(x\) का परिवर्तन। / The change in \(x\) is \(8-3=5\). In \(y=160-bx\), \(y\) decreases by \(b\) units for every 1-unit increase in \(x\). Hence, the total decrease is \(5b\). Given \(5b=45\), we get \(b=45/5=9\). Therefore, \(9\) is correct. If \(b=15\), the decrease would be \(5\times15=75\), not 45. Exam tip: For a linear relation, total change equals rate per unit times the change in the variable.
यह एक रैखिक फलन है। यहाँ 1 और 9 का मध्य मान \(\frac{1+9}{2}=5\) है, इसलिए \(Q(1)+Q(9)=2Q(5)\)। जाँच के लिए, \(Q(1)=96\) और \(Q(9)=64\), अतः उनका योग \(160\) है। साथ ही \(Q(5)=80\), इसलिए \(2Q(5)=160\)। \(Q(4)\) मध्य बिंदु पर नहीं है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो इनपुटों के फलनों का योग उनके मध्य इनपुट के फलन के दोगुने के बराबर होता है। / This is a linear function. The midpoint of 1 and 9 is \(\frac{1+9}{2}=5\), so \(Q(1)+Q(9)=2Q(5)\). Checking directly, \(Q(1)=96\) and \(Q(9)=64\), giving a sum of \(160\). Also, \(Q(5)=80\), hence \(2Q(5)=160\). \(Q(4)\) is not at the midpoint, so it is not correct. Exam tip: for a linear function, the sum of the values at two inputs equals twice the value at their midpoint.
\(P(x)=240-8x\) में स्थिर पद 240 आरंभिक मान देता है और x का गुणांक \(-8\) है, इसलिए x बढ़ने पर मान घटता है। \(240+8x\) में वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक ढाल क्षय दर्शाती है। / In \(P(x)=240-8x\), the constant term 240 is the initial value and the coefficient \(-8\) shows a decrease as x increases. \(240+8x\) represents growth. Exam tip: a negative slope indicates decay.
\(y=80-5x\) में x की प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर y निश्चित रूप से 5 घटता है, इसलिए यह रैखिक क्षय है। विकल्प B में ढाल धनात्मक है, अतः वृद्धि होगी। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय की ढाल ऋणात्मक होती है। / In \(y=80-5x\), every increase of 1 in x decreases y by a constant 5, so it shows linear decay. Option B has a positive slope and represents growth. Exam tip: linear decay always has a negative coefficient of x.
दिया गया व्यंजक \(y=100-(k+3)x\) है, जिसमें \(x\) का गुणांक \(-(k+3)\) है। रेखीय क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए, अतः \(-(k+3)<0\)। इससे \(k+3>0\), अर्थात \(k>-3\) मिलता है। \(k=-3\) पर ढाल शून्य होती है, इसलिए \(y=100\) एक स्थिर मान है, क्षय नहीं। परीक्षा टिप: रेखीय वृद्धि या क्षय पहचानने के लिए \(x\) के गुणांक का चिह्न जाँचें। / In \(y=100-(k+3)x\), the coefficient of \(x\), or slope, is \(-(k+3)\). For linear decay, the slope must be negative, so \(-(k+3)<0\). This gives \(k+3>0\), hence \(k>-3\). When \(k=-3\), the slope is zero and \(y=100\) is constant, not decay. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\) to identify linear growth or decay.
दिया है कि \(Z(x)=b-6x\)। अतः \(Z(1)=b-6\) और \(Z(4)=b-24\) होगा। इसलिए \(Z(1)+Z(4)=(b-6)+(b-24)=2b-30\)। अब \(2b-30=90\) से \(2b=120\), अतः \(b=60\) मिलता है। विकल्प 63 लेने पर योग 96 आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए प्रत्येक \(x\)-मान को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Z(x)=b-6x\), we get \(Z(1)=b-6\) and \(Z(4)=b-24\). Hence, \(Z(1)+Z(4)=(b-6)+(b-24)=2b-30\). Using \(2b-30=90\), we obtain \(2b=120\), so \(b=60\). If 63 were used, the sum would be 96, not 90. Exam tip: Substitute each given value of \(x\) separately before adding the function values.
दिया है कि \(G(2)=G(7)+35\), अतः \(G(2)-G(7)=35\)। अब \(G(2)=100-2r\) और \(G(7)=100-7r\) रखने पर \((100-2r)-(100-7r)=5r\) मिलता है। इसलिए \(5r=35\), जिससे \(r=7\) प्राप्त होता है। \(r=5\) लेने पर अंतर केवल \(25\) होता, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अलग-अलग समयों पर फलन के मानों का अंतर लेने से स्थिर पद \(100\) कट जाता है। / Given \(G(2)=G(7)+35\), we have \(G(2)-G(7)=35\). Substituting \(G(2)=100-2r\) and \(G(7)=100-7r\) gives \((100-2r)-(100-7r)=5r\). Thus, \(5r=35\), so \(r=7\). If \(r=5\), the difference would be only \(25\), so it is not correct. Exam tip: subtracting function values at two times cancels the constant term \(100\).
शर्त है कि \(M(t)=N(t)+10\)। अतः \(35+5t=65-3t+10\), यानी \(35+5t=75-3t\)। इससे \(8t=40\) और \(t=5\) प्राप्त होता है। \(t=4\) पर दोनों का अंतर केवल \(2\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: “से 10 अधिक” को हमेशा \(M=N+10\) के रूप में लिखें। / The required condition is \(M(t)=N(t)+10\). So, \(35+5t=65-3t+10\), or \(35+5t=75-3t\). This gives \(8t=40\), hence \(t=5\). At \(t=4\), the difference is only \(2\), so it is not correct. Exam tip: translate “10 more than” as \(M=N+10\).
प्रति चरण 6 की कमी का अर्थ है कि x का गुणांक \(-6\) होगा। मान लें \(y=a-6x\)। शर्त \(y(5)=42\) रखने पर \(a-6(5)=42\), अतः \(a=72\)। इसलिए सही समीकरण \(y=72-6x\) है। विकल्प A में ढाल सही है, लेकिन \(y(5)=12\) आता है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में पहले ढाल से वृद्धि/कमी जाँचें, फिर दिए गए बिंदु को रखकर स्थिरांक जाँचें। / A decrease of 6 per step means that the coefficient of x must be \(-6\). Let \(y=a-6x\). Using \(y(5)=42\), we get \(a-6(5)=42\), so \(a=72\). Hence, \(y=72-6x\) is correct. Option A has the correct slope, but it gives \(y(5)=12\). Exam tip: first check the slope for growth or decay, then substitute the given point to verify the constant term.
दिया है \(R(t)=r-5t\)। \(R(4)=90\) रखने पर \(r-5(4)=90\), अतः \(r=110\)। अब \(R(s)=55\) से \(110-5s=55\) मिलता है। इसलिए \(5s=55\) और \(s=11\)। अतः सही विकल्प \(11\) है। \(s=10\) लेने पर मान \(60\) आएगा, जो 55 नहीं है। परीक्षा टिप: पहले ज्ञात समय का मान रखकर स्थिरांक \(r\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान से अज्ञात समय निकालें। / Given \(R(t)=r-5t\), substitute \(t=4\) and \(R(4)=90\): \(r-5(4)=90\), so \(r=110\). Next, \(R(s)=55\) gives \(110-5s=55\). Hence \(5s=55\) and \(s=11\). Therefore, \(11\) is correct. If \(s=10\), the model gives 60, not 55. Exam tip: first use the known time-value pair to find the constant \(r\), then use the second value to find the unknown time.
रैखिक बहुपद में \(b\), \(x\) के प्रति परिवर्तन की दर है। \(b<0\) होने पर \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि से \(P(x)\) घटता है, इसलिए यह क्षय है। \(b=0\) स्थिर राशि दर्शाता है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In a linear polynomial, \(b\) is the rate of change with respect to \(x\). If \(b<0\), \(P(x)\) decreases for every increase of 1 in \(x\), so it represents decay. \(b=0\) represents a constant quantity. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\).
दिया है कि \(D(t)=120-kt\)। अतः \(D(3)=120-3k\) और \(D(9)=120-9k\)। इसलिए \(D(3)-D(9)=(120-3k)-(120-9k)=6k\)। \(6k=42\) से \(k=7\) मिलता है। विकल्प 6 लेने पर अंतर केवल \(36\) होगा, 42 नहीं। परीक्षा टिप: दो फलनों के अंतर में समान स्थिर पद पहले काट दें। / Given \(D(t)=120-kt\), we have \(D(3)=120-3k\) and \(D(9)=120-9k\). Hence, \(D(3)-D(9)=(120-3k)-(120-9k)=6k\). Since \(6k=42\), \(k=7\). If \(k=6\), the difference would be only \(36\), not 42. Exam tip: when subtracting function values, cancel the common constant terms first.
\(7-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x बढ़ने पर मान समान दर से घटता है। \(2x-7\) में धनात्मक गुणांक वृद्धि दिखाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(7-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so the value falls by the same amount for every unit increase in x. \(2x-7\) shows growth because its coefficient is positive. Exam tip: decay has a negative x-coefficient.
रेखीय बहुपद \(P(x)=a+bx\) में \(x\) को 1 बढ़ाने पर परिवर्तन \(\Delta P=b\) होता है। अतः \(b<0\) होने पर मान हर चरण में घटता है। \(a\) केवल आरंभिक मान है। परीक्षा में \(b\) का चिन्ह देखें। / For \(P(x)=a+bx\), increasing \(x\) by 1 changes the value by \(\Delta P=b\). Thus, \(b<0\) gives a decrease at every step. The constant \(a\) only gives the initial value. Exam tip: check the sign of \(b\).
\(y=48-6x\) में \(x\) का गुणांक \(-6\) है, इसलिए \(x\) की प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 6 इकाई घटता है। \(y=48+6x\) रैखिक वृद्धि है। परीक्षा टिप: \(y=a+bx\) में \(b<0\) हो तो रैखिक क्षय होता है। / In \(y=48-6x\), the coefficient of \(x\) is \(-6\), so \(y\) falls by 6 units for every 1-unit increase in \(x\). \(y=48+6x\) shows linear growth. Exam tip: in \(y=a+bx\), \(b<0\) indicates linear decay.
