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बराबरी के लिए \(52+4t=148-8t\) लिखते हैं। \(8t\) को बाईं ओर लाने पर \(12t=96\) मिलता है, इसलिए \(t=8\)। जाँच करने पर \(P(8)=52+32=84\) और \(Q(8)=148-64=84\) हैं। \(t=10\) पर दोनों मान बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजकों को बराबर करते समय \(t\) वाले पद एक ओर और नियत पद दूसरी ओर रखें। / For equality, set \(52+4t=148-8t\). Moving \(8t\) to the left gives \(12t=96\), so \(t=8\). On checking, \(P(8)=52+32=84\) and \(Q(8)=148-64=84\). At \(t=10\), the two values are not equal. Exam tip: while equating linear expressions, collect all terms containing \(t\) on one side and constants on the other.
A. समान समयांतरालों में मात्रा समान निरपेक्ष मान से घटती है/The quantity decreases by the same absolute amount in equal time intervals
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में प्रति समान समयांतराल कमी स्थिर होती है, इसलिए ग्राफ की ढाल नियत ऋणात्मक रहती है। दो क्रमिक मानों का अंतर जाँचें; समान प्रतिशत की कमी घातांकीय क्षय है। / In linear decay, the decrease per equal time interval is constant, so the graph has a fixed negative slope. Check differences between consecutive values; equal percentage decrease indicates exponential decay.
निम्नलिखित में से कौन-सा बहुपद समय \(t\) के साथ किसी राशि के रैखिक क्षय को दर्शाता है, जहाँ \(t\) का गुणांक प्रत्येक इकाई समय में होने वाली कमी बताता है?
\(P(t)=120-5t\) में \(t\) की घात 1 है और उसका गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए मान हर इकाई समय में 5 घटता है। \(120-5t^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक मॉडल की घात सदैव 1 होती है। / In \(P(t)=120-5t\), the power of \(t\) is 1 and its coefficient is negative, so the value decreases by 5 per unit time. \(120-5t^2\) is not linear. Exam tip: a linear model always has degree 1.
यहाँ x का परिवर्तन 13 - 5 = 8 है। समीकरण y = 260 - bx में x के प्रत्येक 1 बढ़ने पर y, b से घटता है। इसलिए 8 इकाइयों के लिए कुल कमी 8b होगी। अतः 8b = 104, जिससे b = 104/8 = 13 प्राप्त होता है। 12 निकट का विकल्प है, लेकिन उससे कुल कमी 8 × 12 = 96 होती, जो 104 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में कुल परिवर्तन = प्रति इकाई परिवर्तन × x का परिवर्तन लिखें। / The change in x is 13 - 5 = 8. In y = 260 - bx, y decreases by b for every increase of 1 in x. Hence, the total decrease over 8 units is 8b. So, 8b = 104, giving b = 104/8 = 13. Option 12 is close, but it would give a total decrease of 8 × 12 = 96, not 104. Exam tip: For a linear relation, use total change = rate per unit × change in x.
यह एक रैखिक फलन है। 3 और 15 का मध्यांक \(\frac{3+15}{2}=9\) है, इसलिए रैखिक फलन के लिए \(Q(3)+Q(15)=2Q(9)\) होता है। जाँच करने पर \(Q(3)=189\), \(Q(15)=105\), अतः योग \(294\) है; जबकि \(2Q(9)=2\times147=294\)। इसलिए सही उत्तर Q(9) है। Q(10) मध्यांक नहीं है, इसलिए उसका दोगुना इस योग के बराबर नहीं होगा। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में समान दूरी वाले दो इनपुटों के आउटपुटों का योग मध्य इनपुट के आउटपुट के दोगुने के बराबर होता है। / This is a linear function. The midpoint of 3 and 15 is \(\frac{3+15}{2}=9\), so for a linear function, \(Q(3)+Q(15)=2Q(9)\). Checking directly, \(Q(3)=189\) and \(Q(15)=105\), giving a sum of \(294\), while \(2Q(9)=2\times147=294\). Hence, Q(9) is correct. Q(10) is not the midpoint, so twice its value is not equal to the given sum. Exam tip: For a linear function, the sum of outputs at two equally spaced inputs equals twice the output at their midpoint.
\(y=12-4x\) में x का गुणांक \(-4\) है, इसलिए x के 1 इकाई बढ़ने पर y हर बार 4 इकाई घटता है। विकल्प B वृद्धि दर्शाता है, जबकि C और D रैखिक नहीं हैं। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक और स्थिर होता है। / In \(y=12-4x\), the coefficient of x is \(-4\), so y falls by 4 units for every 1-unit rise in x. Option B represents growth, while C and D are not linear. Exam tip: linear decay has a constant negative coefficient of x.
\(y=100-5x\) में \(x\) के प्रत्येक 1 बढ़ने पर \(y\) ठीक 5 घटता है, इसलिए ह्रास की दर स्थिर है। \(x^2\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा में ऋणात्मक स्थिर गुणांक पहचानें। / In \(y=100-5x\), every increase of 1 in \(x\) decreases \(y\) by exactly 5, so the decay rate is constant. A relation containing \(x^2\) is not linear. Exam tip: look for a negative constant coefficient of \(x\).
रेखीय समीकरण में \(x\) का गुणांक ढाल होता है। यहाँ ढाल \(-(k+2)\) है। रेखीय क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए, इसलिए \(-(k+2)<0\)। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमता का चिह्न बदलता है और \(k+2>0\), अर्थात \(k>-2\) मिलता है। \(k=-2\) पर ढाल शून्य होती है, इसलिए मान स्थिर रहता है, क्षय नहीं होता। परीक्षा टिप: वृद्धि या क्षय पहचानने के लिए हमेशा \(x\) के गुणांक का चिह्न जाँचें। / In a linear equation, the coefficient of \(x\) is the slope. Here the slope is \(-(k+2)\). For linear decay, the slope must be negative, so \(-(k+2)<0\). Multiplying by \(-1\) reverses the inequality, giving \(k+2>0\), or \(k>-2\). At \(k=-2\), the slope is zero, so the value remains constant rather than decaying. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\) to identify growth or decay.
दिया है: \(Z(x)=b-9x\)। अतः \(Z(3)=b-27\) और \(Z(5)=b-45\)। इसलिए \(Z(3)+Z(5)=2b-72\)। अब \(2b-72=114\) से \(2b=186\), अतः \(b=93\)। इसलिए सही विकल्प 93 है। 90 लेने पर योग 108 आएगा, 114 नहीं। परीक्षा टिप: पहले अलग-अलग इनपुट के लिए फलन का मान निकालकर दिए गए योग में रखें। / Given \(Z(x)=b-9x\), we get \(Z(3)=b-27\) and \(Z(5)=b-45\). Hence, \(Z(3)+Z(5)=2b-72\). Using \(2b-72=114\), we obtain \(2b=186\), so \(b=93\). Therefore, 93 is the correct option. If \(b=90\), the sum would be 108, not 114. Exam tip: evaluate the function at each given input before substituting into the stated sum.
दिया है \(K(t)=150-6t\)। \(t\) के स्थान पर \(4t\) रखने पर \(K(4t)=150-6(4t)=150-24t\) मिलता है। अतः \(K(t)-K(4t)=(150-6t)-(150-24t)=150-6t-150+24t=18t\)। इसलिए सही विकल्प \(18t\) है। \(24t\) केवल \(K(4t)\) में आने वाला पद है, अंतर का मान नहीं। परीक्षा टिप: कोष्ठक हटाते समय ऋण चिह्न को प्रत्येक पद पर लागू करें। / Given \(K(t)=150-6t\). Substituting \(4t\) for \(t\), we get \(K(4t)=150-6(4t)=150-24t\). Therefore, \(K(t)-K(4t)=(150-6t)-(150-24t)=150-6t-150+24t=18t\). Hence, \(18t\) is correct. \(24t\) is only the coefficient term in \(K(4t)\), not the value of the difference. Exam tip: when removing brackets after a minus sign, change the sign of every term inside the bracket.
दिया है \(V(y)=c-2200y\)। \(V(4)=31200\) रखने पर \(c-2200(4)=31200\), इसलिए \(c=40000\) मिलता है। अब \(V(9)=40000-2200(9)=40000-19800=20200\)। अतः सही उत्तर 20200 है। 22400 मान तब आता यदि 9 के स्थान पर 8 वर्ष लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिरांक \(c\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(y\) का मान रखें। / Given \(V(y)=c-2200y\). Substituting \(V(4)=31200\) gives \(c-2200(4)=31200\), so \(c=40000\). Therefore, \(V(9)=40000-2200(9)=40000-19800=20200\). Hence, 20200 is correct. The value 22400 would result from using 8 instead of 9. Exam tip: first find the constant \(c\) from the given value, then substitute the required value of \(y\).
दिया है कि \(G(4)=G(12)+72\), अर्थात \(G(4)-G(12)=72\)। अब \(G(4)=180-4r\) और \(G(12)=180-12r\) रखने पर अंतर \(8r\) मिलता है। इसलिए \(8r=72\), अतः \(r=9\)। विकल्प 8 लेने पर अंतर केवल 64 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो समयों पर रैखिक फलन का अंतर लेने से स्थिर पद \(180\) कट जाता है। / Given \(G(4)=G(12)+72\), we have \(G(4)-G(12)=72\). Now, \(G(4)=180-4r\) and \(G(12)=180-12r\), so their difference is \(8r\). Thus, \(8r=72\), which gives \(r=9\). If \(r=8\), the difference would be only 64, so it is not correct. Exam tip: Taking the difference of a linear function at two times cancels the constant term \(180\).
“14 अधिक” का अर्थ है \(M(t)=N(t)+14\)। अतः \(58+3t=116-5t+14=130-5t\)। इसलिए \(8t=72\), जिससे \(t=9\) प्राप्त होता है। \(t=8\) पर अंतर केवल \(6\) होगा, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: “अधिक” वाले प्रश्न में बड़े मान को छोटे मान से अपेक्षित अंतर जोड़कर लिखें। / “14 more” means \(M(t)=N(t)+14\). Thus, \(58+3t=116-5t+14=130-5t\). Hence \(8t=72\), so \(t=9\). At \(t=8\), the difference is only \(6\), making it a close but incorrect option. Exam tip: for “more than” questions, write the larger quantity as the smaller quantity plus the stated difference.
प्रति चरण 4 की कमी का अर्थ है कि \(x\) का गुणांक \(-4\) होगा। अतः समीकरण \(y=a-4x\) के रूप में होगा। शर्त \(y(7)=73\) रखने पर \(a-4(7)=73\), इसलिए \(a=101\) मिलता है। अतः सही समीकरण \(y=101-4x\) है। विकल्प A में प्रारम्भिक मान 73 है, इसलिए \(y(7)=45\) होगा, 73 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\)-मान को विकल्प में रखकर शर्त तुरंत जाँचें। / A decrease of 4 per step means the coefficient of \(x\) must be \(-4\). So the equation has the form \(y=a-4x\). Using \(y(7)=73\), we get \(a-4(7)=73\), so \(a=101\). Therefore, \(y=101-4x\) is correct. In option A, the initial value is 73, giving \(y(7)=45\), not 73. Exam tip: substitute the given \(x\)-value into each suitable option to check the condition quickly.
दिया है कि \(R(t)=r-8t\)। \(R(5)=104\) रखने पर \(r-8(5)=104\), इसलिए \(r=144\)। अब \(R(s)=48\) से \(144-8s=48\) मिलता है। अतः \(8s=96\), इसलिए \(s=12\)। विकल्प 14 लेने पर मान 48 नहीं आएगा। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिरांक \(r\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान में उसे रखें। / Given \(R(t)=r-8t\), substitute \(R(5)=104\): \(r-8(5)=104\), so \(r=144\). Now \(R(s)=48\) gives \(144-8s=48\). Thus \(8s=96\), and \(s=12\). For example, \(s=14\) would not give a value of 48. Exam tip: first find the constant \(r\) from the known input-output pair, then use the second condition.
\(P(x)=180-4x\) में स्थिर पद 180 प्रारम्भिक मान बताता है और \(x\) का गुणांक \(-4\) होने से राशि हर इकाई पर 4 घटती है। विकल्प A वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(P(x)=180-4x\), the constant term 180 gives the initial value, while the coefficient \(-4\) shows a decrease of 4 per unit increase in \(x\). Option A represents growth. Exam tip: a negative coefficient of \(x\) indicates linear decay.
दिया है कि \(D(t)=190-kt\)। अतः \(D(3)=190-3k\) और \(D(12)=190-12k\)। इसलिए \(D(3)-D(12)=(190-3k)-(190-12k)=9k\)। \(9k=81\) से \(k=9\) मिलता है। विकल्प 12 समयों का अंतर है, \(k\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों फलनों को अलग-अलग लिखकर घटाने पर स्थिर पद अक्सर कट जाते हैं। / Given \(D(t)=190-kt\), we have \(D(3)=190-3k\) and \(D(12)=190-12k\). Therefore, \(D(3)-D(12)=(190-3k)-(190-12k)=9k\). Since \(9k=81\), \(k=9\). Option 12 is the difference between the time values, not the value of \(k\). Exam tip: Write both function values separately before subtracting; the constant terms often cancel out.
\(12-3x\) प्रथम घात का बहुपद है और \(x\) का गुणांक \(-3\) है। इसलिए \(x\) में हर 1 की वृद्धि पर मात्रा 3 से घटती है। \(12-3x^2\) में परिवर्तन समान नहीं होता। परीक्षा टिप: रेखीय क्षय के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / \(12-3x\) is a first-degree polynomial with coefficient \(-3\) of \(x\). Thus, the quantity decreases by 3 for every increase of 1 in \(x\). \(12-3x^2\) is not linear because its rate changes. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of \(x\).
\(y=40-3x\) में \(x\) की घात 1 है और \(x\) के गुणांक \(-3\) का अर्थ है कि \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) 3 घटता है। \(40-3x^2\) द्विघात है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है। / In \(y=40-3x\), the highest power of \(x\) is 1, and the coefficient \(-3\) means \(y\) decreases by 3 when \(x\) increases by 1. \(40-3x^2\) is quadratic. Exam tip: a linear polynomial has degree 1.
\(y=18-3x\) में \(x\) का गुणांक ऋणात्मक और स्थिर है, इसलिए \(x\) में हर 1 की वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई घटता है। विकल्प B रैखिक वृद्धि है, जबकि C और D रैखिक नहीं हैं। परीक्षा टिप: रेखीय रूप \(y=a+bx\) में \(b<0\) हो तो क्षय होता है। / In \(y=18-3x\), the coefficient of \(x\) is a constant negative number, so \(y\) decreases by 3 units for every 1-unit increase in \(x\). Option B shows growth, while C and D are non-linear. Exam tip: in \(y=a+bx\), decay occurs when \(b<0\).
\(y=12-3x\) में स्थिर पद 12 धनात्मक प्रारम्भिक मान देता है और x का गुणांक −3 है, इसलिए x बढ़ने पर y घटता है। \(y=12+3x\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: स्थिर पद और ढाल का चिन्ह अलग-अलग जाँचें। / In \(y=12-3x\), the constant term 12 gives a positive initial value, while the coefficient −3 makes y decrease as x increases. \(y=12+3x\) represents growth instead. Exam tip: check the signs of the intercept and slope separately.
दिया है कि \(g(x)=b-7x\)। अतः \(g(6)=b-7(6)=b-42\)। क्योंकि \(g(6)=74\), इसलिए \(b-42=74\), जिससे \(b=116\) मिलता है। अब \(g(13)=116-7(13)=116-91=25\)। इसलिए सही विकल्प 25 है। 32 जैसा विकल्प घटाव में त्रुटि करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फलन-मूल्य से अज्ञात नियतांक ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(x\)-मान रखिए। / Given \(g(x)=b-7x\), we have \(g(6)=b-7(6)=b-42\). Since \(g(6)=74\), \(b-42=74\), so \(b=116\). Now, \(g(13)=116-7(13)=116-91=25\). Therefore, 25 is the correct option. A value such as 32 can result from an error in subtraction. Exam tip: first find the unknown constant from the given function value, then substitute the required value of \(x\).
मॉडल \(y=-3x+12\) में \(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) के हर 1 बढ़ने पर \(y\) 3 इकाई घटता है। \(x=0\) रखने पर मान 12 मिलता है, जो धनात्मक है। विकल्प C का प्रारम्भिक मान ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक देखें। / In \(y=-3x+12\), the coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) falls by 3 units for every increase of 1 in \(x\). Substituting \(x=0\) gives 12, which is positive. Option C has a negative initial value. Exam tip: decay requires a negative slope.
\(Q=80-5t\) में \(t\) का गुणांक \(-5\) स्थिर है, इसलिए हर एक समय इकाई पर राशि 5 इकाई घटती है। \(80+5t\) रेखीय वृद्धि दिखाता है। परीक्षा में ऋणात्मक स्थिर ढाल को रेखीय क्षय पहचानें। / In \(Q=80-5t\), the coefficient of \(t\) is the constant \(-5\), so the quantity falls by 5 units per time interval. \(80+5t\) shows growth, not decay. Exam tip: linear decay has a constant negative slope.
यहाँ \(x\) का परिवर्तन \(12-4=8\) है। समीकरण \(y=220-bx\) में \(x\) के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर \(y\), \(b\) इकाई घटता है। अतः कुल कमी \(8b=96\) होगी, जिससे \(b=12\) प्राप्त होता है। \(b=11\) लेने पर कमी \(8\times11=88\) होती, जो दी गई कमी नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में गुणांक की दर को \(\frac{\text{कुल परिवर्तन}}{\text{इनपुट का परिवर्तन}}\) से जाँचें। / The change in \(x\) is \(12-4=8\). In \(y=220-bx\), every increase of 1 in \(x\) decreases \(y\) by \(b\). Hence, the total decrease is \(8b=96\), giving \(b=12\). If \(b=11\), the decrease would be \(8\times11=88\), not 96. Exam tip: for a linear relation, check the rate using \(\frac{\text{total change}}{\text{change in input}}\).
यह एक रैखिक फलन है, इसलिए दो इनपुटों के फलन-मूल्यों का औसत उनके मध्यबिंदु के फलन-मूल्य के बराबर होता है। 2 और 12 का मध्यबिंदु 7 है। जाँच करें: \(Q(2)=150\) तथा \(Q(12)=100\), अतः \(Q(2)+Q(12)=250\)। साथ ही \(Q(7)=125\), इसलिए \(2Q(7)=250\)। अतः सही विकल्प \(Q(7)\) है। \(Q(6)\) निकट है, लेकिन \(2Q(6)=260\) होता है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में ऐसे प्रश्नों के लिए पहले इनपुटों का औसत लें। / Since this is a linear function, the average of the function values at two inputs equals the function value at their midpoint. The midpoint of 2 and 12 is 7. Checking directly, \(Q(2)=150\) and \(Q(12)=100\), so \(Q(2)+Q(12)=250\). Also, \(Q(7)=125\), hence \(2Q(7)=250\). Therefore, \(Q(7)\) is correct. \(Q(6)\) is close, but \(2Q(6)=260\). Exam tip: for a linear function, first find the average of the two input values in questions of this form.
\(y=18-3x\) में x का गुणांक \(-3\) स्थिर है, इसलिए x बढ़ने पर y हर बार समान दर से घटता है। \(x^2\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास के लिए x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(y=18-3x\), the coefficient of x is the constant \(-3\), so y falls at the same rate as x increases. A relation containing \(x^2\) is not linear. Exam tip: for linear decay, look for x to power 1 with a negative coefficient.
\(y=100-5x\) में \(x\) के गुणांक \(-5\) का अर्थ है कि \(x\) की प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 5 इकाई घटता है। \(x^2\) या \(1/x\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में \(x\) का गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(y=100-5x\), the coefficient \(-5\) means that \(y\) decreases by 5 units for every 1-unit increase in \(x\). Relations containing \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of \(x\).
A. हर एकक समय में \(5\) बढ़ता है/It increases by \(5\) per unit time
Explanation
Simple Explanation
अंतर ज्ञात करें: \(C(t)-D(t)=(170-4t)-(110-9t)=60+5t\)। इसमें \(t\) का गुणांक \(5\) है, इसलिए \(t\) के प्रत्येक एकक बढ़ने पर अंतर \(5\) बढ़ता है। \(60\) केवल प्रारम्भिक अंतर है, परिवर्तन की दर नहीं। परीक्षा टिप: दो व्यंजकों का अंतर लेते समय दूसरे व्यंजक के सभी पदों के चिह्न बदलें। / Find the difference: \(C(t)-D(t)=(170-4t)-(110-9t)=60+5t\). Since the coefficient of \(t\) is \(5\), the difference increases by \(5\) for every one-unit increase in \(t\). The number \(60\) is the initial difference, not the rate of change. Exam tip: When subtracting an expression, change the signs of all terms in the expression being subtracted.
रेखीय रूप \(y=a+mx\) में ढाल \(m\) ऋणात्मक होने पर \(x\) बढ़ने के साथ \(y\) घटता है, अर्थात रेखीय क्षय होता है। यहाँ ढाल \(-(k-5)=5-k\) है। क्षय के लिए \(5-k<0\) होना चाहिए, जिससे \(k>5\) मिलता है। \(k<5\) होने पर ढाल धनात्मक होगी और वृद्धि होगी, जबकि \(k=5\) पर ढाल शून्य है तथा मान स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: क्षय या वृद्धि पहचानने के लिए हमेशा \(x\) के गुणांक का चिह्न जाँचें। / In the linear form \(y=a+mx\), the value of \(y\) decreases as \(x\) increases when the slope \(m\) is negative; this represents linear decay. Here, the slope is \(-(k-5)=5-k\). For decay, \(5-k<0\), which gives \(k>5\). If \(k<5\), the slope is positive and the relation shows growth, while for \(k=5\), the slope is zero and the value remains constant. Exam tip: To identify growth or decay, check the sign of the coefficient of \(x\).
