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दिया है \(K(t)=280-8t\)। इसलिए \(K(2t)=280-8(2t)=280-16t\) तथा \(K(6t)=280-8(6t)=280-48t\)। अतः \(K(2t)-K(6t)=(280-16t)-(280-48t)=32t\)। \(48t\) केवल \(K(6t)\) के रैखिक पद का परिमाण है, दोनों मानों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फलन में \(2t\) या \(6t\) रखने पर \(t\) के स्थान पर पूरे व्यंजक को प्रतिस्थापित करें। / Given \(K(t)=280-8t\), we get \(K(2t)=280-8(2t)=280-16t\) and \(K(6t)=280-8(6t)=280-48t\). Therefore, \(K(2t)-K(6t)=(280-16t)-(280-48t)=32t\). \(48t\) is only the magnitude of the linear term in \(K(6t)\), not the difference between the two function values. Exam tip: when substituting \(2t\) or \(6t\), replace every occurrence of \(t\) by the complete expression.
दिया है कि \(V(y)=c-3200y\)। \(V(5)=44000\) रखने पर \(c-3200\times5=44000\), अतः \(c=60000\)। इसलिए \(V(11)=60000-3200\times11=60000-35200=24800\)। विकल्प B, 28000, तब मिलता यदि 11 के स्थान पर गलत मान रखा जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से \(c\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(y\) का मान रखें। / Given \(V(y)=c-3200y\). Substituting \(V(5)=44000\) gives \(c-3200\times5=44000\), so \(c=60000\). Hence, \(V(11)=60000-3200\times11=60000-35200=24800\). Option B, 28000, would result from using an incorrect value in place of 11. Exam tip: first find \(c\) using the given condition, then substitute the required value of \(y\).
प्रति चरण 13 की कमी का अर्थ है कि \(x\) का गुणांक \(-13\) होगा। इसलिए समीकरण \(y=a-13x\) के रूप में होगा। शर्त \(y(6)=71\) रखने पर \(a-13(6)=71\), अतः \(a=149\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प \(y=149-13x\) है। विकल्प C में \(y\) घटने के बजाय बढ़ता है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए बिंदु \((x,y)\) को समीकरण में रखकर नियत पद जाँचें। / A decrease of 13 per step means that the coefficient of \(x\) must be \(-13\). So the equation has the form \(y=a-13x\). Using \(y(6)=71\), we get \(a-13(6)=71\), so \(a=149\). Hence, \(y=149-13x\) is correct. In option C, \(y\) increases rather than decreases. Exam tip: Substitute the given point \((x,y)\) into the equation to check the constant term.
दिया है R(t)=r-15t। पहले R(4)=128 रखने पर r-15(4)=128, अर्थात r-60=128 और r=188 मिलता है। अब R(s)=38 के लिए 188-15s=38। इसलिए 15s=150 तथा s=10। अतः सही विकल्प 10 है। 12 रखने पर मान 8 कम होकर 8 मिलता है, 38 नहीं। परीक्षा टिप: पहले स्थिर मान r ज्ञात करें, फिर दूसरे दिए गए मान में उसे प्रतिस्थापित करें। / Given R(t)=r-15t, use R(4)=128 first: r-15(4)=128, so r-60=128 and r=188. Now use R(s)=38: 188-15s=38. Thus, 15s=150 and s=10. Therefore, 10 is the correct option. If 12 were used, the model would give 8, not 38. Exam tip: find the constant r from one condition before substituting the second condition.
रैखिक बहुपद \(ax+b\) में \(a\), x में 1 इकाई वृद्धि पर होने वाला परिवर्तन बताता है। यहाँ परिवर्तन \(-7\) होना चाहिए, इसलिए \(45-7x\) सही है। \(45+7x\) में मान 7 बढ़ता है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In a linear polynomial \(ax+b\), the coefficient \(a\) gives the change when x increases by 1. The required change is \(-7\), so \(45-7x\) is correct. In \(45+7x\), the value rises by 7. Exam tip: decay has a negative coefficient of x.
दिया है कि \(D(t)=300-kt\)। इसलिए \(D(4)=300-4k\) और \(D(12)=300-12k\) होगा। अतः \(D(4)-D(12)=(300-4k)-(300-12k)=8k\)। \(8k=104\) से \(k=13\) मिलता है, इसलिए विकल्प C सही है। \(k=12\) लेने पर अंतर \(96\) आता, जो दिया गया \(104\) नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों फलनों का अंतर लेते समय ऋण चिह्नों को सावधानी से खोलें। / Given \(D(t)=300-kt\), we have \(D(4)=300-4k\) and \(D(12)=300-12k\). Therefore, \(D(4)-D(12)=(300-4k)-(300-12k)=8k\). Since \(8k=104\), \(k=13\), so option C is correct. If \(k=12\), the difference would be \(96\), not the given \(104\). Exam tip: When subtracting two expressions, carefully distribute the negative sign across the second expression.
\(7-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर मान 3 घटता है। \(3x-7\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा में रैखिक क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(7-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so the value falls by 3 for every increase of 1 in x. \(3x-7\) represents growth. Exam tip: linear decay always has a negative coefficient of x.
A. टंकी में पानी हर मिनट समान मात्रा में कम हो रहा है।/The water in a tank decreases by the same amount every minute.
Explanation
Simple Explanation
समान समय-अंतराल में समान मात्रा की कमी रैखिक क्षय है, इसलिए ढाल \(a\) ऋणात्मक होती है। दो बराबर अंतरालों के लिए \(\Delta p=a\Delta x\) समान रहता है। प्रतिशत वाली कमी घातीय होती है। परीक्षा टिप: “समान मात्रा” रैखिकता का संकेत है। / A decrease by the same amount in equal time intervals is linear decay, so the slope \(a\) is negative. For equal intervals, \(\Delta p=a\Delta x\) remains constant. A fixed percentage decrease is exponential. Exam tip: “same amount” signals a linear model.
\(y=8-3x\) में x का गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए x बढ़ने पर y समान दर से घटता है; यही रैखिक क्षय है। \(8+3x\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा में x के गुणांक का चिन्ह देखें। / In \(y=8-3x\), the coefficient of x is negative, so y decreases at a constant rate as x increases; this is linear decay. \(8+3x\) shows growth. Exam tip: check the sign of the x-coefficient.
दिया है कि \(g(x)=b-14x\)। \(x=4\) रखने पर \(g(4)=b-14(4)=b-56=120\), इसलिए \(b=176\)। अब \(x=11\) रखने पर \(g(11)=176-14(11)=176-154=22\)। अतः सही उत्तर 22 है। 36 प्राप्त हो सकता है यदि घटाव में गलती से \(176-140\) किया जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फलन-मान से अज्ञात नियतांक \(b\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(x\)-मान रखें। / Given \(g(x)=b-14x\). Substituting \(x=4\), \(g(4)=b-14(4)=b-56=120\), so \(b=176\). Now, substituting \(x=11\), \(g(11)=176-14(11)=176-154=22\). Therefore, 22 is the correct answer. The value 36 may result from incorrectly using \(176-140\). Exam tip: first find the unknown constant \(b\) from the given function value, then substitute the required value of \(x\).
दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर \(70+5t=190-10t\) मिलता है। \(10t\) को बाईं ओर लाने पर \(15t=120\), अतः \(t=8\) होगा। \(t=6\) रखने पर दोनों मान बराबर नहीं आते, इसलिए वह निकट दिखने वाला विकल्प भी गलत है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों फलनों को बराबर रखें, फिर \(t\) वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / Equating the two expressions gives \(70+5t=190-10t\). Moving \(10t\) to the left gives \(15t=120\), so \(t=8\). Substituting \(t=6\) does not make the two values equal, so that nearby option is incorrect. Exam tip: first equate both functions, then collect all terms containing \(t\) on one side.
रेखीय क्षय में \(t\) का घात 1 और उसका गुणांक ऋणात्मक होता है। \(Q(t)=240-8t\) में हर समय-इकाई पर मात्रा 8 घटती है। \(240-8t^2\) क्षय दर्शाता है, पर रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: \(t\) के गुणांक का चिन्ह जाँचें। / In linear decay, the power of \(t\) is 1 and its coefficient is negative. In \(Q(t)=240-8t\), the quantity falls by 8 per time unit. \(240-8t^2\) shows decay but is not linear. Exam tip: check the sign and power of \(t\).
A. समान समयांतरालों में मात्रा समान निश्चित मान से घटती है।/The quantity decreases by the same fixed amount in equal time intervals.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में हर समान समयांतराल पर कमी का अंतर स्थिर रहता है, इसलिए मॉडल का ढाल स्थिर और ऋणात्मक होता है। समान प्रतिशत की कमी घातीय क्षय है। परीक्षा टिप: निश्चित अंतर जाँचें, प्रतिशत नहीं। / In linear decay, the decrease over every equal time interval is a constant difference, so the model has a constant negative slope. A constant percentage decrease indicates exponential decay. Exam tip: check fixed differences, not percentages.
योग ((b-18)+(b-42)+(b-66)=3b-126) है। (3b-126=234) से (b=120) आता है इसलिए विकल्पों में कोई नहीं है। / The sum is ((b-18)+(b-42)+(b-66)=3b-126). From (3b-126=234), (b=120), so none of the options is correct.
यहाँ \(x\) का परिवर्तन \(14-6=8\) है। समीकरण \(y=300-bx\) में \(x\) के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर \(y\), \(b\) इकाई घटता है। अतः कुल कमी \(8b\) होगी। दिया है \(8b=120\), इसलिए \(b=120/8=15\)। \(14\) लेने पर कुल कमी \(8\times14=112\) होती, जो दी गई कमी के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में कुल परिवर्तन = प्रति इकाई परिवर्तन × इनपुट का परिवर्तन। / The change in \(x\) is \(14-6=8\). In \(y=300-bx\), every increase of 1 unit in \(x\) decreases \(y\) by \(b\) units. Therefore, the total decrease is \(8b\). Given \(8b=120\), we get \(b=120/8=15\). If \(b=14\), the decrease would be \(8\times14=112\), not 120. Exam tip: For a linear relation, total change equals rate of change times the change in input.
दिया है Q(t)=250-10t। अतः Q(4)=210 और Q(16)=90, इसलिए Q(4)+Q(16)=300। अब Q(10)=250-100=150, तथा 2Q(10)=2×150=300। इसलिए सही विकल्प Q(10) है। Q(12)=130 होने से उसका दोगुना 260 होगा, जो 300 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो इनपुटों के औसत पर फलन का मान, दोनों फलन मानों के औसत के बराबर होता है। / Given Q(t)=250-10t, Q(4)=210 and Q(16)=90. Hence, Q(4)+Q(16)=300. Now, Q(10)=250-100=150, so 2Q(10)=2×150=300. Therefore, Q(10) is correct. For example, Q(12)=130, and twice this value is 260, not 300. Exam tip: For a linear function, the function value at the average of two inputs equals the average of the two function values.
\(y=200-5t\) में \(t\) का गुणांक \(-5\) है, इसलिए प्रत्येक समय-इकाई पर \(y\) ठीक 5 घटता है। \(200(0.95)^t\) घातांकीय ह्रास है, क्योंकि उसमें कमी प्रतिशत के रूप में बदलती है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में चर की घात 1 होती है। / In \(y=200-5t\), the coefficient of \(t\) is \(-5\), so \(y\) decreases by exactly 5 per time unit. \(200(0.95)^t\) shows exponential decay because its decrease is percentage-based. Exam tip: in linear decay, the variable has power 1.
A. t में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर 7 बढ़ता है/It increases by 7 for each 1-unit increase in t
Explanation
Simple Explanation
अंतर ज्ञात करें: \(C(t)-D(t)=(260-8t)-(180-15t)=80+7t\)। \(t\) का गुणांक \(+7\) है, इसलिए \(t\) में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर अंतर 7 बढ़ता है। विकल्प B में चिह्न की गलती है; \(-8t-(-15t)=-8t+15t=+7t\) होता है, \(-7t\) नहीं। परीक्षा टिप: दो व्यंजकों का अंतर लेते समय दूसरे पूरे व्यंजक के सभी पदों के चिह्न बदलें। / Find the difference: \(C(t)-D(t)=(260-8t)-(180-15t)=80+7t\). The coefficient of \(t\) is \(+7\), so the difference increases by 7 for every 1-unit increase in \(t\). Option B results from a sign error: \(-8t-(-15t)=-8t+15t=+7t\), not \(-7t\). Exam tip: when subtracting an expression, change the signs of every term in the second expression.
रेखीय रूप में \(y=mx+c\) का ढाल \(m\) होता है। यहाँ \(x\) का गुणांक \(-(k-4)=4-k\) है। क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक होना चाहिए, इसलिए \(4-k<0\), जिससे \(k>4\) मिलता है। \(k=4\) पर ढाल शून्य है, अतः मान स्थिर रहता है और क्षय नहीं होता। परीक्षा टिप: रेखीय वृद्धि या क्षय पहचानने के लिए \(x\) के गुणांक का चिह्न जाँचें। / In the linear form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope. Here, the coefficient of \(x\) is \(-(k-4)=4-k\). For decay, the slope must be negative, so \(4-k<0\), which gives \(k>4\). At \(k=4\), the slope is zero, so the value remains constant rather than decaying. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\) to identify linear growth or decay.
दिया है,
\(Z(x)=b-10x\)। अतः \(Z(2)=b-20\) और \(Z(7)=b-70\)। इसलिए \(Z(2)+Z(7)=2b-90=130\)। इससे \(2b=220\), अतः \(b=110\)। विकल्प 105 लेने पर योग 120 आएगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दोनों दिए गए इनपुट मानों को बहुपद में अलग-अलग रखकर फिर उनका योग करें। / Given \(Z(x)=b-10x\), we get \(Z(2)=b-20\) and \(Z(7)=b-70\). Hence, \(Z(2)+Z(7)=2b-90=130\). Therefore, \(2b=220\) and \(b=110\). If 105 were used, the sum would be 120, so it is not correct. Exam tip: substitute each given input into the polynomial separately before adding the results.
मशीन का मूल्य प्रत्येक वर्ष 2500 से घटता है। वर्ष 4 से वर्ष 10 तक 6 वर्ष हैं, इसलिए कुल कमी \(6\times2500=15000\) होगी। अतः \(V(10)=38000-15000=23000\)। विकल्प 28000 में केवल 4 वर्षों की कमी घटाई गई है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में दिए गए दो समयों का अंतर लेकर प्रति वर्ष की कमी से गुणा करें। / The machine’s value decreases by 2500 each year. From year 4 to year 10, there are 6 years, so the total decrease is \(6\times2500=15000\). Therefore, \(V(10)=38000-15000=23000\). Option 28000 results from subtracting the depreciation for only 4 years, so it is incorrect. Exam tip: In linear decay, first find the difference between the two time values and multiply it by the yearly decrease.
दिया है \(G(t)=220-rt\)। अतः \(G(4)=220-4r\) और \(G(13)=220-13r\)। इसलिए \(G(4)-G(13)=9r\)। शर्त \(G(4)=G(13)+99\) से \(G(4)-G(13)=99\), अतः \(9r=99\) और \(r=11\)। \(10\) निकट विकल्प है, पर उससे अंतर \(9\times10=90\) होगा, 99 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक फलनों में दो समयों के मान घटाने पर स्थिर पद कट जाता है। / Given \(G(t)=220-rt\), we have \(G(4)=220-4r\) and \(G(13)=220-13r\). Hence, \(G(4)-G(13)=9r\). The condition \(G(4)=G(13)+99\) gives \(G(4)-G(13)=99\), so \(9r=99\) and \(r=11\). Option \(10\) is close, but it would give a difference of \(9\times10=90\), not 99. Exam tip: when subtracting values of a linear function, the constant term cancels out.
प्रति चरण 7 की कमी का अर्थ है कि \(x\) का गुणांक \(-7\) होगा। अतः समीकरण \(y=a-7x\) के रूप में होगा। शर्त \(y(8)=94\) रखने पर \(a-7(8)=94\), अर्थात \(a=150\) मिलता है। इसलिए \(y=150-7x\) सही विकल्प है। विकल्प A में कमी की दर तो \(-7\) है, लेकिन \(y(8)=38\) आता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले ढाल/दर का चिह्न तय करें, फिर दी गई स्थिति रखकर स्थिरांक ज्ञात करें। / A decrease of 7 per step means that the coefficient of \(x\) must be \(-7\). So the equation has the form \(y=a-7x\). Using \(y(8)=94\), we get \(a-7(8)=94\), so \(a=150\). Therefore, \(y=150-7x\) is correct. Option A has the correct rate of decrease, but it gives \(y(8)=38\). Exam tip: first identify the sign of the rate, then substitute the given condition to find the constant term.
दिया है कि \(R(t)=r-12t\)। \(R(3)=134\) रखने पर \(r-12(3)=134\), अर्थात \(r-36=134\), इसलिए \(r=170\)। अब \(R(s)=50\) से \(170-12s=50\) मिलता है। अतः \(12s=120\), इसलिए \(s=10\)। विकल्प 9 लेने पर मान \(R(9)=62\) आता है, 50 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिर पद \(r\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान से चर हल करें। / Given \(R(t)=r-12t\), substitute \(t=3\): \(r-12(3)=134\). Thus, \(r-36=134\), so \(r=170\). Now \(R(s)=50\) gives \(170-12s=50\). Hence \(12s=120\), and \(s=10\). If \(s=9\), then \(R(9)=62\), not 50. Exam tip: first find the constant \(r\) from the given value, then use the second condition to solve for the variable.
\(t=0\) रखने पर \(15-7t\) का मान 15 मिलता है और \(t\) का गुणांक \(-7\) है, इसलिए हर इकाई समय पर 7 की कमी होती है। \(15+7t\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक परिवर्तन में \(t\) की घात 1 होती है। / Putting \(t=0\) in \(15-7t\) gives 15, and the coefficient of \(t\) is \(-7\), so the quantity falls by 7 per unit time. \(15+7t\) indicates growth. Exam tip: in a linear model, the variable has power 1.
प्रारम्भिक मान स्थिर पद होता है, इसलिए वह 50 है। प्रत्येक समय-इकाई में 4 की कमी के कारण \(t\) का गुणांक \(-4\) होगा; अतः \(Q(t)=50-4t\)। \(50-4t^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: समान परिवर्तन का अर्थ प्रथम घात है। / The initial value is the constant term, so it is 50. A decrease of 4 per time unit gives the coefficient of \(t\) as \(-4\), hence \(Q(t)=50-4t\). \(50-4t^2\) is not linear. Exam tip: constant change means degree 1.
दिया है \(D(t)=240-kt\)। अतः \(D(5)=240-5k\) और \(D(13)=240-13k\)। इसलिए \(D(5)-D(13)=(240-5k)-(240-13k)=8k\)। अब \(8k=96\), इसलिए \(k=12\)। \(k=16\) लेने पर अंतर \(128\) आएगा, जो दिए गए \(96\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक के दो मानों का अंतर लेते समय स्थिर पद कट जाते हैं। / Given \(D(t)=240-kt\), we have \(D(5)=240-5k\) and \(D(13)=240-13k\). Hence, \(D(5)-D(13)=(240-5k)-(240-13k)=8k\). Therefore, \(8k=96\), so \(k=12\). If \(k=16\), the difference would be \(128\), not \(96\). Exam tip: when subtracting two values of a linear expression, the constant terms cancel.
\(7-3x\) एक रैखिक बहुपद है और x का गुणांक \(-3\) है। इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर मान 3 से घटता है। \(x^2-3x+7\) में परिवर्तन की दर स्थिर नहीं होती। परीक्षा टिप: स्थिर वृद्धि/क्षय के लिए x की घात 1 देखें। / \(7-3x\) is a linear polynomial with coefficient \(-3\) of x. Thus, for every increase of 1 in x, its value decreases by 3. In \(x^2-3x+7\), the rate of change is not constant. Exam tip: constant growth or decay requires degree 1.
\(y=250-7x\) में x का गुणांक \(-7\) है, इसलिए x की प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर y 7 इकाई घटता है। \(y=250+7x\) वृद्धि दर्शाता है, जबकि \(x^2\) वाला संबंध रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(y=250-7x\), the coefficient of x is \(-7\), so y decreases by 7 for every 1-unit increase in x. \(y=250+7x\) shows growth, while an \(x^2\) relation is not linear. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of x.
\(y=18-2.5x\) में स्थिर पद 18 प्रारम्भिक मान है और x का गुणांक \(-2.5\) प्रति इकाई समान कमी बताता है। विकल्प C रैखिक नहीं है क्योंकि उसमें \(x^2\) है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का घात 1 तथा उसका गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(y=18-2.5x\), the constant term 18 is the initial value and the coefficient \(-2.5\) shows an equal decrease per unit of x. Option C is not linear because it contains \(x^2\). Exam tip: for linear decay, x has power 1 and a negative coefficient.
