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277 questions tagged with linear decay.
If (g(t)=b-8t) and the sum of (g(5), g(9), g(13)) is (288), what is (b)?
A. (144)
योग ((b-40)+(b-72)+(b-104)=3b-216) है। (3b-216=288) से (b=168) नहीं बल्कि विकल्प (D) है। / The sum is ((b-40)+(b-72)+(b-104)=3b-216). From (3b-216=288), (b=168), so option (D) is correct.
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If in (y=420-bx), (y) decreases by (152) from (x=8) to (x=16), what is (b)?
C. 19
यहाँ x का परिवर्तन \(16-8=8\) है। समीकरण \(y=420-bx\) में x के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर y, b इकाई घटता है। अतः 8 इकाई के लिए कुल कमी \(8b\) होगी। दिया है \(8b=152\), इसलिए \(b=152/8=19\)। विकल्प 18 लेने पर कमी \(8\times18=144\) होती, जो 152 नहीं है। परीक्षा में कुल परिवर्तन को x के अंतर से भाग देकर b ज्ञात करें। / The change in x is \(16-8=8\). In \(y=420-bx\), y decreases by b units for every 1-unit increase in x. Therefore, over 8 units, the total decrease is \(8b\). Given \(8b=152\), we get \(b=152/8=19\). If b were 18, the decrease would be \(8\times18=144\), not 152. Exam tip: divide the total change in y by the change in x to find the rate b.
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If (Q(t)=420-12t), (Q(6)+Q(18)) is equal to twice which (Q(k))?
C. Q(12)
यह एक रैखिक फलन है। 6 और 18 का मध्य मान 12 है, इसलिए रैखिक फलन के लिए Q(6)+Q(18)=2Q(12) होता है। जाँच के लिए, Q(6)=348 और Q(18)=204, अतः योग 552 है। साथ ही Q(12)=276, इसलिए 2Q(12)=552। Q(11) मध्य मान नहीं है, इसलिए वह सही नहीं हो सकता। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो इनपुटों के फलनों का योग उनके मध्य इनपुट के फलन के दोगुने के बराबर होता है। / This is a linear function. The midpoint of 6 and 18 is 12, so for a linear function, Q(6)+Q(18)=2Q(12). Checking directly, Q(6)=348 and Q(18)=204, giving a sum of 552. Also, Q(12)=276, so 2Q(12)=552. Q(11) is not the midpoint, so it cannot be correct. Exam tip: For a linear function, the sum of the values at two inputs equals twice the value at their midpoint.
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B. \(y=120-8x\)
\(y=120-8x\) में x का गुणांक \(-8\) है, इसलिए x के 1 बढ़ने पर y 8 घटता है। \(120+8x\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(y=a+bx\) में b की ऋणात्मकता क्षय बताती है। / In \(y=120-8x\), the coefficient of x is \(-8\), so y falls by 8 when x rises by 1. \(120+8x\) represents growth. Exam tip: in \(y=a+bx\), a negative b indicates linear decay.
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Which of the following polynomial relations represents linear decay in \(y\) as \(x\) increases?
A. \(y=50-3x\)
\(y=50-3x\) में \(x\) का घात 1 है और उसका गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) की प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई घटता है। \(y=50-3x^2\) में ह्रास रैखिक नहीं, द्विघात है। परीक्षा टिप: घात 1 और ऋणात्मक गुणांक पहचानें। / In \(y=50-3x\), the degree of \(x\) is 1 and its coefficient is \(-3\), so \(y\) decreases by 3 for every 1-unit increase in \(x\). \(y=50-3x^2\) is quadratic, not linear. Exam tip: identify degree 1 with a negative coefficient.
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For which (k) will (y=410-(k-8)x) show linear decay?
A. \(k>8\)
दिया गया व्यंजक \(y=410-(k-8)x=410+(8-k)x\) है। रेखीय क्षय के लिए \(x\) का गुणांक (ढाल) ऋणात्मक होना चाहिए। अतः \(8-k<0\), जिससे \(k>8\) प्राप्त होता है। \(k=8\) पर ढाल शून्य होती है, इसलिए मान स्थिर रहता है; जबकि \(k<8\) पर ढाल धनात्मक होकर रेखीय वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: रेखीय वृद्धि या क्षय पहचानने के लिए \(x\) के गुणांक का चिन्ह जाँचें। / The expression can be written as \(y=410-(k-8)x=410+(8-k)x\). For linear decay, the coefficient of \(x\) (the slope) must be negative. Thus, \(8-k<0\), which gives \(k>8\). When \(k=8\), the slope is zero and the value remains constant; when \(k<8\), the slope is positive, giving linear growth. Exam tip: check the sign of the coefficient of \(x\) to identify linear growth or decay.
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If (Z(x)=b-15x) is linear decay and (Z(4)+Z(8)=160), what is (b)?
B. 170
दिया है कि \(Z(x)=b-15x\)। अतः \(Z(4)=b-60\) और \(Z(8)=b-120\)। इसलिए \(Z(4)+Z(8)=2b-180\)। अब \(2b-180=160\) रखने पर \(2b=340\), इसलिए \(b=170\)। विकल्प 180 लेने पर योग 180 आएगा, 160 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए प्रत्येक \(x\)-मान को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Z(x)=b-15x\), we get \(Z(4)=b-60\) and \(Z(8)=b-120\). Hence, \(Z(4)+Z(8)=2b-180\). Using \(2b-180=160\), we obtain \(2b=340\), so \(b=170\). For example, choosing 180 would make the sum 180, not 160. Exam tip: substitute each given value of \(x\) into the function separately before adding the results.
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If (K(t)=350-10t), what is (K(3t)-K(7t))?
B. \(40t\)
दिया है \(K(t)=350-10t\)। अतः \(K(3t)=350-10(3t)=350-30t\) और \(K(7t)=350-10(7t)=350-70t\)। इसलिए \(K(3t)-K(7t)=(350-30t)-(350-70t)=40t\)। विकल्प \(70t\) केवल \(K(7t)\) में घटने वाला पद है, दोनों मानों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फलन में \(3t\) या \(7t\) रखने पर पूरे इनपुट को \(t\) के स्थान पर प्रतिस्थापित करें। / Given \(K(t)=350-10t\), we get \(K(3t)=350-10(3t)=350-30t\) and \(K(7t)=350-10(7t)=350-70t\). Therefore, \(K(3t)-K(7t)=(350-30t)-(350-70t)=40t\). The term \(70t\) occurs in \(K(7t)\), but it is not the difference between the two function values. Exam tip: when the input is \(3t\) or \(7t\), substitute the complete input in place of \(t\).
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A machine's value is (V(y)=c-4200y). If (V(4)=53200), what will (V(11)) be?
A. 23800
दिया है कि \(V(y)=c-4200y\)। \(V(4)=53200\) रखने पर \(c-4200\times4=53200\), इसलिए \(c=70000\)। अब \(V(11)=70000-4200\times11=23800\)। अतः सही उत्तर 23800 है। 28000 जैसी निकट विकल्प-त्रुटि तब हो सकती है जब मूल्यह्रास के वर्षों या गुणन में गलती हो। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिरांक \(c\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित \(y\) का मान रखें। / Given \(V(y)=c-4200y\). Using \(V(4)=53200\), we get \(c-4200\times4=53200\), so \(c=70000\). Now \(V(11)=70000-4200\times11=23800\). Therefore, 23800 is correct. A nearby option such as 28000 can result from using an incorrect number of years or making an arithmetic error in the depreciation term. Exam tip: first find the constant \(c\) from the given value, then substitute the required value of \(y\).
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If (G(t)=320-rt) and (G(4)=G(13)+144), what is (r)?
C. 16
दिया है कि \(G(4)=G(13)+144\), अतः \(G(4)-G(13)=144\)। अब \(G(4)=320-4r\) और \(G(13)=320-13r\) हैं। इसलिए \((320-4r)-(320-13r)=9r=144\)। अतः \(r=16\)। विकल्प 18 तब मिलता जब समयांतराल को गलत लिया जाए; यहाँ \(13-4=9\) है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों फलन-मूल्यों का अंतर लेने पर स्थिर पद कट जाता है। / Given \(G(4)=G(13)+144\), we get \(G(4)-G(13)=144\). Now \(G(4)=320-4r\) and \(G(13)=320-13r\). Hence \((320-4r)-(320-13r)=9r=144\), so \(r=16\). Option 18 can result from using an incorrect time difference; here \(13-4=9\). Exam tip: taking the difference of function values cancels the constant term in a linear function.
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A. \(b<0\)
\(x\) में 1 की वृद्धि पर \(P(x+1)-P(x)=b\) होता है। क्षय में राशि घटती है, इसलिए यह अंतर ऋणात्मक होना चाहिए, अर्थात \(b<0\)। \(b=0\) स्थिर राशि दर्शाता है। परीक्षा टिप: \(b\) को परिवर्तन की दर मानें। / When \(x\) rises by 1, \(P(x+1)-P(x)=b\). In decay, the quantity must decrease, so this change is negative and \(b<0\). A value of \(b=0\) represents no change. Exam tip: read \(b\) as the rate of change.
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If (M(t)=95+6t) and (N(t)=203-6t), when will (M(t)) be (24) more than (N(t))?
C. \(t=11\)
शर्त है कि \(M(t)=N(t)+24\)। अतः \(95+6t=203-6t+24\), यानी \(12t=132\), इसलिए \(t=11\)। जाँच करने पर \(M(11)=161\) और \(N(11)=137\) हैं; अंतर \(24\) है। \(t=10\) पर अंतर केवल \(12\) होगा। परीक्षा टिप: “से 24 अधिक” को हमेशा \(M-N=24\) लिखें। / The required condition is \(M(t)=N(t)+24\). Thus, \(95+6t=203-6t+24\), so \(12t=132\) and \(t=11\). Checking: \(M(11)=161\) and \(N(11)=137\), giving a difference of \(24\). At \(t=10\), the difference is only \(12\). Exam tip: translate “24 more than” as \(M-N=24\).
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Which option makes (y) decrease by (16) per step and has (y(5)=78)?
B. \(y=158-16x\)
प्रति चरण 16 की कमी का अर्थ है कि \(x\) का गुणांक \(-16\) होगा। अतः समीकरण \(y=a-16x\) मानते हैं। शर्त \(y(5)=78\) रखने पर \(a-16(5)=78\), इसलिए \(a=158\) मिलता है। अतः \(y=158-16x\) सही विकल्प है। विकल्प A में स्थिरांक 78 है, इसलिए \(y(5)=-2\) आता है, 78 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\)-मान को समीकरण में रखकर विकल्प को तुरंत जाँचें। / A decrease of 16 per step means that the coefficient of \(x\) must be \(-16\). So write the equation as \(y=a-16x\). Using \(y(5)=78\), we get \(a-16(5)=78\), hence \(a=158\). Therefore, \(y=158-16x\) is correct. In option A, the constant is 78, so \(y(5)=-2\), not 78. Exam tip: substitute the given \(x\)-value into each likely equation to check the condition quickly.
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In the model (R(t)=r-18t), (R(3)=166) and (R(s)=40). What is (s)?
B. 10
दिया है: R(t)=r-18t। पहले R(3)=166 रखने पर r-18(3)=166, अर्थात r-54=166 और r=220 मिलता है। अब R(s)=40 रखने पर 220-18s=40। इसलिए 18s=180, अतः s=10। विकल्प 9 लेने पर R(9)=58 होगा, 40 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिर पद r ज्ञात करें, फिर दूसरे मान में उसे रखकर चर हल करें। / Given R(t)=r-18t. Substituting R(3)=166 gives r-18(3)=166, so r-54=166 and r=220. Now, using R(s)=40, we get 220-18s=40. Thus, 18s=180 and s=10. If s=9, then R(9)=58, not 40. Exam tip: first find the constant r from one condition, then substitute it into the second condition to solve for the variable.
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A. \(B(x)=500-12x\)
\(x=0\) रखने पर स्थिर पद प्रारम्भिक मान देता है, इसलिए वह 500 होना चाहिए। \(x\) का गुणांक \(-12\) स्थिर ह्रास दर्शाता है। \(x^2\) वाला पद रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में ढाल ऋणात्मक होती है। / At \(x=0\), the constant term gives the initial value, so it must be 500. The coefficient \(-12\) shows a constant decrease. A term containing \(x^2\) is not linear. Exam tip: linear decay always has a negative slope.
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If (D(t)=340-kt) and (D(6)-D(14)=128), what is (k)?
C. \(16\)
दिया है \(D(t)=340-kt\)। अतः \(D(6)=340-6k\) और \(D(14)=340-14k\)। इसलिए \(D(6)-D(14)=(340-6k)-(340-14k)=8k\)। अब \(8k=128\), अतः \(k=16\)। विकल्प \(14\) समयों का अंतर है, दर \(k\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दो मानों का अंतर लेते समय कोष्ठक लगाकर ऋण चिह्नों का ध्यान रखें। / Given \(D(t)=340-kt\), we have \(D(6)=340-6k\) and \(D(14)=340-14k\). Hence, \(D(6)-D(14)=(340-6k)-(340-14k)=8k\). Since \(8k=128\), \(k=16\). The value \(14\) is a time input, not the rate \(k\). Exam tip: while subtracting linear expressions, use brackets to handle negative signs correctly.
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A. \(12-2x\)
\(12-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर राशि 2 घटती है। \(12-2x^2\) में कमी स्थिर नहीं होती। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(12-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so the quantity decreases by 2 for every increase of 1 in x. In \(12-2x^2\), the decrease is not constant. Exam tip: linear decay has degree 1 and a negative coefficient of x.
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A. \(-3x+11\)
रैखिक बहुपद \(p(x)=ax+b\) में x को 1 बढ़ाने पर p(x) में \(a\) का परिवर्तन होता है। यहाँ \(a=-3\) है, इसलिए मान हर चरण में 3 घटता है। \(-3x^2+11\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In a linear polynomial \(p(x)=ax+b\), increasing x by 1 changes p(x) by \(a\). Here \(a=-3\), so the value falls by 3 each step. \(-3x^2+11\) is not linear. Exam tip: a negative coefficient of x indicates linear decay.
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A. \(P(t)=240-12t\)
\(P(0)=240\) होने के लिए स्थिर पद 240 होना चाहिए और क्षय के लिए \(t\) का गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए। इसलिए \(-12t\) सही है। \(240-12t^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक मॉडल में चर की घात 1 जाँचें। / For \(P(0)=240\), the constant term must be 240. Uniform decay requires a negative slope, so \(-12t\) is correct. \(240-12t^2\) is not linear. Exam tip: in a linear model, the variable has power 1.
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Which of the following equations represents linear decay of a quantity?
B. \(y=18-3x\)
\(y=18-3x\) में \(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) के हर 1 बढ़ने पर \(y\) 3 घटता है। यह स्थिर दर वाला रैखिक ह्रास है। \(18-3x^2\) में घात 2 होने से संबंध रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(y=a+bx\) में \(b<0\) ह्रास बताता है। / In \(y=18-3x\), the coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) decreases by 3 for every increase of 1 in \(x\). This is linear decay at a constant rate. \(18-3x^2\) is not linear because it contains \(x^2\). Exam tip: in \(y=a+bx\), \(b<0\) indicates decay.
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If (g(x)=b-13x) and (g(5)=116), what will (g(12)) be?
A. 25
दिया है कि \(g(x)=b-13x\)। \(g(5)=116\) रखने पर \(b-13(5)=116\), अर्थात \(b-65=116\)। इसलिए \(b=181\)। अब \(g(12)=181-13(12)=181-156=25\)। अतः सही उत्तर 25 है। 38 जैसे विकल्प में घटाव की गणना गलत होगी। परीक्षा टिप: पहले दिए गए फलन मान से अज्ञात नियतांक \(b\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित \(x\)-मान रखें। / Given \(g(x)=b-13x\), use \(g(5)=116\): \(b-13(5)=116\), so \(b-65=116\) and hence \(b=181\). Now \(g(12)=181-13(12)=181-156=25\). Therefore, 25 is correct. A value such as 38 results from an incorrect subtraction. Exam tip: first find the unknown constant \(b\) using the given function value, then substitute the required value of \(x\).
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Which of the following graphs represents linear decay of a quantity with time?
A. समय बढ़ने पर समान समयांतरालों में राशि समान मात्रा से घटती है।
रैखिक क्षय में प्रत्येक समान समयांतराल पर राशि में समान कमी होती है, इसलिए ग्राफ की ढाल स्थिर ऋणात्मक रहती है। विकल्प B घातीय क्षय है, क्योंकि उसमें हर बार आधी राशि बचती है। परीक्षा टिप: स्थिर ऋणात्मक ढाल को रैखिक क्षय पहचानें। / In linear decay, the quantity decreases by an equal amount in equal time intervals, so its graph has a constant negative slope. Option B shows exponential decay because the quantity is halved each time. Exam tip: a constant negative slope indicates linear decay.
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Which of the following polynomials represents the linear decay of a quantity over time?
A. \(P(t)=80-5t\)
\(P(t)=80-5t\) में \(t\) का घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(-5\) गुणांक बताता है कि हर एक समय-इकाई पर राशि 5 घटती है। \(80+5t\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: क्षय के लिए \(t\) का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(P(t)=80-5t\), the power of \(t\) is 1, so it is linear. The coefficient \(-5\) means the quantity falls by 5 per time unit. \(80+5t\) represents growth, not decay. Exam tip: for linear decay, check for a negative coefficient of \(t\).
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If in (y=360-bx), (y) decreases by (136) from (x=7) to (x=15), what is (b)?
C. 17
x का परिवर्तन 15 − 7 = 8 है। y = 360 − bx में x के प्रत्येक 1 इकाई बढ़ने पर y, b इकाई घटता है। इसलिए कुल कमी 8b = 136 होगी। अतः b = 136/8 = 17। विकल्प 16 लेने पर कमी 8 × 16 = 128 होती, जो 136 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में x के परिवर्तन को गुणांक से गुणा करके y का कुल परिवर्तन निकालें। / The change in x is 15 − 7 = 8. In y = 360 − bx, y decreases by b units for every 1-unit increase in x. Hence, the total decrease is 8b = 136. Therefore, b = 136/8 = 17. If b were 16, the decrease would be 8 × 16 = 128, not 136. Exam tip: For a linear expression, multiply the change in x by its coefficient to find the total change in y.
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B. \(y=500-12x\)
\(y=500-12x\) में x का गुणांक \(-12\) स्थिर और ऋणात्मक है, इसलिए y समान दर से घटता है। \(x^2\) वाला संबंध रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(y=500-12x\), the coefficient of x is the constant negative number \(-12\), so y decreases at a constant rate. The \(x^2\) relation is not linear. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of x.
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Which feature of a graph is most useful for identifying linear decay rather than exponential decay?
A. प्रत्येक समान अंतराल में मात्रा में समान निरपेक्ष कमी होती हैThe quantity has the same absolute decrease in each equal interval
रैखिक क्षय में समान समय या x-अंतराल पर y की कमी समान रहती है, इसलिए ग्राफ की ढाल स्थिर और ऋणात्मक होती है। समान अनुपात वाली कमी घातीय क्षय की पहचान है। परीक्षा टिप: ‘स्थिर अंतर’ देखें, ‘स्थिर अनुपात’ नहीं। / In linear decay, y falls by an equal amount over equal intervals of x, so the graph has a constant negative slope. A constant ratio of decrease indicates exponential decay instead. Exam tip: look for a constant difference, not a constant ratio.
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Which of the following relations represents a constant-rate decrease in \(y\) as \(x\) increases?
A. \(y=250-6x\)
\(y=250-6x\) में \(x\) के गुणांक \(-6\) का अर्थ है कि \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) हर बार 6 घटता है। \(250-6x^2\) में कमी की दर स्थिर नहीं होती। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय का गुणांक ऋणात्मक और \(x\) की घात 1 होती है। / In \(y=250-6x\), the coefficient \(-6\) means that when \(x\) increases by 1, \(y\) decreases by 6 every time. In \(250-6x^2\), the rate of decrease is not constant. Exam tip: linear decay has a negative coefficient and power of \(x\) equal to 1.
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If (C(t)=330-9t) and (D(t)=230-18t), how does (C(t)-D(t)) change?
A. हर चरण 9 बढ़ता हैIt increases by 9 each step
अंतर ज्ञात करें: \(C(t)-D(t)=(330-9t)-(230-18t)=100+9t\)। इसमें \(t\) का गुणांक 9 है, इसलिए \(t\) के प्रत्येक एक-चरण बढ़ने पर अंतर 9 बढ़ता है। विकल्प B में 9 घटने की बात है, पर वह तभी होता जब अंतर में \(t\) का गुणांक \(-9\) होता। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर लेते समय दूसरे कोष्ठक के सभी चिह्न बदलना याद रखें। / Find the difference: \(C(t)-D(t)=(330-9t)-(230-18t)=100+9t\). The coefficient of \(t\) is 9, so the difference increases by 9 for every one-step increase in \(t\). Option B would be correct only if the coefficient of \(t\) in the difference were \(-9\). Exam tip: When subtracting linear expressions, change the signs of every term in the second bracket.
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For which (k) will (y=320-(k-6)x) show linear decay?
A. \(k>6\)
दिया गया व्यंजक \(y=320-(k-6)x\) है, जिसका \(x\) का गुणांक (ढाल) \(-(k-6)=6-k\) है। रेखीय क्षय के लिए \(x\) बढ़ने पर \(y\) घटना चाहिए, इसलिए ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए: \(6-k<0\)। अतः \(k>6\) होगा। \(k=6\) पर ढाल शून्य होती है, इसलिए मान स्थिर रहता है, क्षय नहीं होता। परीक्षा टिप: रेखीय रूप \(y=a+mx\) में \(m<0\) होने पर क्षय होता है। / The coefficient of \(x\), or slope, in \(y=320-(k-6)x\) is \(-(k-6)=6-k\). For linear decay, \(y\) must decrease as \(x\) increases, so the slope must be negative: \(6-k<0\). Hence, \(k>6\). When \(k=6\), the slope is zero and the value remains constant, not decaying. Exam tip: in \(y=a+mx\), decay occurs when \(m<0\).
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If (Z(x)=b-12x) is linear decay and (Z(3)+Z(8)=148), what is (b)?
C. 140
दिया है: \(Z(x)=b-12x\)। अतः \(Z(3)=b-36\) और \(Z(8)=b-96\)। इसलिए \(Z(3)+Z(8)=2b-132=148\)। इससे \(2b=280\), इसलिए \(b=140\) होगा। विकल्प 144 लेने पर योग \(156\) आता, 148 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए दोनों \(x\)-मानों को फलन में अलग-अलग रखकर जोड़ें। / Given \(Z(x)=b-12x\), we have \(Z(3)=b-36\) and \(Z(8)=b-96\). Thus, \(Z(3)+Z(8)=2b-132=148\). Hence \(2b=280\), so \(b=140\). If 144 were used, the sum would be \(156\), not 148. Exam tip: Substitute each given \(x\)-value into the function separately before adding the results.
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