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\(b\), \(x\) का गुणांक है और \(x\) में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) का परिवर्तन बताता है। \(b>0\) होने पर \(y\) बढ़ता है। \(b<0\) क्षय दर्शाता है। परीक्षा टिप: वृद्धि/क्षय के लिए \(b\) का चिन्ह देखें, \(a\) का नहीं। / \(b\) is the coefficient of \(x\), so it gives the change in \(y\) for every 1-unit increase in \(x\). If \(b>0\), \(y\) grows; \(b<0\) indicates decay. Exam tip: check the sign of \(b\), not the constant \(a\).
बराबरी के लिए \(P(t)=Q(t)\) रखें: \(40+4t=100-6t\)। दोनों पक्षों में \(6t\) जोड़ने पर \(40+10t=100\), अतः \(10t=60\) और \(t=6\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। \(t=5\) पर \(P(t)=60\) और \(Q(t)=70\) होते हैं, इसलिए वे बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर \(t\) वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / For equality, set \(P(t)=Q(t)\): \(40+4t=100-6t\). Adding \(6t\) to both sides gives \(40+10t=100\), so \(10t=60\) and \(t=6\). Hence, option C is correct. At \(t=5\), \(P(t)=60\) and \(Q(t)=70\), so they are not equal. Exam tip: equate the two expressions first, then collect all terms containing \(t\) on one side.
A. हर घंटे राशि में समान निश्चित मात्रा की कमी होती है/The quantity decreases by the same fixed amount every hour.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में प्रत्येक समान समयांतराल पर परिवर्तन समान होता है, इसलिए अंतर स्थिर रहता है। समान प्रतिशत की कमी घातांकीय क्षय है। परीक्षा में क्रमागत मानों के अंतर जाँचें। / In linear decay, the change over each equal time interval is constant, so successive differences are equal. A fixed percentage decrease is exponential decay. Exam tip: check consecutive differences.
(x) में परिवर्तन (9-4=5) है और कमी दर (13) है। इसलिए कुल कमी \(13\times5=65\) है। / The change in (x) is (9-4=5) and the decay rate is (13). Therefore the total decrease is \(13\times5=65\).
दिया है कि \(G(3)=99\)। अतः \(q-7(3)=99\), यानी \(q-21=99\), इसलिए \(q=120\)। अब \(G(10)=120-7(10)=120-70=50\)। इसलिए सही उत्तर 50 है। 57 प्राप्त करना 3 से 10 तक के समयांतराल \(7\) के बजाय गलत कमी लेने से हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान से अज्ञात नियतांक \(q\) ज्ञात करें, फिर अपेक्षित मान रखें। / Given \(G(3)=99\), we get \(q-7(3)=99\), so \(q-21=99\) and hence \(q=120\). Now, \(G(10)=120-7(10)=120-70=50\). Therefore, 50 is correct. The value 57 can result from using an incorrect decrease instead of accounting for the full change from \(t=3\) to \(t=10\). Exam tip: first find the unknown constant from the given function value, then substitute the required input.
यहाँ x में वृद्धि 13−3=10 है। समीकरण में x का गुणांक −11 है, इसलिए y में परिवर्तन −11×10=−110 होगा। अतः y में 110 की कमी होती है। 99 की कमी सही नहीं है, क्योंकि x में परिवर्तन 9 नहीं बल्कि 10 है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण y=a+bx में कुल परिवर्तन b×Δx होता है। / Here, the increase in x is 13−3=10. The coefficient of x in the equation is −11, so the change in y is −11×10=−110. Therefore, y decreases by 110. A decrease of 99 is incorrect because the change in x is 10, not 9. Exam tip: In a linear equation y=a+bx, the total change is b×Δx.
दिया है कि \(y=165-12x\) और \(y=45\)। अतः \(165-12x=45\)। दोनों पक्षों से 165 घटाने पर \(-12x=-120\), इसलिए \(x=10\)। विकल्प 9 रखने पर \(y=57\) आता है, 45 नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक पद को दूसरी ओर ले जाते समय दोनों पक्षों के चिन्हों का ध्यान रखें। / Given \(y=165-12x\) and \(y=45\), we get \(165-12x=45\). Subtracting 165 from both sides gives \(-12x=-120\), so \(x=10\). If \(x=9\), then \(y=57\), not 45. Exam tip: Track signs carefully when transposing or simplifying negative terms.
दोनों मान बराबर होने के लिए \(180-9x=120-3x\) होगा। पदों को व्यवस्थित करने पर \(60=6x\), अतः \(x=10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(x=10\) है। उदाहरण के लिए, \(x=12\) पर \(C(x)=72\) और \(D(x)=84\) हैं, इसलिए वे बराबर नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों व्यंजकों को बराबर रखकर चर वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / For the two values to be equal, \(180-9x=120-3x\). Rearranging gives \(60=6x\), so \(x=10\). Hence, the correct option is \(x=10\). For example, at \(x=12\), \(C(x)=72\) and \(D(x)=84\), so they are not equal. Exam tip: equate the two expressions first, then collect variable terms on one side.
दिया है कि \(g(x)=90-4x\)। अतः \(g(5)=90-4(5)=70\) और \(g(12)=90-4(12)=42\)। इसलिए \(g(5)+g(12)=70+42=112\), अतः विकल्प C सही है। 106 जैसा उत्तर घटाव या गुणा में गलती करने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: प्रत्येक इनपुट मान को फलन में अलग-अलग रखकर फिर परिणामों को जोड़ें। / Given \(g(x)=90-4x\), \(g(5)=90-4(5)=70\) and \(g(12)=90-4(12)=42\). Therefore, \(g(5)+g(12)=70+42=112\), so option C is correct. An answer such as 106 may result from an error in subtraction or multiplication. Exam tip: substitute each input into the function separately before adding the outputs.
120 सामान बचे होने के लिए \(I(d)=120\) रखें। अतः \(300-20d=120\), इसलिए \(20d=180\) और \(d=9\)। इसलिए सही विकल्प \(d=9\) है। \(d=8\) पर सामान \(140\) बचेगा, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक वाले प्रश्न में दी गई लक्ष्य मात्रा को व्यंजक के बराबर रखकर हल करें। / For 120 items to remain, set \(I(d)=120\). Thus, \(300-20d=120\), so \(20d=180\) and \(d=9\). Therefore, the correct option is \(d=9\). At \(d=8\), 140 items would remain, so it is a close but incorrect distractor. Exam tip: In a linear expression problem, equate the expression to the required target value and solve.
A. यह क्षय नहीं है; y स्थिर है/It is not decay; y is constant
Explanation
Simple Explanation
k=0 रखने पर y=140-0x=140 प्राप्त होता है। अतः x बदलने पर y का मान नहीं बदलता, इसलिए यह न वृद्धि है और न क्षय; यह एक स्थिर फलन है। रैखिक क्षय के लिए y=140-kx में k का धनात्मक होना आवश्यक है, ताकि ढाल −k ऋणात्मक हो। परीक्षा टिप: पहले k का मान समीकरण में रखकर ढाल जाँचें। / Substituting k=0 gives y=140-0x=140. Thus, y does not change when x changes, so the relation is neither growth nor decay; it is a constant function. For linear decay in y=140-kx, k must be positive so that the slope −k is negative. Exam tip: substitute the given value of k first and then check the slope.
x=10 रखने पर y=75-4.5(10)=75-45=30 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 30 है। 35 तब मिलता यदि 4.5×10 को गलत तरीके से 40 माना जाए। परीक्षा में दशमलव संख्या को 10 से गुणा करते समय दशमलव स्थान का ध्यान रखें। / Substitute x=10: y=75-4.5(10)=75-45=30. Therefore, 30 is the correct answer. The value 35 can result from incorrectly taking 4.5×10 as 40. In exams, take care of the decimal place when multiplying by 10.
h=10 रखने पर T(10)=44-2.5(10)=44-25=19 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 19 है। 21 प्राप्त करना गलत होगा, क्योंकि 2.5 को 10 से गुणा करने पर 25 आता है, 23 नहीं। परीक्षा में पहले गुणा करें, फिर प्रारम्भिक मान में से परिणाम घटाएँ। / Substituting h=10 gives T(10)=44-2.5(10)=44-25=19. Therefore, 19 is the correct option. Getting 21 would be incorrect because 2.5 multiplied by 10 is 25, not 23. In exams, multiply the rate by the input first and then subtract it from the initial value.
x=4 रखने पर y=170-10(4)=130 मिलता है। x=11 रखने पर y=170-10(11)=60 मिलता है। अतः दोनों y-मानों का अंतर 130-60=70 है। 60 केवल x=11 पर y का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दो मानों का अंतर निकालते समय दोनों x-मान रखकर y-मानों का अंतर लें। / Putting x=4 gives y=170-10(4)=130. Putting x=11 gives y=170-10(11)=60. Therefore, the difference between the two y-values is 130-60=70. Note that 60 is the value of y at x=11, not the difference. Exam tip: For a linear expression, substitute both x-values first and then subtract the resulting y-values.
रैखिक बहुपद \(ax+b\) में \(x\) का गुणांक \(a\) ऋणात्मक होने पर \(x\) बढ़ने के साथ बहुपद का मान घटता है। \(-3x+7\) में गुणांक \(-3\) है। परीक्षा टिप: केवल \(x\) के गुणांक का चिह्न देखें। / In a linear polynomial \(ax+b\), the value decreases as \(x\) increases when the coefficient \(a\) is negative. In \(-3x+7\), the coefficient of \(x\) is \(-3\). Exam tip: check the sign of the \(x\)-coefficient first.
रेखीय संबंध का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a=y(0)\) और \(b\), \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\) का परिवर्तन है। यहाँ \(y(0)=130\) तथा हर बार 8 की कमी है, इसलिए \(b=-8\) होगा। अतः समीकरण \(y=130-8x\) है। विकल्प A में \(y\) बढ़ता है, जबकि विकल्प B में आरंभिक मान \(8\) है। परीक्षा टिप: \(x=0\) रखने पर स्थिर पद आरंभिक मान बताता है। / A linear relation has the form \(y=a+bx\), where \(a=y(0)\) and \(b\) is the change in \(y\) for each increase of 1 in \(x\). Here, \(y(0)=130\) and \(y\) decreases by 8 each time, so \(b=-8\). Hence, \(y=130-8x\). In option A, \(y\) increases, while option B has initial value 8. Exam tip: put \(x=0\) to identify the initial value from the constant term.
रैखिक क्षय का सामान्य रूप \(a-bx\) होता है, जहाँ \(b>0\)। \(P(x)=80-6x\) में \(x\) के 1 बढ़ने पर मान 6 घटता है। \(80+6x\) रैखिक वृद्धि है। परीक्षा में \(x\) के गुणांक का चिन्ह जाँचें। / Linear decay has the form \(a-bx\), where \(b>0\). In \(P(x)=80-6x\), the value decreases by 6 for every increase of 1 in \(x\). \(80+6x\) shows linear growth. In exams, check the sign of the \(x\)-coefficient.
दिया है \(U(t)=150-15t\)। \(U(t)=45\) रखने पर \(150-15t=45\) मिलता है। अतः \(-15t=-105\), इसलिए \(t=7\)। \(t=9\) रखने पर मान \(15\) आएगा, 45 नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के प्रश्नों में लक्ष्य मान को फलन में रखकर \(t\) के लिए समीकरण हल करें। / Given \(U(t)=150-15t\), put \(U(t)=45\). This gives \(150-15t=45\), so \(-15t=-105\) and hence \(t=7\). If \(t=9\), the value is \(15\), not 45. Exam tip: In linear decay questions, substitute the target value into the function and solve the resulting equation for \(t\).
दिया है कि जब \(x=8\), तब \(y=136\)। अतः \(136=200-8k\)। इसलिए \(8k=64\), जिससे \(k=8\) प्राप्त होता है। विकल्प 64 केवल \(8k\) का मान है, \(k\) का नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए \(x\) और \(y\) के मान समीकरण में रखकर अज्ञात पद को अलग करें। / At \(x=8\), the value of \(y\) is 136. Substituting in the equation gives \(136=200-8k\). Hence, \(8k=64\), so \(k=8\). Note that 64 is the value of \(8k\), not of \(k\). Exam tip: Substitute the given values first, then isolate the unknown term carefully.
दिया है \,\(N(t)=n-6t\)। जब \(t=5\), तब \(N(5)=n-30=70\), इसलिए \(n=100\)। अतः \(N(12)=100-6\times12=100-72=28\)। इसलिए सही उत्तर 28 है। 34 प्राप्त करना घटाव में गलती करने पर हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले दी गई मान से अज्ञात स्थिरांक \(n\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(t\) का मान रखें। / Given \(N(t)=n-6t\). At \(t=5\), \(N(5)=n-30=70\), so \(n=100\). Therefore, \(N(12)=100-6\times12=100-72=28\). Hence, 28 is correct. A value such as 34 can result from an error in subtraction. Exam tip: first find the unknown constant \(n\) from the given value, then substitute the required value of \(t\).
रेखीय नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(x=0\) रखने पर आरंभिक मान \(a\) मिलता है। \(y=150-12x\) में आरंभिक मान 150 है और \(x\) का गुणांक \(-12\) है, इसलिए मान रेखीय रूप से घटता है। \(y=12-150x\) में क्षय तो है, पर उसका आरंभिक मान 12 है। परीक्षा टिप: आरंभिक मान जाँचने के लिए \(x=0\) रखें और क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where the initial value is \(a\), found by putting \(x=0\). In \(y=150-12x\), the initial value is 150 and the coefficient of \(x\) is \(-12\), so the value decreases linearly. \(y=12-150x\) also represents decay, but its initial value is 12. Exam tip: put \(x=0\) to check the initial value, and look for a negative slope to identify decay.
A. हर घंटे टंकी में पानी की मात्रा 5 लीटर कम होती है।
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में किसी राशि में बराबर समयांतराल पर एक निश्चित मात्रा की कमी होती है। हर घंटे 5 लीटर कम होना इसी नियम का पालन करता है। आधी होना घातांकीय क्षय है। परीक्षा टिप: “निश्चित मात्रा” रैखिक परिवर्तन की पहचान है। / In linear decay, a quantity decreases by a fixed amount in equal time intervals. Losing 5 litres every hour follows this pattern. Becoming half each hour is exponential decay. Exam tip: look for a fixed difference, not a fixed ratio.
\(b\), \(x\) के प्रति इकाई परिवर्तन की दर या ढाल है। \(b<0\) होने पर \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि से \(Q(x)\) घटता है, इसलिए यह क्षय है। \(b=0\) स्थिर राशि दिखाता है। परीक्षा टिप: वृद्धि/क्षय पहचानने के लिए ढाल का चिह्न देखें। / The coefficient \(b\) is the rate of change, or slope, per unit increase in \(x\). If \(b<0\), \(Q(x)\) decreases as \(x\) rises, so it represents decay. In contrast, \(b=0\) represents a constant quantity. Exam tip: use the sign of the slope to identify growth or decay.
दिया है R(t)=b-11t और R(4)=76। t=4 रखने पर b-11(4)=76, अर्थात b-44=76। दोनों पक्षों में 44 जोड़ने पर b=120 मिलता है। इसलिए सही विकल्प 120 है। 110 लेने पर R(4)=110-44=66 होगा, 76 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक व्यंजक में दिए गए t का मान पहले प्रतिस्थापित करें, फिर अज्ञात पद को अलग करें। / Given R(t)=b-11t and R(4)=76. Substituting t=4 gives b-11(4)=76, so b-44=76. Adding 44 to both sides gives b=120. Hence, 120 is the correct option. If b were 110, then R(4)=110-44=66, not 76. Exam tip: In a linear expression, first substitute the given value of the variable and then isolate the unknown term.
\(y=42-5x\) में x का गुणांक \(-5\) स्थिर है, इसलिए x बढ़ने पर y हर बार समान मात्रा से घटता है। \(x^2\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(y=42-5x\), the coefficient of x is the constant \(-5\), so y falls by an equal amount each time x increases. A relation containing \(x^2\) is not linear. Exam tip: for linear decay, look for x to power 1 with a negative coefficient.
\(y=40-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में हर 1 की वृद्धि पर y 3 घटता है। \(40+3x\) वृद्धि दिखाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक और स्थिर होता है। / In \(y=40-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so y falls by 3 for every increase of 1 in x. \(40+3x\) represents growth, not decay. Exam tip: linear decay has a constant negative coefficient of x.
रैखिक नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(b\) प्रति चरण परिवर्तन है। यहाँ आरंभिक मान \(210\) है और हर चरण में \(14\) की कमी होती है, इसलिए \(b=-14\) होगा। अतः नियम \(y=210-14x\) है। विकल्प A में वृद्धि दर्शाई गई है, कमी नहीं। परीक्षा टिप: “कमी” या “ह्रास” शब्द दिखे तो \(x\) का गुणांक ऋणात्मक रखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value and \(b\) is the change per step. Here, the initial value is \(210\), and the value decreases by \(14\) each step, so \(b=-14\). Therefore, the rule is \(y=210-14x\). Option A represents an increase, not a decrease. Exam tip: Words such as “decrease” or “decay” indicate a negative coefficient of \(x\).
बैटरी का प्रतिशत 50 होने के लिए \(B(h)=50\) रखें। अतः \(120-10h=50\), इसलिए \(10h=70\) और \(h=7\) मिलता है। \(h=6\) पर बैटरी 60% होगी, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के प्रश्नों में पहले दिए गए मान के बराबर मॉडल रखें, फिर चर को हल करें। / Set \(B(h)=50\) because the battery level is required to be 50%. Thus, \(120-10h=50\), so \(10h=70\) and \(h=7\). At \(h=6\), the battery level would be 60%, so that option is not correct. Exam tip: In linear decay questions, equate the model to the required value first and then solve for the variable.
A. मात्रा प्रत्येक समय-इकाई में 5 इकाई घटती है/The quantity decreases by 5 units per unit of time.
Explanation
Simple Explanation
\(t\) का गुणांक \(-5\) है, इसलिए समय 1 इकाई बढ़ने पर \(R\) 5 इकाई कम होता है। 90 प्रारम्भिक मात्रा है, वृद्धि की दर नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक गुणांक क्षय दर्शाता है। / The coefficient of \(t\) is \(-5\), so when time increases by 1 unit, \(R\) falls by 5 units. Here 90 is the initial amount, not the rate of growth. Exam tip: a negative coefficient indicates decay.
\(P(n)=72-5n\) में n का गुणांक −5 है, इसलिए n में 1 बढ़ने पर P का परिवर्तन −5 होता है। \(72-5n^2\) में n² होने से ह्रास रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में चर की घात 1 होती है। / In \(P(n)=72-5n\), the coefficient of n is −5, so increasing n by 1 changes P by −5. \(72-5n^2\) is not linear because it contains n². Exam tip: a linear expression has the variable to power 1.
