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दिया है: \(W(t)=180-12t\)। \(t=9\) रखने पर \(W(9)=180-12(9)=180-108=72\) लीटर। इसलिए सही उत्तर 72 लीटर है। 84 लीटर तब मिलता यदि कमी 12 लीटर प्रति समय के बजाय 96 लीटर कुल मान ली जाती। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के प्रश्नों में पहले समय का मान सूत्र में रखकर गुणा करें, फिर आरंभिक मात्रा में से घटाएँ। / Given \(W(t)=180-12t\). Substituting \(t=9\), \(W(9)=180-12(9)=180-108=72\) litres. Therefore, 72 litres is correct. The nearby distractor 84 litres does not result from substituting 9 correctly in the given expression. Exam tip: in a linear decay expression, substitute the time value first, multiply, and then subtract the decrease from the initial amount.
\(20-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y 3 इकाई घटता है। \(7x+4\) वृद्धि दिखाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में x का गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(20-3x\), the coefficient of x is \(-3\), so y falls by 3 units for every increase of 1 in x. \(7x+4\) represents growth. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of x.
दिया है, \(y=85-5x\)। \(x=9\) रखने पर \(y=85-5(9)=85-45=40\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 40 है। 45 केवल \(5\times9\) का मान है; इसे 85 में से घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर दिया गया मान रखकर गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(y=85-5x\), substitute \(x=9\): \(y=85-5(9)=85-45=40\). Therefore, the correct value is 40. The value 45 is only \(5\times9\); it must be subtracted from 85. Exam tip: When evaluating a linear expression, substitute the given value first, multiply, and then perform addition or subtraction.
\(y=50-3x\) में \(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) की हर 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई घटता है। \(x^2\) या \(1/x\) वाले संबंध रैखिक नहीं होते। परीक्षा में ऋणात्मक स्थिर ढाल पहचानें। / In \(y=50-3x\), the coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) falls by 3 for each one-unit rise in \(x\). Relations involving \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: identify decay by a constant negative slope.
A. ऋणात्मक ढाल वाला रैखिक ह्रास संबंध/A linear decay relation with a negative slope
Explanation
Simple Explanation
\(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) बढ़ने पर \(y\) घटता है; अतः यह रैखिक ह्रास है। धनात्मक ढाल वृद्धि दिखाती है। परीक्षा टिप: \(x\) का गुणांक ढाल होता है। / The coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) decreases as \(x\) increases; this is linear decay. A positive slope would indicate growth. Exam tip: the coefficient of \(x\) is the slope.
यहाँ t के स्थान पर 8 रखिए: \(K(8)=144-12\times 8=144-96=48\)। इसलिए सही उत्तर 48 है। 96 केवल \(12\times 8\) का मान है, जबकि उसे 144 में से घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर गणना के क्रम का ध्यान रखें। / Substitute 8 for t: \(K(8)=144-12\times 8=144-96=48\). Therefore, the correct answer is 48. The value 96 is only \(12\times 8\); it must still be subtracted from 144. Exam tip: To evaluate a function, substitute the given value for the variable and follow the order of operations.
दिया है \(R(t)=b-10t\)। \(t=0\) रखने पर \(R(0)=b-10(0)=b\) मिलता है। चूँकि \(R(0)=75\) है, इसलिए \(b=75\)। विकल्प 65, \(t=1\) पर \(R(1)\) का मान हो सकता है, प्रारम्भिक मान नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में \(t=0\) रखने पर स्थिर पद प्रारम्भिक मान देता है। / Given \(R(t)=b-10t\). Substituting \(t=0\) gives \(R(0)=b-10(0)=b\). Since \(R(0)=75\), \(b=75\). Option 65 could be the value of \(R(1)\), not the initial value. Exam tip: in a linear expression, substituting \(t=0\) gives the constant term, or initial value.
C. प्रति चरण कमी की मात्रा/Amount of decrease per step
Explanation
Simple Explanation
नियम में
y=125-5x
में
-5x
का अर्थ है कि
x
के प्रत्येक 1 बढ़ने पर
y
का मान 5 घटता है। इसलिए 5 प्रति चरण कमी की मात्रा बताता है। 125 आरंभिक मान है, जबकि वृद्धि की दर धनात्मक गुणांक होने पर होती। परीक्षा टिप: रैखिक नियम
y=a+bx
में
b
की ऋणात्मकता कमी दर्शाती है और उसका परिमाण कमी की मात्रा बताता है। / In
y=125-5x
, the term
-5x
means that when
x
increases by 1, the value of
y
decreases by 5. Therefore, 5 is the amount of decrease per step. The number 125 is the initial value; a positive coefficient would indicate growth. Exam tip: In a linear rule
y=a+bx
, a negative
b
indicates decrease, and its magnitude gives the decrease per step.
\(y=20-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x के प्रत्येक 1 बढ़ने पर y 2 घटता है। यह स्थिर दर वाला रैखिक ह्रास है। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में x की घात 1 होती है। / In \(y=20-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so y falls by 2 for every increase of 1 in x. This is linear decay at a constant rate. Exam tip: a linear rule has x to the power 1.
यहाँ K(0)=160-8(0)=160 और K(12)=160-8(12)=64 है। अतः K(0)-K(12)=160-64=96। विकल्प 64, K(12) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में 8×12=96 सीधे कुल कमी देता है। / Here, K(0)=160-8(0)=160 and K(12)=160-8(12)=64. Therefore, K(0)-K(12)=160-64=96. Option 64 is the value of K(12), not the difference. Exam tip: in linear decay, 8×12=96 directly gives the total decrease.
दिया है, \(J(t)=100-6t\)। \(t=11\) रखने पर \(J(11)=100-6(11)=100-66=34\)। अतः सही उत्तर 34 है। 44 प्राप्त करने के लिए घटाव या गुणा में गलती होगी। परीक्षा टिप: मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर दिया गया मान रखकर गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(J(t)=100-6t\). Substituting \(t=11\), \(J(11)=100-6(11)=100-66=34\). Therefore, the correct answer is 34. Getting 44 would result from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: substitute the given value first, multiply, and then perform addition or subtraction.
यहाँ y = 52 - 4x में x का गुणांक -4 है। x के मान में 1 की वृद्धि होने पर y का मान 4 घटता है, इसलिए यह रेखीय क्षय दर्शाता है। यह स्थिर फलन नहीं है, क्योंकि x बदलने पर y भी बदलता है। परीक्षा टिप: y = a + bx में b धनात्मक हो तो रेखीय वृद्धि और b ऋणात्मक हो तो रेखीय क्षय होता है। / In y = 52 - 4x, the coefficient of x is -4. When x increases by 1, y decreases by 4, so the relation represents linear decay. It is not a constant function because y changes when x changes. Exam tip: In y = a + bx, a positive b indicates linear growth and a negative b indicates linear decay.
\(P(t)=15-6t\) में \(t\) का गुणांक \(-6\) है, इसलिए हर 1 समय-इकाई पर राशि 6 घटती है। विकल्प A रैखिक वृद्धि है; परीक्षा में ऋणात्मक ढाल को कमी पहचानें। / In \(P(t)=15-6t\), the coefficient of \(t\) is \(-6\), so the quantity falls by 6 per time unit. Option A shows growth; in exams, a negative slope indicates linear decay.
Y(3)=96-12(3)=60 और Y(4)=96-12(4)=48। अतः 60 से 48 तक की कमी 60-48=12 है। यहाँ -12t का अर्थ है कि t में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर Y का मान 12 घटता है; 24 दो चरणों की कमी होती। परीक्षा टिप: लगातार मानों के बीच कमी ज्ञात करने के लिए गुणांक का परिमाण देखें। / Y(3)=96-12(3)=60 and Y(4)=96-12(4)=48. Therefore, the decrease from 60 to 48 is 60-48=12. The term -12t means that Y decreases by 12 whenever t increases by 1; 24 would be the decrease over two steps. Exam tip: for consecutive values in a linear expression, use the magnitude of the coefficient of t.
रेखीय नियम का रूप \(y=a+mx\) होता है, जहाँ \(a\) प्रारंभिक मान और \(m\) प्रत्येक चरण का परिवर्तन है। यहाँ प्रारंभिक मान 66 है तथा राशि हर चरण 3 घटती है, इसलिए \(m=-3\) होगा। अतः नियम \(y=66-3x\) है। \(y=66+3x\) में राशि 3 प्रति चरण बढ़ती है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ‘घटती है’ को ढाल के ऋणात्मक होने से जोड़ें। / A linear rule has the form \(y=a+mx\), where \(a\) is the initial value and \(m\) is the change per step. Here, the initial value is 66 and the quantity decreases by 3 each step, so \(m=-3\). Therefore, the rule is \(y=66-3x\). The rule \(y=66+3x\) represents an increase of 3 per step, so it is not correct. Exam tip: the phrase “decreases by” indicates a negative slope.
यहाँ t का गुणांक -18 है, इसलिए V(t) प्रत्येक इकाई समय में 18 से घटता है। क्षय दर का परिमाण ऋण चिह्न को हटाकर लिया जाता है, अतः वह 18 है। विकल्प -18 परिवर्तन की signed rate है, पर उसका परिमाण नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में दर b होती है और उसका परिमाण |b| होता है। / The coefficient of t is -18, so V(t) decreases by 18 units for every unit increase in time. The magnitude of the decay rate ignores the negative sign, so it is 18. Option -18 is the signed rate of change, not its magnitude. Exam tip: In a linear expression a+bt, the rate is b and its magnitude is |b|.
दिया है T(t)=140-10t। अतः T(2)=140-10(2)=120 और T(6)=140-10(6)=80। इसलिए T(2)-T(6)=120-80=40। विकल्प 60 तब मिलता यदि घटाव या 10t वाले पद की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: पहले दोनों t-मानों को फलन में अलग-अलग रखकर फिर उनके मानों का अंतर निकालें। / Given T(t)=140-10t, we get T(2)=140-10(2)=120 and T(6)=140-10(6)=80. Therefore, T(2)-T(6)=120-80=40. The value 60 can result from an incorrect subtraction or an error while evaluating the 10t term. Exam tip: Substitute each value of t separately first, then subtract the two function values.
आरंभिक मान ज्ञात करने के लिए फलन में \(t=0\) रखें: \(G(0)=115-5(0)=115\)। अतः सही उत्तर 115 है। 110 तब मिलता है जब \(t=1\) रखा जाए, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(G(0)\) पूछे जाने पर स्थिर पद ही आरंभिक मान होता है। / To find the initial value, substitute \(t=0\): \(G(0)=115-5(0)=115\). Therefore, the correct answer is 115. The value 110 is obtained when \(t=1\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: for \(G(0)\), the constant term gives the initial value.
रैखिक नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान है। क्षय दर 12 होने पर प्रत्येक \(x\) इकाई बढ़ने पर मान 12 घटता है, इसलिए \(x\) का गुणांक \(-12\) होगा। अतः नियम \(y=96-12x\) है। \(y=96+12x\) में 12 की वृद्धि दर है, क्षय नहीं। परीक्षा टिप: आरंभिक मान पाने के लिए \(x=0\) रखें और क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value. A decay rate of 12 means that the value decreases by 12 for every increase of 1 in \(x\), so the coefficient of \(x\) must be \(-12\). Therefore, the rule is \(y=96-12x\). The rule \(y=96+12x\) represents growth at a rate of 12, not decay. Exam tip: put \(x=0\) to check the initial value, and look for a negative slope for decay.
दिया है \(N(x)=58-2x\)। \(x=9\) रखने पर \(N(9)=58-2(9)=58-18=40\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर \(40\) है। \(42\) निकट का भ्रामक विकल्प हो सकता है, लेकिन वह \(58-16\) करने पर मिलता है, जबकि \(2\times 9=18\) होता है। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर दी गई संख्या रखें, फिर गुणा करें। / Given \(N(x)=58-2x\). Substituting \(x=9\), we get \(N(9)=58-2(9)=58-18=40\). Hence, the correct answer is \(40\). The close distractor \(42\) would result from subtracting 16, but \(2\times9=18\). Exam tip: while evaluating a function, substitute the given value first and complete multiplication before subtraction.
दिया है, \(S(d)=64-3d\)। \(d=8\) रखने पर \(S(8)=64-3\times8=64-24=40\) kg मिलता है। इसलिए सही उत्तर 40 kg है। 56 kg तब मिलता यदि 3 को 8 से घटाया जाता, जो दिए गए व्यंजक के अनुसार गलत है। परीक्षा टिप: मान रखने से पहले कोष्ठक और गुणा को ध्यान से लिखें। / Given \(S(d)=64-3d\). Substituting \(d=8\), \(S(8)=64-3\times8=64-24=40\) kg. Therefore, 40 kg is correct. The value 56 kg would result from subtracting 8 from 64, which does not follow the given expression. Exam tip: Write the substitution with brackets and perform multiplication before subtraction.
गुणांक (-9) है इसलिए मान हर चरण में (9) घटता है। घटने की मात्रा धनात्मक रूप में (9) है। / The coefficient is (-9), so the value decreases by (9) each step. The amount of decrease is (9) in positive form.
नियम \(y=60-4x\) में \(x\) का गुणांक \(-4\) है। इसलिए \(x\) में 1 की वृद्धि होने पर \(y\) का मान हर चरण में 4 कम होता है। \(y=60+4x\) में 4 की वृद्धि होती है, जबकि \(y=60\) में कोई परिवर्तन नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक नियम \(y=a+bx\) में \(x\) का गुणांक \(b\) प्रति चरण परिवर्तन बताता है। / In \(y=60-4x\), the coefficient of \(x\) is \(-4\). Therefore, when \(x\) increases by 1, \(y\) decreases by 4 at each step. In \(y=60+4x\), the value increases by 4, while \(y=60\) has no change. Exam tip: In a linear rule \(y=a+bx\), the coefficient \(b\) gives the change per step.
दिया है कि \(R(h)=84-6h\)। \(h=7\) रखने पर \(R(7)=84-6\times7=84-42=42\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 42 है। 48 तब मिलता यदि घटाने के बजाय गलत गणना की जाए। परीक्षा टिप: मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर संख्या रखें, फिर गुणा और घटाव का क्रम सही रखें। / Given \(R(h)=84-6h\). Substituting \(h=7\), we get \(R(7)=84-6\times7=84-42=42\). Therefore, 42 is correct. The value 48 would result from an incorrect calculation instead of applying the multiplication and subtraction properly. Exam tip: substitute the given value first, then follow the order of operations.
रेखीय नियम में t का गुणांक प्रति इकाई परिवर्तन दर बताता है। यहाँ B(t)=130-8t में t का गुणांक -8 है, इसलिए t में 1 की वृद्धि होने पर B का मान 8 घटता है। 8 केवल कमी का परिमाण है, जबकि सही दर -8 है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक a+bt में परिवर्तन दर हमेशा t का गुणांक b होती है। / In a linear rule, the coefficient of t gives the rate of change per unit. In B(t)=130-8t, the coefficient of t is -8, so B decreases by 8 whenever t increases by 1. The value 8 is only the magnitude of the decrease; the rate itself is -8. Exam tip: in a linear expression a+bt, the rate of change is always the coefficient b of t.
यहाँ W(t)=90-5t में t का गुणांक -5 है। इसका अर्थ है कि समय की प्रत्येक इकाई पर पानी की मात्रा 5 लीटर कम होती है। क्योंकि कमी की दर स्थिर है, यह रेखीय क्षय है। स्थिर मात्रा में t का पद नहीं होता, जबकि घातीय क्षय में चर घात में होता है। परीक्षा टिप: y=a+bt में b<0 होने पर रेखीय क्षय होता है। / In W(t)=90-5t, the coefficient of t is -5. This means the amount of water decreases by 5 litres for every unit increase in time. Since the rate of decrease is constant, it is linear decay. A constant quantity has no t-term, while exponential decay has the variable in the exponent. Exam tip: In y=a+bt, b<0 indicates linear decay.
(x) में परिवर्तन (7-2=5) है और कमी दर (12) है। इसलिए कुल कमी \(12\times5=60\) है। / The change in (x) is (7-2=5) and the decay rate is (12). Therefore the total decrease is \(12\times5=60\).
दिया है कि \(G(t)=q-5t\)। \(t=4\) रखने पर \(G(4)=q-20=60\), अतः \(q=80\)। अब \(t=9\) रखने पर \(G(9)=80-5(9)=80-45=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। 40 निकट का विकल्प हो सकता है, लेकिन वह घटाव को सही प्रकार से करने पर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान से अज्ञात स्थिरांक ज्ञात करें, फिर अपेक्षित मान रखें। / Given \(G(t)=q-5t\). Substituting \(t=4\), we get \(G(4)=q-20=60\), so \(q=80\). Now, substituting \(t=9\), \(G(9)=80-5(9)=80-45=35\). Hence, 35 is the correct answer. The nearby option 40 does not result from the correct subtraction. Exam tip: first find the unknown constant from the given function value, then substitute the required input.
\(y=18-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए x के प्रत्येक 1 बढ़ने पर y समान रूप से 2 घटता है। B वृद्धि दर्शाता है, जबकि C रैखिक नहीं है। परीक्षा में x के गुणांक का चिह्न देखें। / In \(y=18-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so y decreases by a constant 2 for every increase of 1 in x. B shows growth, while C is not linear. Exam tip: check the sign of the x-coefficient.
दिया है कि y=55, इसलिए समीकरण में रखने पर 132-11x=55 मिलता है। अतः 11x=132-55=77 और x=7। इसलिए सही विकल्प 7 है। 6 रखने पर y=66 आता है, 55 नहीं। परीक्षा टिप: लक्ष्य मान को y के स्थान पर रखकर x वाला पद अलग करें। / Put y=55 in the equation: 132-11x=55. Therefore, 11x=132-55=77, so x=7. Hence, 7 is the correct option. If x=6, the value of y is 66, not 55. Exam tip: Substitute the target value of y first, then isolate the x-term.
