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दोनों मान बराबर होने के लिए \(140-8x=100-3x\) लिखते हैं। अतः \(40=5x\), इसलिए \(x=8\)। जाँच करने पर \(C(8)=140-64=76\) और \(D(8)=100-24=76\) मिलते हैं। \(x=6\) पर दोनों के मान अलग-अलग हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों के बराबर होने का बिंदु ज्ञात करने के लिए उन्हें पहले बराबर रखकर \(x\) हल करें। / For the two values to be equal, set \(140-8x=100-3x\). This gives \(40=5x\), so \(x=8\). On checking, \(C(8)=140-64=76\) and \(D(8)=100-24=76\). At \(x=6\), their values are different, so it is not correct. Exam tip: to find where two linear expressions are equal, equate them first and solve for \(x\).
(250-15d=100) से (15d=150) और (d=10) मिलता है। क्षय में बची मात्रा को लक्ष्य के बराबर रखें। / From (250-15d=100), (15d=150) and (d=10). In decay set the remaining amount equal to the target.
जब \(k=0\) रखा जाता है, तब \(y=85-0x=85\) मिलता है। अतः \(x\) बदलने पर \(y\) में कोई कमी नहीं होती, इसलिए यह रेखीय क्षय नहीं है। यह एक स्थिर फलन है, जिसकी ढाल \(0\) होती है। विकल्प B इसका गुण बताता है, पर प्रश्न में क्षय के बारे में सही कथन पूछा गया है; इसलिए सबसे उपयुक्त उत्तर A है। परीक्षा टिप: \(y=a-kx\) में \(k>0\) होने पर ही ढाल \(-k\) ऋणात्मक होती है और क्षय होता है। / Substituting \(k=0\) gives \(y=85-0x=85\). Thus, \(y\) does not decrease as \(x\) changes, so the relation is not linear decay. It is a constant function with slope \(0\). Option B describes the graph, but since the question asks what is correct about decay, A is the most appropriate answer. Exam tip: In \(y=a-kx\), decay occurs only when \(k>0\), because the slope \(-k\) is then negative.
A. यह वृद्धि नहीं है; यह स्थिर फलन है/It is not growth; it is a constant function
Explanation
Simple Explanation
जब k=0 होता है, तब y=25+0x=25 प्राप्त होता है। x बदलने पर भी y का मान नहीं बदलता, इसलिए यह स्थिर फलन है, वृद्धि नहीं। रेखीय वृद्धि के लिए k>0 होना चाहिए; जबकि k<0 होने पर रेखीय क्षय होता है। परीक्षा टिप: y=a+kx में k ढाल (rate of change) है—उसका चिह्न वृद्धि या क्षय बताता है। / When k=0, y=25+0x=25. The value of y does not change as x changes, so this is a constant function, not growth. Linear growth requires k>0, whereas k<0 represents linear decay. Exam tip: In y=a+kx, k is the slope or rate of change; its sign indicates growth or decay.
दिया है, \(y=64-3.5x\)। \(x=12\) रखने पर \(y=64-3.5\times12=64-42=22\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 22 है। 24 तब मिलता यदि घटाने वाला मान 40 होता, लेकिन \(3.5\times12=42\) है। परीक्षा टिप: दशमलव वाली संख्या को पहले पूर्ण संख्या से गुणा करें, फिर घटाव करें। / Given \(y=64-3.5x\). Substituting \(x=12\), we get \(y=64-3.5\times12=64-42=22\). Therefore, 22 is correct. The value 24 would result only if the amount subtracted were 40, but \(3.5\times12=42\). Exam tip: Multiply the decimal rate by the given value first, then subtract.
दिए गए मॉडल में h=8 रखने पर, \(T(8)=38-2.5\times 8=38-20=18\) प्राप्त होता है। इसलिए सही तापमान 18 है। 20 का विकल्प तब मिल सकता है जब 2.5 को गलत तरीके से गुणा किया जाए। परीक्षा टिप: रैखिक मॉडल में पहले गुणा करें, फिर घटाव या जोड़ करें। / Substitute h=8 in the model: \(T(8)=38-2.5\times 8=38-20=18\). Therefore, the temperature is 18. Option 20 may result from multiplying 2.5 incorrectly. Exam tip: In a linear model, perform multiplication before addition or subtraction.
जब \(x=3\) हो, तब \(y=130-8(3)=106\)। जब \(x=10\) हो, तब \(y=130-8(10)=50\)। अतः दोनों \(y\)-मानों का अंतर \(106-50=56\) है। विकल्प 48 लेने पर \(x\) के वास्तविक अंतर \(10-3=7\) के बजाय गलत अंतर लिया जाएगा। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दो मानों का अंतर निकालने के लिए दोनों \(y\)-मान अलग-अलग निकालकर घटाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / At \(x=3\), \(y=130-8(3)=106\). At \(x=10\), \(y=130-8(10)=50\). Therefore, the difference between the two \(y\)-values is \(106-50=56\). Choosing 48 would result from using an incorrect change in \(x\) instead of the actual difference, \(10-3=7\). Exam tip: for a linear expression, calculate both values of \(y\) and subtract them to find the difference reliably.
रेखीय व्यंजक में \(y(0)\) स्थिर पद होता है, इसलिए वह \(80\) होना चाहिए। \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) को 5 घटाना है, अतः \(x\) का गुणांक \(-5\) होगा। इसलिए \(y=80-5x\) सही है। विकल्प A में प्रारंभिक मान 80 तो है, लेकिन \(y\), 5 घटने के बजाय 5 बढ़ता है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले स्थिर पद से \(y(0)\) और फिर \(x\) के गुणांक से वृद्धि या कमी की दर जाँचें। / In a linear expression, the constant term gives \(y(0)\), so it must be \(80\). Since \(y\) must decrease by 5 when \(x\) increases by 1, the coefficient of \(x\) must be \(-5\). Hence, \(y=80-5x\) is correct. Option A has the correct initial value, but it makes \(y\) increase by 5 instead. Exam tip: check the constant term for \(y(0)\) and the coefficient of \(x\) for the rate of change.
दिया है \(U(t)=120-10t\)। जब \(U(t)=50\), तब \(120-10t=50\)। अतः \(-10t=-70\), इसलिए \(t=7\)। विकल्प \(t=6\) रखने पर \(U(t)=60\) मिलता है, 50 नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में चर वाले पद को अलग करने के लिए दोनों पक्षों में समान संक्रिया करें। / Given \(U(t)=120-10t\). For \(U(t)=50\), set \(120-10t=50\). Thus, \(-10t=-70\), so \(t=7\). If \(t=6\), then \(U(t)=60\), not 50. Exam tip: isolate the variable term by performing the same operation on both sides of a linear equation.
\(t=5\) रखने पर \(C(5)=100-6\times5=70\) और \(D(5)=85-3\times5=70\) मिलता है। अतः दोनों मॉडलों के मान बराबर हैं, इसलिए \(C(5)=D(5)\) सही है। दोनों शून्य नहीं हैं; उनका समान मान 70 है। परीक्षा टिप: तुलना करने से पहले दोनों व्यंजकों में दिए गए \(t\) का मान अलग-अलग रखकर सरल करें। / Substituting \(t=5\), we get \(C(5)=100-6\times5=70\) and \(D(5)=85-3\times5=70\). Therefore, the two model values are equal, so \(C(5)=D(5)\) is correct. They are not zero; their common value is 70. Exam tip: evaluate both expressions at the given value of \(t\) before comparing them.
दिया है कि \(x=5\) पर \(y=110\)। अतः \(110=150-5k\)। इसलिए \(5k=40\), जिससे \(k=8\) प्राप्त होता है। \(40\) केवल \(5k\) का मान है, \(k\) का नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दिए गए \(x\) और \(y\) के मान पहले प्रतिस्थापित करें, फिर अज्ञात पद को अलग करें। / At \(x=5\), we are given \(y=110\). Substituting gives \(110=150-5k\). Hence, \(5k=40\), so \(k=8\). Note that \(40\) is the value of \(5k\), not of \(k\). Exam tip: Substitute the given values of \(x\) and \(y\) first, then isolate the unknown term.
दिया है कि \(N(t)=n-4t\)। \(t=5\) रखने पर \(N(5)=n-20=35\), अतः \(n=55\)। अब \(t=12\) रखने पर \(N(12)=55-4(12)=55-48=7\)। इसलिए सही उत्तर 7 है। 11 प्राप्त करना एक संभावित गलती है, यदि \(t=5\) से \(t=12\) तक की कमी \(4\times 7=28\) को सही ढंग से न घटाया जाए। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से अज्ञात नियतांक \(n\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(t\) का मान रखें। / Given \(N(t)=n-4t\). Substituting \(t=5\) gives \(N(5)=n-20=35\), so \(n=55\). Now, substituting \(t=12\), \(N(12)=55-4(12)=55-48=7\). Therefore, the correct answer is 7. The value 11 can result from incorrectly handling the decrease of \(4\times 7=28\) from \(t=5\) to \(t=12\). Exam tip: first find the unknown constant \(n\) using the given value, then substitute the required value of \(t\).
रेखीय क्षय के लिए गुणांक ऋणात्मक और आरंभिक मान (72) चाहिए। (y=72-9x) सही है। / For linear decay the coefficient must be negative and the initial value must be (72). (y=72-9x) is correct.
रैखिक मॉडल \(L(h)=36-3h\) में \(h\) का गुणांक परिवर्तन की दर बताता है। ऋणात्मक चिन्ह कमी दर्शाता है, इसलिए लंबाई प्रति घंटे 3 सेमी घटती है। \(36\) प्रारम्भिक लंबाई है। परीक्षा में ढाल का चिन्ह अवश्य देखें। / In \(L(h)=36-3h\), the coefficient of \(h\) is the rate of change. Its negative sign shows decay, so the candle loses 3 cm each hour. The value 36 is the initial length. Exam tip: always check the sign of the slope.
\(N(t)=120-8t\) में \(t\) का गुणांक \(-8\) है, इसलिए हर एक समय-इकाई पर मात्रा 8 से घटती है। A रैखिक वृद्धि है; रैखिक ह्रास में चर का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(N(t)=120-8t\), the coefficient of \(t\) is \(-8\), so the quantity decreases by 8 for every unit of time. Option A shows growth; for linear decay, check for a negative variable coefficient.
दिया है कि R(6)=42। अतः R(t)=b-8t में t=6 रखने पर b-8(6)=42 मिलता है। इसलिए b-48=42, अर्थात b=42+48=90। विकल्प 84 गलत है, क्योंकि इसमें 48 को 42 में सही ढंग से वापस नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दिए गए t का मान रखकर अज्ञात स्थिरांक को अलग करें। / Given R(6)=42, substitute t=6 in R(t)=b-8t: b-8(6)=42. Thus, b-48=42, so b=42+48=90. Option 84 is incorrect because 48 has not been added back correctly to 42. Exam tip: Substitute the given value of t into a linear expression and then isolate the unknown constant.
\(x\) का परिवर्तन \(11-4=7\) है। समीकरण में \(x\) का गुणांक \(-5\) है, इसलिए \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\), 5 से घटता है। अतः \(y\) में कुल कमी \(5\times 7=35\) होगी। \(y(4)=75\) और \(y(11)=40\) लेकर भी कमी \(75-40=35\) मिलती है। परीक्षा टिप: कुल परिवर्तन के लिए गुणांक के परिमाण को \(x\) के परिवर्तन से गुणा करें। / The change in \(x\) is \(11-4=7\). The coefficient of \(x\) is \(-5\), so for every increase of 1 in \(x\), \(y\) decreases by 5. Hence, the total decrease in \(y\) is \(5\times 7=35\). Equivalently, \(y(4)=75\) and \(y(11)=40\), so the decrease is \(75-40=35\). Exam tip: multiply the magnitude of the coefficient by the change in the variable to find total decrease.
\(y=18-3x\) में x का गुणांक \(-3\) है। इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y समान मात्रा 3 से घटता है; यही रैखिक क्षय है। \(18+3x\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(y=18-3x\), the coefficient of x is \(-3\). Thus, for every increase of 1 in x, y decreases by a constant 3, which is linear decay. \(18+3x\) shows linear growth instead. Exam tip: look for a negative coefficient of x in a linear relation.
आरंभिक मान वह स्थिर पद होता है, इसलिए वह 180 है। प्रति चरण 15 की कमी का अर्थ है कि \(x\) का गुणांक \(-15\) होगा। अतः नियम \(y=180-15x\) है। विकल्प A में मान बढ़ता है, घटता नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक नियम \(y=a+bx\) में \(b\) ऋणात्मक हो तो मात्रा घटती है। / The initial value is the constant term, so it is 180. A decrease of 15 per step means that the coefficient of \(x\) must be \(-15\). Therefore, the rule is \(y=180-15x\). In option A, the value increases rather than decreases. Exam tip: in a linear rule \(y=a+bx\), a negative \(b\) indicates decrease.
बैटरी का प्रतिशत 48 होने के लिए समीकरण में B(h)=48 रखें: \(96-6h=48\)। अतः \(6h=48\), इसलिए \(h=8\)। इसलिए 8 घंटे बाद बैटरी 48% होगी। 6 घंटे पर बैटरी \(96-36=60\)% रहती है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: रैखिक क्षय में दिए गए लक्ष्य मान को फलन के बराबर रखकर चर का मान ज्ञात करें। / For the battery percentage to be 48, set \(B(h)=48\): \(96-6h=48\). Thus, \(6h=48\), so \(h=8\). Therefore, the battery will be 48% after 8 hours. At 6 hours, it is \(96-36=60\)% remaining, so that nearby option is incorrect. Exam tip: In a linear decay problem, equate the function to the target value and solve for the variable.
\(R(t)=90-5t\) में \(t\) का गुणांक \(-5\) है, इसलिए \(t\) में 1 की वृद्धि पर \(R\) 5 इकाई घटता है। \(90+5t\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक रैखिक गुणांक क्षय बताता है। / In \(R(t)=90-5t\), the coefficient of \(t\) is \(-5\), so \(R\) falls by 5 units when \(t\) rises by 1. \(90+5t\) represents growth. Exam tip: a negative linear coefficient indicates decay.
\(75-4x\) में x का गुणांक \(-4\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर राशि 4 इकाई घटती है। \(75+4x\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास के लिए x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(75-4x\), the coefficient of x is \(-4\), so the quantity falls by 4 units for every increase of 1 in x. \(75+4x\) shows linear growth. Exam tip: for linear decay, look for a negative coefficient of x.
रेखीय क्षय में \(x\) का घात 1 होता है और उसका गुणांक ऋणात्मक होता है। \(y=45-3x\) में \(x\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए \(x\) बढ़ने पर \(y\) प्रत्येक इकाई पर 3 घटता है। \(y=45+3x\) रेखीय वृद्धि दर्शाता है, जबकि \(y=45-3x^2\) रैखिक नहीं बल्कि द्विघात संबंध है। परीक्षा टिप: रेखीय क्षय पहचानने के लिए \(y=a+bx\) में \(b<0\) जाँचें। / In linear decay, the power of \(x\) is 1 and its coefficient is negative. In \(y=45-3x\), the coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) decreases by 3 for every one-unit increase in \(x\). \(y=45+3x\) shows linear growth, while \(y=45-3x^2\) is quadratic rather than linear. Exam tip: for \(y=a+bx\), check that \(b<0\) to identify linear decay.
दिया है (y=96-8x) और (y=40)। अतः (96-8x=40)। दोनों पक्षों से 96 घटाने पर (-8x=-56) मिलता है, इसलिए (x=7)। विकल्प 6 रखने पर (y=48) आएगा, 40 नहीं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक पद को दूसरी ओर ले जाते समय दोनों पक्षों के चिह्नों का ध्यान रखें। / Given (y=96-8x) and (y=40), we get (96-8x=40). Subtracting 96 from both sides gives (-8x=-56), so (x=7). If x=6, then y=48, not 40. Exam tip: When moving or simplifying negative terms, track the signs on both sides carefully.
(200-12d=80) से (12d=120) और (d=10) मिलता है। क्षय में बची मात्रा को लक्ष्य के बराबर रखें। / From (200-12d=80), (12d=120) and (d=10). In decay set the remaining amount equal to the target.
A. यह क्षय नहीं है; यह स्थिर मान है/It is not decay; it is constant
Explanation
Simple Explanation
जब \(k=0\) रखा जाता है, तो \(y=70-kx\) से \(y=70\) मिलता है। इसका ढाल \(0\) है, इसलिए \(x\) बदलने पर \(y\) न बढ़ता है और न घटता है। रैखिक क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक होनी चाहिए; यहाँ कोई क्षय नहीं है। परीक्षा टिप: \(y=a-kx\) में \(k>0\) होने पर ढाल \(-k\) ऋणात्मक होती है। / Putting \(k=0\) in \(y=70-kx\) gives \(y=70\). Its slope is \(0\), so \(y\) neither increases nor decreases as \(x\) changes. Linear decay requires a negative slope, whereas this graph is horizontal. Exam tip: in \(y=a-kx\), if \(k>0\), the slope \(-k\) is negative.
दिए गए समीकरण में x=8 रखने पर y=42-2.5×8 होगा। 2.5×8=20, इसलिए y=42-20=22। अतः सही विकल्प 22 है। 24 तब आ सकता है जब गुणन या घटाव में गलती हो जाए। परीक्षा टिप: दशमलव वाले पद को पहले x से गुणा करें, फिर स्थिर पद से घटाएँ। / Substitute x=8 into the given equation: y=42-2.5×8. Since 2.5×8=20, y=42-20=22. Therefore, 22 is the correct option. A result such as 24 may arise from an error in multiplication or subtraction. Exam tip: First multiply the decimal coefficient by x, then subtract from the constant term.
x=2 रखने पर y=90-5(2)=80 मिलता है। x=7 रखने पर y=90-5(7)=55 मिलता है। अतः दोनों y-मानों का अंतर 80-55=25 है। 5 केवल प्रत्येक 1 इकाई x बढ़ने पर y की कमी है; x में 5 इकाइयों की वृद्धि के लिए कुल कमी 5×5=25 होगी। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दो मानों का अंतर निकालने के लिए दोनों x-मान रखकर घटाएँ। / Substituting x=2 gives y=90-5(2)=80. Substituting x=7 gives y=90-5(7)=55. Therefore, the difference between the two y-values is 80-55=25. Here, 5 is the decrease in y for each increase of 1 in x; over an increase of 5 units in x, the total decrease is 5×5=25. Exam tip: For a linear expression, substitute both x-values and subtract the resulting values.
\(y=12-4x\) में x का गुणांक \(-4\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y 4 घटता है। \(x^2\) या \(1/x\) वाले संबंध रैखिक नहीं होते। परीक्षा टिप: रैखिक कमी में x का गुणांक ऋणात्मक देखें। / In \(y=12-4x\), the coefficient of x is \(-4\), so y decreases by 4 for every increase of 1 in x. Relations involving \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: a negative x-coefficient indicates linear decay.
रेखीय संबंध में \(y=mx+c\) होता है। \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) में 3 की कमी के लिए ढाल \(m=-3\) होगी। साथ ही \(y(0)=50\) होने से स्थिर पद \(c=50\) है। इसलिए \(y=50-3x\) सही विकल्प है। विकल्प A में प्रारंभिक मान 50 तो है, लेकिन \(y\) 3 से बढ़ता है। परीक्षा टिप: \(y(0)\) ज्ञात करने के लिए समीकरण में \(x=0\) रखें। / For a linear relation, \(y=mx+c\). A decrease of 3 in \(y\) when \(x\) increases by 1 gives slope \(m=-3\). Also, \(y(0)=50\) means the constant term is \(c=50\). Hence, \(y=50-3x\) is correct. Option A has the initial value 50, but it increases by 3 rather than decreasing. Exam tip: substitute \(x=0\) to check \(y(0)\).
