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\(h(t)=24-3t\) में \(t\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए समय में प्रत्येक 1 इकाई वृद्धि पर राशि 3 इकाई घटती है। \(24+3t\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा में ऋणात्मक ढाल पहचानें। / In \(h(t)=24-3t\), the coefficient of \(t\) is \(-3\), so the quantity falls by 3 units for every 1-unit increase in time. \(24+3t\) shows growth. Exam tip: a negative linear coefficient indicates decay.
दिया है \(U(t)=64-4t\)। \(U(t)=28\) रखने पर \(64-4t=28\) मिलता है। अतः \(4t=36\), इसलिए \(t=9\)। \(t=8\) लेने पर \(U(8)=32\) होगा, जो 28 नहीं है। परीक्षा में मान रखने के बाद अंतिम उत्तर को मूल व्यंजक में जाँच लें। / Given \(U(t)=64-4t\), set \(U(t)=28\): \(64-4t=28\). Thus, \(4t=36\), so \(t=9\). For example, at \(t=8\), \(U(8)=32\), not 28. Exam tip: substitute your final value back into the original expression to verify it.
\(t=5\) रखने पर \(C(5)=80-4(5)=60\) और \(D(5)=70-2(5)=60\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों मॉडल समान मान देते हैं। विकल्प A या B गलत हैं क्योंकि किसी एक का मान दूसरे से बड़ा नहीं है। परीक्षा टिप: तुलना से पहले प्रत्येक व्यंजक में दिए गए \(t\) का मान रखकर सरल कीजिए। / Substituting \(t=5\), we get \(C(5)=80-4(5)=60\) and \(D(5)=70-2(5)=60\). Hence, both models give the same value. Options A and B are incorrect because neither value is larger than the other. Exam tip: Substitute the given value of \(t\) into each expression before comparing them.
दिया है कि जब \(x=4\), तब \(y=76\)। इसलिए \(y=100-kx\) में मान रखने पर \(76=100-4k\) मिलता है। अतः \(4k=24\), इसलिए \(k=6\)। विकल्प 24, \(4k\) का मान है, \(k\) का नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दिए गए \(x\) और \(y\) के मान पहले प्रतिस्थापित करें, फिर अज्ञात पद को अलग करें। / Given \(x=4\) and \(y=76\), substitute these values in \(y=100-kx\): \(76=100-4k\). Hence, \(4k=24\), so \(k=6\). Option 24 is the value of \(4k\), not of \(k\). Exam tip: In a linear expression, substitute the given values of \(x\) and \(y\) first, then isolate the unknown term.
दिया है: \(N(t)=n-3t\)। \(t=4\) रखने पर \(N(4)=n-12=28\), अतः \(n=40\)। अब \(t=9\) रखने पर \(N(9)=40-3\times9=40-27=13\)। इसलिए सही उत्तर 13 है। 16 तब मिलता यदि घटाव की दर या समय का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले दी गई शर्त से अज्ञात नियतांक \(n\) ज्ञात करें, फिर आवश्यक \(t\) का मान रखें। / Given \(N(t)=n-3t\). Substituting \(t=4\), \(N(4)=n-12=28\), so \(n=40\). Now, for \(t=9\), \(N(9)=40-3\times9=40-27=13\). Hence, 13 is correct. A value such as 16 can result from using the rate of decrease or the time value incorrectly. Exam tip: first use the given condition to find the unknown constant \(n\), then substitute the required value of \(t\).
रेखीय क्षय के लिए गुणांक ऋणात्मक और आरंभिक मान (60) चाहिए। (y=60-4x) सही है। / For linear decay the coefficient must be negative and the initial value must be (60). (y=60-4x) is correct.
\(P(t)=12+3t\) में \(t\) का गुणांक \(+3\) है, इसलिए समय की प्रत्येक इकाई पर राशि 3 से बढ़ती है। विकल्प B रैखिक है, पर ऋणात्मक गुणांक के कारण क्षय दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक वृद्धि के लिए \(t\) की घात 1 और गुणांक धनात्मक देखें। / In \(P(t)=12+3t\), the coefficient of \(t\) is \(+3\), so the quantity increases by 3 for every unit of time. Option B is linear but shows decay because its coefficient is negative. Exam tip: for linear growth, the power of \(t\) must be 1 and its coefficient must be positive.
\(120-8t\) में \(t\) की घात 1 है और उसका गुणांक \(-8\) है, इसलिए मात्रा हर समय-इकाई में 8 घटती है। \(120+8t\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में चर का गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(120-8t\), the highest power of \(t\) is 1 and its coefficient is \(-8\), so the quantity decreases by 8 per time unit. \(120+8t\) shows growth. Exam tip: linear decay has a negative coefficient of the variable.
दिया है \(R(t)=b-6t\)। \(t=5\) रखने पर \(R(5)=b-6(5)=b-30\) होगा। क्योंकि \(R(5)=50\), इसलिए \(b-30=50\), अतः \(b=80\)। विकल्प 50, \(R(5)\) का मान है, न कि \(b\) का। परीक्षा टिप: किसी फलन का दिया हुआ मान होने पर पहले दिए गए इनपुट को सूत्र में रखकर समीकरण बनाइए। / Given \(R(t)=b-6t\). Substituting \(t=5\) gives \(R(5)=b-6(5)=b-30\). Since \(R(5)=50\), \(b-30=50\), so \(b=80\). Option 50 is the value of \(R(5)\), not the value of \(b\). Exam tip: When a function value is given, first substitute the stated input into the formula and form an equation.
विकल्प B में \(x\) का गुणांक \(-7\) है। अतः \(x\) में 1 की वृद्धि पर \(y\) हर बार 7 घटता है; यह समान दर का रैखिक क्षय है। \(x^2\) और \(1/x\) वाले संबंध रैखिक नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक ढाल क्षय दिखाती है। / In option B, the coefficient of \(x\) is \(-7\). So, when \(x\) increases by 1, \(y\) decreases by 7 each time; this is constant-rate linear decay. Relations involving \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: a negative slope indicates decay.
\(y=12-2x\) में x का गुणांक \(-2\) है, इसलिए प्रत्येक 1 इकाई x बढ़ने पर y 2 इकाई घटता है। विकल्प B में वृद्धि होती है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास के लिए x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए। / In \(y=12-2x\), the coefficient of x is \(-2\), so y falls by 2 units for every 1-unit rise in x. Option B represents growth. Exam tip: linear decay has x to power 1 with a negative coefficient.
रैखिक नियम का रूप \(y=a+bx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(b\) प्रति चरण परिवर्तन है। यहाँ आरंभिक मान 140 है तथा हर चरण में 10 की कमी है, इसलिए परिवर्तन \(-10\) होगा। अतः नियम \(y=140-10x\) है। विकल्प A में 10 की वृद्धि दिखाई गई है। परीक्षा टिप: “कमी” या “क्षय” शब्द मिले तो ढाल के आगे ऋण चिह्न लगाएँ। / A linear rule has the form \(y=a+bx\), where \(a\) is the initial value and \(b\) is the change per step. Here, the initial value is 140 and the value decreases by 10 each step, so the change is \(-10\). Therefore, the rule is \(y=140-10x\). Option A represents an increase of 10 per step. Exam tip: words such as “decrease” or “decay” indicate a negative slope.
बैटरी के 60% रहने पर मॉडल में \(B(h)=60\) रखें: \(100-8h=60\)। अतः \(8h=40\), इसलिए \(h=5\) घंटे। 4 घंटे पर बैटरी \(100-8(4)=68\%\) रहेगी, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक क्षय प्रश्नों में पहले दिए गए लक्ष्य प्रतिशत को फलन के बराबर रखकर चर का मान निकालें। / For the battery to be at 60%, put \(B(h)=60\) in the model: \(100-8h=60\). Thus, \(8h=40\), so \(h=5\) hours. At 4 hours, the battery would be \(100-8(4)=68\%\), so that option is not correct. Exam tip: In linear decay questions, equate the function to the required target value first, then solve for the variable.
\(12-3t\) में \(t\) का घात 1 है, इसलिए परिवर्तन रैखिक है। गुणांक \(-3\) बताता है कि हर 1 इकाई समय पर राशि 3 घटती है। \(12+3t\) रैखिक वृद्धि है। परीक्षा में ढलान का चिन्ह देखें। / In \(12-3t\), the power of \(t\) is 1, so the change is linear. The coefficient \(-3\) means the quantity decreases by 3 per unit time. \(12+3t\) shows growth. Exam tip: check the sign of the slope.
\(P(n)=40-3n\) में \(n\) का घात 1 है और उसका गुणांक \(-3\) है, इसलिए हर 1 इकाई बढ़ने पर राशि 3 से घटती है। \(40-3n^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक ह्रास में चर का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(P(n)=40-3n\), the power of \(n\) is 1 and its coefficient is \(-3\), so the quantity decreases by 3 for every one-unit increase. \(40-3n^2\) is not linear. Exam tip: linear decay has degree 1 with a negative variable coefficient.
दिया है \(W(t)=120-6t\)। \(t=8\) रखने पर \(W(8)=120-6(8)=120-48=72\) L मिलता है। इसलिए सही उत्तर 72 L है। 48 L केवल घटाई गई मात्रा है, बचा हुआ पानी नहीं। परीक्षा में पहले \(t\) का मान सूत्र में रखें, फिर गुणा करके घटाएं। / Given \(W(t)=120-6t\). Substituting \(t=8\), \(W(8)=120-6(8)=120-48=72\) L. Therefore, 72 L is correct. 48 L is only the amount of water removed, not the water remaining. Exam tip: substitute the value of \(t\) first, then multiply and subtract.
\(y=12-3x\) में \(x\) के गुणांक \(-3\) स्थिर है, इसलिए \(x\) की हर 1 इकाई वृद्धि पर \(y\) 3 इकाई घटता है। \(12-3x^2\) में कमी स्थिर नहीं होती। परीक्षा टिप: ऋणात्मक स्थिर ढाल रैखिक क्षय बताती है। / In \(y=12-3x\), the constant coefficient of \(x\) is \(-3\), so \(y\) falls by 3 for every 1-unit rise in \(x\). In \(12-3x^2\), the rate of decrease is not constant. Exam tip: a negative constant slope indicates linear decay.
रैखिक बहुपद का रूप \(a+bx\) होता है। यहाँ \(b=-3\) है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर मान 3 घटता है। \(12-3x^2\) क्षय दिखाता है, पर वह रैखिक नहीं है। परीक्षा में x का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक जाँचें। / A linear polynomial has the form \(a+bx\). Here \(b=-3\), so the value decreases by 3 for every increase of 1 in x. \(12-3x^2\) also decreases but is not linear. In exams, check that the power of x is 1 and its coefficient is negative.
\(y=12-5x\) में \(x\) के गुणांक \(-5\) का अर्थ है कि \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\), 5 इकाई घटता है। \(y=5x+12\) स्थिर दर से वृद्धि दिखाता है। परीक्षा में रैखिक ह्रास पहचानने के लिए \(x\) का ऋणात्मक गुणांक देखें। / In \(y=12-5x\), the coefficient \(-5\) means that \(y\) decreases by 5 units whenever \(x\) increases by 1. \(y=5x+12\) shows constant growth instead. Exam tip: a negative coefficient of \(x\) identifies linear decay.
\(y=30-2x\) में x का गुणांक \(-2\) स्थिर और ऋणात्मक है, इसलिए x में 1 की वृद्धि पर y 2 घटता है। \(x^2\) या \(1/x\) वाला संबंध रैखिक नहीं होता। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(y=a+bx\) पहचानें। / In \(y=30-2x\), the coefficient of x is the constant negative number \(-2\), so y decreases by 2 for every 1-unit rise in x. Expressions with \(x^2\) or \(1/x\) are not linear. Exam tip: identify the form \(y=a+bx\).
दिया है कि \(K(t)=110-11t\)। \(t=5\) रखने पर \(K(5)=110-11(5)=110-55=55\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 55 है। 66 तब मिलता यदि घटाई जाने वाली राशि 44 होती, जबकि यहाँ \(11\times 5=55\) है। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या को कोष्ठक सहित रखें। / Given \(K(t)=110-11t\). Substituting \(t=5\), \(K(5)=110-11(5)=110-55=55\). Therefore, the correct answer is 55. The value 66 would result only if the amount subtracted were 44, but here \(11\times 5=55\). Exam tip: When evaluating a function, substitute the given value for the variable using brackets.
समीकरण (y=52-kt) में (t) के साथ जुड़ा गुणांक (-k) है। क्योंकि (k>0), इसलिए (-k) ऋणात्मक है और (t) बढ़ने पर (kt) का मान बढ़ता है, जिससे 52 में से अधिक मान घटता है। अतः (y) घटेगा। (y) केवल तब स्थिर रहता जब (k=0) होता। परीक्षा टिप: रेखीय समीकरण में चर का गुणांक धनात्मक हो तो मान बढ़ता है और ऋणात्मक हो तो घटता है। / In (y=52-kt), the coefficient of (t) is (-k). Since (k>0), (-k) is negative. As (t) increases, (kt) increases, so a larger value is subtracted from 52; therefore, (y) decreases. (y) would remain constant only if (k=0). Exam tip: in a linear expression, a positive coefficient indicates increase, while a negative coefficient indicates decrease.
समीकरण \(y=15+kt\) में \(k\), \(t\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की स्थिर दर (ढाल) है। रेखीय वृद्धि के लिए \(t\) बढ़ने पर \(y\) भी बढ़ना चाहिए, इसलिए \(k>0\) होना आवश्यक है। \(k<0\) होने पर रेखीय ह्रास होता है और \(k=0\) होने पर \(y\) स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: \(y=a+bt\) में \(b\) का चिह्न वृद्धि या ह्रास बताता है। / In \(y=15+kt\), \(k\) is the constant rate of change (slope) of \(y\) with respect to \(t\). For linear growth, \(y\) must increase as \(t\) increases, so \(k>0\) is necessary. If \(k<0\), the relation shows linear decay, while \(k=0\) makes \(y\) constant. Exam tip: in \(y=a+bt\), the sign of \(b\) tells whether there is growth or decay.
\(P(t)=60-4t\) में \(t\) का गुणांक \(-4\) है, इसलिए हर 1 समय-इकाई पर मात्रा 4 से घटती है; यह स्थिर दर वाला रैखिक ह्रास है। \(0.9^t\) घातांकीय ह्रास है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप में चर की घात 1 होती है। / In \(P(t)=60-4t\), the coefficient of \(t\) is \(-4\), so the quantity decreases by 4 for every one-unit increase in time. This is linear decay. \(60(0.9)^t\) shows exponential decay. Exam tip: in a linear expression, the variable has power 1.
नियम में
(y=85-10x) का गुणांक
(-10) है। इसका अर्थ है कि
(x) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर
(y) का मान 10 घटता है। इसलिए 10 प्रति चरण कमी की मात्रा बताता है। आरंभिक मान 85 है, क्योंकि
(x=0) रखने पर
(y=85) मिलता है। परीक्षा टिप: रैखिक नियम
(y=a+bx) में
(b) परिवर्तन की दर बताता है; ऋणात्मक
(b) कमी दर्शाता है। / In
(y=85-10x), the coefficient is
(-10). This means that when
(x) increases by 1, the value of
(y) decreases by 10. Hence, 10 represents the decrease per step. The initial value is 85 because
(y=85) when
(x=0). Exam tip: In a linear rule
(y=a+bx),
(b) gives the rate of change; a negative
(b) indicates a decrease.
यहाँ P(0)=90-3(0)=90 और P(12)=90-3(12)=54 है। अतः P(0)-P(12)=90-54=36। विकल्प 30 इसलिए गलत है क्योंकि कमी की दर 3 को 12 से गुणा करने पर 36 मिलता है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में t के दोनों मान अलग-अलग रखकर फिर अंतर निकालें। / Here, P(0)=90-3(0)=90 and P(12)=90-3(12)=54. Therefore, P(0)-P(12)=90-54=36. Option 30 is incorrect because multiplying the decrease rate 3 by 12 gives 36. Exam tip: Substitute both values of t separately in a linear expression, then find their difference.
दिया है कि \(J(t)=81-7t\)। \(t=8\) रखने पर \(J(8)=81-7(8)=81-56=25\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 25 है। 32 तब मिलता यदि \(7\times 8\) को 49 मान लिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर मान रखें, फिर गुणा और घटाव करें। / Given \(J(t)=81-7t\). Substituting \(t=8\), we get \(J(8)=81-7(8)=81-56=25\). Therefore, 25 is the correct option. The value 32 could result from incorrectly calculating \(7\times8\) as 49. Exam tip: substitute the value first, then perform multiplication before subtraction.
दिया गया समीकरण y=48-6x एक रैखिक व्यंजक है और x का गुणांक -6 है। इसका अर्थ है कि x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y का मान 6 से घटता है, इसलिए यह रेखीय क्षय दर्शाता है। यह स्थिर फलन नहीं है, क्योंकि y का मान x के साथ बदलता है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण y=a+bx में b धनात्मक हो तो वृद्धि और ऋणात्मक हो तो क्षय होता है। / The equation y=48-6x is linear, and the coefficient of x is -6. This means that when x increases by 1, y decreases by 6, so it represents linear decay. It is not a constant function because y changes with x. Exam tip: In a linear equation y=a+bx, a positive b indicates growth and a negative b indicates decay.
\(P(t)=45-3t\) में \(t\) का गुणांक \(-3\) है, इसलिए हर एक समय-इकाई पर राशि 3 घटती है। \(45+3t\) वृद्धि दिखाता है, जबकि \(t^2\) वाली कमी समान दर की नहीं होती। परीक्षा टिप: रैखिक कमी में चर का घात 1 और गुणांक ऋणात्मक होता है। / In \(P(t)=45-3t\), the coefficient of \(t\) is \(-3\), so the quantity decreases by 3 for each one-unit increase in time. \(45+3t\) shows growth, while a \(t^2\) term does not give a constant rate. Exam tip: linear decay has degree 1 and a negative variable coefficient.
यहाँ \(Y(2)=66-6(2)=54\) और \(Y(3)=66-6(3)=48\) है। अतः \(Y(2)\) से \(Y(3)\) तक कमी \(54-48=6\) है। \(12\) दो समय-इकाइयों की कमी होती, जबकि यहाँ केवल एक समय-इकाई का अंतर है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(a-bt\) में प्रत्येक एक इकाई \(t\) बढ़ने पर मान \(b\) से घटता है। / Here, \(Y(2)=66-6(2)=54\) and \(Y(3)=66-6(3)=48\). Therefore, the decrease from \(Y(2)\) to \(Y(3)\) is \(54-48=6\). A decrease of \(12\) would occur over two time units, whereas this question compares consecutive time values. Exam tip: in a linear expression \(a-bt\), the value decreases by \(b\) whenever \(t\) increases by one unit.
