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आरंभिक राशि 70 है, इसलिए जब \(x=0\) हो तो \(y=70\) होना चाहिए। प्रत्येक चरण में 5 की कमी होने से \(x\) का गुणांक \(-5\) होगा। अतः नियम \(y=70-5x\) है। \(y=70+5x\) और \(y=5x+70\) में राशि बढ़ती है, घटती नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में आरंभिक मान स्थिर पद होता है और कमी के लिए ढाल ऋणात्मक होती है। / The starting quantity is 70, so when \(x=0\), the value of \(y\) must be 70. Since it decreases by 5 at each step, the coefficient of \(x\) is \(-5\). Therefore, the rule is \(y=70-5x\). In \(y=70+5x\) and \(y=5x+70\), the quantity increases rather than decreases. Exam tip: in a linear rule, the constant term is the initial value, and a decrease has a negative slope.
दिया है कि \(T(t)=100-12t\)। अतः \(T(1)=100-12=88\) और \(T(3)=100-36=64\)। इसलिए \(T(1)-T(3)=88-64=24\)। विकल्प A में 12 केवल प्रति इकाई समय की कमी है, जबकि 1 से 3 तक समयांतराल 2 है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों फलन मान अलग-अलग निकालकर फिर उनका अंतर लें। / Given \(T(t)=100-12t\), \(T(1)=100-12=88\) and \(T(3)=100-36=64\). Hence, \(T(1)-T(3)=88-64=24\). Option A, 12, is only the decrease per unit time; the interval from 1 to 3 is 2 units. Exam tip: Find each function value separately before subtracting them.
फलन में t=0 रखने पर G(0)=82-9(0)=82 प्राप्त होता है। अतः प्रारम्भिक मान 82 है। 73 तब मिलता है जब t=1 हो, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक फलन का प्रारम्भिक मान ज्ञात करने के लिए स्वतंत्र चर में 0 रखें। / Substituting t=0 gives G(0)=82-9(0)=82. Hence, the initial value is 82. The value 73 is obtained when t=1, so it is not correct here. Exam tip: To find the initial value of a linear function, substitute 0 for the independent variable.
रैखिक क्षय का नियम \(y=a-rx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(r\) क्षय दर है। यहाँ \(a=64\) तथा \(r=8\) रखने पर \(y=64-8x\) मिलता है। विकल्प A में मान 8 की वृद्धि हो रही है, इसलिए वह वृद्धि का नियम है। परीक्षा टिप: आरंभिक मान स्थिर पद होता है और क्षय के लिए \(x\) का गुणांक ऋणात्मक होता है। / A linear decay rule has the form \(y=a-rx\), where \(a\) is the initial value and \(r\) is the decay rate. Substituting \(a=64\) and \(r=8\) gives \(y=64-8x\). Option A represents growth by 8, not decay. Exam tip: the initial value is the constant term, and decay has a negative coefficient of \(x\).
यहाँ x के स्थान पर 7 रखने पर \(N(7)=45-5\times7=45-35=10\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 10 है। 15 प्राप्त करना सामान्यतः \(5\times7\) की गणना या घटाव में त्रुटि से हो सकता है। परीक्षा टिप: फलन का मान ज्ञात करते समय पहले चर के स्थान पर दी गई संख्या रखें, फिर गुणा और घटाव करें। / Substitute 7 for x: \(N(7)=45-5\times7=45-35=10\). Therefore, the correct answer is 10. A value such as 15 can result from an error in calculating \(5\times7\) or in subtraction. Exam tip: when evaluating a function, substitute the given value first, then perform multiplication and subtraction.
दिया है कि \(R(d)=55-3d\)। \(d=5\) रखने पर \(R(5)=55-3(5)=55-15=40\) किग्रा मिलता है। इसलिए सही उत्तर 40 किग्रा है। 15 किग्रा केवल 5 दिनों में घटी हुई मात्रा है, बचा हुआ चावल नहीं। परीक्षा टिप: फलन का मान निकालते समय पहले चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(R(d)=55-3d\). Substituting \(d=5\), \(R(5)=55-3(5)=55-15=40\) kg. Therefore, 40 kg of rice remains. The value 15 kg is only the amount decreased in 5 days, not the amount left. Exam tip: To find a function value, substitute the given number for the variable, multiply first, and then add or subtract.
गुणांक (-4) है इसलिए मान हर चरण में (4) घटता है। घटने की मात्रा धनात्मक रूप में (4) है। / The coefficient is (-4), so the value decreases by (4) each step. The amount of decrease is (4) in positive form.
नियम \(y=50-7x\) में \(x\) का गुणांक \(-7\) है। इसलिए \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\) का मान 7 घटता है। \(y=50+7x\) में 7 की वृद्धि होती है, कमी नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक नियम \(y=a+bx\) में \(b\) का ऋणात्मक चिह्न कमी दर्शाता है। / In \(y=50-7x\), the coefficient of \(x\) is \(-7\). Therefore, when \(x\) increases by 1, \(y\) decreases by 7. In \(y=50+7x\), the value increases by 7, not decreases. Exam tip: In a linear rule \(y=a+bx\), a negative value of \(b\) indicates decrease.
दिया है \(B(h)=96-6h\)। \(h=4\) रखने पर \(B(4)=96-6(4)=96-24=72\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 72 है। 24 केवल \(6\times4\) का मान है; इसमें 96 में से घटाना अभी बाकी है। परीक्षा टिप: किसी फलन का मान निकालते समय पहले चर के स्थान पर संख्या रखिए, फिर गणना के क्रम का पालन कीजिए। / Given \(B(h)=96-6h\). Substituting \(h=4\), we get \(B(4)=96-6(4)=96-24=72\). Therefore, 72 is correct. The value 24 is only \(6\times4\); it still needs to be subtracted from 96. Exam tip: To evaluate a function, substitute the given value for the variable and then follow the order of operations.
रेखीय नियम में t का गुणांक प्रति इकाई परिवर्तन दर बताता है। S(t)=120-8t में t का गुणांक -8 है, इसलिए t में 1 की वृद्धि होने पर S का मान 8 घटता है। 120 प्रारम्भिक मान है, दर नहीं; जबकि 8 कमी का परिमाण है, उसकी दिशा को दर्शाने वाला ऋण चिह्न आवश्यक है। परीक्षा टिप: y=a+bt के रूप में b को देखकर सीधे दर ज्ञात करें। / In a linear rule, the coefficient of t gives the rate of change per unit. In S(t)=120-8t, the coefficient of t is -8, so S decreases by 8 when t increases by 1. Here, 120 is the initial value, not the rate; 8 gives only the magnitude of the decrease, so the negative sign is essential. Exam tip: In the form y=a+bt, the rate of change is b.
यहाँ W(t)=75-5t एक रैखिक व्यंजक है, क्योंकि t की घात 1 है। t का गुणांक -5 है, अर्थात t में प्रत्येक 1 इकाई की वृद्धि पर पानी की मात्रा 5 लीटर घटती है। इसलिए यह रेखीय क्षय है। स्थिर मात्रा में t का कोई पद नहीं होता, जबकि घातीय परिवर्तन में चर घात में होता है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप at+b में a का ऋणात्मक होना क्षय दर्शाता है। / Here, W(t)=75-5t is a linear expression because the power of t is 1. The coefficient of t is -5, so the amount of water decreases by 5 litres for every 1-unit increase in t. Therefore, it represents linear decay. A constant amount would have no t-term, while in exponential change the variable appears in the exponent. Exam tip: in the linear form at+b, a negative value of a indicates decay.
\(y=80-3t\) में \(t\) के गुणांक \(-3\) का अर्थ है कि हर इकाई समय पर राशि 3 से घटती है, इसलिए यह रैखिक क्षय है। \(0.9^t\) घातीय क्षय है। परीक्षा टिप: रैखिक रूप \(a+bt\) पहचानें। / In \(y=80-3t\), the coefficient \(-3\) means the quantity falls by 3 in every time unit, so it is linear decay. \(0.9^t\) represents exponential decay. Exam tip: identify linear relations in the form \(a+bt\).
समीकरण \(y=10+kt\) में \(k\), \(t\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की दर या ढाल है। रेखीय वृद्धि के लिए \(t\) बढ़ने पर \(y\) भी बढ़ना चाहिए, इसलिए \(k>0\) होना आवश्यक है। \(k<0\) होने पर रेखीय क्षय होता है और \(k=0\) होने पर \(y\) स्थिर रहता है। परीक्षा टिप: \(y=a+mt\) में \(m\) का चिह्न वृद्धि या क्षय बताता है। / In \(y=10+kt\), \(k\) is the rate of change, or slope, of \(y\) with respect to \(t\). For linear growth, \(y\) must increase as \(t\) increases, so \(k>0\) is necessary. If \(k<0\), the relation shows linear decay, while \(k=0\) makes \(y\) constant. Exam tip: In \(y=a+mt\), the sign of \(m\) indicates growth or decay.
दिया है (R(t)=b-4t)। जब (t=0) रखते हैं, तब (R(0)=b-4(0)=b) प्राप्त होता है। चूँकि (R(0)=25) है, इसलिए (b=25) होगा। विकल्प 21, (t=1) पर मिलने वाला मान है, प्रारम्भिक मान नहीं। परीक्षा टिप: किसी रैखिक व्यंजक में स्थिर पद ज्ञात करने के लिए प्रायः स्वतंत्र चर का मान 0 रखें। / Given (R(t)=b-4t), substituting (t=0) gives (R(0)=b-4(0)=b). Since (R(0)=25), we get (b=25). The value 21 would be obtained at (t=1), not at the initial time. Exam tip: To find the constant term in a linear expression, often substitute 0 for the independent variable.
B. x में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर कमी की मात्रा/Amount of decrease for each increase of 1 in x
Explanation
Simple Explanation
नियम y=60-5x में 60 आरंभिक मान है। x का गुणांक -5 है, इसलिए x में प्रत्येक 1 की वृद्धि होने पर y का मान 5 घटता है। अतः 5 कमी की मात्रा बताता है, जबकि 60 को कमी की दर नहीं माना जा सकता। परीक्षा टिप: रैखिक नियम y=a+bx में b परिवर्तन की दर बताता है; ऋणात्मक b कमी दर्शाता है। / In the rule y=60-5x, 60 is the initial value. The coefficient of x is -5, so when x increases by 1, the value of y decreases by 5. Therefore, 5 represents the amount of decrease, not the initial value. Exam tip: In a linear rule y=a+bx, b gives the rate of change; a negative b indicates decay.
दिया है कि \(N(t)=80-2t\)। अतः \(N(0)=80\) और \(N(10)=80-2\times10=60\)। इसलिए \(N(0)-N(10)=80-60=20\)। विकल्प 60, \(N(10)\) का मान है, अंतर का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों दिए गए समयों पर फलन का मान निकालकर फिर उनका घटाव करें। / Given \(N(t)=80-2t\), we get \(N(0)=80\) and \(N(10)=80-2\times10=60\). Therefore, \(N(0)-N(10)=80-60=20\). Option 60 is the value of \(N(10)\), not the required difference. Exam tip: First evaluate the function at both given times, then subtract the values carefully.
दिए गए व्यंजक में \(t=7\) रखने पर \(O(7)=64-6\times 7=64-42=22\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 22 है। 28 तब मिलता यदि \(6\times 6\) लिया जाता, जो दिए गए \(t=7\) के लिए गलत है। परीक्षा टिप: पहले चर का मान कोष्ठक में रखें, फिर गुणा और घटाव का क्रम सही रखें। / Substitute \(t=7\) in the given expression: \(O(7)=64-6\times 7=64-42=22\). Therefore, 22 is correct. The value 28 would result from using \(6\times 6\), which does not match the given value \(t=7\). Exam tip: Substitute the variable value first, then follow the correct order of multiplication and subtraction.
यहाँ x का गुणांक -7 है। x के मान में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर y का मान 7 घटता है, इसलिए यह रेखीय क्षय है। रेखीय वृद्धि में x का गुणांक धनात्मक होता है। परीक्षा टिप: y = a + bx में b का चिह्न वृद्धि या क्षय बताता है। / Here, the coefficient of x is -7. For every increase of 1 in x, the value of y decreases by 7, so it represents linear decay. In linear growth, the coefficient of x is positive. Exam tip: In y = a + bx, the sign of b indicates growth or decay.
A. समय के साथ समान दर से कमी/A uniform decrease with time
Explanation
Simple Explanation
यह रैखिक क्षय है, क्योंकि \(t\) को 1 बढ़ाने पर \(N\) में \(-b\) का निश्चित परिवर्तन होता है। इसलिए मात्रा हर इकाई समय में \(b\) से घटती है। विकल्प D में दर बदलती है, जो रैखिक मॉडल नहीं है। परीक्षा टिप: \(t\) का ऋणात्मक गुणांक क्षय दिखाता है। / This represents linear decay because increasing \(t\) by 1 changes \(N\) by the fixed amount \(-b\). Thus, the quantity decreases by \(b\) per time unit. Option D has a changing rate, so it is not linear. Exam tip: a negative coefficient of \(t\) indicates decay.
समीकरण (y=a-bx) में (x) का गुणांक (-b) है। क्योंकि (b>0), इसलिए ढाल ऋणात्मक होती है। अतः (x) के बढ़ने पर (bx) बढ़ता है और (a) में से अधिक मात्रा घटती है, इसलिए (y) घटता है। (y) केवल किसी विशेष (x) के मान पर 0 हो सकता है, हर बार नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में (x) का गुणांक ऋणात्मक हो तो (x) बढ़ने पर (y) घटता है। / In (y=a-bx), the coefficient of (x) is (-b). Since (b>0), the slope is negative. Therefore, as (x) increases, (bx) increases, so a larger amount is subtracted from (a) and (y) decreases. (y) can be 0 only for a particular value of (x), not always. Exam tip: In a linear equation, a negative coefficient of (x) means that (y) decreases as (x) increases.
यहाँ Z(1)=100-9(1)=91 और Z(2)=100-9(2)=82 है। अतः Z(1) से Z(2) तक कमी 91-82=9 है। 18 दो समय-चरणों की कुल कमी होती, जबकि यहाँ केवल t=1 से t=2 तक एक चरण की कमी पूछी गई है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में लगातार t-मानों के बीच परिवर्तन t के गुणांक के बराबर होता है। / Here, Z(1)=100-9(1)=91 and Z(2)=100-9(2)=82. Therefore, the decrease from Z(1) to Z(2) is 91-82=9. A decrease of 18 would occur over two time steps, whereas the question asks about only one step, from t=1 to t=2. Exam tip: In a linear expression, the change between consecutive values of t equals the coefficient of t in magnitude.
शुरू में टॉफियों की संख्या 40 है, इसलिए नियम का स्थिर पद 40 होगा। हर दिन 5 टॉफियां कम होती हैं, इसलिए प्रति दिन परिवर्तन \(-5\) है। अतः \(d\) दिनों बाद टॉफियों की संख्या \(c(d)=40-5d\) होगी। \(c(d)=40+5d\) में टॉफियां बढ़ रही हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक नियम में आरंभिक मान स्थिर पद होता है और कमी के लिए ढाल ऋणात्मक होती है। / The box starts with 40 candies, so the constant term must be 40. Since 5 candies are removed each day, the daily change is \(-5\). Therefore, after \(d\) days, the number of candies is \(c(d)=40-5d\). The rule \(c(d)=40+5d\) represents an increase, not a decrease. Exam tip: in a linear rule, the constant term is the initial value and a decrease has a negative slope.
x के स्थान पर 4 रखने पर J(4)=25-2(4)=25-8=17 प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 17 है। 19 तब मिलता यदि 2×4 की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: किसी फलन का मान निकालते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या को कोष्ठक में रखकर पहले गुणा करें। / Substitute 4 for x: J(4)=25-2(4)=25-8=17. Therefore, 17 is the correct option. The value 19 would result from an incorrect calculation of 2×4. Exam tip: When evaluating a function, put the given value in brackets and perform multiplication first.
B. बाएं से दाएं नीचे की ओर/Downward from left to right
Explanation
Simple Explanation
रेखीय क्षय में किसी राशि का मान समान अंतरालों में समान मात्रा से घटता है। इसलिए इसका ग्राफ एक सीधी रेखा होता है जिसकी ढाल ऋणात्मक होती है, और वह बाएं से दाएं नीचे की ओर जाती है। x-अक्ष के समानांतर रेखा केवल तब होगी जब राशि स्थिर हो। परीक्षा टिप: घटती रेखीय राशि के लिए ऋणात्मक ढाल पहचानें। / In linear decay, a quantity decreases by an equal amount over equal intervals. Hence, its graph is a straight line with a negative slope, moving downward from left to right. A line parallel to the x-axis represents a constant quantity, not decay. Exam tip: identify linear decrease by its negative slope.
पहले मान ज्ञात करें: \(K(2)=70-3\times2=64\) और \(K(5)=70-3\times5=55\)। अतः \(K(2)-K(5)=64-55=9\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 15, \(K(5)\) का मान घटाने के बजाय केवल \(3\times5\) लेने से मिल सकता है। परीक्षा टिप: फलन के दो मानों का अंतर निकालते समय दोनों मान अलग-अलग रखकर फिर घटाइए। / First find the two values: \(K(2)=70-3\times2=64\) and \(K(5)=70-3\times5=55\). Therefore, \(K(2)-K(5)=64-55=9\), so option C is correct. The distractor 15 may result from taking only \(3\times5\) instead of evaluating and subtracting the function values. Exam tip: evaluate each function value separately before finding their difference.
\(y=10-4x\) में \(x\) का गुणांक \(-4\) है। इसलिए \(x\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर \(y\) का मान 4 घटता है। \(y=4x-10\) में गुणांक \(+4\) है, इसलिए उसमें 4 की वृद्धि होती है, कमी नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक \(y=a+bx\) में \(x\) का गुणांक \(b\) ही प्रति चरण परिवर्तन बताता है। / In \(y=10-4x\), the coefficient of \(x\) is \(-4\). Therefore, when \(x\) increases by 1, \(y\) decreases by 4. In \(y=4x-10\), the coefficient is \(+4\), so it represents an increase of 4, not a decrease. Exam tip: In a linear expression \(y=a+bx\), the coefficient \(b\) gives the change per step.
दिया है कि \(V(t)=45-5t\)। \(t=0\) रखने पर \(V(0)=45-5(0)=45\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 45 है। 40 तब मिलता है जब \(t=1\) रखा जाए, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक व्यंजक में \(t=0\) रखने पर स्थिर पद प्रारम्भिक मान होता है। / Given \(V(t)=45-5t\). Substituting \(t=0\), we get \(V(0)=45-5(0)=45\). Therefore, 45 is correct. The value 40 is obtained for \(t=1\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: in a linear expression, the constant term gives the initial value at \(t=0\).
रैखिक नियम का रूप \(y=a+mx\) होता है, जहाँ \(a\) आरंभिक मान और \(m\) परिवर्तन की दर है। क्षय दर 6 होने पर दर \(-6\) ली जाती है। अतः आरंभिक मान 90 वाला नियम \(y=90-6x\) है। \(y=90+6x\) में वृद्धि होती है, क्षय नहीं। परीक्षा टिप: आरंभिक मान के लिए स्थिर पद और क्षय के लिए \(x\) का ऋणात्मक गुणांक देखें। / A linear rule has the form \(y=a+mx\), where \(a\) is the initial value and \(m\) is the rate of change. A decay rate of 6 means that the rate is \(-6\). Therefore, the rule with initial value 90 is \(y=90-6x\). In \(y=90+6x\), the value increases rather than decays. Exam tip: check the constant term for the initial value and a negative coefficient of \(x\) for decay.
दर (-8) है और उसका परिमाण (8) है। क्षय में घटने की मात्रा धनात्मक रूप में पूछी जा सकती है। / The rate is (-8), and its magnitude is (8). In decay, the amount of decrease may be asked as a positive value.
दिया है: \(D(t)=120-15t\)। \(t=4\) रखने पर \(D(4)=120-15\times4=120-60=60\) km। इसलिए 4 समय-इकाइयों के बाद 60 km दूरी बचेगी। 75 km तब मिलता यदि \(t=3\) रखा जाता। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में दिए गए \(t\) के मान को हर जगह सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(D(t)=120-15t\). Substituting \(t=4\), \(D(4)=120-15\times4=120-60=60\) km. Hence, 60 km of distance is left after 4 time units. The value 75 km would result from using \(t=3\), not \(t=4\). Exam tip: Substitute the given value of \(t\) in every term of the linear expression carefully.
