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स्टिपलिंग में मान बिंदुओं की घनता बदलने से बनता है। परीक्षा में घनता को छायांकन नियंत्रण मानें। / In stippling value is created by changing dot density. Exam tip: treat density as shading control.
घनता के बदलाव से light dark बनता है। परीक्षा में stippling में density variation रखें। / Variation in density creates light and dark. Exam tip: keep density variation in stippling.
घने बिंदु गहरा मान बनाते हैं। परीक्षा में dot density को value control से जोड़ें। / Dense dots create darker value. Exam tip: connect dot density with value control.
घने बिंदु गहरा मान बनाते हैं। परीक्षा में stippling में density को value से जोड़ें। / Dense dots create darker value. Exam tip: connect density with value in stippling.
A. आदिवासी पवित्र परिदृश्य और प्राकृतिक स्वरूप/Aboriginal sacred landscape and natural form
Explanation
Simple Explanation
उलुरु आदिवासी आस्था और प्राकृतिक चट्टानी परिदृश्य दोनों से जुड़ा है। परीक्षा में पवित्र परिदृश्य याद रखें। / Uluru is linked with Aboriginal faith and natural rock landscape. For exams remember sacred landscape.
A. इंका राजधानी और स्पेनी औपनिवेशिक परत/Inca capital and Spanish colonial layer
Explanation
Simple Explanation
कुस्को में इंका और औपनिवेशिक स्थापत्य की परतें साथ मिलती हैं। परीक्षा में पेरू याद रखें। / Cusco combines layers of Inca and colonial architecture. For exams remember Peru.
A. युद्ध स्मृति और शांति संदेश/War memory and message of peace
Explanation
Simple Explanation
हिरोशिमा स्मारक परमाणु युद्ध की त्रासदी और शांति की अपील से जुड़ा है। परीक्षा में स्मृति और शांति याद रखें। / Hiroshima Memorial is linked with the tragedy of nuclear war and appeal for peace. For exams remember memory and peace.
B. संघ की अविभाज्यता और संविधान की सर्वोच्चता/Indivisibility of the Union and supremacy of the Constitution
Explanation
Simple Explanation
लिंकन ने संघ को टूटने से बचाने को संवैधानिक जिम्मेदारी माना। परीक्षा में उन्हें संघ और दासता विरोध दोनों से जोड़ें। / Lincoln treated preserving the Union as a constitutional duty. For exams connect him with both Union and anti slavery.
A. भूख और अस्थिरता के बीच संबंध को पहचानती है/It recognizes the link between hunger and instability
Explanation
Simple Explanation
खाद्य सहायता मानवीय राहत और स्थिरता दोनों में मदद कर सकती है। परीक्षा में डब्ल्यू एफ पी को भूख राहत और शांति से जोड़ें। / Food aid can support both humanitarian relief and stability. Exam tip: link WFP with hunger relief and peace.
A. यह समुद्री व्यापार और बंदरगाह गतिविधि से जोड़ी जाती है/It is linked with maritime trade and port activity
Explanation
Simple Explanation
लोथल को समुद्री संपर्क और व्यापार से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे हड़प्पाई व्यापार नेटवर्क से याद रखें। / Lothal is linked with maritime contact and trade. Remember it with Harappan trade networks.
A. कांग्रेस और लीग समूहों की बाध्यता पर सहमत नहीं थे/Congress and League did not agree on compulsory nature of groups
Explanation
Simple Explanation
समूह व्यवस्था पर मतभेद से संयुक्त भारत की योजना कमजोर हुई। परीक्षा में 1946 की जटिलता याद रखें। / Disagreement over grouping weakened the plan for united India. Exam tip: remember complexity of 1946.
A. बागान मजदूरों ने स्वराज को घर लौटने की स्वतंत्रता माना/Plantation workers saw swaraj as freedom to return home
Step 1
Concept
स्वराज एक बड़ा राष्ट्रीय विचार था। / Swaraj was a broad national idea.
Step 2
Why this answer is correct
बागान मजदूरों ने इसे अपनी सबसे बड़ी बंदिश, यानी घर लौटने की रोक, से जोड़ा। / Plantation workers linked it with their biggest restriction, the inability to return home.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे उदाहरण से अलग अर्थ स्पष्ट करें। / In exams, use such examples to show different meanings.
B. क्योंकि अलग-अलग समूह अपने दावों को मजबूत करने के लिए अलग इतिहास और स्मृति पर बल देते थे/Because different groups stressed different histories and memories to strengthen their claims
Step 1
Concept
जातीय राष्ट्रवाद पहचान के लिए अतीत को महत्वपूर्ण मानता है। / Ethnic nationalism treats the past as important for identity.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग समूह अपने पक्ष में इतिहास को प्रस्तुत करते थे। / Different groups presented history in their own favour.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इतिहास भी राजनीतिक दावे का साधन बन गया। / Thus history became a tool of political claim-making.
अधिक घनी रेखाएं अधिक अंधेरा प्रभाव देती हैं। परीक्षा में हैचिंग में दूरी का महत्व याद रखें। / More dense lines give a darker effect. In exams remember the importance of spacing in hatching.
C. क्योंकि त्वचा के कोमल मान बदलाव गायब हो जाते हैं/Because soft value changes of skin disappear
Explanation
Simple Explanation
चेहरे में सूक्ष्म मान परिवर्तन जरूरी है। परीक्षा में stippling density को संवेदनशील रखें। / Subtle value changes are necessary in a face. Exam tip: keep stippling density sensitive.
बिंदु घने होने पर क्षेत्र गहरा दिखता है। परीक्षा में dot density को value से जोड़ें। / When dots are dense the area looks darker. Exam tip: connect dot density with value.
A. राजनीतिक सत्ता की प्रकृति/Nature of political power
Explanation
Simple Explanation
राजमहलों का स्पष्ट अभाव सत्ता संरचना पर निश्चित दावा कठिन बनाता है। परीक्षा में हड़प्पा पर प्रमाण आधारित निष्कर्ष लिखें। / The absence of clear palaces makes firm claims about power structure difficult. In exams use evidence based conclusions for Harappa.
A. कला प्रतीकों की व्याख्या में संदर्भ जरूरी है/Context is necessary in interpreting artistic symbols
Explanation
Simple Explanation
इस पैनल को अर्जुन तपस्या या गंगा अवतरण दोनों रूप में पढ़ा जाता है। परीक्षा में कला शीर्षकों की बहुव्याख्या समझें। / This panel is read as Arjuna's Penance or Descent of Ganga. For exams, understand multiple interpretations of art titles.
C. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (2x+3y=15) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (2x+3y=15). Same left side with different constants gives parallel lines.
C. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=10) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=10). Same left side with different constants gives parallel lines.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=7) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=7). Same left side with different constants gives parallel lines.
C. उनके अनंत हल हैं/They have infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
पूरी तरह चढ़ी हुई रेखाएँ संपाती रेखाएँ होती हैं। उनके हर बिंदु पर दोनों समीकरण सत्य होते हैं। / Completely overlapping lines are coincident lines. At every point on them, both equations are true.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=8) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=8). Same left side with different constants gives parallel lines.
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=6) मिलता है, जो पहले से समांतर है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=6), which is parallel to the first. Same left side with different constants gives parallel lines.
A. इससे शून्यक निश्चित नहीं किया जा सकता/A zero cannot be determined from this alone
Explanation
Simple Explanation
y‑प्रतिच्छेद बताता है कि x = 0 पर बहुपद का मान क्या है; यहाँ यह दर्शाता है कि \(p(0) = -8\)। शून्यक वे x‑मूल्य होते हैं जिनके लिए \(p(x)=0\) अर्थात् ग्राफ x‑अक्ष को काटता है। इसलिए केवल y‑प्रतिच्छेद से शून्यक निर्धारित नहीं किए जा सकते। विकल्प B यह भूल है कि y‑मान (-8) को शून्यक समझ लिया गया; विकल्प C तब भी गलत है क्योंकि p(0) = -8 ≠ 0; विकल्प D कोई तर्कसंगत संबंध नहीं दर्शाता। परीक्षा टिप: शून्यक खोजने के लिए ग्राफ के x‑अक्ष पर कटने वाले बिंदुओं (x‑intercepts) देखें, y‑प्रतिच्छेद केवल \(p(0)\) देता है। / The y‑intercept gives the value of the polynomial at x = 0; here it shows \(p(0) = -8\). Zeros (roots) are x values for which \(p(x)=0\), i.e. where the graph intersects the x‑axis. Thus a y‑intercept alone does not determine the zeros. Option B mistakes the y‑value (-8) for a root; option C is wrong because p(0) = -8 ≠ 0; option D is unrelated. Exam tip: to find zeros look for x‑intercepts (points where y=0); y‑intercept only gives \(p(0)\).
जब किसी बहुपद का ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर काटता है तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मान \(y\) (अर्थात \(p(x)\)) शून्य होता है। अतः यदि ग्राफ \(x\)-अक्ष को \(a\) और \(b\) पर काट रहा है तो \(p(a)=0\) और \(p(b)=0\)। निकटतम भ्रान्तिकर विकल्प C (एक शून्य और एक गैर-शून्य) इसलिए गलत है क्योंकि किसी कटने के बिंदु पर मान शून्य होना अनिवार्य है। विकल्प D भी गलत है क्योंकि शून्य का कोई सकारात्मक/नकारात्मक चिह्न नहीं होता। परीक्षा टिप: x‑अक्ष पर मिलने का मतलब सीधे याद रखें — \(y=0\) या \(p(x)=0\)। / When the graph of a polynomial meets the \(x\)-axis at a point, the polynomial's value \(y=p(x)\) at that point is zero. Therefore if the graph cuts the \(x\)-axis at \(a\) and \(b\), we have \(p(a)=0\) and \(p(b)=0\). The closest distractor C (one zero and one non-zero) is wrong because intersection points on the x‑axis must give \(p(x)=0\). Option D is also incorrect since zero has no sign (it is neither positive nor negative). Exam tip: intersection with the x‑axis always means \(y=0\) or \(p(x)=0\).
x-अक्ष को काटना दर्शाता है कि x = -5 पर एक वास्तविक शून्यक मौजूद है। x = 2 पर 'स्पर्श' होने का अर्थ है कि x = 2 भी शून्यक है (आमतौर पर सम बहुलकता — multiplicity ≥ 2), पर यह भी एक ही भिन्न वास्तविक शून्यक गिना जाता है। अतः भिन्न वास्तविक शून्यक x = -5 और x = 2 — कुल 2। विकल्प C (तीन) केवल तब सही होता अगर प्रश्न में शून्यकों को उनकी बहुलकता सहित गिनने को कहा गया हो (उदाहरण: multiplicity 1 at -5 और multiplicity 2 at 2 → कुल गणनात्मक शून्य 3), पर यहाँ भिन्न शून्यकों की संख्या माँगी गई है। परीक्षा-टिप: प्रश्न में देखें कि ‘भिन्न’ (distinct) माँगा है या 'बहुलकता सहित' (counting multiplicity)। / A crossing at x = -5 gives a real root at -5. A touch (tangent) at x = 2 also gives a real root at 2 (typically with even multiplicity), but it still counts as one distinct real zero. Therefore the distinct real zeros are x = -5 and x = 2 — two in total. Option C (three) would be correct only if you were asked to count zeros with multiplicity (for example multiplicity 1 at -5 and multiplicity 2 at 2 would total 3). Exam tip: check whether the question asks for distinct zeros or asks to count multiplicities.
ग्राफ x-अक्ष को (11,0) और (-6,0) पर छूता/काटता है, अतः बहुपद के शून्य 11 और −6 हैं। इनका गुणनफल 11×(−6)=−66 होता है। ध्यान दें कि किसी बिंदु पर स्पर्श होना भी शून्य है (स्वरूप में सममल प्रमेय: स्पर्श पर शून्य की घात द्विक होगी), पर यह मान 11 को बदलता नहीं है; गुणनफल में चिह्न का ध्यान रखना आवश्यक है। निकटतम गलत विकल्प 66 है — यह केवल मानों का गुणा लेकर चिह्न की उपेक्षा करने का परिणाम है। टिप: दो चर बिंदुओं के x-निर्देशांक सीधे शून्य हैं; गुणनफल निकालते समय संकेत (sign) का ध्यान रखें। / The zeros are x=11 and x=−6, so the product is 11×(−6)=−66. Note: a touch point is still a root (typically of even multiplicity) and a crossing point is a root of odd multiplicity, but multiplicity does not change the numerical value of the root — only whether the graph crosses or bounces. The distractor 66 is wrong because it ignores the negative sign of −6. Exam tip: take the x-coordinates of intercepts as the zeros and multiply them, keeping their signs.
दिए गए बिंदु बतलाते हैं कि बहुपद के शून्यक \(0\) और \(a\) हैं। शून्यकों का गुणनफल सीधे उन दोनों का गुणन है: \(0\times a=0\)। इसलिए सही उत्तर 0 है। नजदीकी विचलन जैसे \(a\) या \(a^2\) इस कारण गलत हैं कि वे शून्य को ध्यान में नहीं रखते — यदि शून्य शून्यकों में से एक है तो समूचे गुणनफल का मान शून्य ही रहेगा। परीक्षा टिप: यदि किसी बहुपद के शून्यकों में \(0\) शामिल है तो शून्यकों का गुणनफल हमेशा 0 ही होगा, गुणन में किसी भी अन्य मान का प्रभाव नहीं। / The x-intercepts show the zeros are 0 and \(a\). The product of the zeros is \(0\times a=0\). Hence 0 is correct. Closest distractors like \(a\) or \(a^2\) are wrong because they ignore the presence of the zero root — any product containing 0 equals 0. Exam tip: whenever 0 is one of the roots of a polynomial, the product of all roots is 0 regardless of the other roots or their multiplicities.
यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल बिंदु (m,0) पर स्पर्श करता है और किसी अन्य स्थान पर अक्ष को नहीं काटता, तो उस बहुपद के अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?
एक ही स्पर्श बिंदु होने का अर्थ है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य है और वह मूल बार-बार (even multiplicity) आता है, यानी बहुपद में
e.g.
ein factor के रूप में
\((x-m)^2\) मौजूद हो सकता है पर बाकी फैक्टरों का मान m पर शून्य नहीं होगा। इसलिए अलग वास्तविक शून्य केवल x = m ही है, यानी 1।
सूत्रीकरण: स्पर्श = मूल का सम-गुणांक (even multiplicity); काटना = विषम-गुणांक।
गलत विकल्प क्यों नहीं: "दो" तब होता जब x-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे; "शून्य" गलत क्योंकि स्पर्श का मतलब p(m)=0 है; "अनंत" केवल तब संभव है जब बहुपद शून्य बहुपद हो (
\(p(x)\equiv 0\)
), जो यहाँ दिए हालात से मेल नहीं खाता क्योंकि तब ग्राफ हर बिंदु पर x-अक्ष के साथ मेल खाता।
परीक्षा-सुझाव: किसी स्पर्श बिंदु को देखकर तुरंत समझें कि वह मूल कम से कम द्विगुणित (multiplicity ≥ 2 और सम) होगा — इसलिए अलग शून्य की गिनती बदलती नहीं। / A single touching point means the polynomial is zero at x = m and that root has even multiplicity (it is a repeated root), e.g. a factor
\((x-m)^2\) in p(x), while no other factor vanishes at x = m. Hence there is only one distinct real zero, x = m.
Why other options are wrong: "Two" would require the graph to cross or meet the axis at two different x-values; "Zero" is wrong because touching implies p(m)=0; "Infinitely many" happens only if the polynomial is the zero polynomial (\(p(x)\equiv 0\)), which would make the graph coincide with the x-axis everywhere, not touch at a single point.
Exam tip: Touching = even multiplicity (root repeats); crossing = odd multiplicity. Use multiplicity to count distinct zeros, not total multiplicity.
ग्राफ़ का किसी बिंदु पर कटना यानी वह बिंदु \\((p(x)=0)\\) का वास्तविक शून्यक है और उस शून्यक की घनत्व (multiplicity) सम संख्या नहीं (odd) होगी। स्पर्श होने का मतलब है कि शून्यक की घनत्व सम संख्या (even) है। यहाँ कटना x=1 और स्पर्श x=6 दो अलग x‑मान दे रहे हैं, इसलिए कुल अलग वास्तविक शून्यक 2 हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प 'तीन' इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श की सम घनत्व से अतिरिक्त भिन्न x‑मान नहीं बनते—वे वही x‑मान दोहराते हैं। परीक्षा टिप: अलग वास्तविक शून्यक गिनते समय केवल अलग x‑मान गिनें; multiplicity से फर्क नहीं पड़ता। / A crossing at a point means the polynomial has a zero there (\\((p(x)=0)\\)) with odd multiplicity; a touch means a zero with even multiplicity. Crossing at x=1 and touching at x=6 are two distinct x‑values, so there are 2 distinct real zeros. The common mistake is to count multiplicities (which could give a larger total count); multiplicity does not change the number of distinct zeros. Exam tip: count distinct x‑values where \\((p(x)=0)\\) rather than multiplicities.
दिए गए बिंदुओं के अनुसार बहुपद के शून्यक \(a\) और \(-a\) हैं। इनका योग है \(a+(-a)=0\)। ध्यान रखें कि \(2a\) या \(-2a\) देख कर दूरी या द्विगुणित मान से भ्रम हो सकता है — पर शून्यकों का बीजीय (algebraic) योग है 0। परीक्षा टिप: यदि जड़ें ±a के रूप में सममित हों तो उनका योग हमेशा 0 होता है। / From the intercepts the roots are \(a\) and \(-a\). Their sum is \(a+(-a)=0\). Note that choices like \(2a\) or \(-2a\) confuse algebraic sum with total distance; the algebraic sum of opposite numbers is zero. Exam tip: symmetric roots of the form ±a always cancel and sum to 0.
जब \(p(a)=0\) होता है तो ग्राफ x-अक्ष को बिंदु \((a,0)\) पर छेदता है। यहाँ दिए गए शून्य हैं \(2,5,9\) — ये तीन भिन्न x‑मान हैं, अत: ग्राफ पर तीन भिन्न x-अक्ष छेदन बिंदु होंगे: \((2,0),(5,0),(9,0)\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 'दो' गलत है क्योंकि तीन भिन्न जड़ों को दो में समेटा नहीं जा सकता। परीक्षण‑टिप: हमेशा जड़ों की भिन्नता (distinctness) जाँचें — आवर्ती (repeated) जड़ें एक ही बिंदु देती हैं और यदि बहुपद शून्य बहुपद (identically zero) हो तो अनन्त छेदन हो सकते हैं। / If \(p(a)=0\), the graph meets the x-axis at the point \((a,0)\). Given zeros 2, 5 and 9 are three distinct x-values, so the graph has three distinct x‑intercepts: \((2,0),(5,0),(9,0)\). The nearest distractor 'Two' is incorrect because three distinct roots produce three distinct intercepts. Exam tip: always check whether roots are distinct; repeated roots coincide at one intercept, and if the polynomial is identically zero the x-axis is the graph (infinitely many intersections).
x-अक्ष पर परिकल्पित बिंदु बताते हैं कि शून्यक (zeros) हैं: ",-7" और "2". इसलिए गुणनफल \\((-7)(2)= -14\\) होगा। विकल्प B (14) चिन्ह की गलती है — वहाँ प्लस मान लिया गया है। विकल्प C और D गलत संख्याएँ हैं जो जोड़/भिन्न या गलत चिन्ह से आ सकती हैं। परीक्षा टिप: दो शून्यकों का गुणन सीधे उनके गुणन से मिलता है; चिन्हों का ध्यान रखें। / The x-intercepts are the zeroes: -7 and 2. Their product is \\((-7)(2) = -14\\). Option B (14) is the same magnitudes but with the wrong sign. Options C and D are simply incorrect results from other operations (e.g., wrong addition/subtraction). Exam tip: multiply the x-intercepts to get the product of zeroes and watch the signs carefully.
A. आलेख \((0,-3)\) से गुजरता है/The graph passes through \((0,-3)\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(p(0)=-3\), तो बहुपद का y-अक्ष पर छेदन बिंदु \((0,p(0))\) होता है, अतः आलेख निश्चित रूप से \((0,-3)\) से गुजरेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=0\) तभी शून्यक होगा जब \(p(0)=0\), परन्तु यहां \(p(0)\neq0\)। विकल्प C गलत है क्योंकि x-अक्ष पर छेदन पॉइंट उस x पर होता है जहाँ \(p(x)=0\); हमें \(p(-3)\) का मान नहीं दिया गया। विकल्प D भी सिद्ध नहीं किया जा सकता—बहुपद के शून्यक अन्य x‑मूल्यों पर हो सकते हैं। परीक्षा-टिप: किसी बिंदु \(x=a\) के लिए \(p(a)\) देखकर तय करें कि वह शून्यक है (\(p(a)=0\)) या y‑intercept (\(p(a)\neq0\))। / Given \(p(0)=-3\), the y-intercept of the polynomial is \((0,p(0))\), so the graph passes through \((0,-3)\). Option B is wrong because \(x=0\) would be a zero only if \(p(0)=0\), which is not the case. Option C is incorrect since the x-axis is crossed at values where \(p(x)=0\); we are not given \(p(-3)\). Option D cannot be concluded — the polynomial may have zeros at other x-values. Exam tip: evaluate \(p(a)\); if \(p(a)=0\) then x=a is a root, otherwise it gives the y-intercept value at x=a.
बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिसके लिए \(p(x)=0\)। तालिका में \(p(-5)=0\) और \(p(4)=0\) दिए हैं, अतः शून्यक \(-5\) और \(4\) हैं। शेष दिए गए: \(p(-1)=2\) और \(p(6)=9\) शून्य नहीं हैं क्योंकि उनके लिए फलन मान 0 नहीं है। परीक्षीय सुझाव: तालिका में सीधे उन पंक्तियों को देखें जहाँ फलन मान 0 लिखा हो। / A root (zero) of a polynomial is any \(x\) for which \(p(x)=0\). From the table \(p(-5)=0\) and \(p(4)=0\), so the zeros are \(-5\) and \(4\). The other entries give \(p(-1)=2\) and \(p(6)=9\), which are not zero, so options A and B are incorrect and D is false because not all given x produce 0. Exam tip: when a table lists \(p(x)\) values, locate the rows where the function value equals 0 and read the corresponding \(x\).
जब ग्राफ \(x\)-अक्ष को किसी बिंदु पर पार करता है तो उस बिंदु का \(x\)-मान बहुपद का शून्य होता है (उदाहरण: \(x=-2\) पर पार करने का अर्थ \(p(-2)=0\))। उसी प्रकार जब ग्राफ किसी बिंदु पर केवल छूता है तो भी वह बिंदु शून्य देता है (\(x=3\) पर छूने का अर्थ \(p(3)=0\))। इसलिए दोनों \(x=-2\) और \(x=3\) अलग वास्तविक शून्यक हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प जैसे केवल \(-2\) या केवल \(3\) इसलिए गलत हैं क्योंकि दोनों बिंदु पर \(p(x)=0\) होता है। परीक्षा टिप: अलग शून्यक लिखते समय सभी भिन्न \(x\)-मान गिनें और यदि पूछा हो तो उनकी गुणात्मक बहुलता (odd/even) भी बताएं। / When a graph crosses the \(x\)-axis at a point, that \(x\)-value is a zero of the polynomial (e.g. crossing at \(x=-2\) means \(p(-2)=0\)). When the graph only touches the axis at a point, that point is also a zero (touching at \(x=3\) means \(p(3)=0\)). Thus both \(x=-2\) and \(x=3\) are distinct real zeros. Close distractors stating only one of the points are incorrect because both give \(p(x)=0\). Exam tip: list all distinct \(x\)-values where the graph meets the axis; check multiplicity (odd for crossing, even for touching) if required.
A. वास्तविक शून्यकों की संख्या जानना/To know the number of real zeroes
Explanation
Simple Explanation
(x)-अक्ष कटान वास्तविक शून्यकों की संख्या बताते हैं। टिप: ग्राफ से पहले कटान गिनें। / The (x)-axis intersections tell the number of real zeroes. Tip: first count intersections from the graph.
x-अक्ष पर जो बिंदु ग्राफ काटता है वे बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक \\(-1\\) और \\(+1\\) हैं, अतः उनका योग \\(-1+1=0\\) है। सबसे संभावित भ्रम विकल्प B (2) तब होता है जब कोई मानों के परिमाण (absolute values) जोड़ देता है। परीक्षा टिप: यदि शून्यक सममित रूप से \(±a\) हैं तो उनका योग हमेशा 0 होगा। / Points where the graph crosses the x-axis are the zeros. Here the zeros are \(-1\) and \(+1\), so their sum is \(-1+1=0\). The common mistake giving option B (2) comes from adding absolute values instead of signed numbers. Exam tip: For symmetric roots \(±a\) the sum is always 0; use signs carefully when adding roots.
किसी बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को छूता यानी \(y=0\) होता है। बिंदु (4, 2) में \(y=2\) है, न कि 0, इसलिए \(x=4\) शून्यक नहीं है। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि बहुपद की डिग्री या ग्राफ का प्रकार (रेखा या गैर‑रेखा) शून्यक होने की परिभाषा को बदलते नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी दिए बिंदु के लिए पहले y‑निर्देशांक देखिए — शून्यक तभी जब y=0 हो। / A zero of a polynomial is an x‑value where the graph meets the x‑axis, i.e. where \(y=0\). The point (4, 2) has \(y=2\), not 0, so \(x=4\) is not a zero. Options C and D are incorrect because degree or whether the graph is a straight line does not change the definition of a zero. Exam tip: always check the y‑coordinate — zeros occur only when y = 0 (x‑intercepts).
किसी बिंदु को शून्यक (root) तब माना जाता है जब उस बिंदु के लिए \(y=0\) हो (यानि ग्राफ \(x\)-अक्ष को छूता/काटता है)। बिंदु \((0,7)\) में \(y=7\) है, अतः \(x=0\) पर बहुपद का मान शून्य नहीं है — इसलिए \(x=0\) शून्यक नहीं है। विकल्प C निकटतम ग़लत विकल्प है क्योंकि \(y\)-अक्ष पर होना केवल यह दर्शाता है कि \(x=0\) है, परंतु शून्यक होने के लिये \(y\) का मान \(0\) होना आवश्यक है। परीक्षा संकेत: किसी संभावित शून्य के लिये हमेशा देखिये कि संबंधित \(y\)-मान \(0\) है या नहीं (या बहुपद में उस \(x\) का मान 0 दीखता है)। / A root means the polynomial's value is zero at that x, i.e. the graph meets the x-axis where \(y=0\). The point \((0,7)\) has \(y=7\), so the polynomial is not zero at \(x=0\); therefore \(x=0\) is not a root. The closest wrong distractor is C: lying on the y-axis only indicates \(x=0\), not that \(y=0\). Exam tip: to test a root substitute the x-value into the polynomial and check whether the result is 0 (or check that the graph is on the x-axis).
x-अक्ष के साथ जो बिंदु साझा किया गया है वह (6,0) है; यहाँ y = 0 और x का मान 6 है। बहुपद के वास्तविक शून्यक वे x‑मान होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य होता है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक 6 है। सबसे पास का भ्रामक विकल्प −6 है — यह गलत है क्योंकि दिया गया बिंदु x = −6 नहीं बल्कि x = 6 है। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु (a,0) को देखकर तुरंत लिखें कि a बहुपद का एक शून्यक है। / The given intersection point is (6,0); here y = 0 and the x‑coordinate is 6. Zeros of a polynomial are the x‑values where the graph meets the x‑axis (y = 0). Hence the distinct real zero is 6. The closest distractor −6 is incorrect because the x‑coordinate is positive 6, not −6; 0 is incorrect because that would mean the intersection is (0,0), which is not given; “कोई नहीं” (none) is wrong since an intersection at (6,0) is explicitly given. Exam tip: From any x‑intercept (a,0) immediately read off the root a — don’t confuse sign.
जब किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (5,0) पर छूता है तो उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य होता है, यानी \(p(5)=0\)। इसलिए \(x=5\) शून्यक है। ध्यान दें कि "छूना" संकेत देता है कि उस शून्य का गुणनफल (multiplicity) सम (even) हो सकता है, पर प्रश्न केवल शून्य होने की बात पूछता है। विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि दिए गए बिंदु का x-समान्यांक 0 या −5 नहीं है; विकल्प C गलत है क्योंकि छूने का अर्थ ही किसी शून्य पर होना है। परीक्षा-सुझाव: ग्राफ में जहाँ x-अक्ष को छूया या काटा गया हो, उस बिंदु का x‑मान बदलें और सीधे \(p(x)=0\) जाँचें। / If the graph touches the x-axis at (5,0) then the polynomial evaluates to zero at x=5, i.e. \(p(5)=0\). Hence x=5 is a zero. "Touching" typically implies the root has even multiplicity, but the essential fact here is the value is zero. Options B and D are incorrect because the contact point has x-coordinate 5, not 0 or -5; option C is wrong because touching the axis means the polynomial is zero at that point. Exam tip: use the x-coordinate of the contact point and substitute into \(p(x)\) to verify a zero; if it only touches (doesn't cross), expect even multiplicity.
A. उनके भावनात्मक, सांस्कृतिक और राजनीतिक अर्थ को साथ समझना/Understanding their emotional, cultural and political meanings together
Step 1
Concept
राष्ट्रवादी प्रतीक कई स्तरों पर काम करते थे। / Nationalist symbols worked at many levels.
Step 2
Why this answer is correct
वे भावना जगाते थे, संस्कृति से जुड़ते थे और राजनीतिक लक्ष्य को मजबूत करते थे। / They created emotion, connected with culture and strengthened political aims.
Step 3
Exam Tip
उत्तर में प्रतीकों को बहुआयामी रूप में समझाएं। / Explain symbols as multi-dimensional, not as simple decorations.
A. क्योंकि इससे पता चलता है कि स्वतंत्रता संघर्ष अनेक अनुभवों का मेल था/Because it shows that the freedom struggle was a combination of many experiences
Step 1
Concept
इतिहास केवल बड़े नेताओं की कहानी नहीं है। / History is not only the story of great leaders.
Step 2
Why this answer is correct
इसमें किसानों, मजदूरों, आदिवासियों और व्यापारियों की अलग भूमिकाएं भी हैं। / It also includes different roles of peasants, workers, tribals, and merchants.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में बहुस्तरीय समझ अधिक मजबूत उत्तर बनाती है। / In exams, a layered understanding makes a stronger answer.
A. क्योंकि अलग वर्ग और समूह प्रतीकों को अलग अनुभवों से जोड़ सकते थे/Because different classes and groups could connect symbols with different experiences
Step 1
Concept
प्रतीक लोकप्रिय हो सकते हैं पर उनका अर्थ सभी के लिए समान नहीं होता। / Symbols may be popular but their meaning is not always the same for everyone.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग लिंग और क्षेत्र के अनुसार समझ बदल सकती है। / Understanding can change according to class gender and region.
Step 3
Exam Tip
विशेषज्ञ स्तर पर विविध अनुभवों को ध्यान में रखें। / At expert level consider diverse experiences.
B. यह प्रकाश से अंधेरे तक प्राकृतिक बदलाव दिखाती है/It shows natural change from light to dark
Explanation
Simple Explanation
क्रमिक रेखा घनता छाया को प्राकृतिक बनाती है। परीक्षा में अचानक टोन बदलाव से बचें। / Gradual line density makes shadow natural. Exam tip: avoid sudden tone change.
C. जब रेखा घनता प्रकाश स्रोत के अनुसार बदले/When line density changes according to the light source
Explanation
Simple Explanation
प्रकाश की दिशा के अनुसार रेखा घनता बदलने से टोन विश्वसनीय बनता है। परीक्षा में बनावट और प्रकाश दोनों साथ देखें। / Changing density according to light direction makes tone believable. Exam tip: study texture and light together.
A. किनारे पर जोर और गहरापन बढ़ेगा/Emphasis and darkness will increase at edge
Explanation
Simple Explanation
बिंदु घनता मान और जोर दोनों नियंत्रित करती है। परीक्षा में stippling density को emphasis से जोड़ें। / Dot density controls both value and emphasis. Exam tip: connect stippling density with emphasis.
A. मान विविधता कम होगी/Value variation will reduce
Explanation
Simple Explanation
मान बनाने के लिए बिंदुओं की घनता बदलनी होती है। परीक्षा में stippling density variation याद रखें। / Dot density must vary to create value. Exam tip: remember density variation in stippling.
अधिक घने बिंदु गहरा मान बनाते हैं। परीक्षा में dot density को value से जोड़ें। / Denser dots create darker value. Exam tip: connect dot density with value.
पास बिंदु गहरा मान बनाते हैं। परीक्षा में बिंदुओं घनत्व को मान से जोड़ें। / Closer dots create a darker value. Exam tip: connect dot density with value.
