In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq0\) is one-one. चरण 1: एकैकी जाँचने के लिए मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: तब (2a+5=2b+5), इसलिए (a=b)। चरण 3: परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq0\) हो तो वह एकैकी होता है।
A function is not one-one if two different inputs give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(1\neq-1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
For square functions on all real numbers, always check opposite inputs. चरण 1: एकैकी न होने के लिए दो अलग निवेशों पर समान निर्गत मिलना चाहिए। चरण 2: यहाँ \(1\neq-1\), पर (f(1)=1) और (f(-1)=1)। चरण 3: वर्ग फलन को पूरे वास्तविक समुच्चय पर लेते समय संकेतों की जोड़ी जरूर देखें।
The main property of a one-one function is that equal outputs come only from equal inputs.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (f(a)=f(b)) directly gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, apply this property first. चरण 1: एकैकी फलन की मूल पहचान यही है कि समान निर्गत तभी मिले जब निवेश समान हों। चरण 2: इसलिए (f(a)=f(b)) से सीधे (a=b) मिलता है। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में इसी विचार को तुरंत लागू करें।
A constant function gives the same output for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).
Step 3
Exam Tip
In exams, a constant function is not one-one unless its domain has only one element. चरण 1: स्थिर फलन हर निवेश को एक ही निर्गत देता है। चरण 2: (f(1)=7) और (f(2)=7), जबकि \(1\neq2\)। चरण 3: परीक्षा में स्थिर फलन को सामान्यतः एकैकी नहीं माना जाता, जब तक प्रांत में केवल एक तत्व न हो।
No output is repeated, so different inputs have different outputs.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, check repetition in the output list. चरण 1: निर्गतों की सूची (2,3,1) है। चरण 2: कोई भी निर्गत दो बार नहीं आया, इसलिए अलग निवेश अलग निर्गत देते हैं। चरण 3: छोटे समुच्चय वाले प्रश्नों में निर्गतों की पुनरावृत्ति देखकर एकैकी जाँचें।
For one-one, different inputs must have different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\neq2\), but (f(1)=f(2)=1).
Step 3
Exam Tip
If two arrows go to the same output, the function is not one-one. चरण 1: एकैकी के लिए अलग निवेशों के निर्गत अलग होने चाहिए। चरण 2: \(1\neq2\), लेकिन (f(1)=f(2)=1)। चरण 3: जब दो तीर एक ही निर्गत पर जाएँ, फलन एकैकी नहीं होता।
While proving one-one, first substitute correctly. चरण 1: (f(a)) का अर्थ (a+1) और (f(b)) का अर्थ (b+1) है। चरण 2: इसलिए (f(a)=f(b)) से (a+1=b+1) लिखा जाएगा। चरण 3: एकैकी सिद्ध करते समय पहले सही प्रतिस्थापन करें।
(f(x)=3x-4) is linear with coefficient \(3\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
The other options can give the same output for two different inputs, such as (x) and (-x).
Step 3
Exam Tip
In easy questions, first identify linear and constant functions. चरण 1: (f(x)=3x-4) रैखिक है और उसका गुणांक \(3\neq0\) है। चरण 2: बाकी विकल्पों में दो अलग निवेश समान निर्गत दे सकते हैं, जैसे (x) और (-x)। चरण 3: आसान प्रश्नों में पहले रैखिक और स्थिर फलनों को पहचानें।
Absolute value can give the same positive value for positive and negative inputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\neq-2\), but (f(2)=2) and (f(-2)=2).
Step 3
Exam Tip
For ( |x| ) functions, quickly check opposite signs. चरण 1: निरपेक्ष मान धन और ऋण दोनों संख्याओं को समान धन मान दे सकता है। चरण 2: \(2\neq-2\), पर (f(2)=2) और (f(-2)=2)। चरण 3: ( |x| ) वाले फलन में विपरीत चिह्नों की जाँच जल्दी करें।
On natural numbers also, a function of the form (x+c) is one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: (a+2=b+2) से (a=b) मिलता है। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं पर भी (x+c) प्रकार का फलन एकैकी रहता है।
Multiplication by a non-zero number gives different outputs for different inputs. चरण 1: (f(a)=f(b)) मानने पर (2a=2b) होगा। चरण 2: दोनों ओर (2) से भाग देने पर (a=b) मिलता है। चरण 3: गैर-शून्य गुणन वाला फलन अलग निवेशों को अलग निर्गत देता है।
Different inputs, such as (1) and (3), give the same output (4).
Step 3
Exam Tip
In a linear form, coefficient (0) makes the function constant. चरण 1: (0x+4) का मान हर (x) के लिए (4) है। चरण 2: अलग-अलग निवेश, जैसे (1) और (3), एक ही निर्गत (4) देते हैं। चरण 3: रैखिक रूप में गुणांक (0) हो तो फलन स्थिर बन जाता है।
A. अलग निवेशों के निर्गत अलग होते हैं/Different inputs have different outputs
Step 1
Concept
One-one means no two different inputs give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
This is exactly stated as different inputs having different outputs.
Step 3
Exam Tip
Remember it as no two arrows should land on the same output. चरण 1: एकैकी का अर्थ है कि कोई दो अलग निवेश एक ही निर्गत न दें। चरण 2: यही बात विकल्प में अलग निवेशों के अलग निर्गत के रूप में दी गई है। चरण 3: परिभाषा याद रखने के लिए सोचें कि एक निर्गत पर दो तीर नहीं आने चाहिए।
For finite sets, the easiest one-one test is to check repeated outputs. चरण 1: तीनों निवेशों के निर्गत (1,3,5) हैं। चरण 2: ये सभी अलग-अलग हैं, इसलिए कोई पुनरावृत्ति नहीं है। चरण 3: परिमित समुच्चय में एकैकी जाँच का सबसे सरल तरीका निर्गतों को गिनना है।
The domain has (4) elements and the codomain has only (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
A one-one function needs a different output for every input, which is not enough here.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, if the domain has more elements, a one-one function is not possible. चरण 1: प्रांत में (4) तत्व हैं और सहप्रांत में केवल (3) तत्व हैं। चरण 2: एकैकी के लिए हर निवेश को अलग निर्गत चाहिए, जो यहाँ पर्याप्त नहीं हैं। चरण 3: परिमित समुच्चय में यदि प्रांत के तत्व अधिक हों, तो एकैकी फलन संभव नहीं होता।
These outputs are different, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
Every codomain element need not be used; for one-one, only no repetition is needed. चरण 1: प्रांत के दोनों तत्वों के निर्गत (3) और (4) हैं। चरण 2: ये निर्गत अलग हैं, इसलिए फलन एकैकी है। चरण 3: सहप्रांत का हर तत्व उपयोग होना जरूरी नहीं है; एकैकी के लिए केवल पुनरावृत्ति न होना जरूरी है।
Remember the difference between \(x^3\) and \(x^2\); the cube function is one-one on \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता हुआ व्यवहार रखता है। चरण 2: यदि \(a^3=b^3\), तो (a=b) होता है। चरण 3: \(x^3\) और \(x^2\) में अंतर याद रखें; घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है।
A decreasing linear function can also be one-one because different inputs give different outputs. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: (1-a=1-b) से (a=b) मिलता है। चरण 3: घटते हुए रैखिक फलन भी एकैकी हो सकते हैं, क्योंकि अलग निवेश अलग निर्गत देते हैं।
B. नहीं, क्योंकि (f(2)=f(-2))/No, because (f(2)=f(-2))
Step 1
Concept
In \(x^2\), opposite numbers give the same square.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=5) and (f(-2)=5), while \(2\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
Adding a constant does not make the square function one-one on all \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^2\) में विपरीत संख्याएँ समान वर्ग देती हैं। चरण 2: (f(2)=5) और (f(-2)=5), जबकि \(2\neq-2\)। चरण 3: किसी स्थिर संख्या को जोड़ने से वर्ग फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं बनता।
In positive real numbers, the opposite negative partner is not included.
Step 2
Why this answer is correct
If (a,b>0) and \(a^2=b^2\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
Changing the domain can change one-one property, so read the domain carefully. चरण 1: धन वास्तविक संख्याओं में विपरीत ऋणात्मक साथी शामिल नहीं होता। चरण 2: यदि (a,b>0) और \(a^2=b^2\), तो (a=b)। चरण 3: प्रांत बदलने से एकैकीता बदल सकती है, इसलिए प्रांत ध्यान से पढ़ें।
In a one-one function, different inputs have different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,3) are three different inputs, so (f(1)), (f(2)), (f(3)) will be different.
Step 3
Exam Tip
In such questions, directly applying the definition is the safest method. चरण 1: एकैकी फलन में अलग निवेशों के निर्गत अलग होते हैं। चरण 2: (1,2,3) तीन अलग निवेश हैं, इसलिए (f(1)), (f(2)), (f(3)) अलग होंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में परिभाषा को सीधे लागू करना सबसे सुरक्षित तरीका है।
One-one means different inputs cannot give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, if \(a\neq b\), then (f(a)\neq f(b)).
Step 3
Exam Tip
Remember both forms: (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) and (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)). चरण 1: एकैकीता का अर्थ है कि अलग निवेश समान निर्गत नहीं दे सकते। चरण 2: इसलिए \(a\neq b\) होने पर (f(a)\neq f(b)) होना चाहिए। चरण 3: परिभाषा के दोनों रूप याद रखें: (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b) और (a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b))।
This is a linear function and the coefficient of (x) is (-3).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(-3\neq0\), (f(a)=f(b)) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
Even with a negative coefficient, a function can be one-one. चरण 1: यह रैखिक फलन है और (x) का गुणांक (-3) है। चरण 2: \(-3\neq0\), इसलिए (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलेगा। चरण 3: ऋणात्मक गुणांक होने पर भी फलन एकैकी हो सकता है।
In perfect-square quadratic functions, equal values may occur on both sides of the vertex. चरण 1: (x-2-4x+4=(x-2)2) है। चरण 2: (f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq3\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग वाले द्विघात फलनों में केंद्र के दोनों ओर समान मान मिल सकते हैं।
This result shows that (f(x)=5x) is one-one. चरण 1: (f(a)=f(b)) लिखने पर (5a=5b) मिलता है। चरण 2: दोनों ओर (5) से भाग देने पर (a=b) आता है। चरण 3: यही परिणाम दिखाता है कि (f(x)=5x) एकैकी है।
In a one-one function, different inputs cannot give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
If this happens, one-one property fails.
Step 3
Exam Tip
To prove not one-one, one counterexample is enough. चरण 1: एकैकी फलन में अलग निवेश समान निर्गत नहीं दे सकते। चरण 2: यदि ऐसा मिल जाए, तो एकैकीता टूट जाती है। चरण 3: एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए एक ही उदाहरण पर्याप्त होता है।
The other functions are linear with non-zero coefficient of (x), so they are one-one. चरण 1: \(x^2\) में (x) और (-x) समान निर्गत देते हैं। चरण 2: उदाहरण के लिए (f(3)=9) और (f(-3)=9)। चरण 3: बाकी रैखिक फलन हैं जिनमें (x) का गुणांक शून्य नहीं है, इसलिए वे एकैकी हैं।
A repeated output immediately breaks one-one property. चरण 1: यहाँ (2) और (3) दो अलग निवेश हैं। चरण 2: दोनों का निर्गत (q) है, इसलिए निर्गत दोहराया गया। चरण 3: दोहराया हुआ निर्गत एकैकीता को तुरंत समाप्त कर देता है।
The identity function sends every element to itself.
Step 2
Why this answer is correct
If (I_A(a)=I_A(b)), then (a=b) directly.
Step 3
Exam Tip
The identity function is the simplest and most important example of a one-one function. चरण 1: पहचान फलन हर तत्व को उसी तत्व पर भेजता है। चरण 2: यदि (I_A(a)=I_A(b)), तो (a=b) सीधे मिलता है। चरण 3: पहचान फलन एकैकीता का सबसे सरल और महत्वपूर्ण उदाहरण है।
B. दोनों निर्गत अलग हैं/Both outputs are different
Step 1
Concept
(f(4)=14) and (f(5)=15).
Step 2
Why this answer is correct
Different inputs are giving different outputs.
Step 3
Exam Tip
One example alone does not prove one-one, but the linear form (x+10) is fully one-one. चरण 1: (f(4)=14) और (f(5)=15) हैं। चरण 2: अलग निवेशों पर अलग निर्गत मिल रहे हैं। चरण 3: एक उदाहरण से एकैकी सिद्ध नहीं होता, पर रैखिक रूप (x+10) पूरी तरह एकैकी है।
In absolute value functions, inputs at equal distance from the center can give the same output. चरण 1: (f(0)=|-1|=1) है। चरण 2: (f(2)=|1|=1), जबकि \(0\neq2\)। चरण 3: निरपेक्ष मान वाले फलन में केंद्र से समान दूरी वाले निवेश समान निर्गत दे सकते हैं।
A one-one function needs at least as many different codomain elements as domain elements.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(7\ge5\), so assigning different outputs may be possible.
Step 3
Exam Tip
In counting questions, first count elements of domain and codomain. चरण 1: एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम-से-कम उतने अलग तत्व चाहिए जितने प्रांत में हैं। चरण 2: यहाँ \(7\ge5\), इसलिए अलग निर्गत देना संभव हो सकता है। चरण 3: संख्या आधारित प्रश्नों में पहले प्रांत और सहप्रांत के तत्व गिनें।
B. एकैकी फलन संभव नहीं है/One-one function is not possible
Step 1
Concept
The domain has (6) elements, but the codomain has only (4).
Step 2
Why this answer is correct
It is impossible to send (6) different inputs to (4) different outputs without repetition.
Step 3
Exam Tip
If the domain is larger, one-one is impossible for finite sets. चरण 1: प्रांत में (6) तत्व हैं पर सहप्रांत में (4) ही तत्व हैं। चरण 2: (6) अलग निवेशों को (4) अलग निर्गतों में बिना दोहराव भेजना संभव नहीं है। चरण 3: यदि प्रांत बड़ा हो, तो परिमित समुच्चयों में एकैकीता असंभव होती है।
From \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\), we get (a+1=b+1), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
A fractional-looking linear function can also be one-one. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1), इसलिए (a=b)। चरण 3: भिन्न रूप वाला रैखिक फलन भी एकैकी हो सकता है।
Because of the square, (1) and (-1) have the same square.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
Multiplying a square function by a positive constant still does not make it one-one on all \(\mathbb{R}\). चरण 1: वर्ग के कारण (1) और (-1) का वर्ग समान होता है। चरण 2: (f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq-1\)। चरण 3: वर्ग फलन को किसी धन स्थिर से गुणा करने पर भी पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकीता नहीं आती।
A. जब \(a\neq b\) और (f(a)=f(b))/When \(a\neq b\) and (f(a)=f(b))
Step 1
Concept
One-one property does not allow the same output for different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
Once \(a\neq b\) and (f(a)=f(b)) occur, the function is not one-one.
Step 3
Exam Tip
One violating pair rejects the whole one-one property. चरण 1: एकैकीता अलग निवेशों पर समान निर्गत को अनुमति नहीं देती। चरण 2: \(a\neq b\) और (f(a)=f(b)) मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहेगा। चरण 3: एक गलत जोड़ी पूरी एकैकीता को खारिज कर देती है।
A. दो अलग निवेशों पर अलग निर्गत/Different outputs for two different inputs
Step 1
Concept
(f(2)=-1) and (f(4)=1).
Step 2
Why this answer is correct
These are different outputs, matching linear one-one behavior.
Step 3
Exam Tip
For a full proof, assume (f(a)=f(b)) and show (a=b). चरण 1: (f(2)=-1) और (f(4)=1) हैं। चरण 2: ये अलग निर्गत हैं, जो रैखिक एकैकी व्यवहार से मेल खाते हैं। चरण 3: पूर्ण सिद्धि के लिए (f(a)=f(b)) मानकर (a=b) दिखाएँ।
For (mx+c) with \(m\neq0\), this method works quickly. चरण 1: एकैकी सिद्ध करने के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। चरण 2: (3a+1=3b+1) से (3a=3b), अतः (a=b)। चरण 3: (mx+c) में \(m\neq0\) होने पर यह तरीका तेजी से काम करता है।
\(x^2\) is not one-one on every domain, so always check the given domain. चरण 1: दिए गए प्रांत में केवल (0,1,2) हैं। चरण 2: इनके निर्गत (0,1,4) हैं और कोई दोहराव नहीं है। चरण 3: \(x^2\) हर प्रांत पर एकैकी नहीं होता, इसलिए दिए गए प्रांत को जरूर देखें।
If the domain contains opposite numbers, \(x^2\) will not be one-one. चरण 1: इस प्रांत में (1) और (-1) दोनों हैं। चरण 2: (f(1)=1) और (f(-1)=1), पर \(1\neq-1\)। चरण 3: जब प्रांत में विपरीत संख्याएँ हों, \(x^2\) एकैकी नहीं रहेगा।
In a one-one function, two different inputs cannot map to the same output.
Step 2
Why this answer is correct
So at most one element of (A) can map to one element of (B).
Step 3
Exam Tip
In arrow diagrams, count incoming arrows at each output to test one-one. चरण 1: एकैकी फलन में एक निर्गत पर दो अलग निवेश नहीं जा सकते। चरण 2: इसलिए (B) के किसी एक तत्व पर (A) का अधिकतम एक ही तत्व जा सकता है। चरण 3: तीर आरेख में एकैकीता जाँचते समय हर निर्गत पर आने वाले तीर गिनें।
Two arrows arriving at the same element means two different inputs have the same output.
Step 2
Why this answer is correct
This goes against the definition of one-one.
Step 3
Exam Tip
In diagram-based questions, decide quickly by checking incoming arrows at outputs. चरण 1: दो तीरों का एक ही तत्व पर आना बताता है कि दो अलग निवेशों का निर्गत समान है। चरण 2: यह एकैकीता की परिभाषा के विरुद्ध है। चरण 3: आरेख वाले प्रश्नों में निर्गत पर आने वाले तीरों को देखकर तुरंत निर्णय लें।
The cube-root function gives different outputs for different real inputs.
Step 2
Why this answer is correct
If \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), cubing both sides gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
Keep the difference between cube root and square root in mind. चरण 1: घनमूल फलन वास्तविक संख्याओं पर हर मान के लिए अलग निर्गत देता है। चरण 2: यदि \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), तो दोनों ओर घन करने पर (a=b)। चरण 3: घनमूल और वर्गमूल की परिभाषा में अंतर ध्यान रखें।
Adding (2) shifts all outputs equally, but it does not make two different inputs equal.
Step 3
Exam Tip
Adding a constant to a cube function keeps it one-one. चरण 1: \(x^3\) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है। चरण 2: (2) जोड़ने से सभी निर्गत समान मात्रा से बदलते हैं, पर दो अलग निवेश समान नहीं बनते। चरण 3: घन फलन में स्थिर जोड़ने से एकैकीता बनी रहती है।
A counterexample should clearly show two different inputs with the same output. चरण 1: (f(0)=(1)2=1) है। चरण 2: (f(-2)=(-1)2=1), जबकि \(0\neq-2\)। चरण 3: प्रतिउदाहरण में दो अलग निवेश और समान निर्गत साफ दिखाना चाहिए।
Treat decreasing linear functions as one-one when the coefficient of (x) is non-zero. चरण 1: मान लें (f(a)=f(b))। चरण 2: (9-2a=9-2b) से (-2a=-2b), अतः (a=b)। चरण 3: घटते हुए रैखिक फलन को भी एकैकी समझें जब (x) का गुणांक शून्य न हो।
Reverse order does not matter; if outputs are different, the function is one-one. चरण 1: चार निवेशों के निर्गत (8,7,6,5) हैं। चरण 2: कोई निर्गत दोहराया नहीं गया है। चरण 3: क्रम उल्टा होने से फर्क नहीं पड़ता; निर्गत अलग हों तो फलन एकैकी है।
A. क्योंकि \(a\neq b\) पर (f(a)=f(b))/Because \(a\neq b\) but (f(a)=f(b))
Step 1
Concept
(a) and (b) are different elements.
Step 2
Why this answer is correct
Both have output (2), so the same output is repeated.
Step 3
Exam Tip
Such repetition is not allowed in one-one property. चरण 1: (a) और (b) अलग-अलग तत्व हैं। चरण 2: दोनों का निर्गत (2) है, इसलिए समान निर्गत दो बार आया। चरण 3: एकैकीता में ऐसा दोहराव स्वीकार नहीं होता।
Here \(m=\frac{1}{3}\neq0\), so different inputs give different outputs.
Step 3
Exam Tip
Do not be confused by a fractional coefficient; if it is non-zero, the linear function is one-one. चरण 1: यह (mx+c) रूप का रैखिक फलन है। चरण 2: यहाँ \(m=\frac{1}{3}\neq0\), इसलिए अलग निवेश अलग निर्गत देते हैं। चरण 3: भिन्न गुणांक देखकर भ्रमित न हों; शून्य न हो तो रैखिक फलन एकैकी होता है।
To correct the mistake, we need an example where two different inputs give the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4) and (f(-2)=4), but \(2\neq-2\).
Step 3
Exam Tip
One clear counterexample disproves the whole claim. चरण 1: गलती सुधारने के लिए ऐसा उदाहरण चाहिए जिसमें दो अलग निवेश समान निर्गत दें। चरण 2: (f(2)=4) और (f(-2)=4), पर \(2\neq-2\)। चरण 3: एक स्पष्ट प्रतिउदाहरण पूरे दावे को गलत सिद्ध कर देता है।
