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व्यंजक में x² वाला पद 4x² है। x² से गुणा होने वाली संख्या 4 होती है, इसलिए x² का गुणांक 4 है। -3, x का गुणांक है, जबकि 7 अचर पद है। परीक्षा टिप: किसी पद का गुणांक ज्ञात करने के लिए उस पद में चर वाले भाग के साथ गुणा हो रही संख्या और उसका चिह्न देखें। / The term containing x² is 4x². The number multiplying x² is 4, so the coefficient of x² is 4. Here, -3 is the coefficient of x, while 7 is the constant term. Exam tip: To identify a coefficient, look at the number and sign multiplying the required variable part.
नियतांक पद वह पद होता है जिसमें कोई चर नहीं होता। व्यंजक में 6a में a और -5b में b चर हैं, जबकि 9 के साथ कोई चर नहीं है। इसलिए 9 नियतांक पद है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में जिस पद में कोई अक्षर/चर न हो, उसे नियतांक पद पहचानें। / A constant term is a term that contains no variable. In this expression, 6a contains a and -5b contains b, whereas 9 has no variable. Therefore, 9 is the constant term. Exam tip: identify the term with no letter or variable to find the constant term.
व्यंजक में पदों को जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्न अलग करते हैं। यहाँ पद 3p-2, 2p और −8 हैं, इसलिए कुल 3 पद हैं। 2p के गुणांक 2 को अलग पद नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: पद गिनते समय प्रत्येक + या − चिह्न के बाद वाले पूरे भाग को एक पद मानें। / In an expression, terms are separated by plus (+) or minus (−) signs. Here the terms are 3p-2, 2p, and −8, so there are 3 terms. The coefficient 2 in 2p is not counted as a separate term. Exam tip: Count each complete part separated by + or − as one term.
समान पदों में चर वाला भाग समान होता है। (-4ab) और (9ab) में चर वाला भाग (ab) समान है। / Like terms have the same variable part. In (-4ab) and (9ab), the variable part (ab) is the same.
व्यंजक में समान पदों को मिलाएँ: \(7x-2x=5x\) और अचर पद \(4+9=13\) हैं। इसलिए सरल रूप \(5x+13\) है। \(9x+13\) तब मिलता है जब \(-2x\) के ऋण चिह्न को गलत तरीके से जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / Combine like terms: \(7x-2x=5x\), and the constant terms give \(4+9=13\). Therefore, the simplified expression is \(5x+13\). The option \(9x+13\) results from incorrectly ignoring the negative sign before \(2x\). Exam tip: Add or subtract only terms with the same variable and exponent.
वितरण गुणधर्म के अनुसार 2 को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करते हैं: \(2\times 3y=6y\) और \(2\times(-5)=-10\)। अतः \(2(3y-5)=6y-10\)। विकल्प A में केवल \(3y\) का गुणन किया गया है, जबकि \(-5\) का भी 2 से गुणन होना चाहिए। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय बाहर की संख्या को अंदर के हर पद से गुणा करें। / Using the distributive property, multiply 2 by each term inside the bracket: \(2\times 3y=6y\) and \(2\times(-5)=-10\). Therefore, \(2(3y-5)=6y-10\). In option A, only \(3y\) has been multiplied; \(-5\) must also be multiplied by 2. Exam tip: When expanding brackets, multiply the outside number by every term inside.
यहाँ \(a=3\) रखने पर \(2a^2-a+1=2(3^2)-3+1\) होगा। पहले घात निकालें: \(3^2=9\)। अतः \(2\times9-3+1=18-3+1=16\)। इसलिए सही विकल्प 16 है। 18 एक निकट का गलत विकल्प है, जो अंतिम \(-3+1\) को शामिल किए बिना मिल सकता है। परीक्षा टिप: बीजगणितीय व्यंजक में पहले घात, फिर गुणा और अंत में जोड़-घटाव करें। / Substitute \(a=3\): \(2a^2-a+1=2(3^2)-3+1\). Evaluate the exponent first: \(3^2=9\). Thus, \(2\times9-3+1=18-3+1=16\). Therefore, 16 is the correct option. 18 is a close distractor because it may result from ignoring the final \(-3+1\). Exam tip: In algebraic expressions, evaluate powers first, then multiplication, and finally addition or subtraction.
दिए गए मान रखने पर (3x+y)=3(2)+5=6+5=11 होता है। इसलिए सही उत्तर 11 है। विकल्प 9 तब मिल सकता है जब 3×2 को गलत तरीके से 4 मान लिया जाए। परीक्षा टिप: चर का मान रखने के बाद गुणा पहले और फिर जोड़ करें। / Substituting the given values, (3x+y)=3(2)+5=6+5=11. Therefore, the correct answer is 11. Option 9 may result from incorrectly evaluating 3×2 as 4. Exam tip: after substitution, perform multiplication before addition.
पहले \(n\) का वर्ग \(n^2\) होगा। इसके तीन गुने को \(3n^2\) लिखते हैं और उसमें 4 जोड़ने पर \(3n^2+4\) प्राप्त होता है। \(3(n+4)^2\) में पहले \(n\) और 4 को जोड़ा गया है, इसलिए वह अलग व्यंजक है। परीक्षा टिप: “का वर्ग” को पहले घात के रूप में लिखें, फिर दिए गए गुणन और जोड़ की क्रियाएँ करें। / First, the square of \(n\) is \(n^2\). Three times this is \(3n^2\), and adding 4 gives \(3n^2+4\). In \(3(n+4)^2\), \(n\) and 4 are added before squaring, so it represents a different expression. Exam tip: Write “square of” as an exponent first, then apply the stated multiplication and addition.
यहाँ \(5r^2\) और \(-2r^2\) समान पद हैं, इसलिए उनका योग \((5-2)r^2=3r^2\) होगा। \(6r\) में \(r\) की घात 1 है, इसलिए वह \(r^2\) वाले पदों के साथ नहीं जुड़ सकता। अतः सरल रूप \(3r^2+6r\) है। \(9r^2\) लिखना गलत है, क्योंकि \(6r\) को \(r^2\) वाले पद में नहीं मिलाया जा सकता। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / Here, \(5r^2\) and \(-2r^2\) are like terms, so their sum is \((5-2)r^2=3r^2\). The term \(6r\) has exponent 1 on \(r\), so it cannot be combined with the \(r^2\) terms. Therefore, the simplified form is \(3r^2+6r\). Writing \(9r^2\) is incorrect because \(6r\) cannot be added to an \(r^2\) term. Exam tip: combine or subtract only terms having the same variable and the same exponent.
द्विपदी वह बीजीय व्यंजक है जिसमें दो असमान पद होते हैं। \(4x^2-7\) के पद \(4x^2\) और \(-7\) हैं, इसलिए यह द्विपदी है। \(x^2+x+1\) में तीन पद हैं, इसलिए वह त्रिपदी है; जबकि \(9x\) केवल एक पद वाला एकपद है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या गिनते समय \(+\) या \(-\) चिह्न से अलग हुए पदों को देखें। / A binomial is an algebraic expression with two unlike terms. In \(4x^2-7\), the terms are \(4x^2\) and \(-7\), so it is a binomial. \(x^2+x+1\) has three terms and is a trinomial, while \(9x\) has only one term and is a monomial. Exam tip: Count the terms separated by plus or minus signs.
\(-3xy\) और \(8xy\) समान पद हैं, क्योंकि दोनों में \(xy\) गुणनखंड समान है। इनके गुणांकों को जोड़ने पर \(-3+8=5\) मिलता है, इसलिए \(-3xy+8xy=5xy\)। स्थिर पद \(-2\) अपरिवर्तित रहता है। अतः सरल रूप \(5xy-2\) है। विकल्प \(5x-y-2\) गलत है क्योंकि \(xy\) को अलग-अलग \(x\) और \(y\) पदों में नहीं बाँटा जा सकता। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ा या घटाया जाता है। / \(-3xy\) and \(8xy\) are like terms because both have the same variable part, \(xy\). Adding their coefficients gives \(-3+8=5\), so \(-3xy+8xy=5xy\). The constant term \(-2\) remains unchanged. Therefore, the simplified expression is \(5xy-2\). Option \(5x-y-2\) is incorrect because the term \(xy\) cannot be split into separate \(x\) and \(y\) terms. Exam tip: Add or subtract only terms with identical variables raised to identical powers.
p=-2 रखने पर, p-2+3p=(-2)2+3(-2)=4-6=-2। इसलिए सही उत्तर -2 है। निकटतम भ्रम यह हो सकता है कि (-2)2 को -4 मान लिया जाए, जबकि ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है। परीक्षा टिप: पहले घात का मान निकालें, फिर गुणा और जोड़-घटाव करें। / Substituting p=-2, we get p-2+3p=(-2)2+3(-2)=4-6=-2. Therefore, the correct answer is -2. A common mistake is to take (-2)2 as -4, but the square of a negative number is positive. Exam tip: evaluate powers first, then perform multiplication and addition or subtraction.
समान पदों को मिलाएँ: \(9m+2m=11m\) तथा \(-4n-6n=-10n\)। इसलिए व्यंजक का सरल रूप \(11m-10n\) है। विकल्प B में \(m\) के गुणांकों का जोड़ गलत है। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ा या घटाया जाता है। / Combine like terms: \(9m+2m=11m\) and \(-4n-6n=-10n\). Therefore, the simplified expression is \(11m-10n\). In option B, the coefficients of \(m\) have been added incorrectly. Exam tip: Add or subtract only terms with the same variable and the same exponent.
पहले \(2x\) और \(3\) का योग \(2x+3\) होगा। “योग से 5 कम” का अर्थ इस योग में से 5 घटाना है, इसलिए सही व्यंजक \(2x+3-5\) है। \(5-(2x+3)\) का अर्थ योग को 5 में से घटाना होता, जो अलग स्थिति है। परीक्षा टिप: “कम than” वाले वाक्य में देखें कि किस राशि में से क्या घटाया जा रहा है। / First, the sum of \(2x\) and \(3\) is \(2x+3\). “5 less than the sum” means subtracting 5 from this sum, so the correct expression is \(2x+3-5\). \(5-(2x+3)\) would mean subtracting the sum from 5, which represents a different statement. Exam tip: In “less than” phrases, identify the quantity from which subtraction is to be made.
वितरण गुण का प्रयोग करने पर \(3(x+2)=3x+6\) होता है। अब समान पदों \(3x\) और \(4x\) को जोड़ने पर \(7x\) मिलता है। अतः व्यंजक का सरल रूप \(7x+6\) है। \(3x+6\) में बाहरी \(4x\) को नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक हटाने के बाद ही समान पदों को मिलाएँ। / Using the distributive property, \(3(x+2)=3x+6\). Combining the like terms \(3x\) and \(4x\) gives \(7x\). Therefore, the simplified expression is \(7x+6\). The option \(3x+6\) incorrectly leaves out the outside \(4x\). Exam tip: Expand brackets first, then combine like terms.
(a) और (b) का अंतर \(a-b\) होता है। इस पूरे अंतर का 4 गुना \(4(a-b)\) है, इसलिए विकल्प C सही है। \(4a-b\) में केवल \(a\) का 4 गुना लिया गया है, जबकि \(b\) को भी पूरे अंतर के साथ गुणा होना चाहिए। परीक्षा टिप: “का ... गुना” होने पर दिए गए पूरे पद को कोष्ठक में रखकर गुणा करें। / The difference of \(a\) and \(b\) is \(a-b\). Four times this complete difference is \(4(a-b)\), so option C is correct. In \(4a-b\), only \(a\) is multiplied by 4; \(b\) must also be part of the multiplied difference. Exam tip: When a question says “times the difference,” put the entire difference in brackets before multiplying.
दिए गए मान रखने पर
\(u-2v=1-2(-3)\)। यहाँ \(2(-3)=-6\), इसलिए \(1-(-6)=1+6=7\)। अतः सही उत्तर 7 है। विकल्प 5 तब मिल सकता है जब ऋणात्मक संख्या के साथ घटाव के चिह्न को गलत तरीके से लिया जाए। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक पद को घटाने पर उसे जोड़ में बदलें। / Substituting the given values, \(u-2v=1-2(-3)\). Since \(2(-3)=-6\), we get \(1-(-6)=1+6=7\). Therefore, the correct answer is 7. Option 5 may result from handling the subtraction of a negative number incorrectly. Exam tip: subtracting a negative quantity changes into addition.
समान पदों को मिलाएँ: \(12c^2+3c^2=15c^2\) और \(-5c-2c=-7c\)। इसलिए व्यंजक का सरल रूप \(15c^2-7c\) है। \(15c^2-3c\) में रैखिक पदों \(-5c\) और \(-2c\) को गलत ढंग से जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / Combine like terms: \(12c^2+3c^2=15c^2\) and \(-5c-2c=-7c\). Therefore, the simplified expression is \(15c^2-7c\). In \(15c^2-3c\), the linear terms \(-5c\) and \(-2c\) have been combined incorrectly. Exam tip: Add or subtract only terms with the same variable and exponent.
संख्यात्मक गुणांक (4) को हटाने पर चर वाला भाग \(x^2y\) बचता है। पद को गुणांक और चर भाग में बांटकर देखें। / After removing the numerical coefficient (4), the variable part \(x^2y\) remains. View a term as coefficient and variable part.
\(2x^2\) और \(-5x^2\) समान पद हैं क्योंकि दोनों में चर भाग \(x^2\) है। इसलिए उनके गुणांकों को जोड़ते हैं: \(2+(-5)=-3\)। अतः योग \(-3x^2\) है। \(-3x^4\) गलत है, क्योंकि समान पदों को जोड़ने पर घातें नहीं जोड़ी जातीं। परीक्षा टिप: जोड़ या घटाव में पहले जाँचें कि पदों का चर भाग और उसकी घात समान है या नहीं। / \(2x^2\) and \(-5x^2\) are like terms because both have the variable part \(x^2\). Add their coefficients: \(2+(-5)=-3\). Therefore, the sum is \(-3x^2\). \(-3x^4\) is incorrect because exponents are not added when like terms are added. Exam tip: before adding or subtracting, check that the variable parts and their exponents are the same.
कोष्ठक खोलने पर \(5(a-2)=5a-10\) और \(-2(a+1)=-2a-2\) मिलता है। अतः \(5a-10-2a-2=3a-12\)। इसलिए सही उत्तर \(3a-12\) है। \(3a-8\) तब मिलता है जब स्थिर पदों के चिह्न गलत लिए जाएँ। परीक्षा टिप: किसी कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक गुणांक हो, तो उसे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। / On expanding the brackets, \(5(a-2)=5a-10\) and \(-2(a+1)=-2a-2\). Therefore, \(5a-10-2a-2=3a-12\). Hence, the correct answer is \(3a-12\). \(3a-8\) results from handling the signs of the constant terms incorrectly. Exam tip: When a negative coefficient is outside a bracket, multiply it by every term inside the bracket.
x=-1 रखने पर, x-2-4x+3=(-1)2-4(-1)+3=1+4+3=8। इसलिए सही उत्तर 8 है। निकटतम भ्रम यह है कि -4(-1) को -4 मान लिया जाए, जबकि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है। परीक्षा टिप: मान रखने के बाद ऋणात्मक संख्या को हमेशा कोष्ठक में लिखें। / Substituting x=-1, x-2-4x+3=(-1)2-4(-1)+3=1+4+3=8. Therefore, the correct answer is 8. A common error is to treat -4(-1) as -4, but the product of two negative numbers is positive. Exam tip: Always use brackets when substituting a negative value.
\(x^2+6\) में \(x\) का प्रथम घात वाला पद, अर्थात \(x\) पद, उपस्थित नहीं है। इसलिए \(x\) का गुणांक \(0\) है। \(x^2\) का गुणांक \(1\) है, लेकिन यह \(x\) का गुणांक नहीं है। परीक्षा टिप: किसी पद का गुणांक ज्ञात करते समय उसी चर की घात को ध्यान से देखें। / In \(x^2+6\), there is no term containing \(x\) to the first power. Therefore, the coefficient of \(x\) is \(0\). The coefficient of \(x^2\) is \(1\), but that is not the coefficient of \(x\). Exam tip: While finding a coefficient, check the exact power of the variable.
दिया गया व्यंजक है: \(8k-3(2k-1)\)। वितरक गुण का प्रयोग करने पर \(-3(2k-1)=-6k+3\) होगा। अतः \(8k-6k+3=2k+3\)। इसलिए सही उत्तर \(2k+3\) है। \(2k-3\) चुनना सामान्य गलती है, जो \(-3\times(-1)=+3\) के चिह्न को गलत लेने से होती है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक गुणांक हो तो प्रत्येक पद का चिह्न ध्यान से बदलें। / The expression is \(8k-3(2k-1)\). Using the distributive property, \(-3(2k-1)=-6k+3\). Therefore, \(8k-6k+3=2k+3\). Hence, the correct answer is \(2k+3\). Choosing \(2k-3\) is a common error caused by missing that \(-3\times(-1)=+3\). Exam tip: when a negative coefficient is outside brackets, distribute it to every term carefully.
आयत का परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई) होता है। अतः 2[(x+4)+(x-1)] = 2(2x+3) = (4x+6)। इसलिए सही विकल्प B है। (2x+3) केवल लंबाई और चौड़ाई का योग है, परिमाप नहीं। परीक्षा टिप: परिमाप के प्रश्न में 2 से गुणा करना न भूलें। / The perimeter of a rectangle is 2(length + breadth). So, 2[(x+4)+(x-1)] = 2(2x+3) = (4x+6). Therefore, option B is correct. (2x+3) is only the sum of the length and breadth, not the perimeter. Exam tip: Do not forget to multiply by 2 when finding a rectangle’s perimeter.
वितरण गुणधर्म के अनुसार, \(x\) को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करते हैं: \(x(x+3)=x\cdot x+x\cdot3=x^2+3x\)। इसलिए सही उत्तर \(x^2+3x\) है। \(x^2+3\) में \(3\) का \(x\) से गुणा नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय बाहर के पद को भीतर के हर पद से गुणा करें। / Using the distributive property, multiply \(x\) by each term inside the bracket: \(x(x+3)=x\cdot x+x\cdot3=x^2+3x\). Therefore, \(x^2+3x\) is correct. In \(x^2+3\), the term \(3\) has not been multiplied by \(x\). Exam tip: when expanding brackets, multiply the outside term by every term inside the bracket.
यहाँ m=2 और n=4 रखने पर mn+m-2=2×4+22=8+4=12 होता है। इसलिए सही उत्तर 12 है। 8 केवल mn का मान है; उसमें m-2=4 जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: चर के मान रखने के बाद पहले घात, फिर गुणा और अंत में जोड़ करें। / Substituting m=2 and n=4 gives mn+m-2=2×4+22=8+4=12. Therefore, the correct answer is 12. The value 8 represents only mn; m-2=4 must also be added. Exam tip: after substitution, evaluate powers first, then multiplication, and finally addition.
B. (xy) गुणन है और (x+y) योग है/(xy) is product and (x+y) is sum
Explanation
Simple Explanation
साथ लिखे गए चर गुणन दर्शाते हैं और (+) चिह्न योग दर्शाता है। इसलिए (xy) और (x+y) अलग व्यंजक हैं। / Variables written together show multiplication and the (+) sign shows addition. So (xy) and (x+y) are different expressions.
आयत का परिमाप \(2(l+b)\) होता है। इसलिए \(2[(2x+5)+(x-1)]=2(3x+4)=6x+8\)। \(3x+4\) केवल लंबाई और चौड़ाई का योग है, परिमाप नहीं। परीक्षा में पहले सही सूत्र लिखें। / The perimeter of a rectangle is \(2(l+b)\). Thus, \(2[(2x+5)+(x-1)]=2(3x+4)=6x+8\). \(3x+4\) is only the sum of length and breadth, not the perimeter. Exam tip: write the formula first.
यदि पहला पूर्णांक \(n\) है, तो तीन लगातार पूर्णांक \(n\), \(n+1\) और \(n+2\) होंगे। उनका योग \(n+(n+1)+(n+2)=3n+3\) है। \(3n+1\) में स्थिर पद सही नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार संख्याओं को लिखकर जोड़ने से ऐसे व्यंजक आसानी से बनते हैं। / If the first integer is \(n\), the three consecutive integers are \(n\), \(n+1\), and \(n+2\). Their sum is \(n+(n+1)+(n+2)=3n+3\). In \(3n+1\), the constant term is incorrect. Exam tip: Write consecutive numbers explicitly before adding them.
समान पदों को मिलाएँ: \(2x^2-3x^2=-x^2\) तथा \(5x+x=6x\)। इसलिए व्यंजक का सरल रूप \(-x^2+6x\) है। \(x^2\) और \(x\) वाले पद समान नहीं होते, इसलिए उन्हें आपस में नहीं जोड़ा जा सकता। परीक्षा टिप: पहले पदों को उनकी घात के अनुसार समूहित करें। / Combine like terms: \(2x^2-3x^2=-x^2\) and \(5x+x=6x\). Therefore, the simplified expression is \(-x^2+6x\). Terms containing \(x^2\) and \(x\) are unlike terms, so they cannot be combined with each other. Exam tip: Group terms according to their powers before simplifying.
यहाँ ऋणात्मक पद को घटाया जा रहा है, इसलिए घटाव जोड़ में बदल जाता है: \(4a^2b-(-7a^2b)=4a^2b+7a^2b=11a^2b\)। दोनों पद समान पद हैं, क्योंकि इनमें \(a\) और \(b\) की घातें समान हैं। विकल्प A में चिह्न का नियम गलत लगाया गया है, जबकि विकल्प D में घातें अनावश्यक रूप से गुणा की गई हैं। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक पद के पहले ‘−’ हो तो उसे ‘+’ में बदलकर सरल करें। / A negative term is being subtracted, so subtraction changes to addition: \(4a^2b-(-7a^2b)=4a^2b+7a^2b=11a^2b\). These are like terms because the powers of \(a\) and \(b\) are the same. Option A uses the sign rule incorrectly, while option D incorrectly multiplies the exponents. Exam tip: When a minus sign precedes a negative term, change it to plus before simplifying.
दिया है कि \(x=3\)। अतः \(2(x+4)-x^2=2(3+4)-3^2=2\times7-9=14-9=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। 7 प्राप्त करने में अक्सर \(x^2\) का मान गलत लेने या गुणा को छोड़ देने की गलती होती है। परीक्षा टिप: प्रतिस्थापन के बाद पहले घात, फिर गुणा तथा अंत में जोड़-घटाव करें। / Given \(x=3\), \(2(x+4)-x^2=2(3+4)-3^2=2\times7-9=14-9=5\). Therefore, the correct answer is 5. The value 7 can result from incorrectly evaluating \(x^2\) or missing the multiplication by 2. Exam tip: after substitution, evaluate powers first, then multiplication, and finally addition or subtraction.
\(x\) का तीन गुना \(3x\) और \(y\) का दोगुना \(2y\) होता है। इन दोनों का योग \(3x+2y\) है, इसलिए विकल्प A सही है। \(2x+3y\) में गुणांक उलट गए हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: “का गुना” को गुणा के रूप में लिखें और “योग” के लिए पदों के बीच \(+\) लगाएँ। / Three times \(x\) is \(3x\), and twice \(y\) is \(2y\). Adding these terms gives \(3x+2y\), so option A is correct. In \(2x+3y\), the coefficients of \(x\) and \(y\) are reversed. Exam tip: translate “times” into multiplication and “sum” into addition.
कोष्ठक खोलने पर
\(10-3(2-z)=10-6+3z\), क्योंकि \(-3\) का गुणन \(2\) से करने पर \(-6\) और \(-z\) से करने पर \(+3z\) मिलता है। अतः सरल रूप \(4+3z\) है। \(4-3z\) में \(-3\) और \(-z\) के गुणन का चिन्ह गलत लिया गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के पहले ऋणात्मक गुणांक हो तो उसे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। / On opening the bracket, \(10-3(2-z)=10-6+3z\), because multiplying \(-3\) by \(2\) gives \(-6\), while multiplying it by \(-z\) gives \(+3z\). Therefore, the simplified form is \(4+3z\). In \(4-3z\), the sign from multiplying \(-3\) and \(-z\) has been taken incorrectly. Exam tip: When a negative coefficient precedes a bracket, multiply it by every term inside the bracket.
पद 3x-2y में x की घात 2 और y की घात 1 है, जबकि -2xy-2 में x की घात 1 और y की घात 2 है। समान पदों में चर और प्रत्येक चर की घात बिल्कुल समान होनी चाहिए; केवल गुणांक अलग हो सकते हैं। इसलिए ये असमान पद हैं। नियतांक पद में कोई चर नहीं होता। परीक्षा टिप: घातों को ध्यान से मिलाइए, क्योंकि x-2y और xy-2 समान पद नहीं हैं। / In 3x-2y, the power of x is 2 and the power of y is 1, whereas in -2xy-2, the power of x is 1 and the power of y is 2. Like terms must have exactly the same variables with the same powers; only their coefficients may differ. Hence, these are unlike terms. A constant term has no variable. Exam tip: compare exponents carefully, since x-2y and xy-2 are not like terms.
पहली संख्या \(x\) है। उससे 6 अधिक दूसरी संख्या \(x+6\) होगी। अतः दोनों का योग \(x+(x+6)=2x+6\) है। विकल्प \(x+6\) केवल दूसरी संख्या है, दोनों संख्याओं का योग नहीं। परीक्षा टिप: “से अधिक” होने पर दी गई संख्या में उतनी मात्रा जोड़ें, फिर मांगी गई राशि निकालें। / The first number is \(x\). The number that is 6 more than it is \(x+6\). Therefore, their sum is \(x+(x+6)=2x+6\). The option \(x+6\) represents only the second number, not the sum of both numbers. Exam tip: For “more than,” add the stated amount first, then calculate what is asked.
समान पदों को मिलाएँ: \(2x-5x=-3x\) तथा \(3y+y=4y\)। अतः व्यंजक का सरल रूप \(-3x+4y\) है। \(7x+4y\) तब मिलता यदि \(-5x\) के ऋण चिह्न को गलती से धन मान लिया जाए। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / Combine like terms: \(2x-5x=-3x\) and \(3y+y=4y\). Therefore, the simplified expression is \(-3x+4y\). \(7x+4y\) results from incorrectly treating \(-5x\) as positive. Exam tip: add or subtract only terms with the same variable and exponent.
पहले (x-3) बनता है और फिर पूरे परिणाम को (5) से गुणा किया जाता है। इसलिए (5(x-3)) सही है। / First (x-3) is formed, and then the whole result is multiplied by (5). So (5(x-3)) is correct.
दिए गए मान रखने पर \(a^2-b^2=4^2-2^2=16-4=12\)। इसलिए सही उत्तर 12 है। 8 निकटतम भ्रामक विकल्प हो सकता है, यदि \(4^2\) को गलती से 12 माना जाए या वर्गों की गणना सही न की जाए। परीक्षा में पहले प्रत्येक संख्या का वर्ग निकालें, फिर घटाव करें। / Substituting the given values, \(a^2-b^2=4^2-2^2=16-4=12\). Therefore, the correct answer is 12. Option 8 can result from an incorrect calculation of the squares. Exam tip: calculate each square first, and then subtract the results.
\(x\) को समान हर 2 में \(\frac{2x}{2}\) लिखा जा सकता है। इसलिए \(\frac{x}{2}+x=\frac{x}{2}+\frac{2x}{2}=\frac{3x}{2}\)। \(2x\) एक निकट का लेकिन गलत विकल्प है, क्योंकि जोड़ करते समय अंशों को सीधे जोड़ने से पहले हर समान करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: भिन्नात्मक पदों को जोड़ने के लिए पहले उनका समान हर बनाइए। / Write \(x\) as \(\frac{2x}{2}\) so that both terms have the same denominator. Hence, \(\frac{x}{2}+x=\frac{x}{2}+\frac{2x}{2}=\frac{3x}{2}\). \(2x\) is a close but incorrect choice because fractional terms must first be written with a common denominator before adding. Exam tip: make denominators common before adding fractional algebraic terms.
वितरण गुण का प्रयोग करें: \(4(2x-1)=4\times2x-4\times1=8x-4\)। अब 3 जोड़ने पर \(8x-4+3=8x-1\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(8x-1\) है। \(8x-7\) तब मिलता यदि 3 को गलती से घटा दिया जाता। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय बाहर की संख्या को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। / Use the distributive property: \(4(2x-1)=4\times2x-4\times1=8x-4\). Adding 3 gives \(8x-4+3=8x-1\). Therefore, the correct answer is \(8x-1\). The result \(8x-7\) would come from incorrectly subtracting 3. Exam tip: when expanding brackets, multiply the outside number by every term inside the bracket.
\((3x+2)+(x-5)\) में समान पदों को मिलाने पर \(3x+x=4x\) और \(2-5=-3\) मिलता है। इसलिए योग \(4x-3\) है। \(4x+7\) में स्थिरांकों के चिन्हों को गलत जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ते समय केवल समान घात वाले पदों को ही जोड़ें। / In \((3x+2)+(x-5)\), combine like terms: \(3x+x=4x\) and \(2-5=-3\). Therefore, the sum is \(4x-3\). The option \(4x+7\) results from adding the constants with an incorrect sign. Exam tip: while adding polynomials, combine only terms with the same variable and exponent.
घटाने का अर्थ है \((7x-4)-(2x+3)\)। दूसरे कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने पर उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: \(7x-4-2x-3\)। समान पदों को मिलाने पर \(7x-2x=5x\) और \(-4-3=-7\), इसलिए परिणाम \(5x-7\) है। \(5x-1\) पाने में \(+3\) का चिह्न गलत तरीके से नहीं बदला जाता। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को घटाते समय पूरे कोष्ठक के हर पद का चिह्न बदलें। / Subtraction gives \((7x-4)-(2x+3)\). The minus sign before the second bracket changes the sign of each term: \(7x-4-2x-3\). Combining like terms, \(7x-2x=5x\) and \(-4-3=-7\), so the result is \(5x-7\). The option \(5x-1\) results from incorrectly retaining the sign of \(+3\). Exam tip: when subtracting an expression in brackets, change the sign of every term inside the bracket.
यहाँ x=2 रखने पर x-3+x=23+2=8+2=10 होता है। इसलिए सही उत्तर 10 है। 8 केवल x-3 का मान है; इसमें +x अर्थात +2 भी जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: मान रखने के बाद पहले घात की गणना करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substituting x=2 gives x-3+x=23+2=8+2=10. Therefore, the correct answer is 10. The value 8 is only x-3; the additional +x, or +2, must also be included. Exam tip: after substitution, evaluate powers before addition or subtraction.
वितरण गुणधर्म का प्रयोग करें: \((-2x)(3x-4)=(-2x)(3x)+(-2x)(-4)=-6x^2+8x\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में दूसरे पद का चिह्न गलत है, क्योंकि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है। परीक्षा टिप: कोष्ठक हटाते समय बाहर के पद को भीतर के प्रत्येक पद से गुणा करें और चिह्नों पर विशेष ध्यान दें। / Use the distributive property: \((-2x)(3x-4)=(-2x)(3x)+(-2x)(-4)=-6x^2+8x\). Hence, option A is correct. In option C, the sign of the second term is incorrect because the product of two negative quantities is positive. Exam tip: While removing brackets, multiply the outside term by every term inside and check the signs carefully.
पहले \(x\) और \(4\) का योग \((x+4)\) बनेगा। पूरे योग का वर्ग करने के लिए घात 2 को कोष्ठक के बाहर लगाया जाता है, इसलिए सही व्यंजक \((x+4)^2\) है। \(x^2+4^2\) में पदों के अलग-अलग वर्ग लिए गए हैं; यह योग का वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: “योग का वर्ग” दिखे तो पहले पूरे योग को कोष्ठक में लिखें, फिर \(2\) की घात लगाएँ। / First, the sum of \(x\) and \(4\) is \((x+4)\). To square the entire sum, the exponent 2 must be placed outside the brackets, so the correct expression is \((x+4)^2\). In \(x^2+4^2\), the terms are squared separately; it is not the square of their sum. Exam tip: For “square of a sum,” put the complete sum in brackets before writing the exponent \(2\).
व्यंजक में y वाला पद 3y है। यहाँ y को 3 से गुणा किया गया है, इसलिए y का गुणांक 3 है। 4, z वाले पद 4z का गुणांक है, y का नहीं। परीक्षा में जिस चर का गुणांक पूछा हो, केवल उसी चर वाला पद पहचानें। / The term containing y is 3y. Since y is multiplied by 3, its coefficient is 3. The number 4 is the coefficient of z in the term 4z, not of y. In exams, first identify the term containing the specified variable.
(r=5) रखने पर \(\frac{r+7}{2}=\frac{12}{2}=6\)। भिन्न में पहले हर और अंश को सही पहचानें। / Putting (r=5), \(\frac{r+7}{2}=\frac{12}{2}=6\). In a fraction, identify numerator and denominator correctly.
