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A. ढाल (-2), (y)-अवरोध (5)/Slope (-2), (y)-intercept (5)
Explanation
Simple Explanation
(7y=-14x+35) से (y=-2x+5) मिलता है। गुणांक ढाल और स्थिर पद (y)-अवरोध होता है। / From (7y=-14x+35), we get (y=-2x+5). The coefficient is slope and the constant term is the (y)-intercept.
रेखा के ढाल-अवरोध रूप में \,y=mx+c\, में \,x\, का गुणांक ढाल होता है। यहाँ ढाल \,3k-4\, है। अतः \,3k-4=17\,। दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर \,3k=21\, और 3 से भाग देने पर \,k=7\, मिलता है। विकल्प 8 लेने पर ढाल \,20\, होगी, 17 नहीं। परीक्षा टिप: \,y=mx+c\, में हमेशा \,x\, के गुणांक को ढाल पहचानें। / In the slope-intercept form \,y=mx+c\,, the coefficient of \,x\, is the slope. Here, the slope is \,3k-4\,. Therefore, \,3k-4=17\,. Adding 4 to both sides gives \,3k=21\,, and dividing by 3 gives \,k=7\,. If \,k=8\,, the slope would be \,20\,, not 17. Exam tip: In \,y=mx+c\,, identify the coefficient of \,x\, as the slope.
दिए गए समीकरण को 6 से भाग देने पर
\(y=3x-9\) प्राप्त होता है। रेखा के रूप \(y=mx+c\) में स्थिर पद \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। अतः \(y\)-अवरोध \(-9\) है, अर्थात रेखा \((0,-9)\) से गुजरती है। \(-54\) मूल समीकरण का स्थिर पद है, लेकिन 6 से भाग करने के बाद उसका अवरोध \(-9\) बनता है। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध के लिए सीधे \(x=0\) रखें। / Dividing the equation by 6 gives \(y=3x-9\). In the form \(y=mx+c\), the constant term \(c\) is the \(y\)-intercept. Therefore, the \(y\)-intercept is \(-9\), so the line passes through \((0,-9)\). Although \(-54\) is the constant term in the original equation, it must be divided by 6 to find the intercept. Exam tip: set \(x=0\) to find the \(y\)-intercept directly.
दिया है कि रेखा का समीकरण \(y=-6x+c\) है और वह बिंदु \((5,-18)\) से गुजरती है। इसलिए \(x=5\) तथा \(y=-18\) रखने पर \(-18=-6(5)+c=-30+c\) मिलता है। अतः \(c=12\)। समीकरण \(y=-6x+c\) में \(c\) ही \(y\)-अवरोध होता है, इसलिए सही उत्तर 12 है। 13 लेने पर समीकरण में दिया गया बिंदु संतुष्ट नहीं होता। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध हमेशा \(c\) होता है। / The line is \(y=-6x+c\) and it passes through \((5,-18)\). Substituting \(x=5\) and \(y=-18\) gives \(-18=-6(5)+c=-30+c\). Hence, \(c=12\). In the form \(y=mx+c\), \(c\) is the \(y\)-intercept, so the correct answer is 12. For example, 13 would not make the given point satisfy the equation. Exam tip: in \(y=mx+c\), identify the \(y\)-intercept directly as \(c\).
रेखा के समीकरण में बिंदु के निर्देशांक \(x=-4\) और \(y=9\) रखने पर \(9=-4m-11\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(11\) जोड़ने पर \(20=-4m\), इसलिए \(m=-5\) है। \(5\) लेने पर ऋण चिह्न की गलती हो जाती है। परीक्षा टिप: बिंदु रखने के बाद \(x\) के ऋण चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / Substitute the point coordinates \(x=-4\) and \(y=9\) into the line equation: \(9=-4m-11\). Adding \(11\) to both sides gives \(20=-4m\), so \(m=-5\). Choosing \(5\) would result from a sign error. Exam tip: carefully track the negative sign when substituting a negative value of \(x\).
\(2x+y=5\) को y के लिए लिखने पर \(y=-2x+5\) मिलता है। अतः ढाल \(-2\) ऋणात्मक और y-अवरोध \(5\) धनात्मक है। परीक्षा में समीकरण को \(y=mx+c\) रूप में लिखकर \(m\) व \(c\) के चिह्न जाँचें। / Writing \(2x+y=5\) in terms of y gives \(y=-2x+5\). Thus, the slope \(-2\) is negative and the y-intercept \(5\) is positive. Exam tip: rewrite the equation as \(y=mx+c\) and check the signs of \(m\) and \(c\).
समीकरण को y के रूप में लिखने पर
\(y=\frac{36}{a}x-\frac{60}{a}\) मिलता है। अतः ढाल \(\frac{36}{a}\) है। दी गई ढाल 6 होने से \(\frac{36}{a}=6\), इसलिए \(a=6\)। विकल्प 4 लेने पर ढाल 9 होगी, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण में x का गुणांक ही ढाल होता है। / Writing the equation in terms of y gives \(y=\frac{36}{a}x-\frac{60}{a}\). Hence, the slope is \(\frac{36}{a}\). Since the given slope is 6, \(\frac{36}{a}=6\), so \(a=6\). If \(a=4\), the slope would be 9, so that option is incorrect. Exam tip: In slope-intercept form, the coefficient of x is the slope.
\(y\)-अवरोध के लिए \(x=0\) रखते हैं। तब \(by+c=0\), इसलिए \(y=-\frac{c}{b}\) मिलता है। \(-\frac{a}{b}\) रेखा की ढाल है, अवरोध नहीं। परीक्षा में पहले \(x=0\) रखें। / To find the \(y\)-intercept, put \(x=0\). Then \(by+c=0\), so \(y=-\frac{c}{b}\). The expression \(-\frac{a}{b}\) gives the slope, not the intercept. Exam tip: set \(x=0\) first.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल \(m\) होता है। यहाँ ढाल \(4p-3\) है। दी गई ढाल \(25\) के बराबर रखने पर \(4p-3=25\), अतः \(4p=28\) और \(p=7\) मिलता है। इसलिए विकल्प D सही है। \(p=8\) रखने पर ढाल \(29\) होगी, \(25\) नहीं। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x\) के गुणांक की तुलना करें। / In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope \(m\). Here, the slope is \(4p-3\). Equating it to the given slope, \(4p-3=25\), gives \(4p=28\) and hence \(p=7\). Therefore, option D is correct. If \(p=8\), the slope would be \(29\), not \(25\). Exam tip: compare the coefficient of \(x\) to find the slope.
रेखा का रूप \(y=mx+c\) होता है, जहाँ \(c\) y-अवरोध है। यहाँ \(c=r-4\) है। मूल बिंदु \((0,0)\) से गुजरने के लिए y-अवरोध शून्य होना चाहिए, अतः \(r-4=0\), इसलिए \(r=4\)। तब ढाल \(m=r+8=4+8=12\) होगी। \(8\) केवल स्थिर भाग है; \(r\) का मान ज्ञात किए बिना उसे ढाल नहीं माना जा सकता। परीक्षा टिप: मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा में स्थिर पद को शून्य रखें। / A line has the form \(y=mx+c\), where \(c\) is the y-intercept. Here, \(c=r-4\). Since the line passes through the origin \((0,0)\), its y-intercept must be zero. Thus, \(r-4=0\), so \(r=4\). Therefore, the slope is \(m=r+8=4+8=12\). The value \(8\) is only part of the coefficient; it is not the slope until \(r\) is found. Exam tip: for a line through the origin, set the constant term equal to zero.
\(x=5\) के प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक 5 होता है, इसलिए यह ऊर्ध्वाधर रेखा है और x-अक्ष के लंबवत होती है। y-अक्ष पर \(x=0\) होता है, अतः यह उसे नहीं काटती। परीक्षा टिप: \(x=\text{स्थिरांक}\) ऊर्ध्वाधर रेखा है। / For \(x=5\), every point has x-coordinate 5, so the graph is a vertical line and is perpendicular to the x-axis. On the y-axis, \(x=0\), so this line cannot meet it. Exam tip: \(x=\text{constant}\) always represents a vertical line.
y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x का मान 0 रखते हैं। तब \(10(0)-5y+25=0\), अर्थात \(-5y=-25\), इसलिए \(y=5\)। अतः रेखा y-अक्ष को \((0,5)\) पर काटती है। \(-5\) चिह्न की गलती से मिलने वाला निकटतम गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: y-अवरोध के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / To find the y-intercept, put \(x=0\). Then \(10(0)-5y+25=0\), so \(-5y=-25\) and hence \(y=5\). Therefore, the line meets the y-axis at \((0,5)\). The option \(-5\) is a common sign-error distractor. Exam tip: always set \(x=0\) to find the y-intercept.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल होती है। पहली रेखा की ढाल \(q-6\) और दूसरी रेखा की ढाल \(10\) है। समान ढाल के लिए \(q-6=10\), अतः \(q=16\)। \(q=14\) लेने पर पहली ढाल \(8\) होगी, जो \(10\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) के गुणांक को सीधे ढाल पहचानें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope. The slope of the first line is \(q-6\), while that of the second line is \(10\). For equal slopes, \(q-6=10\), so \(q=16\). If \(q=14\), the first slope would be \(8\), not \(10\). Exam tip: In \(y=mx+c\), identify the coefficient of \(x\) as the slope.
रेखा के समीकरण y = mx + c में y-अवरोध स्थिर पद c होता है, क्योंकि x = 0 रखने पर y = c मिलता है। पहली रेखा y = -9x + s का y-अवरोध s है, जबकि दूसरी रेखा y = 6x - 17 का y-अवरोध -17 है। दोनों y-अवरोध समान हैं, इसलिए s = -17 होगा। विकल्प -9 पहली रेखा का ढाल है, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए समीकरण में x = 0 रखें। / In the form y = mx + c, the y-intercept is the constant term c because putting x = 0 gives y = c. The y-intercept of y = -9x + s is s, while that of y = 6x - 17 is -17. Since the intercepts are equal, s = -17. The value -9 is the slope of the first line, not its y-intercept. Exam tip: To find a y-intercept, substitute x = 0.
A. यह प्रत्येक (a) के लिए सही है/It is true for every (a)
Explanation
Simple Explanation
रेखा के मानक रूप (y=mx+c) में ढाल (m) और (y)-अवरोध (c) होता है। यहाँ ढाल (a-7) तथा (y)-अवरोध (a) है। इसलिए उनका अंतर (a-7)-a=-7 प्राप्त होता है, जिसमें (a) का पद कट जाता है। अतः यह शर्त (a) के प्रत्येक मान के लिए सत्य है। (a=7) रखने पर ढाल केवल 0 होती है; यह शर्त को केवल उसी मान तक सीमित नहीं करता। परीक्षा टिप: पहले समीकरण की तुलना (y=mx+c) से करके (m) और (c) पहचानें, फिर दिया गया अंतर निकालें। / In the standard form (y=mx+c), (m) is the slope and (c) is the y-intercept. Here, the slope is (a-7) and the y-intercept is (a). Their difference is (a-7)-a=-7, so the terms containing (a) cancel. Hence, the condition is true for every value of (a). Substituting (a=7) merely makes the slope 0; it does not make the condition true only for that value. Exam tip: Compare the equation with (y=mx+c) first, identify (m) and (c), and then calculate the required difference.
बिंदु \((2,19)\) को \(y=6x+b\) में रखने पर \(19=6\times2+b\) मिलता है। अतः \(b=19-12=7\) है। जाँच के लिए, \(x=5\) रखने पर \(y=30+7=37\) आता है, इसलिए दूसरा बिंदु भी संतुष्ट होता है। \(b\) ज्ञात करने के लिए दिए गए किसी भी बिंदु के निर्देशांक समीकरण में रखिए। / Substituting the point \((2,19)\) into \(y=6x+b\) gives \(19=6\times2+b\). Hence, \(b=19-12=7\). As a check, when \(x=5\), \(y=30+7=37\), so the second point also lies on the line. Exam tip: substitute either given point in the line equation to find \(b\).
\(2x+y=0\) को \(y=-2x\) लिखने पर ढाल \(-2\) और y-अवरोध \(0\) मिलता है। विकल्प B की ढाल धनात्मक है। परीक्षा टिप: पहले समीकरण को \(y=mx+c\) के रूप में लिखें। / Writing \(2x+y=0\) as \(y=-2x\) gives slope \(-2\) and y-intercept \(0\). Option B has a positive slope. Exam tip: rewrite a line in \(y=mx+c\) form before identifying its properties.
रेखा के रूप
\(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल \(m\) होता है। पहली रेखा की ढाल \(k-8\) और दूसरी रेखा की ढाल \(5\) है। समान ढालों के लिए \(k-8=5\), अतः \(k=13\)। इसलिए विकल्प D सही है। \(k-2\) नियत पद है, जो y-अवरोध बताता है; यह ढाल को प्रभावित नहीं करता। परीक्षा टिप: ढाल ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x\) के गुणांक को देखें। / In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope \(m\). The first line has slope \(k-8\), while the second has slope \(5\). For equal slopes, \(k-8=5\), so \(k=13\). Hence, option D is correct. The term \(k-2\) is a constant term that gives the y-intercept; it does not affect the slope. Exam tip: to identify the slope, look at the coefficient of \(x\).
रेखा के रूप \(y=ax+b\) में \(y\)-अवरोध स्थिर पद \(b\) होता है। पहली रेखा का \(y\)-अवरोध \(-8\) है और दूसरी रेखा का \(m-12\) है। समान अवरोध के लिए \(m-12=-8\), अतः \(m=4\)। \(m+2\) ढाल से जुड़ा है, इसलिए उसे अवरोधों की तुलना में नहीं लेना चाहिए। परीक्षा टिप: \(y\)-अवरोध ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। / In the form \(y=ax+b\), the \(y\)-intercept is the constant term \(b\). The first line has y-intercept \(-8\), while the second has y-intercept \(m-12\). For equal intercepts, \(m-12=-8\), so \(m=4\). The term \(m+2\) belongs to the slope, not the intercept. Exam tip: put \(x=0\) to find a y-intercept.
\(x=5\) में x का मान हर बिंदु पर 5 रहता है, इसलिए रेखा ऊर्ध्वाधर होती है। ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित है और यह y-अक्ष को नहीं काटती। परीक्षा टिप: \(x=\text{स्थिरांक}\) को ऊर्ध्वाधर रेखा पहचानें। / In \(x=5\), the x-coordinate remains 5 for every point, so the line is vertical. A vertical line has undefined slope and does not meet the y-axis. Exam tip: identify \(x=\text{constant}\) as a vertical line.
रेखा की ढाल \(\frac{7}{5}\) है, अर्थात \(x\) में \(5\) की वृद्धि करने पर \(y\) में \(7\) की वृद्धि होती है। इसलिए \(\Delta y=\frac{7}{5}\Delta x\)। \(\Delta y=28\) रखने पर \(28=\frac{7}{5}\Delta x\), अतः \(\Delta x=28\times\frac{5}{7}=20\)। इसलिए सही विकल्प 20 है। 25 लेने पर \(y\) में वृद्धि \(35\) होगी, 28 नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक समीकरण \(y=mx+c\) में परिवर्तन के लिए \(\Delta y=m\Delta x\) प्रयोग करें। / The slope is \(\frac{7}{5}\), so an increase of 5 in \(x\) produces an increase of 7 in \(y\). Hence, \(\Delta y=\frac{7}{5}\Delta x\). Putting \(\Delta y=28\), we get \(28=\frac{7}{5}\Delta x\), so \(\Delta x=28\times\frac{5}{7}=20\). Therefore, 20 is correct. If \(x\) increased by 25, \(y\) would increase by 35, not 28. Exam tip: For a linear equation \(y=mx+c\), use \(\Delta y=m\Delta x\) to compare changes.
B. रेखा घटती है और उसका y-अवरोध धनात्मक है/The line falls and its y-intercept is positive
Explanation
Simple Explanation
रेखा के रूप \(y=px+q\) में \(p\) ढाल तथा \(q\) y-अवरोध होता है। यहाँ \(p=-8<0\) है, इसलिए \(x\) बढ़ने पर \(y\) घटता है और रेखा नीचे की ओर जाती है। साथ ही \(q=11>0\) होने से रेखा y-अक्ष को धनात्मक बिंदु \((0,11)\) पर काटती है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि क्षैतिज रेखा की ढाल 0 होती है, जबकि यहाँ ढाल \(-8\) है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल का चिह्न रेखा की दिशा और \(c\) का चिह्न y-अवरोध की स्थिति बताता है। / In the form \(y=px+q\), \(p\) is the slope and \(q\) is the y-intercept. Here, \(p=-8<0\), so as \(x\) increases, \(y\) decreases and the line falls from left to right. Also, \(q=11>0\), so the line meets the y-axis at the positive point \((0,11)\). Therefore, option B is correct. Option C is incorrect because a horizontal line has slope 0, whereas the slope here is \(-8\). Exam tip: In \(y=mx+c\), the sign of \(m\) shows the direction of the line, while \(c\) gives the y-intercept.
\(y=-4\) में \(x\) का कोई पद नहीं है, इसलिए रेखा क्षैतिज है और उसकी ढाल 0 है। यह y-अक्ष को \(-4\) पर काटती है। \(x=-4\) ऊर्ध्वाधर रेखा है, जिसकी ढाल अपरिभाषित होती है। परीक्षा टिप: \(y=c\) हमेशा क्षैतिज रेखा दर्शाता है। / In \(y=-4\), there is no \(x\)-term, so the line is horizontal and its slope is 0. It meets the y-axis at \(-4\). In contrast, \(x=-4\) is a vertical line with undefined slope. Exam tip: any equation of the form \(y=c\) represents a horizontal line.
रेखा x = 5, y-अक्ष के समानांतर ऊर्ध्वाधर रेखा है। y-अवरोध जाँचने के लिए x = 0 रखते हैं, पर x = 5 में यह संभव नहीं है। अतः यह y-अक्ष को नहीं काटती। परीक्षा टिप: ऊर्ध्वाधर रेखा का y-अवरोध नहीं होता। / The line x = 5 is vertical and parallel to the y-axis. To check a y-intercept, put x = 0; this is impossible in x = 5, so it never meets the y-axis. Exam tip: a vertical line has no y-intercept.
रेखा का रूप y = mx + c होता है, जहाँ y-अवरोध स्थिर पद c होता है। यहाँ 4n - 5 = 23, अतः 4n = 28 और n = 7। इसलिए ढाल n - 7 = 7 - 7 = 0 है। विकल्प 1 ढाल नहीं है, क्योंकि n का मान 7 रखने पर x का गुणांक शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: y = mx + c में x का गुणांक हमेशा ढाल होता है। / A line in the form y = mx + c has y-intercept c. Here, 4n - 5 = 23, so 4n = 28 and n = 7. Therefore, the slope is n - 7 = 7 - 7 = 0. Option 1 is not correct because substituting n = 7 makes the coefficient of x equal to zero. Exam tip: In y = mx + c, the coefficient of x is always the slope.
रेखा का मानक रूप y = mx + c होता है, जहाँ x का गुणांक m ढाल होता है। यहाँ ढाल t - 10 है। अतः t - 10 = 5, इसलिए t = 15। अब y-अवरोध 3t - 1 = 3(15) - 1 = 44 होगा। 43 प्राप्त करने के लिए घटाव में त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले ढाल से पैरामीटर ज्ञात करें, फिर स्थिर पद में उसका मान रखें। / A line in the form y = mx + c has slope m, the coefficient of x. Here, the slope is t - 10. So, t - 10 = 5, giving t = 15. Therefore, the y-intercept is 3t - 1 = 3(15) - 1 = 44. Getting 43 would result from an arithmetic error in the final subtraction. Exam tip: first find the parameter using the slope, then substitute it into the constant term.
रेखा की ढाल \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{54}{6}=9\) है। y-अवरोध \(-14\) दिया है, इसलिए \(y=mx+c\) में \(m=9\) और \(c=-14\) रखने पर \(y=9x-14\) मिलता है। विकल्प \(y=54x-14\) में अवरोध सही है, पर उसकी ढाल 54 है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए हमेशा \(\Delta y/\Delta x\) लें। / The slope is \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{54}{6}=9\). The y-intercept is \(-14\), so substituting \(m=9\) and \(c=-14\) in \(y=mx+c\) gives \(y=9x-14\). Although \(y=54x-14\) has the correct intercept, its slope is 54, not 9. Exam tip: find the rate of change using \(\Delta y/\Delta x\).
जब \(x\) में \(7\) की वृद्धि पर \(y\), \(49\) घटता है, तो ढाल \(m=\frac{-49}{7}=-7\) होगी। दिया गया \(y\)-अवरोध \(18\) है, इसलिए रेखा का समीकरण \(y=mx+c\) में रखने पर \(y=-7x+18\) मिलता है। विकल्प C में ढाल \(-49\) है, जो \(x\) के 1 बढ़ने पर \(y\) में 49 की कमी बताती है। परीक्षा टिप: परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए हमेशा \(\Delta y/\Delta x\) लें। / When \(x\) increases by \(7\), \(y\) decreases by \(49\), so the slope is \(m=\frac{-49}{7}=-7\). The given \(y\)-intercept is \(18\). Substituting these in \(y=mx+c\) gives \(y=-7x+18\). Option C has slope \(-49\), which would mean that \(y\) decreases by 49 for every increase of 1 in \(x\). Exam tip: find slope using \(\Delta y/\Delta x\).
\(y\)-अक्ष के समानांतर रेखा ऊर्ध्वाधर होती है, इसलिए उसका रूप \(x=\text{स्थिरांक}\) होता है। बिंदु का \(x\)-निर्देशांक 3 है, अतः \(x=3\)। \(y=-2\) क्षैतिज रेखा है। परीक्षा टिप: ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित होती है। / A line parallel to the \(y\)-axis is vertical, so its equation has the form \(x=\text{constant}\). Since the point has \(x\)-coordinate 3, the line is \(x=3\). \(y=-2\) is horizontal. Exam tip: a vertical line has undefined slope.
रेखा का रूप y = mx + c होता है, जहाँ y-अवरोध c होता है। यहाँ y-अवरोध u + 6 है। अतः u + 6 = 16, इसलिए u = 10। अब ढाल 3u - 2 = 3(10) - 2 = 28 है। 26 विकल्प तब मिलता यदि घटाव की गणना गलत की जाए। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x = 0 रखें। / A line in the form y = mx + c has y-intercept c. Here, the y-intercept is u + 6. So, u + 6 = 16, giving u = 10. Therefore, the slope is 3u - 2 = 3(10) - 2 = 28. Option 26 can result from an incorrect subtraction. Exam tip: to find the y-intercept, put x = 0.
A. (y)-अवरोध (11), ढाल \(-\frac{5}{2}\)/(y)-intercept (11), slope \(-\frac{5}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
(4y=-10x+44) से \(y=-\frac{5}{2}x+11\) मिलता है। इसलिए (y)-अवरोध (11) और ढाल \(-\frac{5}{2}\) है। / From (4y=-10x+44), \(y=-\frac{5}{2}x+11\). So the (y)-intercept is (11) and slope is \(-\frac{5}{2}\).
रेखा y=mx+c में y-अवरोध c होता है, क्योंकि x=0 रखने पर y=c मिलता है। पहली रेखा का y-अवरोध b और दूसरी रेखा का 13 है। दोनों y-अक्ष को एक ही बिंदु पर काटती हैं, इसलिए b=13 होगा। 8 और −6 केवल ढाल हैं, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: y-अवरोध ज्ञात करने के लिए x=0 रखें। / In the form y=mx+c, the y-intercept is c because substituting x=0 gives y=c. The first line has y-intercept b, while the second has y-intercept 13. Since they meet the y-axis at the same point, b=13. The values 8 and −6 are slopes, not y-intercepts. Exam tip: put x=0 to find a y-intercept.
रेखा के रूप y = mx + c में x का गुणांक m ढाल होता है। दोनों रेखाओं की ढाल समान है, इसलिए a = 10 होगा। पहली रेखा में x = 3 रखने पर y = 10(3) - 12 = 18 मिलता है। 20 लेने पर घटाव में स्थिर पद -12 का सही उपयोग नहीं होता। परीक्षा टिप: समान ढाल वाली रेखाओं में x के गुणांकों की तुलना करें। / In the form y = mx + c, the coefficient of x, m, is the slope. Since the two lines have equal slopes, a = 10. Substituting x = 3 in the first line gives y = 10(3) - 12 = 18. The value 20 would not account correctly for the constant term -12. Exam tip: for lines with equal slopes, compare the coefficients of x.
रेखा का y-अवरोध वह y-मूल्य है जब x=0 होता है। इसलिए c=7। अब x=-3 रखने पर y=-11(-3)+7=33+7=40 मिलता है। 44 केवल 33 और 11 को गलत तरीके से जोड़ने पर आ सकता है। परीक्षा टिप: y-अवरोध से नियत पद c को सीधे पहचानें और ऋणात्मक संख्या के गुणन में चिन्ह पर विशेष ध्यान दें। / The y-intercept is the value of y when x=0, so c=7. Substituting x=-3 gives y=-11(-3)+7=33+7=40. The value 44 can result from incorrectly adding 11 to 33. Exam tip: identify the constant term from the y-intercept and carefully handle signs when multiplying negative numbers.
\(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। \(y=2x-5\) में \(m=2>0\) तथा \(c=-5<0\) है। \(y=-2x-5\) का अवरोध ऋणात्मक है, पर ढाल भी ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: ढाल के लिए x का गुणांक देखें। / In \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For \(y=2x-5\), \(m=2>0\) and \(c=-5<0\). Although \(y=-2x-5\) has a negative intercept, its slope is negative too. Exam tip: check the coefficient of x first.
A. रेखा बाएँ से दाएँ नीचे जाती है और y-अक्ष को 5 पर काटती है/The line falls from left to right and intersects the y-axis at 5
Explanation
Simple Explanation
\(y=mx+c\) में \(m=-3\) ऋणात्मक है, इसलिए रेखा बाएँ से दाएँ नीचे जाती है। \(c=5\) y-अवरोध है। परीक्षा टिप: ढाल के चिन्ह और स्थिर पद को अलग-अलग पहचानें। / In \(y=mx+c\), \(m=-3\) is negative, so the line falls from left to right. Also, \(c=5\) is the y-intercept. Exam tip: identify the sign of slope and the constant term separately.
ढाल-अवरोधन रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोधन होता है। \(y=2x-3\) में \(m=2\), \(c=-3\) हैं। विकल्प B की ढाल ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: पहले \(x\) का गुणांक और फिर स्थिर पद पहचानें। / In slope-intercept form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. For \(y=2x-3\), \(m=2\) and \(c=-3\). Option B has a negative slope. Exam tip: identify the coefficient of \(x\) and the constant term first.
रेखा के समीकरण में ढाल को \(m\) से दर्शाया जाता है। दिया है \(m+c=21\) तथा \(c=8\)। अतः \(m+8=21\), इसलिए \(m=21-8=13\)। इसलिए सही उत्तर 13 है। 8, \(c\) अर्थात y-अवरोध है, ढाल नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में ढाल हमेशा \(m\) होती है। / In the equation of a line, the slope is represented by \(m\). Given \(m+c=21\) and \(c=8\), we get \(m+8=21\). Hence, \(m=21-8=13\). Therefore, the correct answer is 13. Note that 8 is \(c\), the y-intercept, not the slope. Exam tip: in \(y=mx+c\), the coefficient \(m\) is always the slope.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) \(y\)-अवरोध होता है। दी गई ढाल से \(m=-7\) है। अतः \(m+c=5\) में रखने पर \(-7+c=5\), इसलिए \(c=12\) मिलता है। \(-12\) लेने पर चिह्न की त्रुटि होगी। परीक्षा टिप: \(c\) को अलग करने के लिए \(-7\) को दूसरे पक्ष में जोड़ें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the \(y\)-intercept. Given slope \(m=-7\), substitute it into \(m+c=5\): \(-7+c=5\). Hence, \(c=12\). Choosing \(-12\) would result from a sign error. Exam tip: add \(7\) to both sides to isolate \(c\).
दिए गए बिंदु के लिए \(x=12\) और \(y=19\) रखें: \(19=\frac{5}{6}\times 12+c\)। यहाँ \(\frac{5}{6}\times 12=10\), इसलिए \(19=10+c\) और \(c=9\)। विकल्प 10 ढाल वाले पद का मान है, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में बिंदु के दोनों निर्देशांक रखकर सीधे \(c\) ज्ञात करें। / For the given point, substitute \(x=12\) and \(y=19\): \(19=\frac{5}{6}\times 12+c\). Since \(\frac{5}{6}\times 12=10\), we get \(19=10+c\), so \(c=9\). Option 10 is the value of the slope term, not the y-intercept. Exam tip: in \(y=mx+c\), substitute both coordinates of the given point to find \(c\).
दिया गया समीकरण \(y=-3x+5\) है, इसलिए उसकी ढाल \(-3\) है। समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है। साथ ही, \(y=mx+c\) में \(c\), \(y\)-अवरोध होता है; यहाँ यह \(-2\) होना चाहिए। अतः अपेक्षित समीकरण \(y=-3x-2\) है। विकल्प C की ढाल सही है, लेकिन उसका \(y\)-अवरोध \(+2\) है। परीक्षा टिप: पहले ढाल मिलाइए, फिर स्थिर पद से \(y\)-अवरोध जाँचिए। / The given line \(y=-3x+5\) has slope \(-3\). Parallel lines must have the same slope. Also, in \(y=mx+c\), \(c\) is the y-intercept, which must be \(-2\) here. Therefore, the required equation is \(y=-3x-2\). Option C has the correct slope but its y-intercept is \(+2\). Exam tip: verify the slope first and then check the constant term for the y-intercept.
रेखा के रूप \,\(y=mx+c\) में \(y\)-अवरोध स्थिर पद \(c\) होता है। यहाँ \(a+4=13\), अतः \(a=9\)। इसलिए ढाल \(m=6a-5=6(9)-5=49\) है। 50 लेने पर \(6a-5\) में से 5 घटाने का चरण गलत हो जाएगा। परीक्षा टिप: पहले \(y\)-अवरोध से पैरामीटर ज्ञात करें, फिर उसे ढाल के गुणांक में रखें। / In the form \(y=mx+c\), the y-intercept is the constant term \(c\). Here, \(a+4=13\), so \(a=9\). Therefore, the slope is \(m=6a-5=6(9)-5=49\). Choosing 50 would result from incorrectly handling the subtraction of 5. Exam tip: first find the parameter using the y-intercept, then substitute it into the coefficient of \(x\).
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल होता है। इसलिए \(b-13=4\), जिससे \(b=17\) प्राप्त होता है। अब \(y\)-अवरोध स्थिर पद \(3b+1\) है: \(3(17)+1=52\)। अतः सही उत्तर 52 है। 51 केवल \(3b\) लेने पर मिलता है; उसमें \(+1\) छूट जाता है। परीक्षा टिप: पहले ढाल से पैरामीटर ज्ञात करें, फिर स्थिर पद में उसका मान रखें। / In the form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope. Thus, \(b-13=4\), giving \(b=17\). The \(y\)-intercept is the constant term \(3b+1\): \(3(17)+1=52\). Therefore, 52 is correct. The value 51 would result from using only \(3b\) and missing the \(+1\). Exam tip: first find the parameter from the slope, then substitute it into the constant term.
A. ढाल \(\frac{7}{8}\), (y)-अवरोध (3)/Slope \(\frac{7}{8}\), (y)-intercept (3)
Explanation
Simple Explanation
(-8y=-7x-24) से \(y=\frac{7}{8}x+3\) मिलता है। इसलिए ढाल \(\frac{7}{8}\) और (y)-अवरोध (3) है। / From (-8y=-7x-24), \(y=\frac{7}{8}x+3\). So the slope is \(\frac{7}{8}\) and the (y)-intercept is (3).
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(m\) ढाल और \(c\) y-अवरोध होता है। समान ढालों के लिए \(t+5=14\), अतः \(t=9\)। दूसरी रेखा का y-अवरोध \(2t-7\) है, इसलिए \(2(9)-7=11\)। विकल्प 9, \(t\) का मान है, y-अवरोध नहीं। परीक्षा टिप: पहले ढालों के गुणांक बराबर करके पैरामीटर ज्ञात करें, फिर स्थिर पद में उसका मान रखें। / In the form \(y=mx+c\), \(m\) is the slope and \(c\) is the y-intercept. Equal slopes give \(t+5=14\), so \(t=9\). The y-intercept of the second line is \(2t-7\); hence \(2(9)-7=11\). Option 9 is the value of \(t\), not the y-intercept. Exam tip: first equate the slope coefficients to find the parameter, then substitute it into the constant term.
रेखा के रूप \(y=mx+c\) में \(c\), \(y\)-अवरोध होता है। दोनों रेखाओं के \(y\)-अवरोध समान हैं, इसलिए \(v-9=8\)। अतः \(v=17\)। दूसरी रेखा \(y=(v+4)x+8\) की ढाल \(v+4=17+4=21\) है। 19 केवल \(v+2\) होता और सही ढाल नहीं है। परीक्षा टिप: \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल होता है। / In the form \(y=mx+c\), \(c\) is the \(y\)-intercept. Since the two lines have the same \(y\)-intercept, \(v-9=8\). Thus, \(v=17\). The slope of the second line \(y=(v+4)x+8\) is \(v+4=17+4=21\). The value 19 would be \(v+2\), not the required slope. Exam tip: in \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope.
रेखा की ढाल \(-\frac{7}{4}\) है। अतः \(x\) में प्रत्येक 4 इकाई की वृद्धि पर \(y\) 7 इकाई घटता है। \(y\) को 42 घटाने के लिए \(\frac{7}{4}\Delta x=42\) होगा। इसलिए \(\Delta x=42\times\frac{4}{7}=24\)। विकल्प 28 लेने पर \(y\) में कमी \(\frac{7}{4}\times 28=49\) होगी, 42 नहीं। परीक्षा टिप: परिवर्तन वाले प्रश्नों में स्थिर पद 18 को नहीं, केवल ढाल को उपयोग में लें। / The slope is \(-\frac{7}{4}\). Thus, when \(x\) increases by 4 units, \(y\) decreases by 7 units. For a decrease of 42 in \(y\), \(\frac{7}{4}\Delta x=42\). Hence \(\Delta x=42\times\frac{4}{7}=24\). If 28 were chosen, the decrease in \(y\) would be \(\frac{7}{4}\times 28=49\), not 42. Exam tip: In change-based questions, use the slope; the constant term 18 does not affect the change.
एक टैक्सी का किराया मॉडल
\(T=12.5d+80\) से दिया गया है, जहाँ \(d\) यात्रा की दूरी (किमी में) और \(T\) कुल किराया (रुपयों में) है। एक विद्यार्थी ढाल और y-अवरोध की व्याख्या करता है। निम्न में से कौन-सी व्याख्या सही है?
A. आरंभिक शुल्क ₹80 है और प्रत्येक अतिरिक्त किमी के लिए किराया ₹12.5 बढ़ता है।/The initial charge is ₹80, and the fare increases by ₹12.5 for each additional kilometre.
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Simple Explanation
\(d=0\) पर \(T=80\), इसलिए y-अवरोध ₹80 का स्थिर आरंभिक शुल्क है। \(d\) में 1 किमी वृद्धि पर किराया ₹12.5 बढ़ता है; यही ढाल है। ₹12.5 को अवरोध मानना गुणांक और स्थिर पद का भ्रम है। टिप: अवरोध के लिए इनपुट को शून्य रखें। / At \(d=0\), \(T=80\), so ₹80 is the y-intercept or fixed initial fee. Increasing \(d\) by 1 km adds ₹12.5, so it is the slope. Treating ₹12.5 as the intercept confuses the coefficient with the constant. Exam tip: set the input to zero to find the intercept.
दिया है कि \(c=-15\) और \(m-c=26\)। \(c\) का मान रखने पर \(m-(-15)=26\), अर्थात \(m+15=26\)। इसलिए \(m=11\) है। अतः ढाल 11 होगी। विकल्प 10 लेने पर \(10-(-15)=25\) मिलता है, जो दी गई शर्त 26 को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या को घटाने पर उसे जोड़ते हैं। / Given \(c=-15\) and \(m-c=26\). Substituting \(c\) gives \(m-(-15)=26\), so \(m+15=26\). Hence, \(m=11\), and the slope is 11. For example, 10 is not correct because \(10-(-15)=25\), not 26. Exam tip: subtracting a negative number is the same as adding it.
रेखा के रूप
\(y=mx+c\) में \(c\), \(y\)-अवरोध का मान होता है। \(m=-5\) को \(3c+m=31\) में रखने पर \(3c-5=31\) मिलता है। अतः \(3c=36\), इसलिए \(c=12\)। इसलिए \(y\)-अवरोध 12 है। 11 चुनना गलत होगा, क्योंकि वह समीकरण \(3c-5=31\) को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: पहले \(m\) का मान दिए गए संबंध में रखकर \(c\) ज्ञात करें। / In the line form \(y=mx+c\), \(c\) is the value of the \(y\)-intercept. Substituting \(m=-5\) into \(3c+m=31\) gives \(3c-5=31\). Hence, \(3c=36\), so \(c=12\). Therefore, the \(y\)-intercept is 12. Choosing 11 would be incorrect because it does not satisfy \(3c-5=31\). Exam tip: substitute the given value of \(m\) into the relation first, then solve for \(c\).
