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कोष्ठक हटाने पर \(3(x+2)=3x+6\) प्राप्त होता है। अतः \(3x+6-2x=(3x-2x)+6=x+6\)। इसलिए सही बहुपद \(x+6\) है। \(3x+6\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि उसमें \(-2x\) को घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: पहले वितरण गुण से कोष्ठक हटाइए, फिर समान पदों को मिलाइए। / On expanding the bracket, \(3(x+2)=3x+6\). Therefore, \(3x+6-2x=(3x-2x)+6=x+6\). Hence, \(x+6\) is the correct polynomial. \(3x+6\) is a close distractor because it ignores the subtraction of \(2x\). Exam tip: expand brackets first, then combine like terms.
रेखीय बहुपद में \(x\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ \(x\) का गुणांक \(a-3\) है। \(a=3\) रखने पर \(a-3=0\) हो जाता है और व्यंजक \(8\) बन जाता है, जो एक अचर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। उदाहरण के लिए, \(a=0\) पर गुणांक \(-3\) रहता है, इसलिए वह रेखीय है। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद में चर की उच्चतम घात 1 तथा उसका गुणांक अशून्य होना चाहिए। / For a polynomial to be linear, the coefficient of \(x\) must be non-zero. Here, the coefficient of \(x\) is \(a-3\). On putting \(a=3\), we get \(a-3=0\), so the expression becomes \(8\), a constant polynomial rather than a linear polynomial. For example, when \(a=0\), the coefficient is \(-3\), so it is still linear. Exam tip: in a linear polynomial, the highest power of the variable is 1 and its coefficient must not be zero.
बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए उसे 0 के बराबर रखते हैं: \(5x+20=0\)। अतः \(5x=-20\), इसलिए \(x=-4\)। \(x=4\) रखने पर \(5(4)+20=40\) मिलता है, जो 0 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / To find a zero, set the polynomial equal to 0: \(5x+20=0\). Thus, \(5x=-20\), so \(x=-4\). Substituting \(x=4\) gives \(5(4)+20=40\), not 0. Exam tip: the zero of a linear polynomial \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
दिया है कि \(p(x)=7x-9\)। अतः \(p(2)=7\times2-9=5\) और \(p(1)=7\times1-9=-2\)। इसलिए \(p(2)-p(1)=5-(-2)=7\) होगा। विकल्प 9 केवल स्थिर पद की संख्या है, अंतर का मान नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद में मान रखने के बाद ऋणात्मक संख्या घटाते समय चिन्हों पर विशेष ध्यान दें। / Given \(p(x)=7x-9\), \(p(2)=7\times2-9=5\) and \(p(1)=7\times1-9=-2\). Hence, \(p(2)-p(1)=5-(-2)=7\). Option 9 is only the constant term’s number, not the required difference. Exam tip: After substituting values in a polynomial, handle subtraction of a negative number carefully.
विकल्प A में \(x^2-x^2=0\) होने पर व्यंजक \(x+4\) बनता है। इसकी घात 1 है, इसलिए यह रेखीय बहुपद है। विकल्प B की घात 2 है, अतः वह द्विघात बहुपद है; जबकि \(7\) एक अचर बहुपद है। परीक्षा में समान घात वाले पदों को पहले मिलाकर बहुपद की सबसे बड़ी घात पहचानें। / In option A, \(x^2-x^2=0\), so the expression simplifies to \(x+4\). Its degree is 1, so it is a linear polynomial. Option B has degree 2 and is therefore quadratic, while \(7\) is a constant polynomial. In exams, first combine like terms and then identify the highest power of the variable.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो। अतः x=2 रखने पर p(2)=2m+6=0 प्राप्त होता है। इसलिए 2m=-6 और m=-3। विकल्प -6 तब मिलता यदि 2 से भाग न दिया जाए। परीक्षा टिप: शून्यक दिए होने पर उसे x के स्थान पर रखकर p(x)=0 करें। / A zero of a polynomial is a value of x for which the polynomial equals 0. Substituting x=2 gives p(2)=2m+6=0. Hence, 2m=-6 and m=-3. The option -6 results if one forgets to divide by 2. Exam tip: when a zero is given, substitute it for x and set p(x)=0.
रेखीय बहुपद का शून्यक पाने के लिए \(ax+b=0\) रखते हैं। अतः \(ax=-b\), इसलिए \(x=-\frac{b}{a}\), जहाँ \(a\ne0\) होना आवश्यक है। \(\frac{b}{a}\) में ऋण चिह्न नहीं है, इसलिए वह सही शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक जाँचने के लिए प्राप्त मान को \(ax+b\) में रखकर परिणाम 0 होना चाहिए। / To find the zero of a linear polynomial, set \(ax+b=0\). Then \(ax=-b\), so \(x=-\frac{b}{a}\), where \(a\ne0\) is necessary. The expression \(\frac{b}{a}\) misses the negative sign, so it is not the correct zero. Exam tip: Substitute the obtained value in \(ax+b\); it must give 0.
यहाँ p(x)+q(x)=(2x-3)+(4x+5)=6x+2 है। इस बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है। विकल्प 6, x का गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए सरल करने के बाद चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Here, p(x)+q(x)=(2x-3)+(4x+5)=6x+2. The highest power of x in this polynomial is 1, so its degree is 1. Option 6 is the coefficient of x, not the degree. Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the highest exponent of the variable.
घटाने पर, \(p(x)-q(x)=(4x+1)-(4x-7)=4x+1-4x+7=8\)। यहाँ \(x\) वाले पद कट जाते हैं और केवल अशून्य नियतांक 8 बचता है, इसलिए यह नियतांक बहुपद है। रेखीय बहुपद में \(x\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों को घटाते समय दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलें। / On subtracting, \(p(x)-q(x)=(4x+1)-(4x-7)=4x+1-4x+7=8\). The \(x\)-terms cancel, leaving the non-zero constant 8, so the result is a constant polynomial. A linear polynomial must have a non-zero coefficient of \(x\), which is absent here. Exam tip: While subtracting polynomials, change the sign of every term in the second bracket.
यदि \(x=1\), बहुपद \(((k+5)x-11)\) का शून्यक है, तो \((k+5)(1)-11=0\) होगा। अतः \(k+5-11=0\), इसलिए \(k=6\)। \(k=-5\) रखने पर \(x\) का गुणांक शून्य हो जाता है और व्यंजक \(-11\) बनता है, जिसका कोई शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: दिए गए शून्यक को बहुपद में रखकर उसका मान शून्य करें। / If \(x=1\) is a zero of \(((k+5)x-11)\), then \((k+5)(1)-11=0\). Thus, \(k+5-11=0\), so \(k=6\). For \(k=-5\), the coefficient of \(x\) becomes zero and the expression is \(-11\), which has no zero. Exam tip: substitute the given zero into the polynomial and equate the result to zero.
विकल्प B में समान पदों को मिलाने पर \(8x-5x-2=(8-5)x-2=3x-2\) प्राप्त होता है। विकल्प A में स्थिर पद \(+2\) है, इसलिए वह \(3x+2\) बनेगा, \(3x-2\) नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(x\) वाले समान पदों के गुणांकों को जोड़ें या घटाएँ, फिर स्थिर पद का चिन्ह ध्यान से देखें। / In option B, combining like terms gives \(8x-5x-2=(8-5)x-2=3x-2\). In option A, the constant term is \(+2\), so it simplifies to \(3x+2\), not \(3x-2\). Exam tip: First combine the coefficients of like \(x\)-terms, then check the sign of the constant term carefully.
यहाँ x के स्थान पर -2 रखने पर \,\(p(-2)=3(-2)+2=-6+2=-4\) मिलता है। अतः सही उत्तर -4 है। -8 तब मिलता है जब स्थिर पद +2 को गलत ढंग से घटा दिया जाए। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या का गुणन पहले करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substituting -2 for x gives \(p(-2)=3(-2)+2=-6+2=-4\). Therefore, the correct answer is -4. The value -8 results from incorrectly treating the constant term +2 as a subtraction. In exams, multiply the negative number first and then perform addition or subtraction.
व्यंजक
\(-4x-3\) में \(x\) का गुणांक \(-4\) है और नियतांक पद \(-3\) है। इसलिए दोनों पद ऋणात्मक हैं। विकल्प B में \(x\) का गुणांक ऋणात्मक है, लेकिन नियतांक पद \(+3\) धनात्मक है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) में \(x\) का गुणांक \(a\) और नियतांक पद \(b\) होता है। / In \(-4x-3\), the coefficient of \(x\) is \(-4\) and the constant term is \(-3\). Hence, both are negative. In option B, the coefficient of \(x\) is negative, but the constant term \(+3\) is positive. Exam tip: In a linear polynomial \(ax+b\), \(a\) is the coefficient of \(x\) and \(b\) is the constant term.
दिया है कि p(5)=0। अतः x के स्थान पर 5 रखने पर 5a-10=0 प्राप्त होता है। इसलिए 5a=10 और a=2। विकल्प 5 तब मिलता यदि 5a=25 होता, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा में बहुपद का मान निकालते समय दिए गए x के मान को प्रत्येक x के स्थान पर सावधानी से रखें। / Given p(5)=0, substitute x=5 in the polynomial: 5a-10=0. Thus, 5a=10 and a=2. The value 5 would be obtained only if 5a=25, which is not the case here. Exam tip: while evaluating a polynomial, substitute the given value for every occurrence of x carefully.
\(x=3\) रखने पर \(x-3=3-3=0\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x-3\) का शून्यक 3 है और यही सही रेखीय बहुपद है। जबकि \(x+3\) में \(x=3\) रखने पर 6 मिलता है, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक जाँचने के लिए दिए गए \(x\) का मान बहुपद में रखकर देखें कि परिणाम 0 आता है या नहीं। / On substituting \(x=3\), we get \(x-3=3-3=0\). Hence, 3 is a zero of \(x-3\), so it is the correct linear polynomial. In contrast, \(x+3\) gives 6 at \(x=3\), not zero. Exam tip: To check whether a number is a zero of a polynomial, substitute it and verify that the value is 0.
वितरण गुण का प्रयोग करने पर \(2(x-4)=2x-8\) मिलता है। अतः \(2x-8+5x=(2x+5x)-8=7x-8\)। विकल्प \(7x+8\) में \(-4\) को 2 से गुणा करते समय ऋण चिह्न की गलती हुई है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय बाहर की संख्या को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। / Using the distributive property, \(2(x-4)=2x-8\). Therefore, \(2x-8+5x=(2x+5x)-8=7x-8\). The option \(7x+8\) results from incorrectly handling the negative sign when multiplying 2 by \(-4\). Exam tip: when opening brackets, multiply the outside number by every term inside the bracket.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है, जिसके लिए उसका मान 0 हो जाए। यहाँ \(6-2x=0\) रखने पर \(2x=6\), अतः \(x=3\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 3 है। \(x=2\) रखने पर \(p(2)=2\) आता है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक ज्ञात करने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) लिखकर \(x\) हल करें। / A zero of a polynomial is a value of \(x\) for which the polynomial becomes 0. Here, \(6-2x=0\) gives \(2x=6\), so \(x=3\). Therefore, 3 is the correct answer. If \(x=2\), then \(p(2)=2\), so it is not a zero. Exam tip: To find a zero, set \(p(x)=0\) and solve for \(x\).
\(p(0)\) ज्ञात करने के लिए \(x=0\) रखें। \(p(x)=x+5\) के लिए \(p(0)=0+5=5\) मिलता है और इसकी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(p(x)=5\) में \(p(0)=5\) तो है, लेकिन वह अचर बहुपद है, रैखिक नहीं। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है। / To find \(p(0)\), substitute \(x=0\). For \(p(x)=x+5\), \(p(0)=0+5=5\), and its degree is 1, so it is a linear polynomial. Although \(p(x)=5\) also gives \(p(0)=5\), it is a constant polynomial, not a linear one. Exam tip: a linear polynomial has highest power 1.
दिया है \(p(x)=5x-2\)। इसलिए \(p(t)=5t-2\) होगा। अब \(5t-2=18\) रखने पर \(5t=20\), अतः \(t=4\) मिलता है। विकल्प 3 रखने पर \(p(3)=13\) होता है, 18 नहीं। परीक्षा टिप: \(p(t)\) में \(x\) के स्थान पर सीधे \(t\) लिखकर मान ज्ञात करें। / Given \(p(x)=5x-2\), we get \(p(t)=5t-2\). Substituting \(p(t)=18\) gives \(5t-2=18\), so \(5t=20\) and hence \(t=4\). For example, \(p(3)=13\), not 18. Exam tip: To find \(p(t)\), directly replace \(x\) with \(t\).
विकल्प C में बहुपद \(x+4\) है, जिसका शून्यक \(x+4=0\) से \(x=-4\) मिलता है। \(-4\) धनात्मक नहीं है, इसलिए C सही है। इसके विपरीत, \(x-5\) का शून्यक \(5\) है, जो धनात्मक है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / In option C, the polynomial is \(x+4\). From \(x+4=0\), its zero is \(x=-4\). Since \(-4\) is not positive, C is correct. In contrast, the zero of \(x-5\) is \(5\), which is positive. Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाता है। अतः \(p(-3)=0\) होगा। इसलिए \(2(-3)+a=0\Rightarrow -6+a=0\Rightarrow a=6\)। \(-6\) लेने पर \(2(-3)-6=-12\) मिलता है, जो 0 नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक दिया हो तो उसे \(x\) के स्थान पर रखकर बहुपद को 0 के बराबर करें। / A zero of a polynomial is a value for which the polynomial becomes 0. Hence, \(p(-3)=0\). So, \(2(-3)+a=0\Rightarrow -6+a=0\Rightarrow a=6\). If \(a=-6\), then \(2(-3)-6=-12\), not 0. Exam tip: Substitute the given zero for \(x\) and set the polynomial equal to 0.
रेखीय बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाए। \(x=\frac{3}{2}\) रखने पर \(2x-3=2\left(\frac{3}{2}\right)-3=0\), इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C, \(3x-2\), का शून्यक \(\frac{2}{3}\) है, \(\frac{3}{2}\) नहीं। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero of a linear polynomial is a value of x that makes the polynomial equal to 0. On substituting \(x=\frac{3}{2}\), \(2x-3=2\left(\frac{3}{2}\right)-3=0\); hence option B is correct. Option C, \(3x-2\), has zero \(\frac{2}{3}\), not \(\frac{3}{2}\). Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
A. यह x में रैखिक बहुपद है; x का गुणांक 3 और अचर पद 25 है।/It is a linear polynomial in x; the coefficient of x is 3 and the constant term is 25.
Explanation
Simple Explanation
\(C(x)=3x+25\) में x की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। 3, x का गुणांक और 25 अचर पद है। द्विघात के लिए \(x^2\) होना चाहिए। परीक्षा टिप: बहुपद की घात सबसे बड़ी चर-घात से पहचानें। / In \(C(x)=3x+25\), the highest power of x is 1, so it is a linear polynomial. Here 3 is the coefficient of x and 25 is the constant term. A quadratic needs an \(x^2\) term. Exam tip: use the highest variable power to find the degree.
शून्यक \(-2\) होने का अर्थ है कि \(x=-2\) रखने पर बहुपद का मान शून्य होगा। अतः \(3(-2)+b=0\), अर्थात \(-6+b=0\)। इसलिए \(b=6\)। \(-6\) लेने पर बहुपद का मान \(-12\) होगा, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक दिया हो, तो उस मान को \(x\) के स्थान पर रखकर व्यंजक को शून्य के बराबर करें। / Since \(-2\) is a zero, the value of the polynomial must be zero when \(x=-2\). Thus, \(3(-2)+b=0\), so \(-6+b=0\). Therefore, \(b=6\). If \(b=-6\), the polynomial value would be \(-12\), not zero. Exam tip: When a zero is given, substitute it for \(x\) and equate the polynomial to zero.
विकल्प A में समान पदों को मिलाने पर \(3x-3x=0\) और \(2-2=0\) मिलता है। अतः इसका सरल रूप \(0\) है, जो शून्य बहुपद है। विकल्प B का सरल रूप \(x+2\) है, इसलिए वह शून्य बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को शून्य बहुपद मानने से पहले चर वाले और अचर दोनों पदों का पूरा निरसन जाँचें। / In option A, combining like terms gives \(3x-3x=0\) and \(2-2=0\). Therefore, its simplified form is \(0\), which is the zero polynomial. Option B simplifies to \(x+2\), so it is not a zero polynomial. Exam tip: Before identifying a zero polynomial, check that both the variable terms and constant terms cancel completely.
\(x=4\) रखने पर \(p(4)=\frac{1}{2}\times 4+3=2+3=5\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 5 है। विकल्प 4 तब मिल सकता है जब \(\frac{1}{2}\times4\) का मान गलत निकाला जाए या 3 को न जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: बहुपद का मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखकर पहले गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substituting \(x=4\), we get \(p(4)=\frac{1}{2}\times 4+3=2+3=5\). Hence, 5 is the correct option. Option 4 may result from incorrectly evaluating \(\frac{1}{2}\times4\) or from not adding 3. Exam tip: To find the value of a polynomial, substitute the given number for the variable, then perform multiplication before addition or subtraction.
व्यंजक \((2a+1)x-4\) रेखीय होने के लिए \(x\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। रेखीय न रहने की स्थिति में \(2a+1=0\) होगा। अतः \(a=-\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है और व्यंजक \(-4\) बन जाता है, जो एक अचर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। \(a=0\) रखने पर गुणांक 1 रहता है, इसलिए वह रेखीय ही है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले रेखीय बहुपद में चर के गुणांक को शून्य के बराबर रखकर आवश्यक मान ज्ञात करें। / For \((2a+1)x-4\) to be a linear polynomial, the coefficient of \(x\) must not be zero. It will cease to be linear when \(2a+1=0\). Hence, \(a=-\frac{1}{2}\), and the expression becomes \(-4\), a constant polynomial rather than a linear polynomial. For example, at \(a=0\), the coefficient of \(x\) is 1, so it is still linear. Exam tip: In a parameter-based linear polynomial, set the coefficient of the variable equal to zero to find when it is not linear.
दिया है \(p(x)=10x-15\) और \(p(x)=5\)। अतः \(10x-15=5\)। दोनों पक्षों में 15 जोड़ने पर \(10x=20\), इसलिए \(x=2\)। \(x=1\) रखने पर \(p(1)=-5\) मिलता है, 5 नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद का दिया हुआ मान पाने के लिए \(p(x)\) को उस मान के बराबर रखकर समीकरण हल करें। / Given \(p(x)=10x-15\) and \(p(x)=5\), we get \(10x-15=5\). Adding 15 to both sides gives \(10x=20\), so \(x=2\). If \(x=1\), then \(p(1)=-5\), not 5. Exam tip: To find the input for a given polynomial value, equate \(p(x)\) to that value and solve the resulting equation.
रेखीय बहुपद \(ax+b\) में \(x=0\) रखने पर मान \(b\), अर्थात नियतांक पद, होता है। \(2x-7\) के लिए \(x=0\) रखने पर \(2(0)-7=-7\) प्राप्त होता है। \(7x-2\) का मान \(-2\) आता है, इसलिए वह निकट दिखने पर भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(x=0\) पर बहुपद का मान तुरंत उसके नियतांक पद से पहचानें। / For a linear polynomial \(ax+b\), putting \(x=0\) gives \(b\), the constant term. For \(2x-7\), \(2(0)-7=-7\). Although \(7x-2\) has a negative constant term, its value at zero is \(-2\), not \(-7\). Exam tip: At \(x=0\), identify the polynomial’s value directly from its constant term.
दिया है p(x)=4x+c। x=2 रखने पर p(2)=4(2)+c=8+c होता है। क्योंकि p(2)=11 है, इसलिए 8+c=11, अतः c=3। विकल्प 4 तब मिलता यदि 4x का मान गलती से 7 लिया जाता। परीक्षा टिप: बहुपद का मान निकालते समय पहले x का मान सही ढंग से प्रतिस्थापित करें, फिर समीकरण हल करें। / Given p(x)=4x+c, substitute x=2: p(2)=4(2)+c=8+c. Since p(2)=11, we get 8+c=11, so c=3. Option 4 could result from incorrectly evaluating 4x. Exam tip: substitute the given value of x carefully before solving for the unknown constant.
C. \(0x+5\) की डिग्री 1 है/The degree of \(0x+5\) is 1.
Explanation
Simple Explanation
\(0x+5\) में \(0x=0\) होता है, इसलिए यह बहुपद सरल होकर \(5\) बन जाता है। \(5\) एक अशून्य अचर बहुपद है, जिसकी डिग्री 0 होती है; अतः इसकी डिग्री 1 बताना गलत है। अन्य तीन बहुपदों में \(x\) का गुणांक अशून्य है, इसलिए उनकी डिग्री 1 है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटाकर बहुपद को सरल करें। / In \(0x+5\), \(0x=0\), so the polynomial simplifies to \(5\). Since \(5\) is a non-zero constant polynomial, its degree is 0; therefore, stating its degree as 1 is incorrect. In the other three polynomials, the coefficient of \(x\) is non-zero, so each has degree 1. Exam tip: simplify a polynomial by removing zero-coefficient terms before finding its degree.
दिया है \(p(x)=x+a\) और \(p(-5)=0\)। अतः \(-5+a=0\), इसलिए \(a=5\)। विकल्प \(-5\) लेने पर \(p(-5)=-10\) होगा, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक दिया हो, तो उस मान को \(x\) के स्थान पर रखकर समीकरण हल करें। / Given \(p(x)=x+a\) and \(p(-5)=0\), substituting \(x=-5\) gives \(-5+a=0\). Hence, \(a=5\). If \(a=-5\), then \(p(-5)=-10\), not zero. Exam tip: when a zero of a polynomial is given, substitute that value of \(x\) and solve the resulting equation.
\(5x\) एक रेखीय बहुपद है, क्योंकि इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है। इसका शून्यक ज्ञात करने के लिए \(5x=0\) रखें; इससे \(x=0\) मिलता है। \(x^2\) का शून्यक भी 0 है, लेकिन उसकी घात 2 होने से वह द्विघात बहुपद है, रेखीय नहीं। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद की घात हमेशा 1 होती है। / \(5x\) is a linear polynomial because the highest power of \(x\) is 1. To find its zero, set \(5x=0\); this gives \(x=0\). Although \(x^2\) also has zero 0, it is a quadratic polynomial because its degree is 2, not linear. Exam tip: a linear polynomial always has degree 1.
दिया है p(x)=2x-1। अतः p(3)=2(3)-1=5 तथा p(-1)=2(-1)-1=-3। इसलिए p(3)+p(-1)=5+(-3)=2। विकल्प 1 तब मिल सकता है जब ऋणात्मक संख्या जोड़ते समय गलती से घटाव किया जाए। परीक्षा टिप: प्रत्येक मान को बहुपद में अलग-अलग रखकर पहले p(3) और p(-1) ज्ञात करें। / Given p(x)=2x-1, p(3)=2(3)-1=5 and p(-1)=2(-1)-1=-3. Hence, p(3)+p(-1)=5+(-3)=2. Option 1 may result from an incorrect operation with the negative value. Exam tip: Substitute each input separately and find p(3) and p(-1) before adding them.
बहुपद 3x+6 में x का गुणांक 3 है। इसका शून्यक ज्ञात करने के लिए 3x+6=0 रखें: 3x=-6, अतः x=-2। इसलिए सही विकल्प 3x+6 है। 3x-6 का शून्यक 2 होता है, -2 नहीं। परीक्षा टिप: ax+b का शून्यक -b/a होता है। / In the polynomial 3x+6, the coefficient of x is 3. To find its zero, set 3x+6=0: 3x=-6, so x=-2. Therefore, 3x+6 is the correct option. The zero of 3x-6 is 2, not -2. Exam tip: the zero of ax+b is -b/a.
B. कथन गलत है, क्योंकि \(x\) की उच्चतम घात 1 है और उसका गुणांक \(-3\) शून्य नहीं है।/The statement is incorrect, because the highest power of \(x\) is 1 and its coefficient \(-3\) is non-zero.
Explanation
Simple Explanation
\(5-3x\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है और \(x\) का गुणांक \(-3\neq0\) है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। ऋणात्मक गुणांक मान्य है। परीक्षा टिप: घात जाँचें, गुणांक का चिह्न नहीं। / In \(5-3x\), the highest power of \(x\) is 1 and the coefficient \(-3\neq0\), so it is a linear polynomial. A negative coefficient is allowed. Exam tip: check the degree, not the sign of the coefficient.
विकल्प B में \((3x+4)+(-3x+5)=3x-3x+4+5=9\) होता है। \(x\) वाले पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, इसलिए योग नियतांक बहुपद \(9\) है। विकल्प C में नियतांक पद निरस्त होते हैं, लेकिन योग \(2x\) रहता है, जो रेखीय बहुपद है। परीक्षा टिप: नियतांक योग पाने के लिए दोनों बहुपदों के \(x\) के गुणांक विपरीत होने चाहिए। / In option B, \((3x+4)+(-3x+5)=3x-3x+4+5=9\). The \(x\)-terms cancel each other, so the sum is the constant polynomial \(9\). In option C, the constant terms cancel, but the sum is \(2x\), which is a linear polynomial. Exam tip: for the sum to be a constant, the coefficients of \(x\) in the two polynomials must be opposites.
दिया है, \(p(x)=3x+4\)। अतः \(p(x)-4=(3x+4)-4=3x\)। बहुपद \(3x\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है। विकल्प 0 तब होता जब परिणाम केवल कोई अशून्य नियतांक होता। परीक्षा टिप: पहले व्यंजक को सरल करें, फिर बचे हुए बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Given \(p(x)=3x+4\), we get \(p(x)-4=(3x+4)-4=3x\). The highest power of \(x\) in \(3x\) is 1, so its degree is 1. Option 0 would apply only if the result were a non-zero constant. Exam tip: simplify the expression first, then identify the highest exponent of the variable.
दिया है p(x)=2x+7। अतः p(x)-2x=(2x+7)-2x=7। इसमें x का कोई पद नहीं है और इसका मान शून्य नहीं है, इसलिए यह अशून्य नियतांक बहुपद है। शून्य बहुपद केवल 0 होता है, जबकि यहाँ प्राप्त बहुपद 7 है। परीक्षा टिप: पदों को घटाने के बाद x की सबसे बड़ी घात देखकर बहुपद का प्रकार पहचानें। / Given p(x)=2x+7, p(x)-2x=(2x+7)-2x=7. There is no term containing x, and the value is non-zero, so it is a non-zero constant polynomial. A zero polynomial is only 0, whereas the resulting polynomial here is 7. Exam tip: After simplifying, identify the polynomial type from the highest power of x present.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान है जिसे रखने पर बहुपद का मान 0 हो जाता है। \(3x+5\) में \(x=-\frac{5}{3}\) रखने पर \(3\left(-\frac{5}{3}\right)+5=-5+5=0\) मिलता है। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A का शून्यक \(\frac{5}{3}\) है, क्योंकि उसमें स्थिर पद का चिन्ह ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero of a polynomial is a value that makes the polynomial equal to 0. Substituting \(x=-\frac{5}{3}\) in \(3x+5\) gives \(3\left(-\frac{5}{3}\right)+5=-5+5=0\). Hence, option C is correct. Option A has zero \(\frac{5}{3}\), since its constant term has a negative sign. Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
दिया है कि \(p(x)=9-4x\)। \(x=2\) रखने पर \(p(2)=9-4(2)=9-8=1\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 1 है। 5 तब मिलता यदि \(x=1\) रखा जाता, \(x=2\) रखने पर नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद का मान निकालते समय दिए गए \(x\)-मान को हर \(x\) के स्थान पर रखकर पहले गुणा करें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Given \(p(x)=9-4x\). Substituting \(x=2\), we get \(p(2)=9-4(2)=9-8=1\). Hence, the correct answer is 1. The value 5 would be obtained for \(x=1\), not for \(x=2\). Exam tip: To find the value of a polynomial, substitute the given value for every \(x\), then perform multiplication before addition or subtraction.
विकल्प B में \(7x-7x+3=(7-7)x+3=3\) होता है। अतः \(x\) का गुणांक \(0\) है। विकल्प A में गुणांक \(2\) और विकल्प C में \(3\) बचता है। परीक्षा टिप: समान पदों को मिलाते समय \(x\) वाले पदों के गुणांकों को जोड़ें या घटाएँ। / In option B, \(7x-7x+3=(7-7)x+3=3\). Therefore, the coefficient of \(x\) is \(0\). In option A the coefficient is \(2\), and in option C it is \(3\). Exam tip: while combining like terms, add or subtract the coefficients of the \(x\)-terms.
दिया है \(p(x)=x-4\) और \(q(x)=2x+1\)। अतः \(2p(x)+q(x)=2(x-4)+(2x+1)=2x-8+2x+1=4x-7\)। इसलिए सही उत्तर \(4x-7\) है। \(3x-7\) तब मिल सकता है जब \(2p(x)\) में \(2x\) पद को गलत तरीके से जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक बहुपद में दिए गए गुणांक का गुणा करें, फिर समान पदों को मिलाएँ। / Given \(p(x)=x-4\) and \(q(x)=2x+1\), \(2p(x)+q(x)=2(x-4)+(2x+1)=2x-8+2x+1=4x-7\). Hence, \(4x-7\) is correct. The option \(3x-7\) may result from incorrectly combining the \(x\)-terms in \(2p(x)\). Exam tip: Multiply each polynomial by its coefficient first, then combine like terms.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो। \(p(x)=3x-6=0\) रखने पर \(3x=6\), इसलिए \(x=2\) मिलता है। \(x=1\) रखने पर मान \(-3\) आता है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक ज्ञात करने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) हल करें। / A zero of a polynomial is a value of \(x\) for which the polynomial equals 0. Setting \(p(x)=3x-6=0\) gives \(3x=6\), so \(x=2\). For example, substituting \(x=1\) gives \(-3\), so it is not a zero. Exam tip: To find a zero, always solve \(p(x)=0\).
दो व्यंजकों का अंतर लिखते समय पहले दिए गए व्यंजक में से दूसरे व्यंजक को घटाते हैं: \((2x+5)-(x-1)\)। कोष्ठक हटाने पर \(2x+5-x+1=x+6\) प्राप्त होता है। विकल्प B में घटाने का क्रम उलटने पर \(-x-6\) मिलता है। परीक्षा टिप: ऋण चिह्न के बाद कोष्ठक हटाते समय भीतर के सभी चिह्न बदलें। / To find the difference, subtract the second expression from the first: \((2x+5)-(x-1)\). On removing the bracket, \(2x+5-x+1=x+6\). In option B, the order of subtraction is reversed, so it gives \(-x-6\). Exam tip: when removing brackets preceded by a minus sign, change every sign inside the bracket.
A. रिया गलत है; \(5-2x\) रैखिक बहुपद है क्योंकि \(x\) की उच्चतम घात 1 है।/Riya is incorrect; \(5-2x\) is a linear polynomial because the highest power of \(x\) is 1.
Explanation
Simple Explanation
रिया की बात गलत है। बहुपद की घात उसके चर की उच्चतम घात से तय होती है: \(5-2x= -2x+5\) में \(x\) की घात 1 है, इसलिए यह रैखिक है। ऋणात्मक गुणांक घात नहीं बदलता। परीक्षा टिप: पदों की संख्या नहीं, उच्चतम घात देखें। / Riya is incorrect. The degree depends on the highest exponent of the variable: in \(5-2x=-2x+5\), the exponent of \(x\) is 1, so it is linear. A negative coefficient does not change the degree. Exam tip: check the highest power, not the number of terms.
\(x=8\) रखने पर \(p(8)=\frac{3}{4}\times 8-6=6-6=0\)। अतः सही उत्तर 0 है। विकल्प 6 केवल \(\frac{3}{4}\times8\) का मान है; इसमें से 6 घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: बहुपद का मान ज्ञात करते समय दिए गए \(x\) का मान प्रत्येक पद में सावधानी से रखिए। / Substituting \(x=8\), \(p(8)=\frac{3}{4}\times 8-6=6-6=0\). Hence, the correct answer is 0. Option 6 is only the value of \(\frac{3}{4}\times8\); subtracting 6 is also necessary. Exam tip: While evaluating a polynomial, substitute the given value of \(x\) carefully in every term.
यहाँ \(p(x)^2=(x+3)^2=x^2+6x+9\) है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है और यह द्विघात बहुपद है। रेखीय बहुपद की डिग्री 1 होती है, इसलिए वह विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए सरल करने के बाद चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Here, \(p(x)^2=(x+3)^2=x^2+6x+9\). The highest power of \(x\) is 2, so its degree is 2 and it is a quadratic polynomial. A linear polynomial has degree 1, so that option is incorrect. Exam tip: Simplify the expression first, then identify the highest power of the variable.
\(5x+0=5x\) में \(x\) का गुणांक \(5\) है, जो शून्य नहीं है। अतः इसकी घात 1 है और यह रेखीय बहुपद है। \(0x+9\) और \(0x-3\) क्रमशः \(9\) और \(-3\) बन जाते हैं, इसलिए वे स्थिर बहुपद हैं; \(7\) भी स्थिर बहुपद है। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद में चर का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। / In \(5x+0=5x\), the coefficient of \(x\) is \(5\), which is non-zero. Therefore, its degree is 1 and it is a linear polynomial. \(0x+9\) and \(0x-3\) simplify to \(9\) and \(-3\), so they are constant polynomials; \(7\) is also constant. Exam tip: for a linear polynomial, the coefficient of the variable must be non-zero.
यहाँ p(3)=2(3)+b=6+b और p(1)=2(1)+b=2+b है। अतः p(3)-p(1)=(6+b)-(2+b)=4 होता है, जबकि प्रश्न की शर्त के अनुसार यह अंतर 8 होना चाहिए। b का मान दोनों पदों में कट जाता है, इसलिए कोई भी b इस शर्त को संतुष्ट नहीं करता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों फलन मान ज्ञात करके उनका अंतर जाँचें। / Here, p(3)=2(3)+b=6+b and p(1)=2(1)+b=2+b. Thus, p(3)-p(1)=(6+b)-(2+b)=4, whereas the given condition requires the difference to be 8. The value of b cancels out, so no value of b can satisfy the condition. Exam tip: In such questions, calculate both function values first and then compare their difference.
