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गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। यहाँ \(a=5\), \(r=3\) और \(n=4\), इसलिए \(a_4=5\times3^{4-1}=5\times27=135\)। अतः सही उत्तर 135 है। 90 तब मिलता यदि घात या पद-स्थान का गलत उपयोग किया जाए। परीक्षा टिप: चौथे पद के लिए अनुपात \(r\) को तीन बार गुणा किया जाता है। / The \(n\)th term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Here, \(a=5\), \(r=3\), and \(n=4\), so \(a_4=5\times3^{4-1}=5\times27=135\). Therefore, 135 is correct. A value such as 90 results from using the exponent or term position incorrectly. Exam tip: to reach the fourth term, multiply the common ratio \(r\) three times.
दिया है \(a_n=2\cdot4^{n-1}\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2\cdot4^{5-1}=2\cdot4^4=2\cdot256=512\)। अतः सही उत्तर 512 है। 256 केवल \(4^4\) का मान है; इसमें प्रारम्भिक गुणक 2 भी शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय \(n-1\) में पहले दिए गए \(n\) का मान रखें। / Given \(a_n=2\cdot4^{n-1}\), put \(n=5\): \(a_5=2\cdot4^{5-1}=2\cdot4^4=2\cdot256=512\). Therefore, 512 is correct. The value 256 is only \(4^4\); the initial factor 2 must also be multiplied. Exam tip: substitute the given value of \(n\) into \(n-1\) first.
पद (7,14,28,56,112,224) हैं, इसलिए (224) छठा पद है। छोटे प्रश्नों में पद लिखकर जांचना तेज है। / The terms are (7,14,28,56,112,224), so (224) is the sixth term. For small questions listing terms is quick.
पहला पद (6) है और हर बार (2) से गुणा करने पर (6,12,24,48) मिलते हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अगला पद गुणा करके बनता है। / The first term is (6), and multiplying by (2) each time gives (6,12,24,48). In a geometric progression each next term is formed by multiplication.
सार्व अनुपात (3) है, इसलिए अगला पद \(36\cdot3=108\) होगा। अगले पद के लिए पिछले पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3), so the next term is \(36\cdot3=108\). Multiply the previous term by the ratio for the next term.
मध्य पद (x) के लिए \(x^2=3\cdot27=81\), इसलिए (x=9)। धनात्मक पदों में ज्यामितीय माध्य धनात्मक लें। / For the middle term (x), \(x^2=3\cdot27=81\), so (x=9). For positive terms take the positive geometric mean.
पहले चार पद 5, 15, 45 और 135 हैं। अतः उनका योग \(5+15+45+135=200\) होगा। इसलिए सही उत्तर 200 है। 180 केवल पहले तीन पदों का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: कम पदों के लिए सीधे पदों को जोड़ना सबसे तेज़ और सुरक्षित तरीका है। / The first four terms are 5, 15, 45, and 135. Therefore, their sum is \(5+15+45+135=200\). Hence, 200 is correct. The value 180 is the sum of only the first three terms, so it is a close but incorrect option. Exam tip: when there are only a few terms, direct addition is usually the quickest and safest method.
गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य पद
\(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः
\(a_4=4r^3=108\), इसलिए
\(r^3=27\) और
\(r=3\)। विकल्प 2 लेने पर चौथा पद
\(4\times2^3=32\) आता है, 108 नहीं। परीक्षा टिप:
\(a_m\) से
\(a_n\) तक अनुपात की घात हमेशा
\(n-m\) होती है। / The general term of a GP is
\(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus,
\(a_4=4r^3=108\), so
\(r^3=27\) and
\(r=3\). If the ratio were 2, the fourth term would be
\(4\times2^3=32\), not 108. Exam tip: from
\(a_m\) to
\(a_n\), the exponent of the ratio is
\(n-m\).
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, क्योंकि प्रत्येक पद पिछले पद का 2 गुना है। अतः सार्व अनुपात \(r=2\) है। पद क्रमशः \(\frac{1}{2},1,2,4,8,16\) होंगे, इसलिए 6वाँ पद \(16\) है। \(8\) पाँचवाँ पद है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पदों की गिनती पहले पद से शुरू करें। / This is a geometric sequence because each term is twice the preceding term, so the common ratio is \(r=2\). The terms are \(\frac{1}{2},1,2,4,8,16\); therefore, the 6th term is \(16\). Note that \(8\) is the 5th term, making it a close but incorrect option. Exam tip: Start counting terms from the first given term.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए पाँचवाँ पद (4) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में बार-बार अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the fifth term is (4). In a decreasing geometric progression multiply by the ratio repeatedly.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद 1 और सार्व अनुपात 3 है। इसके पद क्रमशः 1, 3, 9, 27, 81 हैं, इसलिए 81 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 27 है, अतः वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखें या 81 को \(3^4\) के रूप में पहचानें। / In this GP, the first term is 1 and the common ratio is 3. Its terms are 1, 3, 9, 27, 81; therefore, 81 is the fifth term. The fourth term is 27, so it is a close but incorrect option. Exam tip: list the terms in order or recognise \(81=3^4\).
तीसरे पद के लिए \(n=3\) रखें: \(a_3=9\left(\frac{1}{3}\right)^{3-1}=9\left(\frac{1}{3}\right)^2=9\times\frac{1}{9}=1\)। \(3\) विकल्प तब मिलता है जब घात को गलती से 1 लिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में पद संख्या रखने के बाद पहले \(n-1\) की गणना करें। / For the third term, substitute \(n=3\): \(a_3=9\left(\frac{1}{3}\right)^{3-1}=9\left(\frac{1}{3}\right)^2=9\times\frac{1}{9}=1\). The option \(3\) results from incorrectly using the exponent as 1. Exam tip: after substituting the term number in \(a_n\), calculate \(n-1\) first.
सार्व अनुपात \(\frac{6}{2}=3\) है, इसलिए \(x=6\cdot3=18\)। समान अनुपात को हर अगले पद पर लगाएं। / The common ratio is \(\frac{6}{2}=3\), so \(x=6\cdot3=18\). Apply the same ratio to each next term.
पहले 4 पद 10, 20, 40 और 80 हैं। अतः उनका योग 10+20+40+80=150 है। यह गुणोत्तर श्रेढ़ी है, जिसमें पहला पद 10 और सार्व अनुपात 2 है; सूत्र से भी \(S_4=10(2^4-1)/(2-1)=150\) मिलता है। 160 तब मिलता यदि किसी पद को गलत जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: कम पदों के लिए सीधे जोड़कर उत्तर जाँचें। / The first four terms are 10, 20, 40, and 80. Therefore, their sum is 10+20+40+80=150. This is a GP with first term 10 and common ratio 2; using the formula also gives \(S_4=10(2^4-1)/(2-1)=150\). A result such as 160 comes from an incorrect addition. Exam tip: for a few terms, verify the answer by direct addition.
पहला पद (6) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=6\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात दोनों रखें। / The first term is (6) and the ratio is (3), so \(a_n=6\cdot3^{n-1}\). Use both first term and ratio in the general term.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद a=1, सार्व अनुपात r=2 और n=6 है। अतः S_n=a\(r^n-1\)/(r-1)=1\(2^6-1\)/(2-1)=63। पद 1, 2, 4, 8, 16, 32 हैं, जिनका योग 63 है। 64 केवल 26 है, योग नहीं। परीक्षा टिप: r≠1 होने पर S_n=a\(r^n-1\)/(r-1) का प्रयोग करें। / This is a geometric progression with first term a=1, common ratio r=2, and n=6. Thus, S_n=a\(r^n-1\)/(r-1)=1\(2^6-1\)/(2-1)=63. The terms are 1, 2, 4, 8, 16, and 32, whose sum is 63. Note that 64 is only 26, not the sum. Exam tip: for r≠1, use S_n=a\(r^n-1\)/(r-1).
सार्व अनुपात \(\frac{20}{4}=5\) है, इसलिए \(x=20\cdot5=100\)। तीसरे पद के लिए दूसरे पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{20}{4}=5\), so \(x=20\cdot5=100\). Multiply the second term by the ratio to get the third term.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 4 है। क्रमशः पद हैं: 2, 8, 32, 128, 512। अतः 512 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 128 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक अगले पद के लिए पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करें। / This is a geometric progression with first term 2 and common ratio 4. Its terms are 2, 8, 32, 128, 512. Therefore, 512 is the fifth term. The fourth term is 128, so it is not correct. Exam tip: In a GP, multiply each term by the common ratio to obtain the next term.
सार्व अनुपात (-2) है, इसलिए पाँचवाँ पद ((-8)(-2)=16) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलता है। / The common ratio is (-2), so the fifth term is ((-8)(-2)=16). With a negative ratio signs alternate.
पहला पद (9) है और हर बार (3) से गुणा करने पर (9,27,81,243) मिलते हैं। (a) और (r) दोनों को मिलाएं। / The first term is (9), and multiplying by (3) each time gives (9,27,81,243). Match both (a) and (r).
श्रृंखला के पहले तीन पद 5, 15 और 45 हैं। अतः उनका गुणनफल \(5\times15\times45=75\times45=3375\) होगा। 2025, \(45\times45\) है, इसलिए यह पहला तीन पदों का गुणनफल नहीं है। परीक्षा टिप: प्रश्न में दिए गए पदों को सीधे पहचानकर क्रम से गुणा करें। / The first three terms are 5, 15, and 45. Their product is \(5\times15\times45=75\times45=3375\). Note that 2025 equals \(45\times45\), so it is not the product of the first three terms. Exam tip: First list the required terms, then multiply them in order.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए अगला पद \(25\cdot\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\) होगा। अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the next term is \(25\cdot\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\). Multiply by the ratio.
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ सामान्य अनुपात \(r=\frac{36}{12}=3\) है। इसलिए \(\frac{12}{x}=3\), जिससे \(x=\frac{12}{3}=4\)। विकल्प 6 लेने पर अनुपात \(\frac{12}{6}=2\) और \(\frac{36}{12}=3\) होंगे, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: तीन लगातार पद \(a,b,c\) हों, तो \(b^2=ac\) का उपयोग भी कर सकते हैं। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms remains the same. Here, the common ratio is \(r=\frac{36}{12}=3\). Hence, \(\frac{12}{x}=3\), so \(x=\frac{12}{3}=4\). If 6 were chosen, the ratios would be \(\frac{12}{6}=2\) and \(\frac{36}{12}=3\), which are not equal. Exam tip: for three consecutive terms \(a,b,c\) of a GP, you may also use \(b^2=ac\).
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=8\) और सार्व अनुपात \(r=24/8=3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=8\times3^{6-1}=8\times243=1944\)। 5832 अगला, अर्थात 7वाँ पद है क्योंकि \(1944\times3=5832\)। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय घात \(n-1\) लें, \(n\) नहीं। / The first term is \(a=8\) and the common ratio is \(r=24/8=3\). The \(n\)th term of a GP is \(a_n=a r^{n-1}\). Therefore, \(a_6=8\times3^{6-1}=8\times243=1944\). Note that 5832 is the next, or seventh, term because \(1944\times3=5832\). Exam tip: for the \(n\)th term, use the exponent \(n-1\), not \(n\).
ज्यामितीय प्रगति में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=\frac{3}{4}\times2^{4-1}=\frac{3}{4}\times8=6\)। विकल्प \(8\) केवल \(2^3\) का मान है; इसमें पहले पद \(\frac{3}{4}\) से गुणा करना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the \(n\)th term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=\frac{3}{4}\times2^{4-1}=\frac{3}{4}\times8=6\). Option \(8\) is only the value of \(2^3\); it must also be multiplied by the first term \(\frac{3}{4}\). Exam tip: the exponent in \(a_n\) is always \(n-1\).
इस गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 2 है। पहले 5 पद 2, 4, 8, 16, 32 हैं, अतः उनका योग \(2+4+8+16+32=62\) है। इसलिए सही उत्तर 62 है। 32 केवल पाँचवाँ पद है, योग नहीं। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ध्यान से गिनें; यहाँ 16 के बाद 32 पाँचवाँ पद होगा। / The first term of this GP is 2 and the common ratio is 2. Its first five terms are 2, 4, 8, 16, and 32, so their sum is \(2+4+8+16+32=62\). Therefore, 62 is correct. The value 32 is only the fifth term, not the sum. Exam tip: Count the terms carefully; 32 comes after 16 as the fifth term.
हर बार (-2) से गुणा करने पर (3,-6,12,-24) मिलते हैं। ऋणात्मक अनुपात से चिह्न बदलते हैं। / Multiplying by (-2) each time gives (3,-6,12,-24). A negative ratio makes the signs alternate.
गुणोत्तर श्रेढ़ी में लगातार तीन पदों के लिए मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(x^2=8\times18=144\)। क्योंकि श्रेढ़ी धनात्मक है, \(x=\sqrt{144}=12\) होगा; \(-12\) स्वीकार्य नहीं है। 10 या 14 लेने पर \(x^2\), 144 के बराबर नहीं होगा। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों में मध्य पद = बाहरी पदों का धनात्मक ज्यामितीय माध्य होता है। / For three consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of the first and third terms. Thus, \(x^2=8\times18=144\). Since the progression is positive, \(x=\sqrt{144}=12\); \(-12\) is not allowed. Values such as 10 or 14 do not give \(x^2=144\). Exam tip: the middle of three consecutive GP terms is the positive geometric mean of the outer terms.
पहला पद (7) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=7\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात रखें। / The first term is (7) and the ratio is (3), so \(a_n=7\cdot3^{n-1}\). Use the first term and ratio in the general term.
सार्व अनुपात (4) है, इसलिए \(a_5=3\cdot4^4=768\)। (5)वें पद के लिए (4) बार अनुपात लगता है। / The common ratio is (4), so \(a_5=3\cdot4^4=768\). For the fifth term the ratio is used (4) times.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 1 और सार्व अनुपात 4 है। इसका सामान्य पद \(a_n=4^{n-1}\) होगा। \(4^{n-1}=256=4^4\) से \(n-1=4\), अतः \(n=5\)। 4 घात है, पद-संख्या नहीं; क्योंकि पहला पद \(4^0\) है। परीक्षा टिप: यदि श्रेणी 1 से शुरू हो, तो घात में 1 जोड़कर पद-संख्या प्राप्त करें। / This is a geometric progression with first term 1 and common ratio 4. Its nth term is \(a_n=4^{n-1}\). Since \(4^{n-1}=256=4^4\), we get \(n-1=4\), so \(n=5\). Although 4 is the exponent, it is not the term number because the first term is \(4^0\). Exam tip: When a sequence starts with 1, add 1 to the exponent to obtain the term position.
दी गई गुणोत्तर श्रेणी में तीसरा पद \(a_3=18\) और चौथा पद \(a_4=54\) है। अतः \(a_3+a_4=18+54=72\)। विकल्प 66 तब मिलता यदि किसी पद को गलत पढ़ लिया जाए; यहाँ दोनों दिए गए पदों का सही योग 72 है। परीक्षा टिप: पदों की गिनती पहले पद से शुरू करके सावधानी से करें। / In the given geometric progression, the third term is \(a_3=18\) and the fourth term is \(a_4=54\). Therefore, \(a_3+a_4=18+54=72\). A value such as 66 results from misreading one of the terms; the correct sum of the two given terms is 72. Exam tip: Count term positions carefully, starting with the first term.
पहले चार पद (16,8,4,2) हैं और योग (30) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में पद क्रम से लिखें। / The first four terms are (16,8,4,2), and the sum is (30). In a decreasing geometric progression write the terms in order.
