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\(a_{10}=10^2+2\times10=120\) इसलिए सही उत्तर (120) है। परीक्षा में (n) की जगह सीधे दिया गया क्रमांक रखें। / \(a_{10}=10^2+2\times10=120\), so the correct answer is (120). Exam tip: substitute the given position directly for (n).
दिया है \(a_n=n(n+1)=72\)। अतः \(n^2+n-72=0\), यानी \((n+9)(n-8)=0\)। पद संख्या धनात्मक होती है, इसलिए \(n=8\)। जाँच: \(a_8=8\times9=72\)। 9वाँ पद \(9\times10=90\) होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार दो संख्याओं का गुणनफल दिखे तो 72 के निकट गुणनखंडों की जाँच करें। / Given \(a_n=n(n+1)=72\). So \(n^2+n-72=0\), i.e. \((n+9)(n-8)=0\). Since a term number must be positive, \(n=8\). Check: \(a_8=8\times9=72\). The 9th term is \(9\times10=90\), so it is not correct. Exam tip: for a product of consecutive integers, look for nearby factor pairs of the given number.
वर्गों के अंतर में (152-142=(15-14)(15+14)=29) होता है। परीक्षा में \(a^2-b^2\) का सूत्र याद रखें। / The difference is (152-142=(15-14)(15+14)=29). Exam tip: use the identity \(a^2-b^2\).
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(11-5=6\), \(19-11=8\), \(29-19=10\) और \(41-29=12\)। ये अंतर प्रत्येक बार 2 बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(14\) होगा। अतः अगला पद \(41+14=55\) है। 54 लेने पर अंतर 13 होगा, जो इस पैटर्न के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: अनुक्रम में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are \(11-5=6\), \(19-11=8\), \(29-19=10\), and \(41-29=12\). These differences increase by 2 each time, so the next difference is \(14\). Therefore, the next term is \(41+14=55\). Choosing 54 would give a difference of 13, which does not follow the pattern. Exam tip: For a sequence, first list consecutive differences and check their pattern.
क्रमागत पदों के अंतर 5, 9, 13, 17 हैं और प्रत्येक अंतर में 4 की वृद्धि हो रही है। इसलिए अगला अंतर \(17+4=21\) होगा। अतः अगला पद \(48+21=69\) है। 70 चुनना गलत होगा, क्योंकि उसके लिए अंतर 22 होना चाहिए। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले पदों के अंतर लिखकर उनके पैटर्न की जाँच करें। / The successive differences are 5, 9, 13, and 17, and each difference increases by 4. Hence, the next difference is \(17+4=21\). Therefore, the next term is \(48+21=69\). Choosing 70 would require the next difference to be 22, which does not follow the pattern. Exam tip: For such sequences, first list consecutive differences and then identify their pattern.
\(a_{12}=145\) और \(a_{10}=101\) इसलिए अंतर (44) है। पहले दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_{12}=145\) and \(a_{10}=101\), so the difference is (44). Exam tip: find both terms separately first.
अगला अंतर (15) होगा इसलिए छठा पद (47+15=62) है। बदलते अंतरों को अलग पंक्ति में लिखना उपयोगी रहता है। / The next difference is (15), so the sixth term is (47+15=62). Exam tip: write changing differences separately.
यह त्रिभुजीय अनुक्रम है और (T_n=\frac{n(n+1)}{2}) होता है। \(\frac{9\times10}{2}=45\) इसलिए यह (9)वाँ पद है। / This is a triangular sequence with (T_n=\frac{n(n+1)}{2}). Since \(\frac{9\times10}{2}=45\), it is the (9)th term.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 2 है। अतः आठवाँ पद \(a_8=2\times 2^{7}=2^{8}=256\) होगा। 128 सातवाँ पद है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: दोगुने होने वाले अनुक्रम में पदों को 2 की घातों के रूप में लिखें। / This is a geometric sequence with first term 2 and common ratio 2. Therefore, \(a_8=2\times 2^{7}=2^{8}=256\). The value 128 is the seventh term, so it is a close but incorrect option. Exam tip: write terms of a doubling sequence as powers of 2.
पद हैं \(81,27,9,3,1,\frac{1}{3}\)। क्रम से घटाते समय हर पद को \(\frac{3}{1}\) से न बाँटें बल्कि (3) से बाँटें। / The terms are \(81,27,9,3,1,\frac{1}{3}\). Exam tip: divide each term by (3) step by step.
दिया है कि \(a_n=n^2+3\) और \(a_n=84\)। अतः \(n^2+3=84\), इसलिए \(n^2=81\) और \(n=9\) मिलता है। इसलिए 84 अनुक्रम का 9वाँ पद है। 8वाँ पद \(8^2+3=67\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद संख्या ज्ञात करने के लिए दिए गए पद के मान को \(a_n\) के सूत्र में रखकर \(n\) हल करें। / Given \(a_n=n^2+3\) and \(a_n=84\), we get \(n^2+3=84\). Thus, \(n^2=81\), so \(n=9\). Therefore, 84 is the 9th term of the sequence. The 8th term is \(8^2+3=67\), so it is not correct. Exam tip: to find a term number, substitute the given term value in the formula for \(a_n\) and solve for \(n\).
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(13-6=7\), \(24-13=11\), \(39-24=15\) और \(58-39=19\)। ये अंतर हर बार \(4\) से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर \(23\) होगा। अतः अगला पद \(58+23=81\) है। \(80\) लेने पर अंतर \(22\) होगा, जो इस नियम के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are \(13-6=7\), \(24-13=11\), \(39-24=15\), and \(58-39=19\). These differences increase by \(4\) each time, so the next difference is \(23\). Hence, the next term is \(58+23=81\). Choosing \(80\) would give a difference of \(22\), which does not follow the pattern. Exam tip: For such sequences, first list consecutive differences and look for their pattern.
दिया है कि nवाँ पद n-3 है। अतः 6वाँ पद 63 = 216 और 5वाँ पद 53 = 125 होगा। इसलिए अंतर 216 - 125 = 91 है। 81, 5वाँ पद का मान नहीं बल्कि 43 है, इसलिए वह सही अंतर नहीं है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में दोनों पदों का मान निकालकर बड़े पद में से छोटा पद घटाएँ। / The nth term is n-3. Therefore, the 6th term is 63 = 216 and the 5th term is 53 = 125. Hence, the difference is 216 - 125 = 91. Note that 81 is 43, not the required difference. Exam tip: evaluate both specified terms first, then subtract the smaller term from the larger one.
विषम स्थानों पर \(10,11,12,\ldots\) है इसलिए अगला विषम स्थान (13) होगा। वैकल्पिक अनुक्रम में स्थानों को अलग करें। / Odd positions are \(10,11,12,\ldots\), so the next odd-position term is (13). Exam tip: separate positions in alternating sequences.
विषम स्थानों पर \(2,4,6,\ldots\) हैं इसलिए अगला विषम पद (8) है। वैकल्पिक पैटर्न में दोनों धाराएँ अलग देखें। / Odd positions are \(2,4,6,\ldots\), so the next odd-position term is (8). Exam tip: split the two patterns in alternating sequences.
दिया गया सामान्य पद \(a_n=n^2+2\) है। अतः n=9 रखने पर, \(a_9=9^2+2=81+2=83\) प्राप्त होता है। 81 केवल \(9^2\) का मान है, उसमें +2 जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद दिया हो तो वांछित पद संख्या को सीधे n के स्थान पर रखकर गणना करें। / The general term is given as \(a_n=n^2+2\). Substituting n=9, we get \(a_9=9^2+2=81+2=83\). The value 81 is only \(9^2\); the additional 2 must also be included. Exam tip: when a general term is given, substitute the required term number directly for n.
यह एक समान्तर अनुक्रम है, जिसमें पहला पद 12 और सार्वांतर 5 है। इसका nवाँ पद \(a_n=12+5(n-1)\) होगा। \(a_n<60\) रखने पर \(12+5(n-1)<60\), अर्थात \(n<10.6\) मिलता है। इसलिए \(n\) के मान 1 से 10 तक होंगे, अतः 60 से छोटे 10 पद हैं। 11वाँ पद 62 है, इसलिए वह शामिल नहीं होगा। परीक्षा टिप: ‘से छोटे’ के लिए असमता \(<\) लगाएँ, \(\leq\) नहीं। / This is an arithmetic sequence with first term 12 and common difference 5. Its nth term is \(a_n=12+5(n-1)\). Using \(a_n<60\), we get \(12+5(n-1)<60\), so \(n<10.6\). Thus, the possible whole-number values of \(n\) are 1 through 10, giving 10 terms less than 60. The 11th term is 62, so it is not included. Exam tip: for “less than,” use the strict inequality \(<\), not \(\leq\).
विकल्प A में क्रमागत अंतरों के मान 5−2=3 और 8−5=3 हैं, इसलिए अंतर स्थिर है। अनुपात 5/2 और 8/5 अलग हैं। परीक्षा में अंतर और अनुपात दोनों अलग-अलग जाँचें। / In option A, the consecutive differences are 5−2=3 and 8−5=3, so the difference is constant. However, the ratios 5/2 and 8/5 differ. In exams, check differences and ratios separately.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद \(a=5\) और सार्व अनुपात \(r=2\) है। इसका \(n\)वाँ पद \(a_n=5\times2^{n-1}\) होगा। \(5\times2^{n-1}=320\) से \(2^{n-1}=64=2^6\), अतः \(n-1=6\) और \(n=7\)। इसलिए 320, 7वाँ पद है। 6वाँ पद \(160\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर अनुक्रम में पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / This is a geometric sequence with first term \(a=5\) and common ratio \(r=2\). Its \(n\)th term is \(a_n=5\times2^{n-1}\). From \(5\times2^{n-1}=320\), we get \(2^{n-1}=64=2^6\). Therefore, \(n-1=6\) and \(n=7\). Hence, 320 is the 7th term. The 6th term is \(160\), so it is not correct. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) to find a term's position in a geometric sequence.
आगे के पद (21,34) हैं इसलिए आठवाँ पद (34) है। पुनरावर्ती अनुक्रम में पद छोड़ना नहीं चाहिए। / The next terms are (21,34), so the eighth term is (34). Exam tip: do not skip steps in recursive sequences.
छठा पद (16+26=42) और सातवाँ पद (26+42=68) नहीं है क्योंकि पाँचवाँ (26) है। ध्यान से गिनने पर छठा (42) और सातवाँ (68) होगा। / The sixth term is (16+26=42) and the seventh is (26+42=68). Exam tip: count positions carefully in recursive sequences.
अगला अंतर (15) है इसलिए छठा पद (31+15=46) होगा। अंतरों के अनुक्रम को पहचानना मुख्य कदम है। / The next difference is (15), so the sixth term is (31+15=46). Exam tip: identifying the sequence of differences is the key step.
अगला अंतर (-17) होगा इसलिए (12-17=-5) है। ऋणात्मक अंतरों में संकेत का विशेष ध्यान रखें। / The next difference is (-17), so (12-17=-5). Exam tip: be careful with signs in negative differences.
(n=1,2,3) रखने पर \(n^2+2n-1\) से (2,7,14) मिलते हैं। विकल्प जाँचते समय शुरुआती तीन पदों परखें। / Substituting (n=1,2,3) in \(n^2+2n-1\) gives (2,7,14). Exam tip: test options using the first three terms.
यह पद \(1^2-1,2^2-1,3^2-1,\ldots\) के रूप में हैं। वर्गों के पास वाले अनुक्रम को तुरंत पहचानें। / The terms are \(1^2-1,2^2-1,3^2-1,\ldots\). Exam tip: quickly recognize sequences near perfect squares.
दिए गए पदों के अंतर क्रमशः 4, 6, 8, 10 हैं, जो 2-2 से बढ़ रहे हैं; इसलिए यह द्विघात प्रकार का अनुक्रम है। \(a_n=n^2+n+1\) में \(n=1,2,3,4,5\) रखने पर क्रमशः 3, 7, 13, 21, 31 प्राप्त होते हैं। विकल्प C में \(n=2\) रखने पर 7 मिलता है, लेकिन \(n=1\) पर 1 मिलता है, 3 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद की जाँच कम-से-कम पहले तीन या चार पदों से करें। / The consecutive differences are 4, 6, 8, and 10, increasing by 2 each time, so the sequence is quadratic in nature. Substituting \(n=1,2,3,4,5\) in \(a_n=n^2+n+1\) gives 3, 7, 13, 21, and 31 respectively. Option C gives 7 when \(n=2\), but it gives 1 rather than 3 when \(n=1\). Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three or four terms.
क्रमागत पदों के अंतर हैं: 18−11=7, 27−18=9, 38−27=11 और 51−38=13। ये अंतर प्रत्येक बार 2 से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर 15 होगा। अतः अगला पद 51+15=66 है। 64 प्राप्त करने के लिए 13 जोड़ना पड़ेगा, जो अंतर के बढ़ते क्रम का पालन नहीं करता। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are 18−11=7, 27−18=9, 38−27=11, and 51−38=13. Each difference increases by 2, so the next difference is 15. Hence, the next term is 51+15=66. Choosing 64 would mean adding 13 again, which does not follow the increasing-difference pattern. Exam tip: For such sequences, first list the consecutive differences and check their pattern.
(n(n+1)2) से (2,12,36) नहीं मिलता इसलिए सावधानी जरूरी है। दिए गए विकल्पों में कोई भी पूरा मेल नहीं खाता। / (n(n+1)2) does not give the full sequence, so care is needed. None of the given options matches all terms.
यह \(3^2,4^2,5^2,\ldots\) है इसलिए (20)वाँ पद \(22^2=484\) होगा। शुरुआती संख्या से सूचकांक का संबंध ध्यान रखें। / This is \(3^2,4^2,5^2,\ldots\), so the (20)th term is \(22^2=484\). Exam tip: track how the index shifts.
यह \(2^3,3^3,4^3,\ldots\) है इसलिए (10)वाँ पद \(11^3=1331\) है। शिफ्ट वाले घन अनुक्रमों में क्रमांक ध्यान से बदलें। / This is \(2^3,3^3,4^3,\ldots\), so the (10)th term is \(11^3=1331\). Exam tip: handle shifted cube sequences carefully.
आगे (16,22,29) मिलते हैं इसलिए आठवाँ पद (29) है। क्रमागत जोड़ को पूरा लिखना गलती घटाता है। / Continuing gives (16,22,29), so the eighth term is (29). Exam tip: write each successive addition to avoid mistakes.
दिया गया नियम है: अगला पद = पिछले पद का दोगुना − 1। इसलिए 33 के बाद का पद \(2\times 33-1=66-1=65\) होगा। 63 प्राप्त करने के लिए गलती से 33 में से 3 घटाया जा सकता है, लेकिन नियम में केवल 1 घटाना है। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती अनुक्रम में अंतिम दिए गए पद पर नियम को सीधे लागू करें। / The rule is: next term = twice the previous term − 1. Therefore, the term after 33 is \(2\times 33-1=66-1=65\). Getting 63 would mean subtracting 3 from 66, but the rule requires subtracting only 1. Exam tip: in a recursive sequence, apply the stated rule directly to the last given term.
नियम है: अगला पद = पिछले पद का दोगुना + 1। अतः 47 के बाद का पद \(2\times47+1=94+1=95\) होगा। 94 केवल 47 का दोगुना है; उसमें आवश्यक 1 नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में अंतिम दिए गए पद पर नियम को सीधे लागू करके उत्तर जाँचें। / The rule is: next term = twice the previous term + 1. Therefore, the term after 47 is \(2\times47+1=94+1=95\). Option 94 is only twice 47; it misses the required addition of 1. Exam tip: apply the stated rule directly to the last given term to verify the answer.
(10.5) के बाद आधा करने पर (5.25) मिलता है। वैकल्पिक क्रिया वाले अनुक्रम में अगली क्रिया पहचानें। / After (10.5), dividing by (2) gives (5.25). Exam tip: identify the next operation in alternating-operation sequences.
दिया गया नियम है: अगला पद = \(3\times\) पिछला पद \(+1\)। अतः \(121\) के बाद का पद \(3\times121+1=363+1=364\) होगा। \(363\) केवल \(121\) का तीन गुना है; उसमें \(1\) जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: अनुक्रम में दिया हुआ नियम अंतिम पद पर सीधे लागू करके उत्तर जाँचें। / The rule is: next term = \(3\times\) previous term \(+1\). Therefore, the term after \(121\) is \(3\times121+1=363+1=364\). Option 363 is only three times 121 and misses the added 1. Exam tip: apply the stated rule directly to the last given term.
क्रमागत पदों के अंतर हैं: \(10-7=3\), \(16-10=6\), \(28-16=12\) और \(52-28=24\)। प्रत्येक अंतर पिछले अंतर का दोगुना है, इसलिए अगला अंतर \(48\) होगा। अतः अगला पद \(52+48=100\) है। \(96\) तब मिलता यदि अगला अंतर 44 लिया जाता, लेकिन यह दिए गए दोगुने होने के नियम का पालन नहीं करता। परीक्षा टिप: ऐसे अनुक्रमों में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The consecutive differences are \(10-7=3\), \(16-10=6\), \(28-16=12\), and \(52-28=24\). Each difference is twice the preceding one, so the next difference is \(48\). Therefore, the next term is \(52+48=100\). Option 96 would require a next difference of 44, which does not follow the doubling rule. Exam tip: For such sequences, first list consecutive differences and check their pattern.
यह (1) से शुरू होकर क्रमागत संख्याएँ जोड़ता है और (a_n=1+\frac{n(n+1)}{2}) है। \(a_{20}=1+\frac{20\times21}{2}=211\) है। / It adds consecutive numbers starting from (1), so (a_n=1+\frac{n(n+1)}{2}). Thus \(a_{20}=1+\frac{20\times21}{2}=211\).
(a_n=13+5(n-1)) और (13+5(n-1)=98) से (n=18) मिलता है। पद संख्या निकालते समय (n-1) न भूलें। / (a_n=13+5(n-1)), and (13+5(n-1)=98) gives (n=18). Exam tip: do not forget (n-1) when finding position.
(6+7(n-1)=83) से (7(n-1)=77) और (n=12) मिलता है। समान अंतर वाले अनुक्रम में सूत्र सीधे लगाएँ। / (6+7(n-1)=83) gives (7(n-1)=77) and (n=12). Exam tip: use the arithmetic sequence formula directly.
(a_n=-5+4(n-1)) है इसलिए \(a_{25}=-5+96=91\) है। ऋणात्मक पहले पद में संकेत सावधानी से रखें। / (a_n=-5+4(n-1)), so \(a_{25}=-5+96=91\). Exam tip: handle the sign of a negative first term carefully.
हर बार (-2) से गुणा हो रहा है इसलिए आठवाँ पद ((-2)7=-128) है। संकेत और घात दोनों साथ देखें। / Each term is multiplied by (-2), so the eighth term is ((-2)7=-128). Exam tip: track both sign and power.
सामान्य पद (a_n=5(-2)^{n-1}) है इसलिए (a_7=5(-2)6=320) है। सम घात पर चिह्न धनात्मक होता है। / The general term is (a_n=5(-2)^{n-1}), so (a_7=5(-2)6=320). Exam tip: an even power gives a positive sign.
पद आगे (13,21,34,55) हैं इसलिए (10)वाँ पद (55) है। फिबोनाची जैसे अनुक्रम में क्रमांक लिखकर बढ़ें। / The next terms are (13,21,34,55), so the (10)th term is (55). Exam tip: write positions when extending Fibonacci-type sequences.
दिया है कि \(a_n=3n^2\)। अतः \(a_8=3\times 8^2=192\) और \(a_6=3\times 6^2=108\)। इसलिए \(a_8-a_6=192-108=84\)। विकल्प 78 सही नहीं है, क्योंकि दोनों पदों में वर्ग लेकर ही मान निकालना आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखें, फिर आवश्यक पदों का अंतर लें। / Given \(a_n=3n^2\), \(a_8=3\times 8^2=192\) and \(a_6=3\times 6^2=108\). Hence, \(a_8-a_6=192-108=84\). Option 78 is incorrect because the values must be found by squaring the term numbers first. Exam tip: substitute each required value of \(n\) into the general term before subtracting.
क्रमागत पदों के अंतर हैं: 10−4=6, 18−10=8, 28−18=10 और 40−28=12। ये अंतर प्रत्येक बार 2 से बढ़ रहे हैं, इसलिए अगला अंतर 14 होगा। अतः अगला पद 40+14=54 है। 52 लेने पर अंतर केवल 12 होगा, जिससे बढ़ते अंतरों का नियम टूट जाएगा। परीक्षा टिप: अनुक्रम में पहले क्रमागत पदों के अंतर लिखकर उनका पैटर्न जाँचें। / The differences between consecutive terms are 10−4=6, 18−10=8, 28−18=10, and 40−28=12. These differences increase by 2 each time, so the next difference is 14. Hence, the next term is 40+14=54. Choosing 52 would give a difference of only 12 and would break the pattern of increasing differences. Exam tip: Write the consecutive differences first to identify the pattern in a sequence.
अगला अंतर (-11) होगा इसलिए (-9-11=-20) है। घटते अनुक्रम में ऋण चिह्न की जाँच जरूर करें। / The next difference is (-11), so (-9-11=-20). Exam tip: always check the negative sign in decreasing sequences.
अगला अंतर (23) होगा इसलिए (56+23=79) है। अंतर के अंतर को पहचानना ऐसे प्रश्नों में सबसे तेज तरीका है। / The next difference is (23), so (56+23=79). Exam tip: identifying the difference of differences is the fastest method here.
