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व्यंजक में 4 को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करने पर \(4(2x-3)=8x-12\) मिलता है। अब \(8x-12-5x\) में समान पद \(8x\) और \(-5x\) मिलाने पर \(3x-12\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(-5x\) को नहीं घटाया गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय बाहरी गुणनखंड को अंदर के हर पद से गुणा करें। / Multiplying 4 by each term inside the bracket gives \(4(2x-3)=8x-12\). Then, combining the like terms in \(8x-12-5x\) gives \(3x-12\). Option B incorrectly leaves out the subtraction of \(5x\). Exam tip: when opening brackets, multiply the outside factor by every term inside them.
रेखीय बहुपद में \(x\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। यहाँ \(x\) का गुणांक \(a+6\) है। \(a=-6\) रखने पर \(a+6=0\) हो जाता है और व्यंजक \(-13\) रह जाता है, जो एक स्थिर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। उदाहरण के लिए, \(a=0\) पर व्यंजक \(6x-13\) है, जो अभी भी रेखीय है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में पहले उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य होने की शर्त जाँचें। / For a polynomial to be linear, the coefficient of \(x\) must be non-zero. Here, the coefficient of \(x\) is \(a+6\). On putting \(a=-6\), we get \(a+6=0\), so the expression becomes \(-13\), a constant polynomial rather than a linear polynomial. For example, when \(a=0\), the expression is \(6x-13\), which is still linear. Exam tip: In parameter-based polynomials, first check when the coefficient of the highest-power term becomes zero.
बहुपद का शून्यक वह x का मान है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाए। अतः \(7x+21=0\) रखने पर \(7x=-21\), इसलिए \(x=-3\) मिलता है। \(x=3\) रखने पर \(7(3)+21=42\) होता है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero is the value of x for which the polynomial becomes 0. Setting \(7x+21=0\) gives \(7x=-21\), so \(x=-3\). If \(x=3\), then \(7(3)+21=42\), so it is not a zero. Exam tip: the zero of a linear polynomial \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
दिया है, \(p(x)=5x-4\)। अतः \(p(4)=5\times4-4=16\) तथा \(p(2)=5\times2-4=6\)। इसलिए \(p(4)-p(2)=16-6=10\), इसलिए विकल्प D सही है। विकल्प B में केवल स्थिर पद \(-4\) के प्रभाव को गलत तरीके से लेने की संभावना है; अंतर निकालते समय दोनों मानों का पूरा मूल्यांकन करना चाहिए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक इनपुट के लिए बहुपद का मान अलग-अलग निकालें, फिर घटाएँ। / Given \(p(x)=5x-4\), we get \(p(4)=5\times4-4=16\) and \(p(2)=5\times2-4=6\). Hence, \(p(4)-p(2)=16-6=10\), so option D is correct. Option B can result from handling the constant term \(-4\) incorrectly; evaluate the polynomial completely at both inputs before subtracting. Exam tip: find each function value separately, then take their difference.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाता है। अतः \(p(5)=0\) रखने पर \(5m-15=0\) मिलता है। इसलिए \(5m=15\), अर्थात \(m=3\)। \(-3\) लेने पर \(5m-15=-30\) होगा, जो 0 नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक दिए होने पर उसे \(x\) के स्थान पर रखकर बहुपद को 0 के बराबर करें। / A zero of a polynomial is a value that makes the polynomial equal to 0. Hence, putting \(p(5)=0\) gives \(5m-15=0\). Therefore, \(5m=15\), so \(m=3\). If \(m=-3\), then \(5m-15=-30\), not 0. Exam tip: Substitute the given zero for \(x\) and set the polynomial equal to 0.
रेखीय बहुपद \(ax+b\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए \(ax+b=0\) रखते हैं। अतः \(ax=-b\), इसलिए \(x=-\frac{b}{a}\), जहाँ \(a\ne0\) है। \(\frac{b}{a}\) में ऋण चिह्न नहीं है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: रेखीय बहुपद \(ax+b\) का शून्यक हमेशा \(-\frac{b}{a}\) याद रखें। / To find the zero of the linear polynomial \(ax+b\), set \(ax+b=0\). Then \(ax=-b\), so \(x=-\frac{b}{a}\), where \(a\ne0\). The option \(\frac{b}{a}\) misses the negative sign, so it is incorrect. Exam tip: remember that the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
दिए गए बहुपदों का योग
(p(x)+q(x))=(6x+2)+(x-9)=7x-7 है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है। विकल्प 7 गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को जोड़कर सरल रूप लिखें। / Adding the polynomials gives
(p(x)+q(x))=(6x+2)+(x-9)=7x-7. The highest power of x is 1, so its degree is 1. The number 7 is a coefficient, not the degree. Exam tip: First simplify by combining like terms, then identify the highest exponent of the variable.
p(x)-q(x)=(3x+10)-(3x-4)=3x+10-3x+4=14। x वाले पद कट जाते हैं, इसलिए प्राप्त बहुपद 14 एक अशून्य नियतांक बहुपद है। यह शून्य बहुपद नहीं है, क्योंकि इसका मान 0 नहीं है। परीक्षा टिप: घटाते समय दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / p(x)-q(x)=(3x+10)-(3x-4)=3x+10-3x+4=14. The x-terms cancel, so the result, 14, is a non-zero constant polynomial. It is not a zero polynomial because its value is not 0. Exam tip: When subtracting a polynomial, change the sign of every term in the second polynomial.
यदि 3 बहुपद का शून्यक है, तो \(x=3\) रखने पर बहुपद का मान 0 होना चाहिए। अतः \((k+2)\times 3-12=0\), अर्थात \(3k+6-12=0\)। इसलिए \(3k=6\) और \(k=2\) प्राप्त होता है। \(k=4\) रखने पर मान \(6\) आएगा, इसलिए वह शून्यक नहीं देगा। परीक्षा टिप: किसी दिए गए शून्यक को बहुपद में रखकर उसका मान 0 के बराबर करें। / If 3 is a zero of the polynomial, its value must be 0 when \(x=3\). Thus, \((k+2)\times 3-12=0\), or \(3k+6-12=0\). Hence \(3k=6\), so \(k=2\). For \(k=4\), the polynomial gives 6, not 0. Exam tip: Substitute the given zero into the polynomial and equate the result to 0.
विकल्प B में समान पदों को मिलाने पर 9x-5x=4x होता है। इसलिए 9x-5x-7 सरल होकर 4x-7 बनता है। विकल्प A में x का गुणांक 12 होगा, जबकि विकल्प C में स्थिर पद +7 है, -7 नहीं। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ा या घटाया जाता है। / In option B, combining like terms gives 9x-5x=4x. Hence, 9x-5x-7 simplifies to 4x-7. In option A, the coefficient of x becomes 12, while option C has the constant term +7, not -7. Exam tip: Add or subtract only terms with the same variable and exponent.
यहाँ बहुपद में \(x=-3\) रखने पर \(p(-3)=4(-3)+3=-12+3=-9\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर \(-9\) है। \(-15\) तब मिलता यदि \(+3\) को भी गलत ढंग से ऋणात्मक मान लिया जाए। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या को हमेशा कोष्ठक में रखकर गुणा करें। / Substitute \(x=-3\) in the polynomial: \(p(-3)=4(-3)+3=-12+3=-9\). Hence, the correct value is \(-9\). The distractor \(-15\) can result from incorrectly treating the constant \(+3\) as negative. Exam tip: Put a negative substituted value in brackets before multiplying.
\(5x-2\) में \(x\) का गुणांक \(5\) है, जो धनात्मक है, और नियतांक पद \(-2\) है, जो ऋणात्मक है। इसलिए विकल्प D सही है। \(-5x-2\) में नियतांक तो ऋणात्मक है, लेकिन \(x\) का गुणांक \(-5\) ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) में \(x\) का गुणांक \(a\) और नियतांक पद \(b\) होता है। / In \(5x-2\), the coefficient of \(x\) is \(5\), which is positive, and the constant term is \(-2\), which is negative. Therefore, option D is correct. In \(-5x-2\), the constant term is negative, but the coefficient of \(x\), \(-5\), is also negative. Exam tip: in a linear polynomial \(ax+b\), \(a\) is the coefficient of \(x\) and \(b\) is the constant term.
दिया है \(p(x)=ax+18\)। अतः \(x=-3\) रखने पर \(p(-3)=-3a+18\) होगा। क्योंकि \(p(-3)=0\), इसलिए \(-3a+18=0\), जिससे \(a=6\) प्राप्त होता है। \(-6\) लेने पर \(p(-3)=36\) होगा, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का दिया गया मान ज्ञात करने के लिए उस मान को \(x\) के स्थान पर सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=ax+18\), substituting \(x=-3\) gives \(p(-3)=-3a+18\). Since \(p(-3)=0\), we get \(-3a+18=0\), so \(a=6\). If \(a=-6\), then \(p(-3)=36\), not zero. Exam tip: Substitute the given value of \(x\) carefully before solving for the unknown coefficient.
x=-2 रखने पर x+2=(-2)+2=0 प्राप्त होता है। इसलिए x+2 का शून्यक -2 है और सही विकल्प C है। उदाहरण के लिए, x-2 में x=-2 रखने पर -4 मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक जाँचने के लिए दिए गए x का मान बहुपद में रखकर देखें कि परिणाम 0 आता है या नहीं। / On substituting x=-2, we get x+2=(-2)+2=0. Hence, -2 is a zero of x+2, so option C is correct. For example, substituting -2 in x-2 gives -4, not 0. Exam tip: To check whether a number is a zero of a polynomial, substitute it and see whether the value obtained is 0.
कोष्ठक खोलने पर \(5(x-1)+3(x+2)=5x-5+3x+6\) मिलता है। समान पदों को जोड़ने पर \(5x+3x=8x\) और \(-5+6=1\), इसलिए बहुपद \(8x+1\) है। \(8x-1\) निकटतम विकल्प है, पर उसमें स्थिर पदों का योग गलत लिया गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय बाहर की संख्या से दोनों पदों का गुणा करें। / On opening the brackets, \(5(x-1)+3(x+2)=5x-5+3x+6\). Combining like terms gives \(5x+3x=8x\) and \(-5+6=1\), so the polynomial is \(8x+1\). \(8x-1\) is the closest distractor, but it uses an incorrect sum of the constant terms. Exam tip: Multiply the number outside each bracket by every term inside it.
शून्यक ज्ञात करने के लिए \(p(x)=0\) रखते हैं: \(14-7x=0\)। अतः \(7x=14\), इसलिए \(x=2\)। \(-2\) रखने पर \(14-7(-2)=28\) मिलता है, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का शून्यक जाँचने के लिए प्राप्त मान को बहुपद में रखकर उत्तर \(0\) आना चाहिए। / To find the zero, set \(p(x)=0\): \(14-7x=0\). Thus, \(7x=14\), so \(x=2\). Substituting \(-2\) gives \(14-7(-2)=28\), not zero. Exam tip: verify a zero by substituting it into the polynomial; the result must be \(0\).
रेखीय बहुपद का रूप \(ax+b\) होता है, जहाँ \(a\ne0\) होता है। \(p(x)=2x+8\) के लिए \(p(0)=2(0)+8=8\) है, इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C में \(p(0)=-8\) होता है, जबकि विकल्प D का घात 0 है, इसलिए वह स्थिर बहुपद है, रेखीय नहीं। परीक्षा टिप: \(p(0)\) ज्ञात करने के लिए \(x\) के स्थान पर 0 रखें; परिणाम नियतांक पद के बराबर होता है। / A linear polynomial has the form \(ax+b\), where \(a\ne0\). For \(p(x)=2x+8\), \(p(0)=2(0)+8=8\), so option B is correct. In option C, \(p(0)=-8\), while option D has degree 0 and is a constant polynomial, not a linear polynomial. Exam tip: To find \(p(0)\), substitute 0 for \(x\); the result is the constant term.
दिया है कि p(x)=6x+1। अतः p(t)=6t+1 होगा। p(t)=31 रखने पर 6t+1=31, इसलिए 6t=30 और t=5। विकल्प 4 लेने पर p(4)=25 प्राप्त होता है, 31 नहीं। परीक्षा टिप: p(t) में x के स्थान पर सीधे t रखकर समीकरण बनाइए। / Given p(x)=6x+1, substituting t for x gives p(t)=6t+1. Since p(t)=31, we get 6t+1=31, so 6t=30 and t=5. For example, t=4 gives p(4)=25, not 31. Exam tip: In p(t), replace x directly with t before solving the equation.
रेखीय बहुपद \(x-6\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए \(x-6=0\) रखते हैं। इससे \(x=6\) मिलता है, जो धनात्मक है। इसके विपरीत, \(x+7\) का शून्यक \(-7\) है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है; उसके चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / To find the zero of the linear polynomial \(x-6\), set \(x-6=0\). This gives \(x=6\), which is positive. In contrast, the zero of \(x+7\) is \(-7\). Exam tip: The zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\); check its sign carefully.
शून्यक \(-5\) का अर्थ है कि \(p(-5)=0\)। अतः \(4(-5)+a=0\), यानी \(-20+a=0\)। इसलिए \(a=20\) है। \(-20\) लेने पर \(p(-5)=-40\) होगा, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी रैखिक बहुपद के शून्यक को \(x\) के स्थान पर रखकर बहुपद का मान 0 करें। / A zero of \(-5\) means that \(p(-5)=0\). Thus, \(4(-5)+a=0\), so \(-20+a=0\). Therefore, \(a=20\). If \(a=-20\), then \(p(-5)=-40\), not 0. Exam tip: Substitute the given zero for \(x\) and set the polynomial equal to 0.
रेखीय बहुपद का शून्यक वह मान है, जिस पर बहुपद का मान 0 हो जाता है। \(x=\frac{4}{3}\) रखने पर \(3x-4=3\times\frac{4}{3}-4=0\) मिलता है। इसलिए \(3x-4\) का शून्यक \(\frac{4}{3}\) है। निकटतम विकल्प \(4x-3\) का शून्यक \(\frac{3}{4}\) होता है, \(\frac{4}{3}\) नहीं। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero of a linear polynomial is the value of x for which the polynomial becomes 0. Substituting \(x=\frac{4}{3}\) in \(3x-4\) gives \(3\times\frac{4}{3}-4=0\). Hence, \(3x-4\) has zero \(\frac{4}{3}\). The close distractor \(4x-3\) has zero \(\frac{3}{4}\), not \(\frac{4}{3}\). Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
\(p(x)q(x)=(x+4)(x-4)=x^2-16\), जो वर्गों के अंतर के सूत्र \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) से प्राप्त होता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है और यह द्विघात बहुपद है। रैखिक बहुपद की डिग्री 1 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: गुणन करने से पहले युग्मों को देखकर वर्गों के अंतर का सूत्र पहचानें। / \(p(x)q(x)=(x+4)(x-4)=x^2-16\), using the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). The highest power of \(x\) is 2, so its degree is 2 and it is a quadratic polynomial. A linear polynomial has degree 1, so option A is not correct. Exam tip: Before multiplying, look for conjugate factors to apply the difference-of-squares identity.
शून्यक \(x=-3\) रखने पर बहुपद का मान शून्य होता है। अतः \(5(-3)+b=0\), यानी \(-15+b=0\)। इसलिए \(b=15\) है। \(-15\) लेने पर बहुपद का मान \(-30\) होगा, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी रैखिक बहुपद के शून्यक को उसमें प्रतिस्थापित करके उसका मान हमेशा \(0\) करें। / At a zero, the value of the polynomial is zero. Substituting \(x=-3\) gives \(5(-3)+b=0\), so \(-15+b=0\). Hence, \(b=15\). If \(b=-15\), the polynomial value would be \(-30\), not zero. Exam tip: substitute the given zero into a linear polynomial and equate the result to \(0\).
\(x=10\) रखने पर \(p(10)=\frac{3}{5}\times10+4=6+4=10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 10 है। 9 एक संभावित त्रुटि है, जो \(\frac{3}{5}\times10\) का गलत मान लेने पर मिल सकता है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का मान ज्ञात करते समय दिए गए \(x\) के स्थान पर संख्या रखकर गुणा और जोड़ के क्रम का ध्यान रखें। / Substituting \(x=10\), \(p(10)=\frac{3}{5}\times10+4=6+4=10\). Hence, 10 is the correct option. A value such as 9 can result from incorrectly evaluating \(\frac{3}{5}\times10\). Exam tip: To find the value of a polynomial, substitute the given number for \(x\) and follow the order of multiplication and addition carefully.
व्यंजक \((4a+8)x-5\) रेखीय तभी है जब \(x\) का गुणांक शून्य न हो। रेखीय न रहने के लिए \(4a+8=0\) होगा, जिससे \(a=-2\) प्राप्त होता है। इस मान पर व्यंजक केवल \(-5\) रह जाता है, जो अचर बहुपद है, रेखीय बहुपद नहीं। उदाहरण के लिए, \(a=0\) पर \(x\) का गुणांक \(8\) है, इसलिए वह अभी भी रेखीय है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले रेखीय बहुपद में चर के गुणांक को शून्य करके जाँच करें। / The expression \((4a+8)x-5\) is linear only when the coefficient of \(x\) is non-zero. For it to stop being linear, \(4a+8=0\), which gives \(a=-2\). At this value, the expression becomes \(-5\), a constant polynomial rather than a linear polynomial. For example, at \(a=0\), the coefficient of \(x\) is \(8\), so it is still linear. Exam tip: in a parameter-based linear polynomial, set the coefficient of the variable equal to zero to test when it is no longer linear.
दिया है \(p(x)=12x-20\) और \(p(x)=4\)। अतः \(12x-20=4\)। दोनों पक्षों में 20 जोड़ने पर \(12x=24\) मिलता है, इसलिए \(x=2\)। \(x=1\) रखने पर \(p(x)=-8\) आता है, 4 नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद का दिया गया मान मिलने पर \(p(x)\) के स्थान पर वह मान रखकर रैखिक समीकरण हल करें। / Given \(p(x)=12x-20\) and \(p(x)=4\), we get \(12x-20=4\). Adding 20 to both sides gives \(12x=24\), so \(x=2\). If \(x=1\), then \(p(x)=-8\), not 4. Exam tip: when a value of a polynomial is given, equate the polynomial to that value and solve the resulting linear equation.
दिया है कि \(p(x)=8x+c\)। अतः \(x=2\) रखने पर \(p(2)=8\times2+c=16+c\) होगा। क्योंकि \(p(2)=19\), इसलिए \(16+c=19\), जिससे \(c=3\) मिलता है। विकल्प 4 लेने पर \(p(2)=20\) आता, जो दिए गए मान 19 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का दिया हुआ मान ज्ञात करने के लिए पहले दिए गए \(x\) का मान उसमें प्रतिस्थापित करें। / Given \(p(x)=8x+c\). Substituting \(x=2\), we get \(p(2)=8\times2+c=16+c\). Since \(p(2)=19\), \(16+c=19\), so \(c=3\). If \(c=4\), then \(p(2)=20\), not 19. Exam tip: To use a given value of a polynomial, first substitute the stated value of \(x\).
दिया है कि \(p(x)=x+a\) और \(p(-9)=0\)। अतः \(-9+a=0\), जिससे \(a=9\) प्राप्त होता है। \(-9\) लेने पर \(-9+(-9)=-18\) होगा, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का शून्यक दिया हो, तो उस मान को \(x\) के स्थान पर रखकर बहुपद को शून्य के बराबर करें। / Given \(p(x)=x+a\) and \(p(-9)=0\), substitute \(-9\) for \(x\): \(-9+a=0\). Hence, \(a=9\). If \(a=-9\), then \(-9+(-9)=-18\), not zero. Exam tip: When a zero of a polynomial is given, substitute it for \(x\) and set the polynomial equal to zero.
दिया है p(x)=4x-3। अतः p(2)=4(2)-3=5 और p(-2)=4(-2)-3=-11। इसलिए p(2)+p(-2)=5+(-11)=-6। विकल्प 6 लेने पर ऋणात्मक मान p(-2) के चिन्ह की त्रुटि हो सकती है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या रखने पर 4 और x के गुणनफल का चिन्ह अवश्य जाँचें। / Given p(x)=4x-3, p(2)=4(2)-3=5 and p(-2)=4(-2)-3=-11. Therefore, p(2)+p(-2)=5+(-11)=-6. Choosing 6 may result from an error with the sign of p(-2). Exam tip: when substituting a negative value, check the sign of every product carefully.
बहुपद \(6x+12\) का शून्यक ज्ञात करने के लिए \(6x+12=0\) रखते हैं। इससे \(6x=-12\), अतः \(x=-2\) प्राप्त होता है। इसमें \(x\) का गुणांक भी \(6\) है, इसलिए विकल्प B सही है। \(6x-12\) में \(x\) का गुणांक 6 तो है, लेकिन उसका शून्यक \(2\) होता है। परीक्षा टिप: रैखिक बहुपद \(ax+b\) का शून्यक \(-b/a\) होता है। / To find the zero of \(6x+12\), set \(6x+12=0\). This gives \(6x=-12\), so \(x=-2\). Its coefficient of \(x\) is also \(6\), so option B is correct. Although \(6x-12\) has coefficient 6, its zero is \(2\). Exam tip: the zero of a linear polynomial \(ax+b\) is \(-b/a\).
\(7x-3\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है और यह रैखिक बहुपद है। \(9\) की डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात देखकर डिग्री पहचानें। / In \(7x-3\), the highest power of \(x\) is 1, so its degree is 1 and it is linear. \(9\) has degree 0, not 1. Exam tip: identify the highest exponent to find the degree.
दिया है \(p(x)=7x+9\)। अतः \(p(x)-9=(7x+9)-9=7x\)। बहुपद \(7x\) में \(x\) का सबसे बड़ा घातांक \(1\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(1\) है। \(7\), गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को सरल करके सबसे बड़े घातांक को देखें। / Given \(p(x)=7x+9\), we get \(p(x)-9=(7x+9)-9=7x\). The highest exponent of \(x\) in \(7x\) is \(1\), so its degree is \(1\). Here, \(7\) is a coefficient, not the degree. Exam tip: Simplify the polynomial first, then identify the highest exponent of the variable.
दिया है p(x)=4x+11। अतः p(x)-4x=(4x+11)-4x=11। 11 में x का कोई पद नहीं है, इसलिए इसकी घात 0 है और यह अशून्य नियतांक बहुपद है। रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए बहुपद में से पद घटाकर समान पदों को सरल करें, फिर बची हुई अभिव्यक्ति की घात देखें। / Given p(x)=4x+11, p(x)-4x=(4x+11)-4x=11. Since 11 has no x-term, its degree is 0; hence it is a non-zero constant polynomial. A linear polynomial has degree 1, so option A is not correct. Exam tip: simplify by combining like terms first, then identify the polynomial from its degree.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है, जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाए। \(2x+7\) में \(x=-\frac{7}{2}\) रखने पर \(2\left(-\frac{7}{2}\right)+7=-7+7=0\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प \(2x+7\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(2x-7\) का शून्यक \(\frac{7}{2}\) है, ऋणात्मक नहीं। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero of a polynomial is a value of x that makes the polynomial equal to 0. Substituting \(x=-\frac{7}{2}\) in \(2x+7\) gives \(2\left(-\frac{7}{2}\right)+7=-7+7=0\). Hence, \(2x+7\) is the correct option. The close distractor \(2x-7\) has zero \(\frac{7}{2}\), not \(-\frac{7}{2}\). Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
यहाँ x के स्थान पर 3 रखिए: \(p(3)=16-5\times3=16-15=1\)। इसलिए सही उत्तर 1 है। 31 तब मिलता है जब \(16+15\) किया जाए, लेकिन व्यंजक में घटाव है। परीक्षा टिप: मान ज्ञात करते समय चर के स्थान पर दी गई संख्या रखने के बाद पहले गुणा करें। / Substitute 3 for x: \(p(3)=16-5\times3=16-15=1\). Therefore, the correct answer is 1. The value 31 would result from adding \(16+15\), but the expression contains subtraction. Exam tip: after substituting the given value, perform multiplication before subtraction.
\(2p(x)+q(x)=2(x-6)+(3x+2)\) होगा। वितरक गुणधर्म से \(2(x-6)=2x-12\) मिलता है। अब समान पद जोड़ने पर \(2x-12+3x+2=5x-10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर \(5x-10\) है। \(4x-10\) में \(2x\) और \(3x\) को जोड़ने में त्रुटि हुई है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक बहुपद में गुणांक का गुणा करें, फिर समान पदों को मिलाएँ। / \(2p(x)+q(x)=2(x-6)+(3x+2)\). Using the distributive property, \(2(x-6)=2x-12\). Combining like terms gives \(2x-12+3x+2=5x-10\). Hence, \(5x-10\) is correct. The option \(4x-10\) results from incorrectly adding \(2x\) and \(3x\). Exam tip: multiply each polynomial by its coefficient first, then combine like terms.
शून्यक ज्ञात करने के लिए \(p(x)=0\) रखते हैं: \(5x-15=0\)। अतः \(5x=15\), इसलिए \(x=3\)। जाँच करने पर \(p(3)=5(3)-15=0\), इसलिए \(x=3\) शून्यक है। \(x=5\) रखने पर मान \(10\) मिलता है, इसलिए वह शून्यक नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी दिए गए मान को बहुपद में रखकर परिणाम \(0\) है या नहीं, जाँच लें। / To find a zero, set \(p(x)=0\): \(5x-15=0\). Thus, \(5x=15\), so \(x=3\). On checking, \(p(3)=5(3)-15=0\); hence, \(x=3\) is the zero. Substituting \(x=5\) gives \(10\), so it is not a zero. Exam tip: verify a proposed zero by substituting it into the polynomial and checking whether the result is \(0\).
दो व्यंजकों का अंतर लेने पर पहले व्यंजक में से दूसरा व्यंजक घटाया जाता है: \(4x+9-(x-3)=4x+9-x+3=3x+12\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में घटाने का क्रम उलट गया है, इसलिए उसका मान \(-3x-12\) होगा। परीक्षा टिप: कोष्ठक से पहले ऋण चिह्न हो तो कोष्ठक के भीतर सभी पदों के चिह्न बदल दें। / To find the difference, subtract the second expression from the first: \(4x+9-(x-3)=4x+9-x+3=3x+12\). Therefore, option A is correct. In option B, the order of subtraction is reversed, so it gives \(-3x-12\). Exam tip: When a bracket is preceded by a minus sign, change the signs of all terms inside it.
शून्यक पाने के लिए \(4x-9=0\) रखें। इससे \(4x=9\), अतः \(x=\frac{9}{4}\) मिलता है। \(-\frac{9}{4}\) में चिन्ह की गलती है। परीक्षा में मान रखकर जाँचें। / For a zero, set \(4x-9=0\). Then \(4x=9\), so \(x=\frac{9}{4}\). The value \(-\frac{9}{4}\) comes from a sign error. In exams, substitute the answer to verify it.
\(x=8\) रखने पर \(p(8)=\frac{7}{8}\times 8-7=7-7=0\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर 0 है। \(-7\) केवल स्थिर पद है, \(p(8)\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए \(x\) के स्थान पर मान रखकर सभी संक्रियाएँ क्रम से करें। / Substituting \(x=8\), we get \(p(8)=\frac{7}{8}\times 8-7=7-7=0\). Hence, the correct answer is 0. \(-7\) is only the constant term, not the value of \(p(8)\). Exam tip: To evaluate a polynomial, substitute the given value of \(x\) and simplify step by step.
यहाँ \(p(x)^2=(x+5)^2=x^2+10x+25\) है। इसमें \(x\) की उच्चतम घात 2 है, इसलिए इसका बहुपद की डिग्री 2 है और यह द्विघात बहुपद है। रेखीय बहुपद की डिग्री 1 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार उसकी उच्चतम घात से निर्धारित करें। / Here, \(p(x)^2=(x+5)^2=x^2+10x+25\). The highest power of \(x\) is 2, so the polynomial has degree 2 and is a quadratic polynomial. A linear polynomial has degree 1, so option A is not correct. Exam tip: identify a polynomial’s type from its highest power of the variable.
दिया है p(x)=4x+b। अतः p(5)=20+b और p(2)=8+b। इसलिए p(5)-p(2)=(20+b)-(8+b)=12। दोनों मानों में b समान होने के कारण वह घटाने पर कट जाता है। 8 केवल p(2) का मान है, अंतर नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों फलन-मूल्य अलग-अलग निकालें, फिर उनका अंतर लें। / Given p(x)=4x+b, we get p(5)=20+b and p(2)=8+b. Therefore, p(5)-p(2)=(20+b)-(8+b)=12. The term b cancels because it occurs equally in both values. Note that 8 is only the value of the variable part of p(2), not the required difference. Exam tip: Evaluate the polynomial at both inputs separately before subtracting.
दिया है, \(p(x)=6x-5\)। अतः \(p(4)=6\times4-5=19\) और \(p(1)=6\times1-5=1\)। इसलिए \(p(4)-p(1)=19-1=18\)। विकल्प 24 केवल \(6\times4\) लेने पर मिलता है, जिसमें स्थिर पद और \(p(1)\) का घटाव शामिल नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों दिए गए मानों के लिए बहुपद का अलग-अलग मान निकालें, फिर उनका अंतर लें। / Given \(p(x)=6x-5\), \(p(4)=6\times4-5=19\) and \(p(1)=6\times1-5=1\). Therefore, \(p(4)-p(1)=19-1=18\). The value 24 comes from taking only \(6\times4\), which ignores the constant term and the subtraction of \(p(1)\). Exam tip: evaluate the polynomial separately at each given value before finding their difference.
रेखीय बहुपद में \(x\) का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। दिए गए व्यंजक में \(x\) का गुणांक \(3r-12\) है। रेखीय न रहने के लिए \(3r-12=0\) होगा, जिससे \(r=4\) प्राप्त होता है। इस मान पर व्यंजक केवल \(5\) रह जाता है, जो एक अचर बहुपद है। \(r=3\) जैसे निकट विकल्प पर गुणांक \(-3\) है, इसलिए वह अभी भी रेखीय है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में घात घटने की स्थिति जानने के लिए उच्चतम घात के गुणांक को शून्य रखें। / For a polynomial to be linear, the coefficient of \(x\) must not be zero. Here, the coefficient of \(x\) is \(3r-12\). For the expression to stop being linear, \(3r-12=0\), which gives \(r=4\). At this value, the expression becomes \(5\), a constant polynomial. For the nearby option \(r=3\), the coefficient is \(-3\), so it is still linear. Exam tip: In a parameter-based polynomial, set the coefficient of the highest power to zero to check when its degree decreases.
किसी बहुपद का शून्यक वह मान होता है जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाता है। अतः x=-1 रखने पर 9(-1)+b=0 होगा। यानी -9+b=0, इसलिए b=9। विकल्प -9 लेने पर p(-1)=-18 होगा, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: शून्यक दिए होने पर उसे बहुपद में रखकर p(x)=0 करें। / A zero of a polynomial is a value of x for which the polynomial becomes 0. Substituting x=-1 gives 9(-1)+b=0. Thus, -9+b=0, so b=9. If b=-9, then p(-1)=-18, not 0. Exam tip: When a zero is given, substitute it in the polynomial and equate the result to 0.
पहले \(q(x)\) को 2 से गुणा करें: \(2q(x)=2(5x+4)=10x+8\)। अब \(p(x)\) घटाने पर \(10x+8-(3x-2)=10x+8-3x+2=7x+10\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर \(7x+10\) है। \(7x+6\) तब मिलता है जब \(-(3x-2)\) में \(-2\) का चिह्न गलत संभाला जाए। परीक्षा टिप: किसी बहुपद के आगे ऋण चिह्न हो तो उसके भीतर सभी पदों के चिह्न बदलें। / First multiply \(q(x)\) by 2: \(2q(x)=2(5x+4)=10x+8\). Now subtract \(p(x)\): \(10x+8-(3x-2)=10x+8-3x+2=7x+10\). Hence, \(7x+10\) is correct. \(7x+6\) results from mishandling the sign of \(-2\) while subtracting \((3x-2)\). Exam tip: when a minus sign appears before a polynomial, change the signs of all terms inside the bracket.
रेखीय बहुपद का शून्यक वह मान है, जिसके लिए बहुपद का मान 0 हो जाता है। \(5x+2=0\) से \(5x=-2\), अतः \(x=-\frac{2}{5}\)। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A का शून्यक \(\frac{2}{5}\) है, क्योंकि उसमें स्थिर पद \(-2\) है। परीक्षा टिप: \(ax+b\) का शून्यक \(-\frac{b}{a}\) होता है। / A zero of a linear polynomial is the value of x that makes the polynomial equal to 0. From \(5x+2=0\), we get \(5x=-2\), so \(x=-\frac{2}{5}\). Therefore, option C is correct. Option A has zero \(\frac{2}{5}\) because its constant term is \(-2\). Exam tip: the zero of \(ax+b\) is \(-\frac{b}{a}\).
\(x=-3\) रखने पर \(p(-3)=7-2(-3)=7+6=13\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर \(13\) है। \(-13\) तब मिलता है जब ऋणात्मक संख्या के गुणन के चिन्ह का गलत प्रयोग किया जाता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक मान को हमेशा कोष्ठक में रखकर प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(x=-3\), we get \(p(-3)=7-2(-3)=7+6=13\). Therefore, the correct value is \(13\). The option \(-13\) may result from handling the signs incorrectly. Exam tip: always substitute a negative value using brackets.
विकल्प A में दोनों बहुपद समान हैं, इसलिए उनका अंतर \((2x+3)-(2x+3)=0\) है। अतः प्राप्त बहुपद शून्य बहुपद है। विकल्प B में अंतर \(6\) आता है, जो शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: दो बहुपदों का अंतर शून्य होने के लिए उनके संगत पदों के गुणांक समान होने चाहिए। / In option A, both polynomials are identical, so their difference is \((2x+3)-(2x+3)=0\). Hence, the result is the zero polynomial. In option B, the difference is \(6\), not zero. Exam tip: For the difference of two polynomials to be zero, the coefficients of their corresponding terms must be equal.
\(x=10\) रखने पर \(p(10)=\frac{4}{5}\times10-8=8-8=0\)। अतः सही उत्तर 0 है। \(-8\) केवल स्थिर पद है, \(p(10)\) का मान नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद का मान ज्ञात करते समय दिए गए \(x\) के मान को हर पद में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(x=10\), \(p(10)=\frac{4}{5}\times10-8=8-8=0\). Hence, the correct answer is 0. \(-8\) is only the constant term, not the value of \(p(10)\). Exam tip: While evaluating a polynomial, substitute the given value of \(x\) carefully in every term.
